8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

Transkript

1 8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají proto je to docela baví. Při řešeí příladů dojde velému rozptylu v postupu, zatímco s ejpomalejší částí třídy jsme zvládli pouze prví čtyři přílady, pravidelý účastí matematicé olympiády měl všecho hotové a zbylo mu deset miut vola. Poud je posloupost zadáa apřílad tato: ) = -tý čle. + říáme, že je určea vzorcem pro Př. : Rozhodi zda výpis i vzorec pro -tý čle udávají stejou posloupost. a) ;;4;8;6;3 ) = b) 3;6;9;; 3 ) = c) ; ; ; ; ) = Vypíšu si aždou posloupost ještě jedo pomocí vzorce pro -tý čle a porovám s výpisem ze zadáí: a) ;;4;8;6;3 ;4;8;6;3 = = Výpis a vzorec udávají růzé poslouposti. b) 3;6;9;; 3 = = 3; 6;9;; Výpis i vzorec udávají stejou posloupost. c) ; ; ; ; Výpis i vzorec udávají stejou posloupost. = ; ; ; ; = Pedagogicá pozáma: Předchozí přílad eí zbytečý. S téměř stoprocetí jistotou je možé očeávat, že se ajde ěoli taových, teří ebudou schopi přílad vyřešit, protože od miulé hodiy vůbec eví, co zápisy typu 3 ) zameají. = vlastě Př. : Napiš prvích pět čleů ásledujících posloupostí: a) + ) 8 = 3 = 3 b)

2 a) ) 8 = c) ) 4 3 d) si π = = + = 3;;7;9;;... 3 = ; ;;3;9;... = b) c) ) 4 3 = 4; 3;0; více čleů posloupost emá = d) si π = ;0; ;0;;... = Pedagogicá pozáma: Následující přílad je potřeba v dalších hodiách, dy je potřeba romě orétích čísel dosazovat do vzorců pro -tý čle i proměé. Př. 3: Pro zadaé poslouposti urči čley a + a) + b) [ ] = ) + =. a) + a a b) = = + = + 4 = = ) ) + + = = ) ) 4 = =, + ) ) ) ) = = = + + ) + = + = + + = ) ) ) ) ) a = +, a = + a+ 4 3 a a = + = Než začeme hledat vzorce pro poslouposti ěoli rad, ja postupovat: vyplatí se projít poslouposti z předchozích příladů a sledovat, ja souvisí čísla poslouposti s jejím vzorce třeba čle ) způsobuje přesaováí hodot

3 eí uté sestavovat vzorec z jedé vodyopa v obtížějších případech je lepší zoumat a popisovat vzorcem postupě je ěteré rysy poslouposti a pa je dávat dohromady avržeý vzorec je dobré vyzoušet dosazeím, poud dosazeí evyjdele zísaá čísla se od zadaé poslouposti liší pouze tím, že ěterá přebývají ebo chybí, je dobré hledat úpravu vzorce porováím prvího čleu posloupost a prvího čleu ze zoušeého vzorce vzájemý vztah sousedících čleů může pomoci při alezeí vzorce apřílad fat, že všechy čley poslouposti se liší o 3 zameá, že vyjádřeí čleů bude určitě uté použít výraz 3, přesto může být v ěterých situacích zavádějící, protože vzorec vyjadřuje závislost čleu poslouposti a jeho pořadí v řadě a e sousedících čleech. Sledovat tyto závislosti je proto výhodější. Z téhož důvodu ědy pomáhá saha vyjádřit všechy čley poslouposti pomocí prvího čleu a čísla. Př. 4: K výpisům ásledujících eoečých posloupostí apiš další tři čley a pa je zapiš pomocí vzorce pro -tý čle: a) ;4;6;8;0;... b) ; 3 ; 4 ; ; 6 ; ;;; ;... c) d) ; ;; ;... a) ;4;6;8;0;;4;6;... Posloupost tvoří sudá čísla, tedy čísla, terá jsou apsat jao = ;4;6;8;0;... = b) ; ; ; ; ; ; ; ; Postřeh: v čitateli je vždy číslo o větší ež ve jmeovateli možost ezísal hed prví čle pro = musí být čitatel i jmeovat o větší le ta bych = c) ;;; ; ; ; ;... 6 Každý další čle poslouposti je pětrát meší ež předchozí ve jmeovateli jsou mociy pěti pro posloupost ; ; ; ;... by platil vzorec 6 začátu poslouposti číslo 3 = vzorec: = ) = = =, místo je a d) ; ;; ;; ;; ;;... 3

4 střídá se a zřejmě jde o mociy ), pro = vzorec evychází, potřebujibych = umocňoval ) a sudou mociu ) pro + = Pedagogicá pozáma: Je samozřejmé možé ajít jié způsoby, ja zdůvodit odvozeé vzorce. Napřílad u druhého příladu můžeme sledovat pouze čitatele zlomů + a pa jmeovatele + dohromady + + =. Př. : Napiš pomocí vzorce pro -tý čle: a) posloupost všech přirozeých ásobů pěti b) posloupost všech přirozeých lichých čísel c) posloupost všech přirozeých čísel, teré po děleí čtyřmi dávají zbyte tři a) posloupost všech přirozeých ásobů pěti jde o posloupost ;0;;0;... čísla, terá jdou apsat jao posloupost ) = b) posloupost všech přirozeých lichých čísel jde o posloupost ;3;;7;9;... čísla, terá jdou apsat jao + mohla by to být posloupost = + le její prví čle je 3 e ze vzorce + musím odečíst jde o posloupost ) = c) posloupost všech přirozeých čísel, teré po děleí čtyřmi dávají zbyte tři jde o čísla 3;7;;;9;... čísla, terá jdou apsat jao 4 + 3, stejě jao v předchozím případěle ejde o posloupost = 4 posloupost ) = 4 + 3, protože by začíala číslem 7 jde o Př. 6: Vyjádři ásledující eoečé poslouposti pomocí vzorce pro -tý čle: a) ;4;9;6;;... b) ; ; 8; ; 4;... c) ; 3;9; 7;8;... d) 3;8; 3;8; 3; 8;... e) 3;6;;4;48;... f) 3;0;; ; 7; 4;9; 6;;... a) ;4;9;6;;... = jde o posloupost druhých moci přirozeých čísel b) ; ; 8; ; 4;... čísla se liší o tři, vždy jde o číslo o jeda meší ež ásobe tří 3 poslouposti jsou záporé [ 3 ] ) = 3) = c) ; 3;9; 7;8;... =, všechy čley aždý čle poslouposti je třirát větší ež jeho předchůdce jde o mociy tří 3, tato posloupost by ale začíala trojou 3, teď ještě zohledím střídáí zamée, střídáí 4

5 zamée způsobuje výraz ), opět ho musím upravitby pro = vyšlo ladé číslo + ) = ), dám obě části dohromady: 3 = 3) [ ] 3 = d) 3;8; 3;8; 3; 8;... zapomeeme a zaméa čísla se liší o, vždy jsou o meší ež ásobe pěti, střídáí zamée zajistí čle ) [ ] [ ] = e) 3;6;;4;48;... aždý čle je dvarát větší ež jeho předchůdce zusíme čley apsat pomocí moci ) 3 dvou: 3 ;3 ;3 ;3 ;... 3 = f) 3;0;; ; 7; 4;9; 6;;... posloupost je složea ze dvou částí jeda část je rostoucíždé číslo je o dva větší ež předchozí jao bych přičítal ;3;;... druhá část je lesajícíždé číslo je o dva meší ež předchozí jao bych odečítal ; 4; 6;... zusím rozepsat čísla v poslouposti: 3 = + ;0 = ; = + 3; = 4;... + [ ] = Př. 7: Petáová: straa 66/cvičeí b) d) straa 66/cvičeí b) c) d) straa 66/cvičeí 3 b) c) f) Shrutí: