1.3.7 Trojúhení Předpoady: 010306 Př. 1: Narýsuj tři body,,, teré neeží na přímce. Narýsuj všechny úsečy určené těmito třemi body. Jaý útvar vznine? Zísai jsme trojúhení. Ja přiše trojúhení e svému jménu? Má tři vrchoy (,, ), tři strany (a, b, c) a taé tři úhy ( α, β, γ ). b a c Každá strana trojúhenía může být označována dvěma způsoby: přímo nebo pomocí vrchoů. Často taé zaměňujeme označení strany a její déy, píšeme tedy a =, c =, ). Písmena řecé abecedy se používají označení úhů, aby byo ihned zřejmé, že označujeme úhy a ne vrchoy. V matematice nejčastěji používaná řecá písmena: α - afa β - beta γ - gama δ - deta ε - epsion ϕ - fí ω - omega Obvod trojúhenía je součet dée jeho stran: o = a + b + c. 1
Př. 2: Narýsuj trojúhení, de patí = 6cm, = 5cm, = 4cm postup onstruce. Jaý je jeho obvod?. Zapiš 1., = 6cm 2. ( ;4cm) 3. ( ;5cm) 4. - spoečný bod ružnic, 5. trojúhení Obvod: o = a + b + c = 6 + 5 + 4 cm = 15cm. Př. 3: Pro trojúhení patí: = c = 6cm, = b = 2cm. Může strana mít ibovonou veiost nebo je její možná déa nějaým způsobem omezena? Nejdříve si situaci představ, pa svůj názor ověř rýsováním (pous se trojúhení narýsovat). Strana může být ratší než strana :. Poud se strany a mají potat, musí být dohromady deší než strana strana musí být deší než 4 cm. Strana může být deší než strana :. Poud se strany a mají potat, musí být strany a dohromady deší než strana strana musí být ratší než 8 cm. strana musí být deší než 4 cm a ratší než 8 cm. Odhad můžeme ověřit i onstrucí, terá je stejná jao v předchozím příadu. 2
Červeně jsou nareseny obě hraniční již špatné možnosti. Pedagogicá poznáma: Většina žáů začne rovnou rýsovat. Není to na závadu, e správnému vyřešení příad si stejně musí zejména představovat. Minimáně u něterých žáů bude součástí disuse i vyjasňování to, že 4,1 cm a víc není to samé jao víc než 4 cm. Pedagogicá poznáma: Část žáů vytasí rovnou trojúheníovou nerovnost. V tomto oamžiu ji neřešíme, jde o to, aby žáci rozmysei možné hodnoty samostatně, bez použití nějaého pravida. Naše zjištění si můžeme snadno ozoušet pomocí modeu v programu pro dynamicou geometrii GEOGER. Pedagogicá poznáma: Mode si ve třídě uazujeme a žáům se vemi íbí. Ne vša jao pomůcy pro řešení, ae jao potvrzení hotových závěrů. Tato poznáma patí obecně, používání modeů v podobných situacích, dy si žáci mají sami něco představit, vede tomu, že si nepředstavují nic a čeají, až jim řešení uáže počítač. Je třeba si uvědomit, že nemůžete dosáhnout žádného porou bez samostatné námahy a poud námahu přenecháte počítači, nezísáte romě výsedu nic. Př. 4: Narýsuj rovnoramenný trojúhení KLM, ta aby jeho obvod by 15 cm a rameno bya dvarát deší než záadna LM. Než začneme rýsovat, musíme určit déy stran. Rovnoramenný trojúhení má dvě ramena, aždé je dvarát deší než záadna rozděíme obvod na pět díů: 15 :5 = 3 patí: LM = 3, KM = KL = 6cm. 3
K L M 1. LM, LM = 3cm 2. ( L ;6cm) 3. ( M ;6cm) 4. K - spoečný bod ružnic, 5. trojúhení KLM Př. 5: Prohédni si trojúhení na obrázu a odhadni veiost strany. Narýsuj trojúhení, změř veiost strany a porovnej ji se svým odhadem. Zapiš postup onstruce. 4 cm 3 cm p 1., = 4cm 2. p, příma omá na, procházející bodem ;3cm 3. ( ) 4. - spoečný body ružnice a přímy p 5. trojúhení 4
Déa strany je 5 cm. Pedagogicá poznáma: Správnou déu strany si říáme a používáme ji e ontroe správnosti rýsování. Př. 6: Narýsuj rovnoramenný pravoúhý trojúhení s déou ramene 3 cm. Záadnu zonstruovaného trojúheníu využij jao rameno pro onstruci dašího rovnoramenného pravoúhého trojúheníu. Změř déu záadny druhého zonstruovaného trojúheníu. q D p 1., = 3cm 2. p, příma omá na, procházející bodem ;3cm 3. ( ) 4. - spoečný body ružnice a přímy p 5. trojúhení 6. q, příma omá na, procházející bodem 7. ( ; ) 8. D - spoečný body ružnice a přímy q 9. trojúhení D Déa záadny trojúheníu D (strany ) je 6 cm. Pedagogicá poznáma: Jména vrchoů nejsou v příadu uvedena záměrně, žáci si je mají zvoit pode ibosti. Př. 7: Pous se najít jiný pravoúhý trojúhení s ceočísenými stranami (využij mode připravený v programu Geogebra). Pedagogicá poznáma: Posední příad je pouze úoem pro zamyšení pro nejepší žáy. Je možné zafixovat obraz z projetoru na zadání příadů pro třídu a ty nejrychejší pustit učitesému počítači, de si mohou hrát s modeem. Jde určitě o přípravu na Pythagorovu větu, ae v tomto oamžiu to nerozvíjíme dáe. 5
Shrnutí: 6