3.5.5 Příklady na středovou souměrnost Předpoklady: 3504 Př. : Je dána kružnice k ( S ;3cm), bod ; cm S = a přímka p; p = 4cm, která nemá s kružnicí k žádný společný bod. Najdi všechny úsečky KL; K k, L p takové, aby bod byl jejich středem. K L S p K k L Problém: od K leží na kružnici k, ale nevíme kde, od L leží na přímce p, ale nevíme kde, máme dvě neúplné informace hledáme spojitost mezi body K a L. Řešení: ody K, L jsou středově souměrné se středem souměrnosti v bodu (leží na jedné přímce a platí K = L ) vezmeme všechny body, které mohou být K (celou kružnici k), a zobrazíme je ve středové souměrnosti S ( ). Správný bod se zobrazí na bod L (tedy na bod na přímce p). K k p S S L k L. k; k S, r = 3cm. ; S = cm 3. p; p = 4cm 4. k ; S > k k 5. L, L ; L L = k p 6. K; K = k L 7. K ; K = k L 8. K L ; KL K
Rozbor: Příklad má žádné, jedno nebo dvě řešení podle počtu průsečíku kružnice k s přímkou p. Př. : Jsou dány dvě kružnice k ( S ;4cm) a ( ;3cm) k S, SS = cm. Uvnitř obou kružnic leží bod O, SO = cm, SO = cm. Sestroj všechny rovnoběžníky D tak, aby platilo k, k, k, D k a bod O je střed D. k D O S S k Problém: ody, leží na kružnici k, ale nevíme kde, ody, D leží na kružnici k, ale nevíme kde, máme dvě neúplné informace hledáme spojitost mezi body. Řešení: ody, leží s bodem O na jedné přímce (úhlopříčce rovnoběžníku), platí O = O (úhlopříčky v rovnoběžníku se půlí) body, jsou středově souměrné se středem souměrnosti v bodu O vezmeme všechny body, které mohou být (celou kružnici k ), a zobrazíme je ve středové souměrnosti S ( O ). Správný bod se zobrazí na bod (tedy na bod na kružnici k ). k D S O S S k. k ; k S, r = 4cm. k ; k S, r = 3cm, S S = cm 3. O; S O = cm, S O = cm 4. k ; S O > k k 5., ; = k k 6. ; = k O 7. D; D = k O 8. D k
Rozbor: Příklad má žádné nebo jedno řešení podle počtu průsečíku kružnic k s kružnicí k. Dodatek: samozřejmě můžeme zobrazovat se středové souměrnosti kružnici k. Obrázek by však byl o dost větší. Pedagogická poznámka: Je dobré připomenout, že předchozí příklad je velmi podobný prvnímu příkladu. Př. 3: (ONUS) Rozhodni, jaké podmínky by zadání předchozího příkladu muselo splňovat, aby nalezený rovnoběžník byl pravoúhelník. Rovnoběžník je pravoúhelníkem obě úhlopříčky jsou shodné (vyplývá se shodnosti trojúhelníků a D). od O je středem rovnoběžníku bod O je průsečíkem úhlopříček rovnoběžníku trojúhelníky O a OD jsou rovnoramenné a tedy i osově souměrné podle přímky SS D (na které leží i bod O) celý obrázek musí být souměrný podle přímky SS D na této přímce leží i středy S, S kružnic k, k. Pokud má být nalezený rovnoběžník pravoúhelníkem, musí bod O ležet na přímce SS. Př. 4: Je dána úsečka, = 5cm. Sestroj všechny pravoúhlé trojúhelníky s pravým úhlem γ, tak aby úsečka byla jejich těžnicí t a platilo c = 6cm. t b c Úloha je polohová. Problém: Pro oba hledané vrcholy máme pouze jedinou informaci: k ; c, ale nevíme kde, vrchol leží na kružnici vrchol leží na kružnici l S ; (Thaletova kružnice), ale nevíme kde, máme dvě neúplné informace hledáme spojitost mezi body,. Řešení: od je středem úsečky body, jsou středově souměrné podle bodu zobrazíme všechny body, které mohou být (kružnici ( ; ) a l S jako průsečík kružnic k ( ; c) ;. k c ) v S ( ), bod najdeme. ; = t b = 5cm 3
l. k; k ( ; c = 6cm) 3. l; l = τ 4. ; S : ( ) 5. k ; k ; c = 6cm 6. ; = l k S 7. 8. ; = k 9. Rozbor: Úloha má v jedné polorovině jedno řešení. k Př. 5: Najdi společný rys všech tří předchozích konstrukčních příkladů v této hodině. Řešili jsme podobné příklady i pomocí osové souměrnosti? Ve všech předchozích příkladech jsme u hledaných bodů znali málo informací (leží na kružnici, leží na přímce) hledali jsme vztah mezi dvěma body (středovou souměrnost) zobrazením množiny podezřelých bodů se nám podařilo spojit neúplné informace o dvou bodech dohromady a jeden z hledaných bodů sestrojit. Stejný typ příkladů se vyskytoval i u osové souměrnosti (první dva příklady v hodině 030503). Shodná zobrazení nám umožňují spojit neúplné informace o dvou bodech a tím tyto body zkonstruovat. Př. 6: Je dána úsečka, = 5cm. Sestroj všechny trojúhelníky v nichž je těžnicí a platí α = 60, β = 45. t c Úloha je polohová. Problém: Pro oba hledané vrcholy máme pouze jedinou informaci: vrchol leží na množině bodů, ze kterých je úsečka vidět pod úhlem α = 60, ale nevíme kde, vrchol leží na množině bodů, ze kterých je úsečka vidět pod úhlem β = 45, ale nevíme kde, máme dvě neúplné informace hledáme spojitost mezi body,. 4
Řešení: od je středem úsečky body, jsou středově souměrné podle bodu zobrazíme všechny body, které mohou být (množinu bodů) v S ( ), bod najdeme jako průsečík zobrazené množiny bodů pro vrchol a množiny bodů pro vrchol. k S S k S k. ; = t c = 5cm { ρ } { ρ }. k ; k X ; X = 60 3. k ; k X ; X = 45 4. k ; S : k k 6. ; = k k 7. 8. ; = k 9. Rozbor: Úloha má v jedné polorovině jedno řešení. Pedagogická poznámka: Pro některé žáky je v předchozím příkladu trochu moc kružnic. Proto nekreslíme množiny bodů celé (další řešení bychom nezískali) a značíme je podle vrcholů, k jejichž nalezení mají sloužit. Př. 7: Petáková: strana 79/cvičení 37 strana 80/cvičení 48 a) d) 5
Shrnutí: Pomocí středové souměrnosti můžeme spojovat neúplné informace o dvou bodech a tím je konstruovat. 6