U Ž I T Í P Y T H A G O R O V Y V T Y V P R A X I 3 HODINY V zárené kapitole o Pythagoro t se podíáme na žití praoúhlých trojúhelník (Pythagoroy ty) praktických úlohách. Pokd se Ti dailo yešit úlohy pedcházejících kapitol, nebde Ti dlat problém je peézt na následjící praktické úlohy. Tým úkolem bde si nejdíe sitaci nartnot a popsat. Poté bdeš hledat nartntých útarech (nap. trojúhelník, ronobžník, tyúhelník, hranol) praoúhlý trojúhelník, ze kterého žitím Pythagoroy ty ypoteš neznámý údaj. Náronost píklad bde postpn rst. S chtí do toho! Píklad 1: Žebíky štaflí jso dlohé 3 metry. Jso-li štafle postaené na zemi, je zdálenost dolních konc žebík 1 metr. Do jaké ýšky štafle sahají? Nejpre si sitaci nartneme: Z obr. idíme, že žebíky štaflí toí rcholy ronoramenného trojúhelník se základno 1 metr. Snadno spoteme ýšk ronoramenného trojúhelník: 3 0,5 Štafle sahají do ýšky,96 m. 9 0,5 8,75,96 m Píklad : Jak dloho klád potebjí dobyatelé hrad, aby ji mohli opít o rcholy hradeb? Hradby jso ysoké 9 metr a jso obehnány moáloým píkopem širokým 1 metr. Opt si dano sitaci elmi zjednodšen nartneme:
Pro ýpoet délky klády požijeme Pythagoro t: d 1 9 d d 144 81 5 15 m Aby mohli dobyatelé opít klád o rchol hradeb, potebjí klád dloho aspo 15 metr. Píklad 3: Kolik korn stojí omítntí štít stechy dom tar ronoramenného trojúhelník, stojí-li 1 m omítky 150 K? Výška ronoramenného trojúhelník je 6 metr, elikost jeho ramen je 10 metr.
Nejpre si spoteme elikost základny ronoramenného trojúhelník: z 10 6 z 64 8 m z.8 m 16 m Nyní si spoteme porch štít: S S z. 16.6 48 m A na zár spoteme cen za omítk: 48.150 700 K Omítntí štít stechy stojí 700 K. Píklad 4: Balon B na lan dlohém 45 metr se znáší sisle nad místem X, kde je pipotán. Když zafokal ítr, ychýlil se balon tak, že byl sisle nad místem Y. Jak ysoko byl balon nad místem Y, jso-li místa X, Y na odoroném terén a jejich zdálenost je 15 m? BY BY BY BY BX 45 XY 15 05 5 1800 4,4 m Balon byl po zafokání tr e ýšce 4,4 m nad místem Y.
Píklad 5: Stožár, jehož ýška je h = 35 metr, je potán temi stejn dlohými lany. Lana jso pipenna ke stožár e tyech ptinách jeho ýšky nad zemí a zakotena e zdálenosti 1 metr od paty P stožár. Urete celkoo délk lana potebno k potání stožár. Nejpre si ríme ýšk PX, e které jso chopeny lana: 4 4 PX h 35 8 m 5 5 Poté si z praoúhlého trojúhelník PXY ríme délk jednoho lana XY: XY XY XY XY PX 8 1 PY 784144 98 30,5 m Nakonec spoteme celkoo délk d lana: d 3. XY 3.30,5 m 91,5 m K potání stožár je teba celkem 91,5 m lana. Píklad 6: Jezero má tar praidelného šestiúhelník, který je toen šesti ronostrannými trojúhelníky o stran délky 50 m. Na jedné z šesti stran jezera je stánek se zmrzlino. Tomáš se opalje na pláži, která leží naproti pláže se stánkem. O kolik metr si zkrátí cest, nepjdeli ke stánk pšky podél beh, ale poplae ke stánk pímo cesto?
Zaneme nártem sitace: Nejpre si spoítáme ýšk ronostranného trojúhelník (zdálenost mezi behem a stedem jezera): 50 5 500 65 1875 43,3 m Celkoá zdálenost d, ktero Tomáš ke stánk plae je: d..43,3 m 86,6 m Pokd by šel Tomáš po beh, razil by následjící zdálenost l: l ( 5 50 50 5) m 150 m Tomáš si tedy zkrátí plaáním cest: l 150 m 43,3 m 106,7 m Poplae-li Tomáš pímo cesto ke stánk, zkrátí si cest o 106,7 m. Urit se íce nade. Píklad 7: Na map s mítkem 1:500 je zakreslen obdélníkoý pozemek, jehož obod mí 5 cm a jedna strana je o 10 cm kratší než strana drhá. Kolik krok dlohých 75 cm msí dlat pan Neprakta, chce-li pejít po úhlopíce z jednoho roh do drhého? Výsledek zaokrohli na celé kroky. Opt zaneme strným nártem:
Poksme si stanoit sled postpných poetních krok: 1. Vypoteme délky stran a, b. Peedeme je do sktených elikostí 3. Vypoteme žitím Pythagoroy ty elikost úhlopíky 4. Spoteme poet krok pana Neprakty 1. Vypoteme délky stran a, b: o.( a b) o.( b10 b) o.(b10) o 4b 40 5 4b 40 3 4b b 8 cm / 40 / : 4 a b10 810 18 cm. Peedeme délky stran a, b do sktených elikostí: 1 : 500-1 cm na map pedstaje 500 cm (nebo-li 5 m) e sktenosti a = 18 cm - e sktenosti má strana a elikost 5.18 = 90 m b = 8 cm - e sktenosti má strana b elikost 8.5 = 40 m 3. Vypoteme žitím Pythagoroy ty elikost úhlopíky: 90 40 81001600 9700 98,5 m
4. Uríme poet krok pana Neprakty: 98,5 : 0,75 131 Chce-li pan Neprakta pejít z jednoho roh sého pozemk do drhého, msí dlat asi 131 krok dlohých 75 cm. Píklad 8: Vzdálenost míst A a B na map s mítkem 1:50 000 je 8 cm. Místo A je e ýšce 300 m.n.m. (metr nad moem), místo B pak e ýšce 800 m.n.m. Jaká je sktená pímá zdálenost míst A, B? 1 cm na map - 50 000 cm e sktenosti 1 cm na map - 500 m e sktenosti 8 cm na map - 500. 8 = 4000 m (4 km) e sktenosti Z praoúhlého trojúhelník ABB spoteme zdálenost AB, což je sktená (pímá) zdálenost bod A, B: AB AB AB AB 4000 BB 900 16000000 810000 AB 4100 m 4,1 km Sktená zdálenost mezi místy A a B je 4,1 km. 16810000 Píklad 9: Park má tar kosoterce, jehož úhlopíky mají délky pomr 3 : 4. Soet délek obo úhlopíek iní 3,5 km. Kolik metr oplocení je teba pro tento park. Urete také rozloh park.
Nejpre si ríme délky obo úhlopíek: Poet dílk..3d + 4d = 7d 7 dílk.. 3,5 km 1 dílek.. 3,5 : 7 0,5 km 3 dílky.. 3.0,5 1,5 km 4 dílky... 4.0,5 km Proedeme si nártek dané sitace: Z praoúhlého trojúhelník ABS si ríme délk strany kosoterce (dom si, že úhlopíky kosoterce se nazájem plí a sírají spol praý úhel): AB AB AB 1 AS 0,75 BS 1,565 1,5 km Nyní si spoteme obod kosoterce: o 4. AB 4.1,5 km 5 km A na zár si spoteme ýmr (rozloh) park spoteme si ýmr trojúhelník ABS, což je trtina ýmry celého park a posléze spoteme rozloh celého park: z. SABS AS. SB SABS 0,75 SABS 0,375 km S 4. S ABS 4.0,375 1,5 km Na oplocení park je teba 5 km oplocení, rozloha park je 1,5 km.
Píklad 10: Mach a Šebestoá stojí ped sým domem. Mach šel do školy smrem na jih rychlostí 1,5 m/s, Šebestoá jíždla do obchod na kole ýchodním smrem rychlostí 6 m/s. Jak daleko bdo od sebe za 10 mint? Nejpre si spoítáme dráhy, které Mach a Šebestoá razí za 10 mint. Protože jso rychlosti edené m/s, peedeme si ronž 10 mint na sekndy: 10min 10.60 s 600 s Dráha, ktero razil Mach pi cest do školy: s. t 1,5.600 m 900 m 0,9 km Dráha, ktero jela Šebestoá pi jízd na kole: s. t 6.600 m 3600 m 3,6 km Proedeme si nártek sitace: MŠ MŠ 3,6 0,9 1,96 0,81 MŠ 13,77 3,71 km Za 10 mint bdo Mach a Šebestoá od sebe zdáleni 3,71 km. Píklad 11: Na tleso psobí témže bod d síly o elikostech F 1 = 10 N a F = 160 N, které jso nazájem kolmé. Urete graficky i poetn elikost ýslednice tchto sil. Nejpre ríme ýslednici sil graficky: Na obrázk dostaneme ýslednici jako úhlopík ronobžník OPQR. Velikost ýslednice ríme pomocí Pythagoroy ty napíklad z praoúhlého trojúhelník OPQ.
F F F F Velikost ýslednice sil je rona 64 N. F 1 10 F 160 44100 5600 69700 64 N Píklad 1: Jak dlohý je betonoý nájezd pro cyklistická kola na schodišti o šesti schodech, má-li každý schod ýšk 18 cm a délk schod 4 cm. Šíka nájezd je 0,3 metr. Než pistopíme k nárt schodišt, podíej se ješt jedno na zadání a zamysli se, zda oprad potebjeme pro náš ýpoet délky nájezd znát šechny zadané údaje. V nárt máš na mo otázk odpo:
Urit si z nárt poznal, že zbyteným údajem je šíka nájezd. Nejpre si spoteme délk nájezd pro jeden schod z praoúhlého trojúhelník na obr. : 4 18 576 34 900 30 cm Nyní spoteme délk d celého nájezd pro 6 schod (obr. 1): d 6. d 6.30 cm 180 cm Betonoý nájezd pro cyklistická kola je dlohý 1,8 m. 18, m Píklad 13: Z kmene, jehož prmr na žším konci je 30 cm, se má ytesat trám tercoého prez. Vypotte délk strany nejtšího možného prez. Výsledek zaokrohlete smrem dol (pro asi?). Celo sitaci si opt graficky znázorníme: Odpoídej na mé otázky:? Prochází úhlopíka terce stedem kržnice? Ano? Co pedstaje úhlopíka terce? Prmr kržnice? Jako má elikost? 30 cm Z nárt si ytáhneme poze kržnici a ní epsaný terec:
Užitím Pythagoroy ty ypoteme délky strany terce: 30 900 450 450 1, cm Trám tercoého prez mže mít délk strany nejýše 1, cm. Píklad 14: V krhoém parík o polomr 7 m je ybdoáno sportoní obdélníkoého hišt tak, že jeho rcholy leží na hranici park (hišt je epsáno do kržnice). Uri rozloh hišt, íš-li, že délka jedné strany hišt je 45 m. Uri dále rozmry zatranné plochy. Nejpre si nakresli obrázek:
Neznámo stran obdélníkoého hišt spoteš z praoúhlého trojúhelník ABC (praý úhel rchol B): b b b r 54 AB 45 916 05 b 891 30 m Nyní si spoteme ýmr hišt S: S S a. b 45.30 1350 m Dále spoteme ýmr parík S etn hišt: S r S 3,14.7 S 89 m Na zár ypoteme rozloh zatranné ásti (parík bez hišt): S S S S 891350 939 m Výmra hišt je 1350 m, ýmra zatranné ásti je 939 m. Píklad 15: Zlodji chtjí peézt kradený zácný obraz kfr. Kfr má tar kádr s nitními rozmry 70 cm, 45 cm a 15 cm, obraz má tar obdélník s rozmry 30 cm a 80 cm. Vejde se zlodjm obraz do kfr?
Z obrázk je patrné, že obraz rit nelze celý položit na dno kfr, protože jeho délka (80 cm) je tší než nejtší rozmr kfr (70 cm). Proto msíme spoíst pední (nebo zadní) stnoo úhlopík kfr. Bde-li její elikost menší nebo rona délce kfr (80 cm), pak se obraz do kfr neleze: 70 15 4900 5 515 71,6 cm Nejtší stnoá úhlopíka má elikost 71,6 cm, obraz má šak délk tší, proto se do kfr neleze. Píklad 16: Vejde se rybáský prt dlohý,9 m do skín o rozmrech m; 1,7 m a 1,5 m? Aby se rybáský prt lezl do skín, msí mít maimáln elikost rono elikosti tlesoé úhlopíky kádr (skín). Proto nejdíe spoteme elikost tlesoé úhlopíky a poté ji poronáme s délko rybáského prt. Nejpre si spoteme elikost stnoé úhlopíky, která leží e spodní podsta skín (kádr): 1,7 4,89 6,89,65 m Poté si spoteme elikost tlesoé úhlopíky skín (kádr): 1,5 6,89,5 9,14 3 m Tlesoá úhlopíka má elikost 3 m, což je o 0,1 m íce, než délka rybáského prt. Ten se tedy do skín leze.
Píklad 17: Jak dloho cest razil brok hladoec B, než objeil ks salát S, který m tak chtná? Hrana jedné kosteky má elikost cm. Jedná se o elmi jednodchý píklad, který spoíá e ýpot pepon praoúhlých trojúhelník. Spoteme si napíklad úsek BA (na obr.trojúhelník oznaen žlto baro): AB 6 AB 40 6,3 cm Stejn pak spoítáme další baren oznaené úseky: AC 8 4 AC 80 8,94 cm
CD CD 8,83 cm Výsledky elikostí zbýajících baren neoznaených úsek: DE 5,4 cm EF FS 5 5 cm 5,4 cm Celkoá zdálenost d, ktero razil brok k salát, je: d 6,3 8,94,83,4 5,4 7,57 cm Než se brok dostane k salát, razí na krychli zdálenost 7,57 cm. Píklad 18: Stan, e kterém bydlí Pepík se sým mohtným tynohým kamarádem Žerykem, má tar praidelného tybokého jehlan (podstao je terec, pláš je toen tymi ronoramennými trojúhelníky). Rozmry idíš na obrázk. Mže se metr ysoký Žeryk postait, aniž by se dotýkal hlao rchol stan? Naším úkolem je spoíst ýšk jehlan, což je zdálenost mezi rcholem V a prseíkem úhlopíek e tercoé podsta. Již dobe íš, že ýška geometrickém útar pedstaje nejkratší možno zdálenost napíklad mezi dma body, popípad mezi bodem a úseko at. A nejkratší zdálenost je ždy zdálenost kolmá. Proto pro Tebe není rit problém najít praoúhlý trojúhelník, ze kterého spoteš ýšk. Je to trojúhelník ASV s praým úhlem pi rchol S. V nm šak neznáš edle hledané ýšky ani elikost odsny AS. Víš šak, že je rona poloiní elikosti úhlopíky e tercoé podsta:
55,4 16 dm AS 8 dm Nyní si již mžeme spoíst elikost ýšky jehlan: AC 11,3 SV 14,45 AB 11,3 AV 8 08,8 64 AS BC 144,8 1 dm Výška stan je pibližn 1 dm (1, m). Žeryk mající ýšk 1 m tedy mže e stan stát, anž by se ho dotýkal. Píklad 19: Stecha tercoého altán potebje no natít. Kolik plechoek bde teba kopit na jeden nátr, ystaí-li jedna plechoka na natení pibližn 4 m? Stecha toí pláš praidelného jehlan se tercoo podstao a tymi shodnými ronoramennými trojúhelníky. Abychom mohli spoíst obsah ronoramenného trojúhelník, msíme znát jeho ýšk. T spoteme pomocí hodn zoleného praoúhlého trojúhelník. Na obrázk idíš jedn z možností olby praoúhlého trojúhelník. Jedna se o trojúhelník 1 SXV s praým úhlem pi rchol S. Rozmry odsen jso: SV m; SX.3 1,5 m. Pepono je ýška trojúhelník, ktero potebjeme spoítat, abychom získali ýšk ronoramenného trojúhelník a následn pak rozloh stechy.
SV SX 1,5 6,5,5 m Nyní snadno spot obsah ronoramenného trojúhelník: z. S 3.,5 S 3,75 m Dále pak ypoteme rozloh stechy: S S 4. S 4.3,75 15 m A na zár ypot poet plechoek, které msím nakopit: 15 : 4 3,75 4 Abych mohl natít stech, msím obchod nakopit 4 plechoky. Píklad 0 (obtížný): Mostní krhoý oblok je ásti kržnice o polomr 35 m. Výška oblok je 7 m. Vypoti rozptí mostního oblok. Píklad sice ypadá obtížn, ale myslím, že po zhlédntí obrázk Ti bde jasný. Modro baro je na obrázk yznaen mostní oblok a jeho ýška. ereno baro pak jeho rozptí.
Z praoúhlého trojúhelník ALS získáš poloin z celkoého rozptí mostního oblok: l l r 35 l 15 784 l 441 1m r 35 7 Celkoé rozptí mostního oblok pak je: l.1 4 m Mostní oblok má rozptí 4 m. C V I E N Í Nejpre Ti nabízím nkolik úloh na prociení probrané látky. Poks se nejpre ždy sám úloh yešit. Po seznam úloh následje pehled ýsledk a nápody k jednotliým píkladm. Peji Ti hodn štstí. Úloha 1: Štít dom má tar ronoramenného trojúhelník. Šíka dom je 10 m, ýška štít je 5,3 m. Vypoítej délk stešních kro. Úloha : Dojitý žebík délky,05 m stojí na podlaze a je rozeen tak, že jeho spodní konce jso od sebe zdáleny 90 cm. V jaké ýšce nad podlaho je horní konec žebík?
Úloha 3: Stožár, jehož ýška je h = 3 metr, je potán tymi stejn dlohými lany. Lana jso pipenna ke stožár e tech trtinách jeho ýšky nad zemí a zakotena e zdálenosti 14 metr od paty P stožár. Urete celkoo délk lana potebno k potání. Úloha 4: Stožár je e do tetinách sé ýšky nad zemí penn temi lany, z nichž každé má délk 17 m a je zakoteno e zdálenosti 9,6 m od paty stožár. Jak ysoký je stožár? Úloha 5: Z kmene, který má na žším konci prmr 5 cm, se má zhotoit trám obdélníkoého prez, jehož jeden rozmr je 0 cm. Vypoítej nejtší možno hodnot drhého rozmr. Úloha 6: Vzdálenost míst A a B na map s mítkem 1 : 100 000 je 5 cm. Místo A je e ýšce 300 m nad moem a místo B je e ýšce 1600 m nad moem. Jaká je sktená pímá zdálenost míst A a B? Úloha 7: Z jednoho místa yšli soasn ti princoé hledat sedmihlaého draka. Prní princ šel na seer rychlostí 4 km/h, drhý princ šel na západ rychlostí 5 km/h a tetí na jih rychlostí 6 km/h. Jak daleko bdo od sebe za 30 mint? Kteí princoé bdo mít k sob nejblíže a kteí nejdál? Úloha 8: Schody do sklepa jso e elmi tmaé místnosti, jso úzké a klzké. Proto k nim bde zbdoáno zábradlí e form tye. Jak dloho ty bdeme k zbdoání zábradlí poteboat, je-li schod celkem 10 a každý z nich má šík 0 cm a ýšk 15 cm (iz obr.). Úloha 9: Jak dloho cest ykonala mandelinka bramboroá ke sé miloané bramboroé nati? Krychle je toena malými krychlikami o hran 1 cm. Prbžné ýpoty zaokrohlj na d desetinná místa.
Úloha 10: Krabice na ložení dených latk má rozmry 80 cm, 40 cm a 30 cm. Vejde se do krabice metroá ty? Úloha 11: V krhoém parík o neznámém polomr je ybdoáno sportoní hišt tar terce tak, že jeho rcholy leží na hranici park (hranice krh je terci opsána). Uri polomr parík a ýmr hišt, íš-li, že strana parík má elikost 50 m. Úloha 1: Stan má tar tybokého jehlan (iz. obr.) se tercoo podstao délky m. Výška stan je 150 cm. Kolik metr terených látky bylo teba na šití stn stan (podsta nepoítáme), poítáme-li na pekrytí a odpad 10% látky naíc. Výsledek yjádi m a zaokrohli na setiny. VÝSLEDKY ÚLOH, NÁPOVDY K ÚLOHÁM
Úloha 1: Dano sitaci si nejpre nartni: Délk stešních kro spoteme žitím Pythagoroy ty: 53,09m 7,9m Úloha : Výšk ríš z následjícího obrázk: 5 5,3 5 8,09
,05 4,05 0,05 4m m 0,45 Úloha 3: Úloha elmi podobná zoroém píklad 5. Nejpre si ríš ýšk h, e které jso chopeny lana: 3 3 h h 3 4 m 4 4 Poté si z praoúhlého trojúhelník ríme délk l jednoho lana: l l l Nakonec spoteme celkoo délk d lana: 4 14 576196 77 7,8 m d 4. l 4.7,8 m 111, m Úloha 4: Sitaci si nartneme na obrázek:
17 9,6 89 9,16 196,84m 14m h 3 3 14m 1m Stožár je ysoký 1 metr. Úloha 5: Úloha je podobná zoroém píklad 13. Opt si nartneme obrázek: 5 0 65 5 400cm 0cm Úloha 6: Úloha je elmi podobná zoroém píklad 8. Nejpre si zdálenost na map (5 cm) peedeme pomocí mítka mapy do sktené zdálenosti: 1 cm na map - 100 000 cm e sktenosti 1 cm na map - 1000 m e sktenosti 5 cm na map - 1000. 5 = 5000 m (5 km) e sktenosti Výškoý rozdíl mezi místy A a B je: 1600 m 300 m = 1300 m = 1,3 km Sktená (pímá) zdálenost mezi body A a B je:
5 1,3 51,69 6,69m 5,km Úloha 7: Nejpre si spoti dráhy, které princoé razí za 30 mint (1/ hodiny): 1. princ... d. princ... d 3. princ... d Celo sitaci si nartneme na obrázek: 1 3 1 4. km km 1 5. km,5km 1 6. km 3km Prní a drhý princ jso od sebe zdáleni: 10,5km 3,km Drhý a tetí princ jso od sebe zdáleni: y 3,5,5 4 6,5 y 15,5km 3,9km Prní a tetí princ jso od sebe zdáleni: y 9 6,5
z km 3km 5km Nejblíže jso od sebe zdáleni prní a drhý princ, nejdále pak prní a tetí princ. Úloha 8: Nejpre si spoteš délk d zábradlí odpoídajícím jednom schod: d d 0 15 400 5 d 65cm 5cm Podíáš-li se na obrázek, idíš, že erená ást zábradlí odpoídá deíti schodm (9.d): eren yznaená ást zábradlí má tedy elikost: 9. d Celkoá délka tye y k torb zábradlí tedy je: 9.5cm 5cm y 5 5 y 5cm 5cm 5cm y 75cm,75m Úloha 9: Cesta mandelinky se skládá ze do stejných úsek yznaených rznými barami na obrázk:
Nejpre si ypoteš eren yznaené úseky : 13cm 3,61cm Poté si ypoteš mode yznaené úseky y: y 3 5cm,4cm Na zár ypoteš celkoo dráh d, ktero razí mandelinka pi cest k bramboroé nati: 1 d d d.( y).(3,61,4) cm 11,7cm Úloha 10: Celo sitaci si nartneme:
Nejpre si spoteš elikost stnoé úhlopíky, která leží e spodní podsta krabice: 80 40 64001600 8000cm 89,44 cm Poté si spoteš elikost tlesoé úhlopíky krabice: Tlesoá úhlopíka krabice je menší než 1m, ty se tedy do krabice neejde. Úloha 11: Protože íme, že parík má tar terce o stran 50 m, spoteš si délk úhlopíky hišt: 50 50 5000m 70,7m Polomr r krhoého parík je lastn poloina délky úhlopíky : r r 89,44 70,7 30 8000 900 8900cm 94,34cm 0,9434m m 35,35m Výmra tercoého hišt je S 50m.50m 500m Úloha 1: Nejpre si yzna na obrázk trojúhelník, který yžiješ k ýpot ýšky boní stny:
3,5m 1,8 m Obsah jedné ze ty stn spoítáš následjícím zpsobem: 1,5 1,5 1 S S S z..1,8 m 1,8 m Obsah S šech boních stn stan pak je: S 4. S 7,m K získaném obsah S pipoteme 10% látky naíc (0,1.S = 0,7 m ) a dostááme tak celkoo spoteb látky na šití stn : S 0,1. S 7,m 7,9m 0,7m