Obsah 6. tereometrie... 95 6.1 Polohové úlohy... 95 6.1.1 Řezy těles... 95 6.1. Průnik přímky s rovinou... 94 6.1. Průnik přímky s povrchem tělesa... 947 6. Metrické úlohy... 951 6..1 Vzdálenost dvou bodů... 951 6.. Vzdálenost bodu od přímky... 96 6.. Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek... 98 6..4 Vzdálenost bodu od roviny... 994 6..5 Odchylka dvou přímek... 999 6..6 Odchylka přímky od roviny... 1006 6. Objemy a povrchy těles... 1011 6..1 Krychle... 1011 6.. Kvádr, hranol... 101 6.. Válec... 101 6..4 Kužel... 109 6..5 Komolý kužel... 104 6..6 Jehlan, komolý jehlan... 1046 6..7 Koule a její části... 105 6..8 Komplexní úlohy... 1064 tránka 94
6. tereometrie 6.1 Polohové úlohy 6.1.1 Řezy těles 1. estrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM podle následujícího zadání: a) c) b) d) a) b) tránka 95
c) d). estrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM podle následujícího zadání: a) c) b) d) tránka 96
a) b) c) d) tránka 97
. estrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM podle následujícího zadání: a) c) b) d) a) b) tránka 98
c) d) 4. estrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM podle následujícího zadání: a) c) b) d) tránka 99
a) b) c) d) tránka 90
5. estrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM podle následujícího zadání: a) c) b) d) a) b) tránka 91
c) d) 6. estrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM podle následujícího zadání: a) c) b) d) tránka 9
a) b) c) d) tránka 9
7. estrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM podle následujícího zadání: a) c) b) d) a) b) tránka 94
c) d) 8. estrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM podle následujícího zadání: a) c) b) d) tránka 95
a) b) c) d) tránka 96
9. estrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM podle následujícího zadání: a) c) b) d) a) b) tránka 97
c) d) 10. estrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM podle následujícího zadání: a) c) b) d) tránka 98
a) b) c) d) tránka 99
11. estrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM podle následujícího zadání: a) c) b) d) a) b) tránka 940
c) d) tránka 941
6.1. Průnik přímky s rovinou 1. Je dána krychle ABCDEFGH. estrojte průsečík: a) Přímky AH BF rovinou ACH b) Přímky FD rovinou ACH c) Přímky FG BD rovinou AB CG d) Přímky A CG rovinou BC CD G a) Přímka AH BF leží v rovině ABG Průsečnice rovinabg a ACH je přímka AH Přímka AH BF protíná průsečnici těchto rovin v bodě AH, který je tedy průsečíkem přímky AH BF a roviny ACH b) Přímka FD leží v rovině BFH Průsečnice rovin BFH a ACH je přímka BD H Přímka FD protíná průsečnici těchto rovin v bodě P, který je tedy průsečíkem přímky FD a roviny ACH c) Přímka FG BD leží v rovině BC FG EH Průsečnice rovin BC FG EH a AB CG je přímka KL Přímka FG BD protíná průsečnici těchto rovin v bodě P, který je průsečíkem přímky FG BD a roviny AB CG tránka 94
d) Přímka A CG leží v rovině ACG Průsečnice rovin BC CD G a ACG je přímka KG Přímka A CG protíná průsečnici těchto rovin v bodě P, který je průsečíkem přímky A CG a roviny ACG. Je dána krychle ABCDEFGH. estrojte průsečík roviny a přímky podle obrázku: a) BH KLM c) ABGH KLM b) CE KLM d) AECG AKL a) Přímka BH leží v rovině DBF Průsečnice rovin KLM a DBF je přímka XY Přímka BH protíná průsečnici těchto rovin v bodě P, který je průsečíkem přímky BH a roviny DBF tránka 94
b) Přímka CE leží v rovině ACG Průsečnice rovin KLM a ACG je přímka XY Přímka CE protíná průsečnici těchto rovin v bodě P, který je průsečíkem přímky CE a roviny ACG c) Přímka AB GH leží v rovině AB CD GH Průsečnice rovin KLM a AB CD GH je přímka XY Přímka AB GH protíná průsečnici těchto rovin v bodě P, který je průsečíkem přímky AB GH a roviny AB CD GH d) Přímka AE CG leží v rovině ACG Průsečnice rovin ALM a ACG je přímka AX Přímka AB GH protíná průsečnici těchto rovin v bodě P, který je průsečíkem přímky AE CG a roviny ALM. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. estrojte průsečík roviny a přímky podle obrázku: a) AX DKV c) ABV KLM tránka 944
b) CX KLM d) AV AC KLM a) Přímka AX leží v rovině ACV Průsečnice rovin KDV a ACV je přímka V Přímka AX protíná průsečnici těchto rovin v bodě P, který je průsečíkem přímky AX a roviny KDV b) Přímka CX leží v rovině ACV Průsečnice rovin KLM a ACV je přímka KZ Přímka CX protíná průsečnici těchto rovin v bodě P, který je průsečíkem přímky CX a roviny KLM tránka 945
c) Přímka AB V leží v rovině DBV Průsečnice rovin KLM a DBV je přímka XY Přímka AB V protíná průsečnici těchto rovin v bodě P, který je průsečíkem přímky AB V a roviny KLM d) Přímka AV AC leží v rovině ACV Průsečnice rovin KLM a ACV je přímka XY Přímka AV AC protíná průsečnici těchto rovin v bodě P, který je průsečíkem přímky AV AC a roviny KLM tránka 946
6.1. Průnik přímky s povrchem tělesa 1. Je dána krychle ABCDEFGH. estrojte průsečík krychle a přímky XY podle zadání: a) c) b) d) a) Přímkou KL proložíme rovinu kolmou k rovině podstavy přímka KL protíná řez tělesa roviny v bodech XY, které jsou současně průsečíky této přímky s tělesem b) Přímkou KL proložíme rovinu kolmou k rovině podstavy přímka KL protíná řez tělesa roviny v bodech XY, které jsou současně průsečíky této přímky s tělesem tránka 947
c) Přímkou KL proložíme rovinu kolmou k rovině podstavy přímka KL protíná řez tělesa roviny v bodech XY, které jsou současně průsečíky této přímky s tělesem d) Přímkou KL proložíme rovinu kolmou k rovině podstavy přímka KL protíná řez tělesa roviny v bodech XY, které jsou současně průsečíky této přímky s tělesem. Je dán jehlan ABCDV estrojte průsečík jehlanu a přímky KL podle zadání: a) c) b) d) tránka 948
a) Přímkou KL proložíme rovinu kolmou k rovině podstavy přímka KL protíná řez tělesa roviny v bodech XK, které jsou současně průsečíky této přímky s tělesem b) Přímkou KL proložíme rovinu kolmou k rovině podstavy přímka KL protíná řez tělesa roviny v bodech XK, které jsou současně průsečíky této přímky s tělesem c) Přímkou KL proložíme rovinu kolmou k rovině podstavy přímka KL protíná řez tělesa roviny v bodech XL, které jsou současně průsečíky této přímky s tělesem tránka 949
d) Přímkou KL proložíme vhodnou rovinu přímka KL protíná řez tělesa roviny v bodech XY, které jsou současně průsečíky této přímky s tělesem tránka 950
6. Metrické úlohy 6..1 Vzdálenost dvou bodů 1. Je dána krychle ABCDEFGH, pro kterou platí AB = 5 cm. Vypočítejte vzdálenost daných bodů. a) FD b) B AE a) FD c) B DH d) B AH e) AH AB f) HB AD Velikost úsečky BD: BD AB AD BD 5 5 BD 50 5 cm Velikost úsečky FD: FD DH DB FD 5 5 FD 70 cm 8,4 cm b) B AE tránka 951
Velikost úsečky B AE : A B AE B AE AE 1 5,5 5,5 1, 5 cm 5,6 cm c) B DH Velikost úsečky BD: BD AB AD BD 5 5 BD 50 5 cm 7,1 cm Velikost úsečky B DH : B D DB B B DH DH DH DH,5 5 56,5 cm = 7,5 cm d) B AH tránka 95
Velikost úsečky AH: AH AB AD AH 5 5 AH 50 5 cm 7,1 cm Velikost úsečky B AH : B B B ADH AH AB AH AH 5 5 7,5 cm 6,1 cm e) AH AB Velikost úsečky AH: AH AB AD AH 5 5 AH 50 5 cm 7,1 cm Velikost úsečky AB AH : AB B B AH AH AH A AH AB 5,5 18, 75 cm 4, cm tránka 95
g) HB AD Bod BH je středem krychle, proto leží v rovině řezu krychle body AD BC EH Velikost úsečky AD BH : AD AD AD BH BH BH ADBC ADEH,5,5 1,5 cm,5 cm. Je dán kvádr ABCDEFGH, pro který platí AB = 4 cm, BC = 4 cm, AE = 6 cm. Vypočítejte vzdálenost daných bodů. a) BH c) D BF b) A BF d) A BG a) BH e) AB BG f) BG BC Velikost úsečky BD: BD AB AD BD 4 4 BD 4 cm 5,7 cm tránka 954
Velikost úsečky BH: BH BD DH BH 5 BH 57 cm 7,5 cm b) A BF Velikost úsečky A BF: A A BF BF A BF BF AB 4 5 5 cm c) D BF Velikost úsečky BD: BD AB AD BD 4 4 BD 4 cm 5,7 cm tránka 955
Velikost úsečky D BF : D D BF BF D BF BF BD 41 cm 6,4 cm d) A BG Velikost úsečky BG: BG BC CG BG 4 6 BG 5 7, cm Velikost úsečky A BG : A A A BG BG BG BG AB 5 4 9 cm 5,4 cm tránka 956
e) AB BG Velikost úsečky BG: BG BC CG BG 4 6 BG 5 7, cm Velikost úsečky A BG : AB AB AB BG BG BG AB BG 5 17 cm 4,1 cm tránka 957
f) AG BC Velikost úsečky AG BC : AG AG AG BC BC BC ADBC BCFG 1,6 cm. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, pro který platí AB = 4 cm, v = 5 cm. Vypočítejte vzdálenost daných bodů. a) AV b) V AB a) AV c) C AV d) B AV Velikost úsečky AC: AC AB BC AC 4 4 AC 5,7 cm tránka 958
Velikost úsečky AV: A AV A BG BG AC v 5 cm 5,7 cm b) V AB Velikost úsečky AC: V V AB CD AB v AB V AB 5 9 5,4 cm c) C AV Velikost úsečky AC: AC AB BC AC 4 4 AC 4 5,7 cm tránka 959
Velikost úsečky AV: AV AV AC v 5 AV cm 5,7 cm Úhel při vrcholu A tg v A AC 5 tg 1, 7678 4 60,5 AV AV C AV AC AC cos C C AV AV C AV 4 4 cos 60,5 8, 5 16 4,5 4,9 cm d) B AV tránka 960
Velikost úsečky AC: AC AB BC AC 4 4 AC 4 5,7 cm Velikost úsečky AV: AV AV AC v 5 AV cm 5,7 cm Velikost úsečky V AB V V AB AB V AB AB AV 9 5,4 cm Úhel při vrcholu A V tg A AB AB tg 9, 696 69,6 Velikost úsečky B AV AV AV B AV A AB A AB cos B B AV AV B AV cos69,6 4 8, 5 4 8,5,9 cm tránka 961
6.. Vzdálenost bodu od přímky 1. Je dána krychle ABCDEFGH, pro kterou platí AB = 5 cm. Vypočítejte vzdálenost daného bodu od dané přímky. a) B, EH b) B, FG c) B, DH a) B, EH d) B, AH e) B, EG f) C, BD g) A, EF BF h) C, AE BF i) G, E BF Velikost úsečky BE: BE AB AE BE 5 5 BE 50 7,1 cm b) B, FG Velikost úsečky BF: BF 5 cm tránka 96
c) B, DH Velikost úsečky BD: BD AB AD BD 5 5 BD 50 7,1 cm d) B, AH Velikost úsečky AB: AB 5 cm e) B, EG tránka 96
Velikost úsečky BE: Velikost úsečky B: EG GB BE BE AB AE BE 5 5 BE 50 7,1 cm BE GB BE 7,1 cm B BE AG BE 50 50 BE 7,5 6,1 cm f) C, BD Velikost úsečky BD: BD AB AD BD 5 5 BD 50 7,1 cm Velikost úsečky C: C BE DB CD 50 5 BE 1,5,5 cm tránka 964
g) A, EF BF Velikost úsečky AF: AF AB BF AF 5 5 AF 50 7,1 cm Velikost úsečky A: A A AF 4 50 5, cm 4 h) C, AE BF tránka 965
Velikost úsečky C BF : C BF AF BF BC 5,5 AF 1,5 5,6 cm i) G, E BF Velikost úsečky C BF : BF BFG FG BF BF G 5,5 G 1,5 5,6 cm. Je dán kvádr ABCDEFGH, pro který platí AB = 4 cm, BC = 4 cm, AE = 6 cm. Vypočítejte vzdálenost daného bodu od dané přímky. a) A,BC e) H,AC b) B,EF f) A,FC c) C,AE g) B,FA d) C,EF h) AG,BF a) A,BC i) C,HB j) C, BF FG Velikost úsečky A,B: tránka 966
C, BF C, 4 cm BF AB b) B,EF Velikost úsečky BF: BF BF AE 6 cm c) C,AE Velikost úsečky AC: AC AB BC AC 4 4 AC 4 cm 5,7 cm tránka 967
d) C,EF Velikost úsečky CF: CF BC BF CF 4 6 CF 5 7, cm e) H, AC Velikost úsečky DB: DB AB AD DB 4 4 DB 4 cm 5,7 cm tránka 968
Velikost úsečky H: H H AC AH 6 H 44 cm 6,6 cm f) A, FC Velikost úsečky AC: AC AB BC AC 4 4 AC 4 cm 5,7 cm Velikost úsečky AF: AF AB AE AF 4 6 AF 5 cm 7, cm tránka 969
Velikost úsečky F: Trojúhelník ACF je rovnoramenný, vypočítáme jeho výšku: F F AC FC 5 F 44 6,6 cm Velikost úsečky AP: Můžeme například využít podobnosti trojúhelníků FC a APC. (Pravoúhlé trojúhelníky se stejným úhlem při vrcholu C). FC APC F FC AP AP AC F AC FC AP 44. 5, cm 5 g) B, FA Velikost úsečky AF: AF AB AE AF 4 6 AF 5 cm 7, cm tránka 970
Velikost úsečky BP: Úsečka BP je výškou pravoúhlého trojúhelníka ABF. pojením Euklidových vět o výšce a odvěsně je možné ze známých údajů tuto výšku vypočítat: AB AB AP AF AP AF BF BF PF AF PF AF BP AP PF BP AB BF AB BF AF AF AF AB BF BP AF 46 BP, cm 5 h) AG, BF Velikost úsečky DB: DB AB AD DB 4 4 DB 4 cm 5,7 cm Velikost úsečky AG P: Bod AG je bod, ve kterém se půlí tělesové úhlopříčky, tedy i úhlopříčka HB. DB AG AG 48,5 cm tránka 971
i) C, HB Velikost úsečky DB: DB AB AD DB 4 4 DB 4 cm 5,7 cm Velikost úsečky HB: Bod AG je bod, ve kterém se půlí tělesové úhlopříčky, tedy i úhlopříčka HB. HB DB DH HB 6 HB 68 8, cm Velikost úsečky HC: HC DC DH HC 4 6 HC 5 cm 7, cm Velikost úsečky CP: Úsečka CP je výškou pravoúhlého trojúhelníka HCB. pojením Euklidových vět o výšce a odvěsně je možné ze známých údajů tuto výšku vypočítat: tránka 97
PC HP PB HC HC HP HB HP HB BC BC PB HB PB HB PC BP BP 5 4 68 HC BC HC BC HB HB HB HC BC HB,5 cm j) C, BF FG Velikost úsečky CP: Z obrázku a z podobnosti pravoúhlých trojúhelníků se společným úhlem při vrcholu C je zřejmé, že platí: CP CX Velikost úsečky CX: Úsečka CX je výškou pravoúhlého trojúhelníka CG BC C. pojením Euklidových vět o výšce a odvěsně je možné ze známých údajů tuto výšku vypočítat: C C BC CG BC CG BC BC CG CG 1,6 cm tránka 97
Velikost úsečky CG BC C C BC CG BC CG BC BC CG CG 1,6 cm Velikost úsečky CX: CX X X BC CG BCC BC BC BC CG BC BCCG CGC CG CG BC CG CG BCCG C X X C X X CX CX CX C C C C BC CG BC CG BC CG BC CG BC CG BCC CGC 1 Velikost úsečky CP: CP CX BC CG 1,7 cm 6 CP 5 cm 1. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, pro který platí AB = 4 cm, v = 5 cm. Vypočítejte vzdálenost daného bodu od dané přímky. a) V, BC d) B, DV b) B, AV e) BV, CV c) V, AC f) BV, DV a) V, BC g) AC, CV h) D, AV CV tránka 974
Velikost úsečky V BC : V V AD BC BC v BC V BC 5 9 5,4 cm b) B, AV Velikost úsečky V AB : V V AB CD AB v AB V AB 5 9 5,4 cm Velikost úsečky AV: AC AV v AV 5 AV cm 5,7 cm tránka 975
Velikost úsečky BP: Můžeme například využít podobnosti trojúhelníků ABP a A AB V. (Pravoúhlé trojúhelníky se stejným úhlem při vrcholu A). ABP A V AB AV BP BP V AB AB AB V AV AB c) V, AC BP 4. 9,7 cm Velikost úsečky V: Velikost úsečky V je výška jehlanu: V v 5 cm d) B, DV tránka 976
Velikost úsečky BD: BD AB AD BD 4 4 BD 5,7 cm Velikost úsečky BV: BV BV BD v 5 BV cm 5,7 cm Velikost úsečky DP: Můžeme například využít podobnosti trojúhelníků BPD a B BD V. (Pravoúhlé trojúhelníky se stejným úhlem při vrcholu B). BPD B V BD BV DP DP V BD BD BD V BV BD BP.5 4,9 cm e) BV, CV tránka 977
Velikost úsečky V BC : V V AD BC BC v BC V BC 5 9 5,4 cm Velikost úsečky BV: BC BV v BV 5 BV cm 5,7 cm Velikost úsečky CP: Můžeme například využít podobnosti trojúhelníků BCP a B BC V. (Pravoúhlé trojúhelníky se stejným úhlem při vrcholu B). BCP B V Velikost úsečky CP: BC BV CP CP V BC BC BC V BV BC 4 CP 9,7 cm Z obrázku a z podobnosti pravoúhlých trojúhelníků VPC avx CV se společným úhlem při vrcholu V vyplývá, že: 1 XCV PC, neboť platí: 1 VCV VC Tedy: 1 XCV PC 1 4 XCV 9 1,9 cm tránka 978
f) BV, DV Velikost úsečky BD: BD AB AD BD 4 4 BD 5,7 cm Velikost úsečky BV: BV BV BD v 5 BV cm 5,7 cm Velikost úsečky DP: Můžeme například využít podobnosti trojúhelníků BPD a B BD V. (Pravoúhlé trojúhelníky se stejným úhlem při vrcholu B). BPD B V BD BV DP DP V BD BD BD V BV BD Velikost úsečky DV X: BP.5 4,9 cm Z obrázku a z podobnosti pravoúhlých trojúhelníků VPD avx DV se společným úhlem při vrcholu V vyplývá, že: 1 XDV PD, neboť platí: tránka 979
VDV Tedy: X X DV DV 1 VD 1 PD 1 5,5 cm g) AC, CV Velikost úsečky AC: AC AB BC AC 4 4 AC 4 5,7 cm Velikost úsečky CV: CV CV AC v 5 CV cm 5,7 cm tránka 980
Velikost úsečky AV: Můžeme například využít podobnosti trojúhelníků AC CP a V AC C. (Pravoúhlé trojúhelníky se stejným úhlem při vrcholu C). CP V C h) D, AV CV AC AC AC ACC ACP CV V C AC ACP VAC BP CV 5,5 cm Velikost úsečky BD: BD AB AD BD 4 4 BD 5,7 cm Umístění bodu P: Z podobnosti trojúhelníků vyplývá, že bod P půlí úsečku AC V. Proto: v VP,5 cm tránka 981
Velikost úsečky DP: DB v DP DP 5 DP 14,5,8 cm tránka 98
6.. Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek tereometrie 1. Je dána krychle ABCDEFGH, pro kterou platí AB = 5 cm. Vypočítejte vzdálenost daných rovnoběžných přímek. a) AB, EF b) EF, DC a) AB, EF c) DB, HF d) EH FG, CD Velikost úsečky BD: AD 5 cm b) EF, DC Velikost úsečky CF: CF BC BF BD 5 5 BD 50 5 cm 7,1 cm tránka 98
c) DB, HF Velikost úsečky BF: BF 5 cm d) EH, FG, CD Velikost úsečky BF: C FG BD GF CG 5,5 BD 1,5 5,6 cm. Je dán kvádr ABCDEFGH, pro který platí AB = 4 cm, BC = 4 cm, AE = 6 cm. Vypočítejte vzdálenost daných rovnoběžných přímek: a) AB, EF c) DB, HF b) EF, DC d) EH FG, CD e) G FB, HD A f) FB CG, EH tránka 984
a) AB, EF Velikost úsečky BF: BF 6 cm b) EF, DC Velikost úsečky CF: CF BC CG BG 4 6 BG 5 7, cm tránka 985
c) DB, HF Velikost úsečky BF: BF 6 cm d) EH FG, CD Velikost úsečky FG C: FG BG FG CG 6 BG 40 6, cm tránka 986
e) G BF, DH A Velikost úsečky A BF : A BF BG BF AB 4 BG 5 5 cm ABF BFG GDH DH A Velikost úsečky AC: AC AB BC AC AC 4 4 4 cm 5,7 cm Velikost úsečky AG: AG AC CG AG 6 AG 68 8, cm Velikost úsečky DH BF Velikost úsečky BF P Velikost úsečky DH BF je rovna velikost úhlopříčky podstavy tedy: 4 cm 5,7 cm DH BF Pro výpočet můžeme například porovnat obsah kosočtverce, pro který můžeme využít vztahy: e f a v tránka 987
AG DH 68, cm BF v a 68 v 4,7 cm 5 P 4,7 cm BF f) FB CG, EH Velikost úsečky E BF : E BF BG BF EF 4 BG 5 5 cm. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, pro který platí AB = 4 cm, v = 5 cm. Vypočítejte vzdálenost daných rovnoběžných přímek: a) BC, AD b) BC, AV DV c) BV, BC CV d) AC, AV CV tránka 988
tránka 989
a) BC, AD Velikost úsečky AB: AB 4 cm b) BC, AV DV Velikost úsečky AD V: ADV v AD V AD AD BC 5 V 9 5,4 cm tránka 990
Velikost úhlu : tg v AD 5 tg 68, Velikost úsečky BC P: Kosinova věta: ADV ADV BC v v cos BC BC 9 9 5 5cos68,, cm c) BV, BC CV Velikost úsečky V BC : V V BC AD AB v AB V AB 5 9 5,4 cm tránka 991
Velikost úsečky BD: BD AB AD BD 4 4 BD 5,7 cm Velikost úsečky BV: BD BV v BV 5 BV cm 5,7 cm Velikost úsečky BC X: Můžeme například využít podobnosti trojúhelníků BCX a B BC V. (Pravoúhlé trojúhelníky se stejným úhlem při vrcholu A). BCX B V BC BV CX CX V BC BC BC V BV BC Velikost úsečky BC P: 4 CX. 9,7 cm Z obrázku a z podobnosti pravoúhlých trojúhelníků se společným úhlem při vrcholu B je zřejmé, že platí: CX BC X CX BC X 4. 9 BC X 1,9 cm tránka 99
d) AC, AV CV Velikost úsečky V: Velikost úsečky V je výška jehlanu: V v 5 cm Velikost úsečky P: Z obrázku a z podobnosti pravoúhlých trojúhelníků se společným úhlem při vrcholu A je zřejmé, že platí: V P 5 P,5 cm tránka 99
6..4 Vzdálenost bodu od roviny 1. Je dána krychle ABCDEFGH, pro kterou platí AB = 5 cm. Vypočítejte vzdálenost daného bodu od dané roviny. a) E, BCG b) E, HFA c) B, FG AE d) G, BFH e) F, EF BF FG f) HB, EF BF CG a) E, BCG Velikost úsečky EF: EF 4 cm b) E, HFA tránka 994
Velikost úsečky E: Velikost úsečky A: EG EF FG EG 4 4 EG 5,7 cm E EG E,8 cm A AE E A 4 EG 4 4,9 cm Velikost úsečky EP: Úsečka EP je výškou pravoúhlého trojúhelníka AE. pojením Euklidových vět o výšce a odvěsně je možné ze známých údajů tuto výšku vypočítat: PE AP P AE AE AP A AP A E E P A P A PE BP AE E AE E A A A AE E A 4 BP, cm 4 tránka 995
c) B, FG AE Velikost úsečky AG P: P P 1 4 cm d) G, BFH Velikost úsečky AG P: EG EF FG EG EG GP 4 4 5,7 cm EG GP,8 cm tránka 996
e) F, EF BF FG Velikost úsečky AG P: HF EF GH HF 4 4 HF 5,7 cm Z podobnosti trojúhelníků vyplývá, že: HF FX 4 FX 1,4 cm 4 Velikost úsečky X BF : X FX F X BF BF X BF 4 6 cm BF Velikost úsečky FP: Úsečka EP je výškou pravoúhlého trojúhelníka AE. pojením Euklidových vět o výšce a odvěsně je možné ze známých údajů tuto výšku vypočítat: tránka 997
PF XP P BF XF BF XBF BF F BF BF BF BF XBF XF XP X XP F P X P PF PF XF BF F XF BF F XBF XBF XBF XF F X BF BF PF 4 0,5 cm 6 f) HB, EF BF CG Bod BH leží přímo v rovině HB, EFBF CG 0 cm EF BF CG. tránka 998
6..5 Odchylka dvou přímek 1. Je dána krychle ABCDEFGH o hraně a = 10cm. Vypočtěte odchylku přímek: a) AH a BG b) EA a DC c) BG a BC d) DF a DB e) HB a HG f) BG a AB a) AH a BG AH BG b) EA a DC bodem A vedeme rovnoběžku s DC = AB c) BG a BC EA AB EA DC BG je úhlopříčka na čtverci BCGF odchylka je 45 tránka 999
d) DF a DB 10 1 tg 10 515 e) HG a HB 10 1 cotg 10 5444 f) BG a AB BG AB tránka 1000
. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, kde AB = 8 cm, v = 1cm. Vypočtěte odchylku přímek: a) AV a VC c) AV a BC b) DB a VD d) AB a DV a) AV a VC 4 tg 1 514' 508' b) DB a VD 1 tg 4 6445' tránka 1001
c) AV a BC Bodem A vedeme rovnoběžku s BC: AV 144 4 11 4 cos 77' 4 11 d) AB a DV Bodem D vedeme rovnoběžku s AB: AV 144 4 11 4 cos 77' 4 11. Je dán kvádr ABCDEFGH s rozměry AB = 6 cm, BC = 10 cm, AE = 15 cm. Vypočtěte odchylku přímek: a) AD a AF d) BG a ED b) HB a CG e) AF a HC c) DC a AF tránka 100
a) AD a AF 90 b) HB a CG Bodem B vedeme rovnoběžku s CG: HF 100 6 HF 4 4 tg 15 751' tránka 100
c) DC a AF 15 tg 6 681' d) BG a ED Bodem C vedeme rovnoběžku s DE: 5 tg 7,5 67' tránka 1004
e) AF a HC tg 7,5 46' tránka 1005
6..6 Odchylka přímky od roviny 1. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. AB = 6 cm, v = 10 cm. Vypočtěte odchylku: a) přímky VB od roviny ABC b) přímky V od roviny BCV c) přímky AB od roviny ADV a) VB od ABC 10 tg 67 b) V od BCV tg 10 164' tránka 1006
c) AB od ADV tg 10 718'. Je dán kvádr ABCDEFGH, který má hrany AB = 5 cm, BC = 8 cm, AE = 10 cm. Vypočtěte odchylku: a) přímky DF od roviny ABC b) přímky DF od roviny BCG c) přímky ED od roviny DCG d) přímky HB od roviny ABF a) DF od ABC DB 5 64 89 tg 10 89 4640' tránka 1007
b) DF od BCG CF 64 100 41 5 tg 41 759' c) ED od DCG 5 tg 10 64' tránka 1008
d) HB od ABF EB 5 100 5 5 8 tg 5 5 55'. Je dána krychle ABCDEFGH o hraně 5 cm. Vypočtěte odchylku: a) přímky EG od roviny DCG b) přímky HB od roviny BCG c) přímky DB od roviny ACE d) přímky EG od roviny AHF a) EG od DCG 45 tránka 1009
b) HB od BCG 5 tg 5 515' c) DB od ACE 90 d) EG od AHF 5 tg,5 5444' tránka 1010
6. Objemy a povrchy těles 6..1 Krychle 1. Vypočítejte délku hrany a objem krychle, je-li její povrch = 95,56 cm. 6a 6a 95,56 a 158, 76 a 1, 6 cm 95,56 cm V a V 1,6 000,8 cm Délka hrany krychle je 1,6 cm a objem 000,8 cm.. Objem krychle je 10 648 cm. Vypočítejte její hranu a povrch krychle. V a a 10648 a cm V 10648 cm 6a 6 904 cm Hrana krychle měří cm, její povrch je 904 cm.. Jsou dány dvě krychle, délky jejich hran jsou v poměru :. Povrch první krychle je o 10 cm menší než povrch druhé krychle. Jaká bude délka hrany třetí krychle, pokud víme, že součet objemů první a druhé krychle je roven objemu třetí krychle. V a 1 V1 x 8x V x 7x 1 6 x 4x 6x 54x 54x 4x 10 0x 10 x 110 a 4 cm; a 6 cm V 4 6 80 cm a 80 6,54 cm Délka hrany třetí krychle je 6,54 cm. tránka 1011
4. Dvě nádoby tvaru krychle o hranách délky 0,6 m a 0,8 m nahraďte jedinou ve tvaru krychle tak, aby měla objem jako obě původní krychle dohromady. Jaký je její povrch? a 0,6 m V1 0,6 V1 a1 0,16 m a 0,8 m V 0,8 V a 0,55 m 1 Povrch nové krychle je 5 m. V V V 1 V 0, 16 0,55 0, 766 V a a V a 0,766 0,915 m 6a 60,91 5 m tránka 101
6.. Kvádr, hranol 1. Poměr délek hran kvádru je :5: 7, povrch kvádru je 1 06 cm. Vypočítejte objem kvádru. ab ac bc 106 cm ab ac bc 106 a : b : c : 5: 7 a x b 5x c 7x x 5x x 7x 5x 7x 106 Objem kvádru je 1 890 cm. 10x 14x 5x 106 59x 106 118x 106 x x 9 a 6 cm b 5 15 cm c 7 1 cm V abc V 6151 1890 cm. Objem kvádru je 7 500 cm, poměr délek stran je : 4:5. Vypočítejte povrch kvádru. V abc V 7500 cm a : b : c : 4 : 5 a x b 4x c 5x Povrch kvádru je 50 cm. x 4x 5x 7500 60x 7500 x x a 15 cm b 0 cm c 5 cm 15 5 ab ac bc 15 0 15 5 0 5 50 cm tránka 101
. Bazénu tvaru kvádru pojme 940 hl vody. Hloubka vody,5 m. Určete rozměry dna, je-li jedna strana o 5 m kratší než druhá. a 84 a 5 1 94 a a 5,5 / :,5 5a84 0 a D 5 41 84 5 6 61 5 61 5 19 a1, a 1 cm a 7 nevyhovuje zadání b 1 5 7 cm Rozměry dna jsou 1 m a 7 m. 4. Koryto z kamene tvaru kvádru o výšce 40 cm má rozměry a = 80 cm, b = 0 cm. Tloušťka stěny je 4 cm. Vypočítejte hmotnost koryta, jestliže hustota materiálu je 000 kg/m. V a bc V 940 hl 94000 l 94000 dm 94 m c,5 m ba5 V a bc m V 000 kg/m V V V 1 1 1 1 1 a 80 cm 0,8 m a 80 4 7 cm 0,7 m b 0 cm 0, m b 0 4 cm 0, m c 40 cm 0,4 m c 40 4 6 cm 0,6 m V 0,8 0,0,4 0,096 m V 0,70,0,6 0,057 m V 0,096 0,057 0,09 m mv Hmotnost koryta je 78 kg. m 000 0, 09 78 kg tránka 1014
5. Vypočtěte povrch kvádru, jehož objem je 67 cm a délky hran a = 8 cm a b = 6 cm. V 67 cm a 8 cm 67 67 8 6 c c 14 cm b 6 cm 48 V abc ab bc ac 86 614 814 44 488 cm Povrch kvádru je 488 cm. 6. Vypočtěte tloušťku plechu z mědi, má-li hmotnost 4,6 kg a rozměry 1,8 m a 90 cm. Hustota mědi je 8 700 kg/m. m V a 1,8 m b 90 cm 0,9 m 8700 kg/m m 4,6 kg m V 4,6 V 4,89710 m 8700 V abc 0, 0004897 1,8 0,9 c 4 0, 0004897 c 0, 0000 m 0,0 mm 1,8 0,9 Plech má tloušťku 0,0 mm. 7. Podstava kolmého hranolu je obdélník, jehož dvě sousedící strany jsou v poměru 4:5. Tělesová úhlopříčka má od roviny podstavy odchylku 45. Výška je o cm větší než delší strana obdélníku. Určete velikosti hran hranolu. a: b 4 : 5 cb 45 a 4x b 5x c5x s s s u a b u 4x 5x 16x 5x 41x u x 41 c 5x tg tg45 u x 41 s tránka 1015
x x x 41 5x 41 5x 41 5 x,9 1, 4 a 4,9 91,6 cm b 114,5 cm c 146,5 cm Délky stran jsou a 91,6 cm, b 114,5 cm, c 146,5 cm. 8. Vypočtěte povrch kvádru, je-li objem V = 540,8 cm. trana a = 1,6 cm, b = 7,4 cm. V 540,8 cm a 1, 6 cm 540,8 540,8 1, 6 7, 4 c c 5,8 cm b 7,4 cm 1,6 7,4 V abc ab ac bc Povrch kvádru je 418,48 cm. 1,6 7,4 1,6 5,8 7,45,8 418,48 cm 9. Výška pravidelného čtyřbokého hranolu je 0 cm, odchylka tělesové úhlopříčky od roviny podstavy je 60. Vypočtěte objem hranolu. 0 0 tg 60 us 11,55 cm u tg 60 s 11,55 us a 11,55 a a 8,16 cm V abc V 8,16 0 11, 7 cm Objem hranolu je 11,7 cm. tránka 1016
10. Jaká je hmotnost železné tyče o délce m, je-li jejím průřezem obdélník o rozměrech mm a 16 mm? Hustota železa je 7 800 kg/m. a m b mm 0,0 m c 16 mm 0,016 m 7800 kg/m m V V abc V 0,00,016 0,74 m m 78000, 75 5,9 kg Hmotnost tyče je 5,9 kg. 11. Závaží ve tvaru kvádru má rozměry 50 cm, 15 dm a 650 mm. Vypočítejte, kolik plechovek barvy spotřebujete k nátěru, je-li na m potřeba 1 plechovka. a 50 cm,5 m b 15 dm 1,5 m c 650 mm 0,65 m ab ac bc (,5 1,5,5 0,65 1,5 0,65) 17 m m...1 plechovka 171 x 5,67 6 plechovek 17 m... x plechovek Na nátěr musíme koupit 6 plechovek barvy. 1. Délky hran kvádru jsou v poměru : : 5, tělesová úhlopříčka má délku ut 608. Vypočtěte objem kvádru v cm. a : b : c : : 5 a x b x c 5x ut 608 608 x x 5x ut a b c 1 608 4x 9x 5x 608 8 x 4 608 8x x 16 x 4... nevyhovuje tránka 1017
a 8 cm b 1 cm c 0 cm V abc V 810 190 cm Objem kvádru je 1 90 cm. 1. Kvádr má objem 64 cm. Jeho plášť má dvojnásobný povrch než jedna ze čtvercových podstav. Jakou délku má tělesová úhlopříčka? V 500 cm 4a v pl a pl V a v a 4 a v a v 500 500 v v 500 4v v 15 4 v 5 cm a 10 cm Tělesová úhlopříčka měří 15 cm. u u s s a 10 14,14 cm u u v u t s 14,14 5 4,94 t u 15 cm t 14. Pravidelný šestiboký hranol je vysoký cm. Poloměr kružnice opsané podstavě je 1 cm. Vypočtěte jeho objem. V v p v cm r 1 cm v v rv r r r 1 6 108 r v r r 10,9 cm 110,9 6,4 cm 6 p p 66,4 74,04 cm V v p V 74, 04 11,1 cm Objem hranolu je 11,1 cm. tránka 1018
15. Vypočítejte objem pravidelného čtyřbokého hranolu o délce podstavné hrany 8 cm, jehož tělesová úhlopříčka svírá s rovinou podstavy úhel o velikosti 48. V a v u u s s a v tg48 u 8 11,1 cm s v 11,1tg 48 1,56 cm V 8 1,56 80,84 cm Objem hranolu je 80,84 cm. 16. Krabice tvaru kvádru s rozměry 47 9 dm je naplněná keramickou hlínou. Pokud krabici postavíme na dno s kratšími rozměry, bude hlína sahat do výšky 45 cm. Do jaké výšky bude sahat hlína, pokud postavíme krabici na dno 40 90 cm? V abc V 4070 45 16000 cm V 16000 v 5 cm ac 4090 Hlína sahá do výšky 5 cm. 17. Do modelu čtyřhranné nádrže se vejde 75 l, plocha podstavy tohoto modelu je 0 dm. kutečná nádrž má mít podstavu o rozloze 0,00198 km. Jaký objem má skutečná nádrž? 0,00198 km 1980 m 0 dm, m k 1980 :, 900 k 0 75: 0 1,5 dm 0,15 m 0,150, 75 m V, 751980 745 m Objem nádrže ve skutečné velikosti je 7 45 m. tránka 1019
18. Těleso tvaru šestibokého hranolu má výšku,4 m a délku podstavné hrany 90 cm. a) Vypočtěte nejdelší možnou vzdálenost dvou vrcholů hranolu. Údaj uveďte v decimetrech. b) Kolik metrů čtverečních budeme potřebovat na potažení pláště tohoto hranolu? a) b) v a x 4 9 x 576 4 x 900 x x 0 dm Nejdelší možná vzdálenost dvou vrcholů hranolu je 0 decimetrů. 6av pl pl 60,9,4 1,96 m Na potažení pláště budeme potřebovat 1,96 m. 19. Venkovní květináč tvaru pravidelného šestibokého hranolu má podstavu s obsahem 10 cm. Určete výšku květináče, pokud víte, že se do něho přesně vejde obsah třiceti čtyřdecových nádob. 10 cm 1, dm 04 10 dcl 1 l 1 1, v v 10 dm Výška květináče je 10 dm, tj. 1 m. 0. Určete objem kvádru, pokud víte, že jeho délky stran jsou v poměru :5: 7 a jehož povrch je 568 dm. ab ac bc x 5x x 7x 5x 7x 71x 14x 568 x 4 14 14 a 4 1 dm b 5 4 0 dm c 74 8 dm V abc V 1 0 8 670 dm Objem kvádru je 670 dm. tránka 100
1. Zahradní jezírko má tvar pravidelného šestibokého hranolu o výšce 60 cm, je-li zcela zaplněno, vejde se do něho 60 hektolitrů vody. Určete délku jeho podstavné hrany. V v 60 hl 6000 l p p p p V v 6000 1000 dm 6 ava 6 ava a a va va a p a a a a a 1000 19, 61 dm Délka podstavné hrany je přibližně 19,61 dm.. oučet obsahů tří stěn kvádru, které mají společný vrchol je 1175 cm. Rozměry kvádru jsou v poměru 5: 4:. Vypočtěte délku hran kvádru. ab ac bc 5x 4x 5x x 4x x 0x 15x 1x 47x 1175 47x x 5 5 cm a5x5 cm b4x0 cm cx15 cm Rozměry kvádru jsou 5 cm, 0 cm a15 cm.. Petra chce zabalit tři dárky, našla si krabice tvaru kvádru, jedna krabice má rozměry dm, 8 cm a 7 dm a zbylé dvě krabice jsou stejné s rozměry 15 cm, 5 cm a 4 dm. Kolik rolí balicího papíru musí koupit a kolik za ně zaplatí, jestliže jedna role balicího papíru vystačí na 1,5 m a stojí 0 Kč? ab ac bc 1 1 0 8 070 870 9800 cm 15 5 15 40 5 40 950 cm x 9800 950 17700 cm 1, 77 m Petra potřebuje koupit role balicího papíru, za který zaplatí 40 korun. tránka 101
4. Bazén tvaru kvádru má rozměry dna 70 dm a 50 dm. Jaká je výška bazénu, víme-li, že pokud je bazén naplněn 4 cm pod okraj vejde se do něho 80 m vody? V abc V c ab 80 c 1,6 m 75 v 1, 6 0,4 1,94 m 194 cm Výška bazénu je 194 cm. 5. Kolik bude stát barva, která je potřeba na vymalování pokoje i se stropem. Pokoj je dlouhý,8 m, široký je, m a vysoký 55 cm. Barva se prodává po 10 kg, jedno balení stojí 45 Kč a vystačí na 5 m. Pokoj se musí vymalovat dvakrát a dveře s oknem v tomto pokoji zabírají plochu,95 m. p ab ac bc,8,,8,55,,55 47,86 m pl x 47,86,95 44, 465 88,9 m y 88,9:5,54 desetikilová balení z 45 105 Kč Barva potřebná na vymalování pokoje bude stát 105 Kč. 6. Vypočítejte povrch a objem tělesa na obrázku. Těleso je složené z krychle a kvádru tak, že krychle má stejnou šířku jako kvádr. ab bc ac a b b 5b 10 109 9 10 10 510 1454 cm V abc b V 109 10 070 cm Povrch tělesa je 1454 cm a objem tělesa je 070 cm. tránka 10
7. 6 truhlíků je potřeba osadit muškáty. Truhlík má tvar kvádru, délka je 50 cm, šířka 15 cm a výška 11 cm. Kolik bude stát hlína do truhlíků, pokud 8,5 litrů hlíny stojí 7 Kč? V abc V 5 1,5 1,1 8,5 dm 8,5 l 68,5 49,5 dm 49,5 l 49,5: 8,5 5,8 6 sáčků 67 Kč Hlína do truhlíků bude stát Kč. 8. Posypová sůl je uskladněná v nádobě tvaru kvádru s rozměry dna 1,9 m a 10 cm. Vypočítejte vrstvu soli, pokud víte, že dovezení soli stálo 5 Kč a 1 dm soli stojí 0,55 Kč. Celková částka za sůl a dovezení soli byla 1 01 Kč. 1015 1066 Kč 1066 : 0,55 198,18 dm V abc V c ab 198,18 c 8,5 dm 191 Vrstva soli je 85 cm. 9. Na stavbu zahradního domečku je potřeba dopravit 4 500 prken ze smrkového dřeva. Rozměry jednoho prkna jsou 80 cm a,5 dm, tloušťka prkna je 5 mm. Nákladní auto uveze náklad o hmotnosti,4 tuny. Hustota vysušeného dřeva je 440 kg/m. Kolikrát bude muset auto jet, aby požadovaný počet prken převezlo? V abc V,8 0,50,05 0,075 m m V m V m 4400, 075 10, 45 kg 450010,45 4705 kg 47, 05 t 47,05:,4 19,59 0 aut Na převezení prken je potřeba, aby auto jelo 0 krát. tránka 10
0. Nádrž tvaru kvádru bez horní podstavy s rozměry dna 56 cm a,8 dm je naplněná vodou 0,15 m pod okraj, výška vody v nádrži je 4 cm. Vypočtěte objem tělesa, které se do vody potopilo, jestliže voda stoupla o 0,4 dm. Vnitřní část nádrže se musí natřít, vypočtěte, kolik decilitrů barvy bude potřeba, pokud 1 l barvy vystačí na, m. Nátěry se musí provést dva. V abc V 568 4 851 cm Objem tělesa je 8 51 cm. v 4 15 57 cm ab ac bc 568 5657 857 1844 cm 1844 5688 cm,5688 m,5688:, 1,1676 l 11,676 dcl Na dva nátěry potřebujeme 11,676 dcl barvy. 1. Trám z borového dřeva má na průřezu tvar rovnoramenného lichoběžníku se základnami o délce 4 cm a cm, ramena mají délku 17 cm. Délka trámu je,9 m. Vypočítejte hmotnost trámu, je-li hustota borového dřeva po vysušení 510 kg/m. Kolik litrů mořidla bude potřeba na natření trámu, 1 litr mořidla vystačí na 1, m. x 4 : x 5 cm v b x v a a 17 5 16, 48 cm a c va p 4 16, 48 p 601,178 cm V v p h V 601,178 90 4459, 4 cm 0, 44594 m m V m 5100, 44594 119,574 kg Hmotnost trámu je přibližně 10 kg. tránka 104
p 601,178 cm p pl av cv bv pl h h h 601,178 490 90 1790 4,56 cm 4,56 m 4,56 :1,,4 l Na namoření trámu bude potřeba, l mořidla.. Koupelna tvaru kvádru má délku m, šířku,5 m a výšku 46 cm. Celá podlaha a stěny do dvou třetin výšky budou obložené kachličkami. Koupelna je bez oken a rozměry dveří, které vedou do koupelny, jsou 90 cm a 190 cm. Majitel má na nákup kachliček k dispozici 6 000 Kč. Může si koupit kachličky za cenu 88 Kč na 1m? ab,5 7,5 m p p 46 164 cm 1,64,51,64 0,9 1,9 18,04 1,71 16, m pl 7,5 16,,8 m x,8 88 686, 04 Kč Při ceně 88 za 1m dojde k překročení plánovaného rozpočtu o 86 korun.. Pravidelný trojboký hranol má všechny hrany shodné. Obsah pláště hranolu je 108 dm. Určete jeho povrch. a pl pl 108 a 6 dm ava pl ava pl v a a 6 10,9 dm 610,9 108 170,58 dm Povrch hranolu je 170,6 dm. 4. Učebna má 7 m, šířku 5,5 m a výšku,8 m. Kolik studentů by mohlo být do učebny umístěno, mají-li podle předpisů připadnout na 1 studenta aspoň m vzduchu. V abc V 75,5,8 146, m 146,: 48, 76 48 studentů Do učebny může být umístěno 48 studentů. tránka 105
5. Délky hran kvádru jsou v poměru 5: 7 : 4 a jeho objem je 780 cm. Určete povrch kvádru. V abc 780 5x 7x 4x 140x 780 x 140 a 5 15 cm b 7 1 cm c 4 1 cm ab ac bc 151151 11 1494 cm Povrch kvádru je 1 494 cm. 6. Kolik pytlů cementu se spotřebuje na vybetonování sloupu vysokého,5 m. loup má průřez tvaru pravidelného šestiúhelníku s hranou délky 18 dm. Na 1 m betonu je třeba,5 kg cementu, jeden pytel váží 5 kg. v a a ava a a p 6 ava a 18 p V v 841,77 dm V 841, 775 9461,95 dm 9, 46195 m 9, 46195,5 10,11685 kg p 10,11685: 5 4,146 5 pytlů cementu Na vybetonování sloupu je potřeba necelých 5 pytlů cementu. tránka 106
7. Kvádr má jednu podstavnou hranu o, dm delší než druhou. Úhlopříčný řez kvádru kolmý k rovině podstavy je čtverec s obsahem 4,5 dm. Vypočítejte objem a povrch kvádru. ab, u 4,5 u 6,5 dm u a a, 6,5 a a 4, 6a 5, 9 a 4, 6a 6,96 0 a,a 18, 48 0 a, dm b,, 5,5 dm c 6,5 dm V abc V, 5,5 6,5 117,975 dm 117975 cm ab ac bc, 5,5, 6,5 5,5 6,5 150,7 dm 15070 cm Objem kvádru je 117 975 cm, povrch je 15 070 cm. 8. Kolik dm betonu je potřeba na výrobu podstavce tvaru hranolu. Příčný řez hranolem má tvar rovnoramenného lichoběžníku se základnami délek 15 cm a 80 mm, rameno má délku 90 mm. Délka podstavce je 17 dm. a 1,5 dm; c 0,8 dm; r 0,9 dm; v 17 dm V v v a r a a c v a v 1,5 0,8 a c 0,9 0,89 dm 1,5 0,9 0,89 V 17 16,9116 dm Na výrobu podstavce je potřeba 16,9116 dm betonu. tránka 107
9. Dřevěný trám má objem 1,59 m. Vypočítejte délku trámu, víme-li, že příčný řez trámu má tvar složený z pravoúhlého lichoběžníku a obdélníku. Obdélník má rozměry 5 cm a 4,5 dm. Lichoběžník má základny,5 dm a 0 cm, výšku 150 mm. a 0,5 m, b 0,45 m; c 0, m; v 0,15 m V v p V v p a c va p ab 0,5 0, 0,15 p 0,5 0,45 0,19875 m 1,59 v 8 m 0,19875 Dřevěný trám má délku 8 m. a 40. Rovnoramenný trojúhelník s délkou základny 1 dm a úhlem proti základně 99 0 je podstavou kolmého hranolu. Obsah pláště tohoto hranolu je roven součtu obsahů jeho podstav. Vypočítejte objem tohoto hranolu. pl zvz zv av zvz vz tg 0,5z v 0,5z tg 0,51 tg400 0,4 dm = 4, cm z vz sin a vz 0,4 a 0,649 dm sin sin 400 1v 0,649v10,4,98v 0,4 v 0,18 dm zv V z p v 10,4 0,18 0,08 dm 8, cm V Objem hranolu je 8, cm. tránka 108
41. Určete kolik obkladaček je potřeba na obložení bazénu tvaru čtyřbokého hranolu o délce 5 m, šířce 7 m a hloubce 1,65 m, rozměry obkladačky jsou 15 x 0 cm. Na odpad se musí počítat s 9 %. Výsledek zaokrouhli na desítky. p Pl ab a b v o 0,150, 0,0 m 57 5 7 1, 65 80,6 m : 80,6 : 0, 0 95, 954 obkladaček o 9 % z 954 841,86 84 954 84 10196 1000 Na obložení bazénu potřebujeme asi 10 00 dlaždic. 4. Dárková krabička tvaru pravidelného šestibokého hranolu je vysoká 65 mm a víko má strany dlouhé 0 cm. Kolik dm plechu je třeba na její zhotovení, jestliže musíme přidat na záložky 8 % materiálu? v v v a a a p p a B a B 0 10 00 17, cm ava 6 ava 017, 108 cm o v 6av pl pl 606,5 780 cm 108 780 856 cm 8,56 cm 8,56 1, 08 0,8448 cm p p pl Na zhotovení dárkové krabičky je potřeba 0,8448 dm plechu tránka 109
4. Kolik litrů vody se vejde do nádoby tvaru čtyřbokého hranolu, jestliže podstava má tvar rovnoramenného lichoběžníku. Rovnoběžné strany lichoběžníku mají délku 9 cm a 150 mm a ramena mají délku 0,9 dm. Výška nádoby je 18 cm. x 15 9 : x cm a a v b x v 9 8, 49 cm a c va p 9 158, 49 p 101,86 cm V v p V h 101,86 18 18,84 cm 1,8 Do nádoby se vejde 1,8 l vody. l tránka 100
6.. Válec 1. Kolika sudů tvaru válce o průměru 60 cm a výšce 1, m je zapotřebí k vyprázdnění cisterny tvaru válce o průměru 1,4 m a délce 4, m? V r v d 1 1 1 1 1 0,6 cm 0,6 m r 0, m v 1, m V 1,4 m 1 0, 1, V 0,4 m d r 0,7 m V V 0, 7 4, 6,6 m V : V 6,6 : 0,4 178, K vyprázdnění cisterny bude zapotřebí 179 sudů.. Vypočtěte hmotnost zlaté medaile, má-li průměr 6 cm a tloušťku mm. Hustota zlata je 19 90 kg/m. m V V r v 1990 kg/m d 6 cm 0,06 m r 0,0 m v mm 0,00 m V 0,0 0,00 V 8,5 10 m 6 m 6 1990 8,5 10 0,16 kg tránka 101
. Malý motocykl má vrtání válce 8 mm, zdvih pístu 44 mm. Vypočtěte objem válce v cm. Vrtání válce znamená průměr, zdvih pístu výšku válce. V r v d 8 mm,8 cm V 1,9 4,4 49,5 cm r 1,9 v 44 mm 4,4 cm Objem válce je 49,5 cm. 4. Na zemi leží dvě polena tvaru válce. Délka prvního polena je dvakrát větší než druhého, ale průměr je jen poloviční. Které z nich má větší hmotnost? (Předpokládáme, že obě mají stejnou hustotu.) m V r v V. Hustota je stejná, proto stačí porovnat objem polen. 1 1 1 V r v d r v1 v d1 r1 r r r v 1 1 V v v V V 4 Větší hmotnost má kratší poleno. 5. Vypočtěte rozměry válcové nádoby o objemu 5 l, je-li její výška rovna dvojnásobku průměru podstavy. V 5 l = 5 dm V r v 5 r 4r 4 r 5 r v d v 4r r 0,74 dm v 40,74,96 dm 5 4 Válcová nádoba má poloměr 0,74 dm a výšku,96 dm. tránka 10
6. Obvod podstavy rotačního válce je stejně velký jako jeho výška. Vypočítej povrch válce, je-li jeho objem 480 cm. V r v 480 o r v r o v v,9 18, cm r r v,9,9 18, 84,8 cm Povrch válce je 84,8 cm. 480 r r 480 r r,9 cm 7. Část kmene je tvaru rotačního válce. Kmen je šikmo seříznutý a má obvod 94, cm. Výška kmene na kratší straně je 105 cm a na delší straně 1,5 dm. Vypočítejte objem seříznutého kmene. v 15 cm; v 15 105 0 cm 1 o r o 94, r 15 cm r v v1 v V r v1 r 15 0 V 15 5875 8147,5 cm 81, 475 dm Objem kmene je 81,5 dm. 8. Potrubí kruhového průřezu má průměr 160 mm. Potrubím teče voda rychlostí,5 m/s. Jaké množství vody proteče tímto potrubím za dvě hodiny. r 0, 08 m; v18000 m V r v h 60 min 600 s 700 s v,5700 18000 m V 0, 08 18000 61, 78 m 6178 dm 6178 l = 617, 8 hl Potrubím za dvě hodiny proteče 617,8 hl vody. tránka 10
9. Nádoba tvaru válce má obsah podstavy a obsah pláště v poměru :5. Osový řez válce je obdélník s úhlopříčkou délky 90 mm. Kolik litrů vody se vejde do této nádoby? p r 6v p : pl r : rv r : v : 5 r 5 pl rv u 9 dm r v u 1v v 9 5 144v 5v 1515 169v 805 v 5 v 15 cm 1,5 dm 6v 615 r 18 cm 1,8 dm 5 5 V r v V Objem nádoby je 15,6 l. 1,8 1,5 15,6 dm 15,6 l 10. Osovým řezem válce je čtverec o obsahu 56 cm. Vypočtěte objem válce. 56 cm a 56 a 16 cm a r 8 cm v 16 cm V r v V 8 16 16,99 cm Objem válce je 16,99 cm. 11. Kolik hektolitrů vody proteče za hodinu gumovou hadicí o průměru 6 cm, teče-li voda rychlostí, m/s. Výška válce h se rovná dráze. 1 h 600 s, r cm 0,0 m h v t h,600 880 m V r h V 0, 0 880, 4 m 400 dm 400 l 4 hl tránka 104
1. O kolik centimetrů se zvedne hladina při dešti v kádi tvaru válce s průměrem 10 cm a v hranaté nádrži tvaru krychle s hranou délky 10 dm, pokud víme, že spadne 0,5 hl na 1 m. 0,5 hl 50 l V abc V 50 1 c 0,5 dm 5 cm ab 100 V obou případech spadne 5 cm vody. 1. Nádoba tvaru válce má výšku 5 cm a průměr podstavy 15 cm. Nádoba je částečně naplněna vodou, voda sahá do výšky 160 mm. Určete, zda voda přeteče, ponoříme-li do ní železnou kuličku o průměru 10 mm. V K p 4 4 r,14 6,5 1149,76 cm r,14 7,5 176, 65 cm v 1149, 76 :176, 65 6,5 cm 16 6,5,5 cm 5 cm Voda z nádoby nepřeteče, stoupne přibližně o 6,5 cm a bude,5 cm pod okraj nádoby. 14. Je dán válec s obsahem podstavy 56 cm, poloměr podstavy má stejnou velikost jako výška válce. Určete povrch válce. r p r v 56 r rv r r 4 r 4 456 4 cm p pl p Povrch válce je čtyřnásobek obsahu podstavy, tj. 4 cm. 15. Železná tyč je dlouhá 475 cm a má průměr 19,4 mm. Vypočítejte její hmotnost. (hustota železa je 7,87 g/cm³). Výsledek zaokrouhlete na setiny. 19,4 mm 1,94 cm V r v,14 0,97 475 140,55 cm m 140,55: 7,87 178,1669 g 178, g Hmotnost tyče je 178, gramů. tránka 105
16. Zařízení zpracovávající granulát má válcovitý zásobník s průměrem 60 cm a výškou 16 dm. Kolikrát se musí celé zařízení za osmihodinovou pracovní dobu naplnit, jestliže spotřebuje, kg za minutu a 1 kg granulátu má objem 1 dm? 60 cm 6 dm V r v,14 16 45,16 dm 45,16 kg, kg...1min x 45,16 :, 05,57 min 8 hod 480min 480 : 05,57,5 Celé zařízení se za směnu naplní krát. 17. Truhlář opracovává dřevěnou tyč tvaru válce. Původní rozměry tyče - poloměr 8 cm, délka tyče je 4 m. Opracováním vytvořil tyč s průměrem o 1 milimetrů menším, než byla původní tyč. Délka zůstala zachovaná. Určete, o kolik procent se zmenšil povrch tyče bez bočních stěn. rv 1 pl pl pl1,14 8400 0096 cm r 8 1, : 7,4 cm,14 7, 4 400 18588,8 cm 0096 cm...100 % 18588,8 cm... x % x 1858880 : 0096 9,5 % Povrch tyče bez bočních stěn se zmenšil o 7,5 %. 18. ilničáři pokládají asfalt na silnici v délce 10 m, válec, který používají, se na této dráze otočí přibližně dvacetkrát. Jaký je průměr válce a plocha, která válcuje povrch, pokud je šířka válce m? 10 : 0 6,5 m o d d 6,5:,14,07 m rv,14 1,05 19,4994 m Průměr válce je,07 m a plocha, která válcuje je 19,4994 m. tránka 106
19. Nádoba tvaru válce je naplněná vodou do výšky 5 dm, průměr nádoby je 16 dm. Pokud ponoříme do válce krychli, stoupne hladina vody o 5 dm. Určete, kolik centimetrů měří ponořené hrana krychle. Rozměr zaokrouhlete na celek. V r v,14 64 5 1004,8 dm a 1004,8 10,0159 dm 100,159 cm 100 cm Hrana krychle měří přibližně 100 cm. 0. Kmen stromu zbavený kůry tvaru rotačního válce se má opracovat tak, že polovina válce bude mít tvar rotačního kužele a druhá část zůstane bez opracování. Jakou část objemu neopracovaného kmene tvoří výsledný útvar? V r v V V V 1 V K r v VV 1 v 1 VK r r v 6 r v 1 r v 1 r v 4 V1 r v 1 r v V 6 Výsledný útvar tvoří dvě třetiny objemu neopracovaného kmene. 1. Kmen stromu zbavený kůry tvaru rotačního válce se má opracovat tak, že polovina válce bude mít tvar rotačního kužele a druhá část zůstane bez opracování. Obvod kmene je 16 dm a výška opracované části je 18 dm. Jaký je povrch opracované části tvaru rotačního kužele? o r o r 16 r,54 dm rs pl s v r s s 18,54 0, 4516 s 18,178 dm pl,5418,178 144,980 dm Povrch opracované části je 144,98 dm. tránka 107
. Rotační válec s poloměrem 90 mm byl provrtán podél osy tak, že jeho hmotnost byla 75 % původní hmotnosti. Určete tloušťku stěny takto vzniklého dutého válce. V r 1 V 9 54,4 cm 1 0, 554,4 6,585 cm r V 6,585 r1 4,5 cm 45 mm r r r 90 45 45 mm Tloušťka stěny je 45 mm.. Rotační válec byl provrtán podél osy tak, že jeho hmotnost byla 75 % původní hmotnosti. Určete tloušťku stěny takto vzniklého dutého válce. V r 1 1 0,5V 0,5 r r r 0,5V 0,5 r 0,5r tránka 108
6..4 Kužel 1. Objem nálevky tvaru kužele o poloměru 8 cm je 680 cm. Jaká je její výška? rv V, V 680 8 v 680 680 v 10,15 cm 64 r 8 cm Výška nálevky je 10,15 cm.. Ze železné tyče ve tvaru hranolu o rozměrech 5,6 cm, 4,8 cm, 7, cm je třeba vyrobit co největší rotační kužel. a) vypočítejte jeho objem b) vypočítejte odpad a) V rv Ze tří možných kuželů musíme vybrat ten, který má největší poloměr. d 4,8 cm b) r,4 cm v 7, cm V V abc,4 7, V 5,6 4,87, 4,4 cm V 19,54 cm odpad = V hranolu V kužele 19,54 4, 4 150,11 Objem kužele je 4,4 cm, odpad činí 150,11 cm.. třecha věže má tvar kužele o průměru podstavy 6 m. Velikost odchylky od roviny podstavuje 75. Vypočtěte spotřebu barvy na její natření, spotřebuje-li se 1 kg barvy na 8 m. třecha se bude natírat dvakrát. pl r cm cos 75 s 11,59 cm s cos75 11,59 109, cm pl rs tránka 109
potřeba: 1 kg...8 m 109, 1,65 x x kg...109, m 8 Budeme natírat dvakrát: 1,65 7, Na nátěr potřebujeme 7, kg barvy. tereometrie 4. Hromada písku má tvar rotačního kužele, výška hromady je 1,9 m a obvod hromady na zemi je 10,6 m. Kolik m písku je na hromadě? v1,9 m; o10,6 m 1 V o r r v o 10,6 r 1,649 m 1 V 1,649 1,9 5,41 m Na hromadě je 5,41 m písku. 5. Povrch kužele je 9,1 cm. Osovým řezem je rovnostranný trojúhelník. Vypočítejte objem kužele. s 0 cm v s r v 0 10 17, cm rv V V Objem kužele je 1 81,75 cm. 10 17, 5441,4 181,75 cm tránka 1040
6. Plášť rotačního kužele je 879 cm, obsah podstavy je 45 cm. Určete odchylku strany od roviny podstavy. 45 879 45 45 1 cm pl p r r pl rs p r 879 rs 879 1s 879 s, cm 1 r cos s 1 cos 59, Odchylka strany od rovin podstavy je 59. 7. Lampa tvaru kužele má být potažena látkou. Obvod podstavy je 150 cm a výška je 0,4 m. Kolik metrů látky se spotřebuje, jestliže na záhyby je potřeba 10 % navíc? o r 150 150 r r,88 cm s pl 40,88 170,544 46,58 cm rs,14,88 46,58 49, 71 cm 1,10 1,10 49, 71 841,981 cm pl Na výrobu lampy je přibližně potřeba 84 cm látky. 8. Zjistěte, jaký je povrch těžítka tvaru rotačního kužele, víte-li, že poměr velikosti obsahu pláště daného kužele a obsahu jeho podstavy je 1:1. Tělesová výška kužele je 5 cm. pl rs rs 1 s 1 1 rs : r 1:1 s r r 1 r 1 1 p r 1 r 1 r 5 169 r 144 r 5 5r 1445 r r s 144 1 cm, 1 cm rs r 111 00 94 cm Povrch těžítka je 94 cm. pl p tránka 1041
9. Osovým řezem rotačního kužele je rovnoramenný trojúhelník s obsahem 70 cm, úhel při hlavním vrcholu má velikost 50. Vypočítejte objem a povrch kužele. ava t a a tg a va v tg tg a a a tg a t a 4tg 4tg a 4 tg 5 70,44 cm v a,44 4,077 cm 0,466 1 1 a V r v va 4 1,44 4,077 17,49 cm V 4 t s a va s 11, 4, 077 6,56 cm aa r( r s) s 11, 44 (11, 44 6,56) 165,16 cm Objem kužele je 17,49 cm a povrch je 165,16 cm. 10. to padesát dopravních kuželů má být natřeno bílou a oranžovou barvou v poměru 1:1. Obvod podstavy kužele je 98,5 cm a výška je 0,45 m. Kolik jaké barvy se spotřebuje, jestliže 1 kg barvy vystačí na 7,5 m plochy? Podstava kužele se nenatírá. o r o r 98,5 r 15,684 cm s v r pl pl s rs 0, 45 0,157 0, 7149 0, 4766 m 47, 66 cm 0,156840, 4766 0, 4714 m x150 : 7,5 1500,4714 : 7,5 4,694 kg pl Na natření 150 kuželů potřebujeme,47 kg bílé a,47 kg oranžové barvy. tránka 104
6..5 Komolý kužel 1. Jako ozdoba zábradlí budou použity dřeva tvaru komolého kužele. Obvod větší podstavy je 8 cm a menší podstavy 4 cm, výška ozdoby je 6 cm. Těchto ozdob bude potřeba 65 na každou stranu zábradlí. Kolik barvy se spotřebuje na natření všech ozdob, pokud 1 kg barvy natřeme m? o r o r r o 8 o 4 1 1 r 6,05 cm,8 cm ( r r ) v ( r r ) pl pl 1 1 (6, 05, 8) 6 (6, 05,8) 198,78 cm x 65198,78 5789 cm,5789 m y,5789 : 0,8596 kg Na natření ozdob je potřeba 0,8596 kg barvy.. Určete výšku rotačního komolého kužele, který má objem 41 dm, poloměr dolní podstavy má 81 cm a poloměr horní podstavy má 4 cm. v V r rr r V v r rr r 1 1 1 1 41 16 v,759 dm 8,1 8,1,4,4 8,7894 Výška komolého kužele je,759 dm. tránka 104
. Kmen tvaru komolého rotačního kužele je m dlouhý, na tlustším konci má obvod 0,9 m, na tenčím konci 0,6 m. Z kmene se má vytesat trám čtvercového průřezu, který je shodný se čtvercem vepsaným do menší podstavy. Vypočtěte objem odpadu. v VK r r r r o r r 0,14 m 1 r 0,095 m V K 1 1 a a r 0,14 0,14 0,095 0,095 0,15 m a v a r 0,095 0,14 m V V Kv Kv 0,14 0, 05868 m 0,15 0, 05868 0, 081 m 81 dm Odpad má objem 81 dm 4. tarý komín je potřeba odstranit a sutiny odvést na rekultivaci. Kolik nákladních aut, musíme použít na odvoz, pokud jedno auto odveze najednou 10 tun. Komín má tvar dutého rotačního komolého kužele - dolní podstavy s průměry, m a,0 m a horní podstavy s průměry 1,7 m a 1, m. Výška komínu je m. Hustota zdiva je 1 600 kg/m -. r 1,6 m; r 0,85 m; 1600 kg/m ; v m 1 v V r1 r1 r r V1 1,6 1,6 0,85 0,85 155,49 m V 1 1 0,6 0,6 65,646 m V V V 155, 49 65, 646 89,84 m 1 m 89,841600 14744 kg 14744 t 14, 744 :10 14, 744 15 aut Na odvoz sutin bude potřeba 15 nákladních aut. tránka 1044
5. Kolik čtverečních metrů látky bude potřeba na výrobu lampy tvaru rotačního kužele s poloměry podstav 1,6 dm a 60 mm, výška stínítka je,4 dm. r 0,16 m; r 0,06 m; v 0,4 m 1 r r r r v r r 1 1 1 0,16 0, 06 0,16 0, 06 0, 4 0,16 0, 06 0, 7196 m Na výrobu lampy bude potřeba 0,7196 m látky. tránka 1045
6..6 Jehlan, komolý jehlan 1. Je dán kolmý pravidelný čtyřboký jehlan, a = 7 cm, s = 10 cm. Vypočítejte objem. V s avt u vt u a u 7 9,89 cm u 4,95 v t V 10 4,95 8, 69 cm 7 8,69 141,94 cm Objem jehlanu je 141,94 cm.. Vypočtěte objem kolmého jehlanu, jehož boční hrana o délce 8 cm svírá se čtvercovou podstavou úhel o velikosti 7. avt V vt sin s vt sin 7 vt 8sin 7 7,6 cm 8 u cos u s s u scos u 8cos 7 4,94 cm u a u a 4,94 a,49 cm, 49 7, V 9,64 cm Objem jehlanu je 9,64 cm. tránka 1046
. Vypočítejte povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li výška 4 cm a boční hrana s = 8 cm. a 4 u 8 4 trojúhelníku u 1444 576 4 u 4 u a a a s v 868 u 47 u 58,9 cm 58,9 a vs s u 41,6 cm 8 0,8 1, 79 cm avs t 41,61,79 t 677,6 cm 41,6 4677,6 444, 46 cm Povrch jehlanu je 444,46 cm. 4. Podstavou kolmého jehlanu je kosočtverec s úhlopříčkami délky 10 mm a 0,7 dm. Délka boční hrany jehlanu je 0,16 m. Jaký je objem a povrch tohoto jehlanu? e 1 cm; f 7 cm; h 16 cm 1 1 V pv efv 6 e v h 16 6 14,8 cm 1 1 7 14,8 07,648 cm V 6 a e f e f a 6,5 6,946 cm tránka 1047
a va h 16, 47 16,7 cm ef ava ef p pl 4 ava 17 6,946 16,7 69,41 cm Objem jehlanu je 07,648 cm a povrch jehlanu je 69,448 cm. 5. Čtyřboký jehlan obdélníkové podstavy, kde a = 16 cm, b = 0 cm má boční hranu c = 6 cm. Vypočtete povrch jehlanu. p p P 16 0 0 cm v v pl a b 16v 1 s1 s1 1 s pl 6 8 4,74 164,74 1 197,9 cm 0vs v s pl 6 10 4 cm 04 40 cm 197,9 40 875,84 cm 0 875,84 1195,84 cm Povrch jehlanu je 1195,84 cm. 6. Je dána krychle ABCDEFGH s hranou délky 6 cm. Vypočítejte povrch pláště a objem čtyřbokého jehlanu ABCDE. pl pl a a a a 1 6 1 86,9 cm av 6 6 V 7 cm Povrch pláště čtyřbokého jehlanu ABCDE je 86, 9 cm. Objem čtyřbokého jehlanu ABCDE je 7 cm. tránka 1048
7. Vypočítejte výšku pravidelného čtyřstěnu s hranou délky 6 dm. Výšku zaokrouhlete na dvě platné číslice. a a v a va a va a 4 a a v 1 v a a a v a 6 a 6 v 6 1, 8 dm 1 dm Výška pravidelného čtyřstěnu je přibližně 1 dm. 8. Vypočtěte objem pravidelného pětibokého jehlanu, jehož podstavě lze opsat kružnici s poloměrem 15,6 cm. Výška tělesa je,5 dm. v p V ava p 5 60 :10 6 a rsin 15, 60,5877 18,4 cm v a rcos 15,6 0,81 1,6 cm 1 18,41, 6 V 5 5 481,891 cm Objem jehlanu je 481,891 cm. tránka 1049