Žeezniční přechodnice Kubicá paaboa Největšího ozšíření jao přechodnice dosáha ubicá paaboa, navžená němecým geodetem a matematiem F. Hemetem ). Jsou-

Transkript

1 Označování použitých matematicých veičin c n d - integační onstanty - déa subtangenty - vzepětí užnice - řivost ovinné řivy - déa přechodnice po tečně - déa přechodnice v ose m - odsun osuační užnice v oncovém bodě přechodnice od záadní tečny (osy ) n - součinite podéného sonu p - převýšení [mm] - poomě užnice - poomě řivosti v oncovém bodě přechodnice - poomě řivosti v bodě řivy s - obecná déa řivy v - ychost [m/h] s - vzdáenost půmětu středu osuační užnice do záadní tečny od počátu přechodnice y - y-nová pořadnice oncového bodu přechodnice y - pvní deivace unce y - duhá deivace unce β - úhe tečny v ibovoném bodě řivy s osou γ - opavný součinite řivosti λ - středový úhe přechodnice ω - paamet po vytyčení pode Hoáa

2 Žeezniční přechodnice Kubicá paaboa Největšího ozšíření jao přechodnice dosáha ubicá paaboa, navžená němecým geodetem a matematiem F. Hemetem ). Jsou-i a y pořadnice ibovoného bodu v soustavě pavoúhých souřadnic s počátem v začátu přechodnice, potom se osa ztotožňuje s tečnou přechodnici v tomto bodě. Při odvození ovnice ubicé paaboy se vychází jedna z předpoadu, že převýšení ve vzestupnici vzůstá ineáně a déa vzestupnice se ovná déce přechodnice [ob..]. Je třeba vša připomenout, že u žeeznic ozumíme déou přechodnice déu půmětu přechodnice do osy ztotožněné s tečnou v počátečním bodě přechodnice. To je po případ, teý potřebujeme po odvození ovnice přechodnice. Obecně ozumíme déou přechodnice déu půmětu přechodnice do tečny přechodnici v jejím počátečním bodě. Nesmíme vša zapomenout, že na onci výpočtů je třeba vypočítat ještě déu přechodnice v ose. Tím nám ve výpočtech iguují dvě déy přechodnice, teé v této páci ozišíme tato: déa půmětu přechodnice - déa přechodnice v ose (sutečná déa řivy). Pode ob.. tedy patí:....

3 ob..

4 Potřebujeme zjistit obecný vztah po poomě řivosti ovinné řivy. Křivost je vastně ychost, se teou se mění (otáčí se tečna e řivce), ob... ob.. Po užnici patí: (ob...) ob.. ds dϕ.4. p dϕ im ds ds dϕ im dϕ dϕ.5. Tím byo doázáno, že řivost užnice je onstantní a ovná se převácené hodnotě pooměu. Poto pode ob... dáe patí: Posedního výsedu ze užít výpočtu řivosti u řivy dané ovnicí y () (ob..4.)

5 ob..4 ob..5 Můžeme učit užnici (tzv. osuační užnici), teá je oání apoimací unce (). Rovnice této užnice je: ( m) + ( y n).8.

6 Potíž je v tom, že užnice není gaem žádné unce. Chceme-i vša použít výsedů dieenciáního počtu, musíme užnici sožit z honí a doní pooužnice. Honí pooužnice je gaem unce: G ( ) n+ ( ).9. m Doní pooužnice je gaem unce: G ( ) n ( ).. m Požadave oání apoimace je: ( ) ( ) G... ( ) ( ) G... ( ) ( ) G... Tato je jednoznačně učena soustava tří ovnic, z nichž můžeme učit neznámé m, n,. Patí: ( m) ( m) G ( ).. G ( ).. ( m) Dosazením patí: (použijeme G ) ( m) ( ) n ( m) ( ).4.. ( m) ( m) ( ).4.. dosadíme do.4.. a dostaneme: ( ) [ ( ) n] m.5.

7 Potože bod [, ( )] eží na adné užnici, patí: ( m) + [ ( ) n].6. dosadíme-i.4.. dostáváme dáe: + ( ) [ ( ) n] + [ ( ) n] [ ( ) n] ( ) ( ) n ( ) ( ) dáe: + ( ) ( ) n ( ).9. a odtud: ( ) ( ) + n ( ) +.. dosazením do.5. potom: ( ) ( ) + m ( ).. Dosazením do.6. zísáme: ( + ( ) ) ( ) ( ) ( + ( ) ) ( ) úpavou: ( + ( ) ) ( o ) + ( + ( ) ) ( ).. taže y.. ( + y )

8 Duhý případ je anaogicý, dostáváme pouze ve jmenovatei znaméno mínus. Chceme-i, aby se odstředivá sía (její veiost) měnia spojitě, musí se spojitě měnit duhá deivace. Z toho je zřejmé, že neze spojit přímu s užnicí, potože diagam řivosti je nespojitý. (ob..6.) ob..6 Přechodnice musí být řiva začínající bodem s nuovou řivostí (inením bodem). Jeiož jde o řivu, teá obací ose svou vypuou část, patí v čitatei znaména pus a výaz můžeme psát ve omě: dy + d + dy d d.4. d y d y d d dáe patí: ds + d dy.5. Žeezniční přechodnice jsou řivy vemi poché a poto ze poožit: ds d ds d.6.

9 dosazením do.4. dostáváme: ds d d.7. d y d y d y d d Zjednodušení pode.5. a.6. navh po ubicou paabou oncem ou 867 Noding a výaz.7 ze tedy psát ve tvau: y.8. Zjednodušení pode.5. a.6. a výaz.8. vypývající z tohoto zjednodušení je patný po odvození všech přechodnic (mimo otoidu) a v daší části této páce se na něj budeme často odvoávat. Toto zjednodušení s sebou samozřejmě nese chybu, teou budeme muset ve výsedných ovnicích odstanit použitím opavného součinitee. Pode ob... patí:.9. dosazením do ovnice.8. dostáváme: y.. integací dostáváme: y + C.. daší integací dostáváme: y + C+ C.. 6 Potože jsme počáte souřadných os voii totožný s počátem přechodnice a tečnu přechodnici v jejím počátečním bodě totožnou s osou patí násedující podmíny:, y, y

10 Z těchto podmíne vypývá, že integační onstanty musí být ovny nue, tedy: C, C a ovnice.. nabývá tva: y.. 6 Dáe je třeba vypočítat jednotivé vytyčovací pvy přechodnice. Potřebné je vša upřesnit označování jednotivých vytyčovacích pvů, potože symboy vžité v matematice mají v žeezničním staviteství jiný význam. Poto budeme y-novou souřadnici v oncovém bodě označovat y namísto vžitého u žeeznic. Symbo by již na začátu páce užit po označení řivosti. Po výaz.. nabývá tvau: y tím jsme obdžei výaz po výpočet y-nové souřadnice v oncovém bodě přechodnice. Tečna přechodnici v ibovoném bodě je dána: y.5.. což můžeme napsat jao: tgβ.5.. Pode ob... ze taé psát: y tgβ.6. d potom: y d.7. a dosazením z výazu.4. dostáváme: d.8.

11 Tím jsme doázai vemi důežitou vastnost ubicé paaboy, že po a y y je déa subtangenty ovna třetině déy přechodnice. Tečna přechodnici v jejím oncovém bodě se ztotožňuje s tečnou v počátečním bodě násedujícího užnicového obouu. Úhe, teý tato tečna svíá s tečnou v počátečním bodě přechodnice a v našem případě i s osou, označujeme λ. Patí: y tgλ 6.9. Potože úhe λ je vemi maý, v pai se obvye poádá: tg λ sinλ.4. a z toho taé vypývá daší důežitá sutečnost, že půmět středu osuační užnice v oncovém bodě přechodnice do tečny v počátečním bodě přechodnice půí déu přechodnice. Pode ob... ze psát: sinλ Odsazení užnicového obouu od tečny v počátečním bodě přechodnice: ( ) m y + cosλ y cosλ.44.

12 V pai se nědy používá výpočet m z y a ze vzepětí, de po patí pode ob..7.: 4 ob potože je opoti vemi maé zanedbáváme. Potom: a pode obázu.7. patí: y m y Zbývá ještě učit déu přechodnice v ose, tuto déu označujeme. Jde vastně o učení ovinné čáy s pomocí dieenciáního počtu. Přechodnice tvau ubicé paaboy je z důvodu přímové vzestupnice ovinnou řivou. Přechodnice eží vastně v ovině svíající s půdoysnou úhe, teý je oven stoupání vzestupnice. Totéž patí i o otoidě. O ostatních přechodnicích, o teých bude ještě zmína, toto jednoznačně nepatí. Uvažujeme-i

13 maimání převýšení 5 mm a sutečnost, že v ose oeje se tato hodnota změní na 75 mm, je v déce přechodnice možno všechny přechodnice považovat za ovinné řivy. Potom pode ob..8.: ob..8 Patí: ( y( )) M.49.., ( y( ) ) [( y( ) y( )) ( d ) ] M,.49.., +.5. Pode Lagangeovy věty patí: y ( ) y( ) y ( α ) d.5. de α je číso z intevau [ -, ], potom: [ + ( y ( )) ] ( d ), α.5., ( y ( ) ) d + α.5. déa ceé omené čáy bude tedy: n n ( y ( )) + α d.54. Přistoupíme-i nyní imitě po spojitosti unce ( y ( )) n, přičemž všechny, pa vzhedem e ϕ +.55.

14 dostáváme: ( y( ) ) im + n d.56. n potom déa přechodnice v ose bude: y y 4 potom: 4 + d voíme: 4 A a ozvedeme v řadu A je zřejmé, že třetí čen je již možno zanedbat. Potom úpavou: 4 5 d C Tím jsme učii všechny pvy potřebné po vytyčení přechodnice (omě podobných bodů). Bohuže, při odvozování jsme použii zjednodušení, teé má za násede nepřesnost ve vztahu: p a tato nepřesnost oste se vzůstajícím úhem λ.

15 Spávnou řivost ze vypočítat dosazením ovnice přechodnice do dříve odvozeného vztahu po řivost.. y 6 y tgλ y, y cos λ.6. + tg λ cos λ Počítáme-i přechodnici po menší poomě:.64. cos λ dosáhneme ve styčném bodě přechodnice s užnicovým obouem shodných řivostí. V pai se vša zavádí výaz: γ cos λ cosλ de γ je opavný součinite řivosti. Zavedení opavného součinitee ovivní jednotivé vytyčovací pvy tato: yγ y γ ( cosλ) m y.67. o + γ Výpočet a vytyčení přechodnice pode uvedených vzoců usnadňuje tzv. Báhův způsob, u teého se potřebné hodnoty vypočítají z dané déy přechodnice a pooměu užnicového obouu.

16 tgλ sin λ.69. sinλ sinλ po dosazení do původních vzoců s opavným součiniteem: za a γ nabývají vzoce cosλ nových tvaů: y γ tgλ 6.7. ( cosλ) m y beze změny.7. tgλ y γ y o + γ + tg λ Uvedený způsob výpočtu ztabeova auto této páce za použití samočinného počítače MINSK a tabeované hodnoty vyšy tisem jao součást vysoošosého učebního tetu autoů Havíř, Víte, Puchí Pojetování a geometie žeezniční tasy (tabuy) v SNTL 975. Nědy se používá způsob výpočtu a vytyčení ubicé paaboy pode Ing. Hoáa, zaožený na sutečnosti, že přechodnice je po stejnou taťovou ychost, stejný součinite sonitosti n a po převýšení pode vzoce: c onst. cv p.76. po všechny pooměy navazujících užnicových obouů jedinou a stáe stejnou řivou.

17 Patí tedy: L M L M L i i n p n p n p i n c v n c v n c v i.77. potom je zřejmé, že: KKK i i ω.78. ω onst. Jednotnost řivy přechodnice tvoří záad tabeání soustavy, ve teé jsou vyčíseny záadní i vytyčovací hodnoty přechodnice po jednotivé pooměy užnicových obouů a to pode odstupňovaných hodnot paametu ω. V současné době je použití jaéhooiv tabeáního zpacování ubicé paaboy podstatně zdouhavější, než přímý výpočet pomocí apesních auátoů. Navíc napříad pogamovatené auátoy, teých je v současné době obovsé množství ůzných typů, nabízejí po přímý a opaovaný výpočet nebývaé možnosti. Abychom vša pobai nejběžnější možnosti vytyčení opaveného tvau přechodnice ubicé paaboy, musíme se zmínit o tzv. Hemetově způsobu vytyčení. Pode tohoto způsobu se nejpve pvní poovina přechodnice vytyčí obvyým způsobem od začátu přechodnice a duhá poovina se naopa vytyčí od začátu odsunutého užnicového obouu. Obě vytyčené pooviny se setají ve spoečném bodě, de se tečny obou stýajících se řive nepatně iší. Posední způsob pode Schamma se používá u němecých spoových dah. Je při něm nutno dosadit do vzoce ubicé paaboy.. místo upavená hodnota: [ +,484 ].79. a tím se dosáhne stejné řivosti osuační užnice v oncovém bodě přechodnice a řivosti navazujícího užnicového obouu.