Téma 8: Optimalizační techniky v metodě POPV Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování konstrukcí 4. ročník bakalářského studia Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava
Osnova přednášky Přehled optimalizačních technik, používaných u metody Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu POPV, Popis teoretického principu jednotlivých optimalizačních technik, Ukázky výpočtu s využitím jednotlivých optimalizačních postupů, Doporučené využití optimalizačních technik při pravděpodobnostních výpočtech metodou POPV. Optimalizační techniky v metodě POPV 1 / 29
Optimalizace výpočtů metodou POPV Grupování vstupních proměnlivých veličin, které lze vyjádřit společným histogramem. Intervalová optimalizace - snižování počtu intervalů u histogramů vstupních veličin při zachování původního rozsahu. Zónová optimalizace - využití pouze intervalů, které se podílejí na hledané hodnotě, např. pravděpodobnosti poruchy. Trendová optimalizace využití vhodného směru (trendu) v algoritmu pravděpodobnostního výpočtu. Grupování dílčích výsledků výpočtu. Paralelizace výpočtu - výpočet probíhá současně na několika procesorech. Kombinace uvedených optimalizačních postupů. Optimalizační techniky v metodě POPV 2 / 29
Grupování vstupních proměnlivých veličin Nechť je B = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 + + A N přičemž v každém histogramu je n tříd (např. n = 256, N = 10). Při uvážení všech možných kombinací je Stejný výsledek lze získat postupným sčítáním vždy dvou histogramů. Pak je a poměr P 0 = n N = 256 10 = 1,20893.10 24 P * 0 = ( N 1 ) n 2 = 9,256 2 = 589824 P * 0 / P 0 = ( N 1 ) n (N 2) = 9,256-8 = 4,87891.10-19 Pokud je vytváření společných histogramů grupování korektní, jedná se o velmi racionální postup. Optimalizační techniky v metodě POPV 3 / 29
Výpočet kombinace zatížení Např.: S = N Ed =80.DL 293,5.LL 80.SL 70.WIN 40.SN Program ProbCalc Optimalizační techniky v metodě POPV 4 / 29
Grupy vstupních veličin Např. variabilní průřezová plocha A var : A var A nom. ( 1 2. ) Grupování proměnných Program ProbCalc Optimalizační techniky v metodě POPV 5 / 29
Intervalová optimalizace Smyslem intervalové optimalizace je minimalizovat počet tříd v histogramech snížit tím počet operací a minimalizovat dobu výpočtu Podmínkou je zachování dostatečné přesnosti výsledků řešení. Pravděpodobnost poruchy P f - MS použitelnosti Pravděpodobnost poruchy P f - MS únosnosti 0,076000 0,000014 0,066000 0,000012 P f 0,000010 P f 0,056000 0,000008 0,046000 0,000006 0,036000 0,000004 256 128 64 32 16 Počet intervalů bočního zatížení 8 256 128 64 32 16 Počet intervalů bočního zatížení 8 Postačující počet tříd (intervalů) histogramu Postačující počet tříd (intervalů) histogramu Optimalizační techniky v metodě POPV 6 / 29
Využití intervalové optimalizace Pravděpodobnostní posouzení spolehlivosti sloupu l 6 m průřez HEB 300 z oceli S235 E 2,1. 10 11 Pa počáteční imperfekce a +/- 30 mm Zatížení Typ Návrhová hodnota [kn] D Stálé 350 L S Dlouhodobé nahodilé Krátkodobé nahodilé 75 75 W Vítr 40 1 20 500 20 EQ Zemětřesení. D L S 25 Optimalizační techniky v metodě POPV 7 / 29
Popis matematického modelu pravděpodobnostního výpočtu Výpočet maximálního vodorovného přemístění dle teorie II. řádu s uvažováním vlivu počátečních imperfekcí: a W EQ. F tan l. l K F l. K l. kde Ohybový moment v kritickém průřezu: F EI F EI 1 M 1.( K K) F Normálové napětí v krajních vláknech: M W F A.(1 K) F( K. W 1 ) A Optimalizační techniky v metodě POPV 8 / 29
Popis funkce spolehlivosti Mezní stav únosnosti RF R S R odolnost konstrukce napětí na mezi kluzu f y Q účinek zatížení normálové napětí v krajních vláknech Mezní stav použitelnosti RF tol tol odolnost konstrukce povolená max. deformace (35 mm) účinek zatížení maximální vodorovné přetvoření sloupu Výpočet obsahuje 8 variabilních veličin: 5 složek zatížení proměnnost průřezu vlivem možného pod a převálcování počáteční imperfekce ve sloupu napětí na mezi kluzu f y Optimalizační techniky v metodě POPV 9 / 29
Grupování vstupních proměnných Optimalizační techniky v metodě POPV 10 / 29
Intervalová optimalizace Průběh intervalové optimalizace v programu ProbCalc Optimalizační techniky v metodě POPV 11 / 29
Snižování počtu tříd v histogramech vstupních veličin Citlivostní analýza Kombinace bočních zatížení W+EQ Vliv na pravděpodobnost poruchy je vysoká. Optimalizační techniky v metodě POPV 12 / 29
Snižování počtu tříd v histogramech vstupních veličin Citlivostní analýza Kombinace bočních zatížení D+L +S Vliv na pravděpodobnost poruchy je nízká. Optimalizační techniky v metodě POPV 13 / 29
Vyloučení nepodstatných intervalů histogramů vstupních veličin Každý histogram se rozdělí na zóny, které se na vzniku pravděpodobnosti poruchy p f při všech možných hodnotách v ostatních histogramech: 1.zóna podílejí vždy 2.zóna mohou a nemusí podílet 3.zóna nepodílejí nikdy Znalost zón umožňuje výpočet poruchy: p f p p f 1 f 2 p f =0 vždy p f2 pouze v některých případech p f1 vždy Optimalizační techniky v metodě POPV 14 / 29
Zónová analýza a optimalizace Zónová analýza kombinace bočních zatížení W+EQ Průběh zónové optimalizace v programu ProbCalc Optimalizační techniky v metodě POPV 15 / 29
Zónová analýza a optimalizace Zónová analýza kombinace bočních zatížení W+EQ p f nikdy Program ProbCalc p f někdy p f vždy Optimalizační techniky v metodě POPV 16 / 29
Zónová analýza a optimalizace Výsledek zónové analýzy pro různé kombinace bočních zatížení W+EQ Program ProbCalc Optimalizační techniky v metodě POPV 17 / 29
Vyloučení nepodstatných intervalů histogramů vstupních veličin Úprava základního výpočetního algoritmu metody POPV snížení výpočetních operací. Výpočet pravděpodobnosti poruchy se soustředí pouze na oblast jejího vzniku. Optimalizační techniky v metodě POPV 18 / 29
Zónová analýza a optimalizace Výsledný histogram funkce spolehlivosti RF metodou POPV při uplatnění zónové optimalizace - tzv. zkrácený histogram Z * Optimalizační techniky v metodě POPV 19 / 29
Trendová analýza a optimalizace Monotonní histogramy: Zóny v histogramech se mění jedním směrem. Např. pevnostní charakteristiky, vlastní tíha, průřezové charakteristiky Optimalizační techniky v metodě POPV 20 / 29
Trendová analýza a optimalizace Nemonotonní histogramy: Zóny v histogramech se nemění pouze jedním směrem, Histogramy mají minimálně dvě stejné zóny, Např. zatížení větrem, zemětřesením, výrobní a montážní nepřesnosti (imperfekce). Optimalizační techniky v metodě POPV 21 / 29
Trendová analýza a optimalizace Výsledný histogram funkce spolehlivosti RF metodou POPV při uplatnění trendové optimalizace - histogram Z ** Optimalizační techniky v metodě POPV 22 / 29
Grupování dílčích výsledků Je obdobou grupování vstupních veličin. Platí-li např.: RF = R f (A 1, A 2, A 3, A N ) pak je často výhodné provést samostatně výpočet S = f (A 1, A 2, A 3, A N ) a následně RF = R S Optimalizační techniky v metodě POPV 23 / 29
Paralelizace výpočtů a kombinace optimalizačních postupů Metoda POPV rovněž umožňuje: kombinovat uvedené optimalizační postupy, paralelizaci výpočtu (zatím odzkoušeno na počítačích se dvěma procesory). Optimalizační techniky v metodě POPV 24 / 29
Použitý optimalizační krok Počet intervalů v jednotlivých histogramech Počet výpočetních operací Pravděpodobnost poruchy P f (MS použitelnosti) Strojový čas (ipentium IV- 1,4 GHz) Bez optimalizace Zatížení (5x) 256, Průřez 10, Imperfekce 256, f y 236 N = 256 6.10.236 = = 6,6428. 10 17 0,050525496847 Výpočet nebyl proveden Grupování Zatížení (5x) 256, Průřez 10, Imperfekce 256, f y 236 N = N 1 + N 2 N 1 = 256 3.10.236 = = 39 594 229 760 N 2 = 3.256 2 = 196 608 0,050525496847 2:10 min Pouze intervaly, které se podílí na P f Zatížení (5x) 256, Průřez 10, Imperfekce 256, f y 236 N = N 1 + N 2 N 1 = 48.256 2.10.236 = = 7 423 918 080 N 2 = 3.256 2 + 256.3 4 = = 217 344 0,050557197200 0:20 min Snížení počtu intervalů Boční zatížení 256, svislé zatížení 16, Průřez 10, Imperfekce 16, f y 58 N = N 1 + N 2 N 1 = 256.16 2.10.58 = = 38 010 880 N 2 = 3.256 2 + cca 82 134 = = 278 742 0,050512025591 0:01 min Kombinace všech optimalizačních kroků Boční zatížení 256, svislé zatížení 16, Průřez 10, Imperfekce 16, f y 58 N = N 1 + N 2 N 1 = 48.16 2.10.58 = = 7 127 040 N 2 = 3.256 2 + 256.3 4 + cca 82 134 = 299 478 0,050526061100 0:00 min Optimalizační techniky v metodě POPV 25 / 29
Porovnání výpočetní náročnosti 1,E+24 1,E+20 6,64E+17 Počet výpočetních operací v závislosti na použité optimalizaci 1,E+16 1,E+12 1,E+08 3,96E+10 7,42E+09 3,83E+07 7,43E+06 1,E+04 1,E+00 a b c d e Optimalizační techniky v metodě POPV 26 / 29
Kombinace optimalizačních postupů Doporučená posloupnost optimalizačních postupů v programu ProbCalc: 1. Grupování, které se doporučuje použít podle možností vždy, 2. Intervalová optimalizace - doporučuje se minimalizovat počet tříd histogramů zejména při odlaďování algoritmu výpočtu, následně pak počet tříd histogramů optimalizovat pro dosažení korektního výsledku, 3. Ostatní optimalizační postupy, které se mohou použít podle možností a složitosti úlohy. Důležitý faktor způsob definování výpočetního modelu! Optimalizační techniky v metodě POPV 27 / 29
Ukázka pravděpodobnostního posouzení spolehlivosti Ukázka dvou odlišných přístupů k zadání matematického modelu pravděpodobnostního výpočtu Funkce spolehlivosti RF = ( R E ) Statické schéma ohýbaného nosníku Odolnost konstrukce R= M Rd W nom. ( 1 3. ). f y Účinek zatížení S = M Ed =2,1.DL 3,5.LL l = 6 m Optimalizační techniky v metodě POPV 28 / 29
Závěry Přednáška: byla zaměřena na pokročilejší techniky výpočtu nově vyvíjené pravděpodobnostní metody Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu POPV, které umožňují snížení výpočetních operací při zachování korektnosti řešení, demonstrovala teoretické pozadí optimalizačních kroků metody POPV na ukázkách, ukázala doporučené posloupnosti optimalizačních postupů a nejvhodnější způsob definování výpočetního modelu v programu ProbCalc. Závěry 29 / 29
Děkuji za pozornost!