Deskriptivní geometrie 2
|
|
- Kryštof Matějka
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0
2 Obsah 1 Středové promítání Základní pojmy Obraz bodu Obraz přímky Obraz roviny Polohové úlohy Metrické úlohy
3 Kapitola 1 Středové promítání 1.1 Základní pojmy V prostoru zvolíme rovinu ν, na kterou budeme promítat - říkáme jí průmětna a vlastní bod S, který neleží v rovině ν, nazýváme ho střed promítání, jeho pravoúhlý průmět do průmětny je hlavní bod (průmětnu jsme zde ztotožnili s nárysnou proto pravoúhlý průmět značíme S 2 ). Vzdálenost středu promítání od průmětny nazýváme distance a značíme d, rovinu procházející středem promítání a rovnoběžnou s průmětnou nazýváme středová nebo distanční rovina. Ke konstrukcím často používáme tzv. distanční kružnici k d (S 2, d), která leží v průmětně ν. Obrázek 1.1: Obraz bodu Libovolný bod A promítneme (zobrazíme) do roviny ν následujícím způsobem (viz obr. 1.1): Body S a A vedeme přímku p. Přímka p se nazývá promítací přímka. Průsečík A s přímky p s rovinou ν je středovým průmětem bodu A do roviny ν. 3
4 1.1. ZákladnÍ pojmy 4 Svým středovým průmětem není bod A v prostoru jednoznačně určen. Jako pomocný průmět používáme pravoúhlý průmět A 2 bodu A do průmětny ν neboli nárys tohoto bodu. Na obrázku 1.2 je vidět polohu bodů B, C, D vůči průmětně a distanční rovině, jejich středové průměty a pravoúhlé průmětu do roviny ν. Všimněte si, že spojnice středového průmětu bodu a pravoúhlého průmětu bodu do průmětny prochází hlavním bodem. Obrázek 1.2: Příklad 1.1 Sestrojte středový průmět bodů X[ 5; 1; 2] a Y [3; 1; 4], střed promítání má souřadnice S[0; 3; 0]. - obr Řešení: (obr. 1.4) 1. Sestrojíme nárys X 2 bodu X (použijeme první a třetí souřadnici, protože průmětnou je rovina xz (tedy nárysna). 2. Sklopíme promítací rovinu bodu X do průmětny - body X 2 a S 2 vedeme kolmice ke spojnici X 2 X 2 a naneseme na ně druhé souřadnice bodů X a S, získané body označíme X 0, S 0 (body X 0, S 0 jsou sklopeny v jedné polorovině ohraničené přímkou X 2 S 2, protože y-ové souřadnice bodů X a S mají stejné znaménko). 3. Spojnice bodů X 0, S 0 protíná přímku X 2 S 2 v bodě X S - středovém průmětu bodu X. 4. Bod Y S získáme podobným způsobem, ale body Y 0, S 0 jsou sklopeny v opačných polorovinách ohraničené přímkou Y 2 S 2, protože y-ové souřadnice bodů Y a S mají opačné znaménko). 5. Zeleně je naznačena jiná konstrukce bodu Y S. Příklad 1.2 Určete (graficky) souřadnice x F, y F, z F S[0; 3; 0]. - obr bodu F, střed promítání má souřadnice Řešení: (obr. 1.6) 1. Souřadnice x F a z F odečteme rovnou z nárysu F 2 bodu F. 2. Souřadnici y F získáme sklopením promítací roviny bodu F.
5 1.1. ZákladnÍ pojmy 5 Obrázek 1.3: Obrázek 1.4: Obraz přímky Obrázek 1.5: Obrázek 1.6: Středovým průmětem přímky, která neprochází středem promítání je opět přímka - obr Středový průmět přímky je určen středovými průměty dvou bodů (často používáme stopník a úběžník). Stopník N s přímky a je průsečík přímky a s průmětnou ν (platí N s = N a 2 ). Úběžník U s přímky a je středový průmět nevlastního bodu přímky a (U s je průsečík přímky a procházející středem S a rovnoběžné s přímkou a s průmětnou ν). Spojnice a 2 úběžníku U s s hlavním bodem S 2 je rovnoběžná s nárysem a 2 přímky a. Stopník a úběžník budeme označovat bez dolního indexu tedy N(U) popř. N a (U a ), pokud bude nutné rozlišit stopníky popř. úběžníky několika přímek. Na obrázku 1.8 vidíte speciální polohy přímky vzhledem k průmětně a ke středu promítání. Zleva doprava je na obrázku přímka kolmá k průmětně, přímka rovnoběžná s průmětnou a přímka procházející středem promítání. V horní řadě je situace v průmětně, ve druhé řadě prostorový náčrtek.
6 1.1. ZákladnÍ pojmy 6 Obrázek 1.7: Příklad 1.3 Sestrojte středový průmět a pravoúhlý průmět přímky a a její úběžník U, jeli určena stopníkem N a bodem A. - obr Řešení: (obr. 1.10) 1. Spojnice A 2 N je nárysem a 2 přímky a. 2. Přímka a prochází bodem S 2 a platí a a Spojnice A s N je středovým průmětem a s přímky a. 4. Úběžník U přímky a leží v průsečíku přímek a s a a Obraz roviny Stopa n α roviny α je průsečnice roviny α s průmětnou. Středový průmět nevlastní přímky roviny se nazývá úběžnice a značíme ji u α. Rovinu α, která je rovnoběžná s rovinou α a prochází středem S nazýváme úběžnicová rovina, tato rovina protíná průmětnu v úběžnici u α. Stopa a úběžnice roviny jsou vždy rovnoběžné nebo splývají. Rovina je určena stopou a úběžnicí (průměty dvou přímek). Přímka leží v rovině právě když její stopník leží na stopě roviny a úběžník na úběžnici roviny. Rovina rovnoběžná s průmětnou má úběžnici (i stopu) v nevlastní přímce roviny. Příklad 1.4 Sestrojte stopu a úběžnici roviny β určené přímkou q = N q U q a bodem B. - obr
7 1.1. ZákladnÍ pojmy 7 Obrázek 1.8: Řešení: (obr. 1.13) Stopník přímky ležící v rovině leží na stopě roviny, úběžník přímky ležící v rovině leží na její úběžnici. 1. Určíme další přímku p roviny β: (a) Na přímce q zvolíme bod Q, platí Q s q s. (b) Sestrojíme q 2 = S 2 U q a q 2 (q 2 q 2 a N 2 q 2 ). (c) Určíme nárys Q 2 bodu Q (Q 2 = Q s S 2 q 2 ). (d) Přímka p je určena body Q a B (p s = Q s B s, p 2 = Q 2 B 2 ). 2. Sestrojíme stopník N p přímky p (N p = p s p 2 ). Obrázek 1.9: Obrázek 1.10:
8 1.1. ZákladnÍ pojmy 8 Obrázek 1.11: 3. Stopa n β roviny β je spojnicí stopníků N p a N q. 4. Úběžnice u β roviny β prochází úběžníkem U q a je rovnoběžná se stopou n β roviny β. (Nemusíme tedy sestrojovat druhý úběžník). Obrázek 1.12: Obrázek 1.13: Příklad 1.5 Sestrojte stopu a úběžnici roviny γ určené body A, B, C. - obr Řešení: (obr. 1.15) 1. Přímka p je určena body B, C (p s = B s C s, p 2 = B 2 C 2 ). 2. Přímka q je určena body A, B (q s = A s B s, q 2 = A 2 B 2 ). 3. Sestrojíme stopníky přímek p, q (N p = p s p 2, N q = q s q 2 ). 4. Sestrojíme úběžník přímky q (q 2 q 2 a S 2 q 2, U q = q 2 q s ). 5. Stopa n γ roviny γ je spojnicí stopníků N p a N q.
9 1.1. ZákladnÍ pojmy 9 Obrázek 1.14: Obrázek 1.15: 6. Úběžnice u γ roviny γ prochází úběžníkem U q a je rovnoběžná se stopou n γ roviny γ. (Nemusíme tedy sestrojovat druhý úběžník) Polohové úlohy Obrázek 1.16: Obrázek 1.17: Pro řešení polohových úloh je vhodné připomenout a rozmyslet si některé skutečnosti: Rovnoběžné přímky mají společný úběžník. Přímka je rovnoběžná s rovinou, právě když úběžník přímky leží na úběžnici roviny. Dvě přímky jsou různoběžné, právě když spojnice stopníků je rovnoběžná se spojnicí úběžníků. (Stopa roviny určená různoběžkami je rovnoběžná s úběžnicí této roviny.) Rovnoběžné roviny mají společnou úběžnici.
10 1.1. ZákladnÍ pojmy 10 Průsečnice rovin má stopník v průsečíku stop a úběžník v průsečíku úběžnic těchto rovin. Příklad 1.6 Ve středovém promítání se středem S sestrojte průsečnici rovin α(n α, u α ) a β(n β, u β ). - obr Řešení: (obr. 1.19) 1. Úběžník U p průsečnice p je průsečíkem úběžnic u α a u β obou rovin. 2. Stopník N p průsečnice p je průsečíkem stop n α a n β obou rovin. 3. Středový průmět přímky p je určen stopníkem N p a úběžníkem U p. Obrázek 1.18: Obrázek 1.19: Příklad 1.7 Ve středovém promítání se středem S sestrojte průsečík přímky q(u q, N q ) s rovinou ρ(n ρ, u rho ). - obr Řešení: (obr. 1.21) 1. Přímkou q vedeme libovolnou rovinu α (N q n α, U q u α, n α u α ). 2. Sestrojíme průsečnici r rovin α a ρ. Středový průmět přímky r je určen stopníkem N r a úběžníkem U r. 3. Průsečík R přímek r, q je zároveň průsečíkem přímky q s rovinou ρ (R s = r s q s ). Příklad 1.8 Ve středovém promítání se středem S ved te bodem B rovinu σ(n σ, u σ ) rovnoběžnou s rovinou ρ(n ρ, u ρ ). - obr Řešení: (obr. 1.23) 1. Rovina σ je rovnoběžná s rovinou ρ, proto jejich úběžnice splývají (u σ = u ρ ). 2. Sestrojíme (libovolnou) přímku p procházející bodem B a rovnoběžnou s rovinou ρ (B s p s ). 3. Úběžník přímky p leží na úběžnici roviny σ (U p = p s u σ ). 4. Sestrojíme přímku p 2 = S 2 U p a přímku p 2 (p 2 p 2 a B 2 p 2 ). 5. Určíme stopník přímky p (N p = p s p 2 ). 6. Stopa n σ hledané roviny σ prochází stopníkem N p a je rovnoběžná se stopou n ρ roviny ρ.
11 1.1. ZákladnÍ pojmy 11 Obrázek 1.20: Obrázek 1.21: Obrázek 1.22: Obrázek 1.23: Metrické úlohy Přímka kolmá k rovině Všechny přímky kolmé k dané α rovině mají společný úběžník (jsou navzájem rovnoběžné). Pro každou rovinu tedy můžeme sestrojit tzv. úběžník kolmic U k. Tento úběžník je průsečík přímky k (k k, S k ) s průmětnou. Přímka k je kolmá také k úběžnicové rovině α a tedy ke její spádové přímce s procházející středem promítání (s S). Průsečík přímky s s průmětnou označíme U s (je to zároveň úběžník této přímky a leží na úběžnici roviny α). Pravoúhlé průměty s 2, k 2(nárysy) přímek s, k jsou kolmé ke stopě roviny a prochází bodem S 2. Úběžník U s přímky s leží v průsečíku přímek s 2 a u α. Najdeme pravoúhlý trojúhelník U s SU k ve sklopení. Sklopíme bod S, sestrojíme sklopenou přímku (s ) a sklopená přímka (k ) je k ní kolmá. Přímka (k ) protíná přímku k 2 v úběžníku kolmic U k. Příklad 1.9 Ve středovém promítání se středem S sestrojte kolmici bodem B k rovině ρ(n ρ, u ρ ). - obr Řešení: (obr. 1.26) 1. Bodem S 2 vedeme nárys s 2 spádové přímky s, která prochází středem promítání a leží v rovině ρ (ρ ρ, S ρ ). Přímka s 2 prochází bodem S 2 a je kolmá k úběžnici u ρ.
12 1.1. ZákladnÍ pojmy 12 Obrázek 1.24: 2. Úběžník spádových přímek U s leží v průsečíku úběžnice u ρ a přímky s Sklopíme promítací rovinu přímky s 2 (bod (S) leží na kolmici k s 2 procházející bodem S 2 a na distanční kružnici k d, U s = (U s ). 4. Sklopená přímka (s ) prochází body (S), U s. 5. Sklopená kolmice (k ) prochází bodem (S) a je kolmá k (s ). 6. Úběžník kolmic U k je průsečíkem přímek (k ) a s 2 = k Středový průmět k s kolmice k prochází úběžníkem kolmic U k a bodem B s. 8. Pravoúhlý průmět k 2 kolmice k je kolmý na stopu roviny n ρ a prochází bodem B 2. Obrázek 1.25: Obrázek 1.26: Příklad 1.10 Ve středovém promítání se středem S sestrojte bodem M rovinu kolmou k přímce p. - obr Řešení: (obr. 1.28) Úloha je obrácená k úloze 1.1.5, úběžníkem kolmic je zde úběžník přímky p a hledáme úběžník spádových přímek roviny, kterým prochází úběžnice hledané roviny.
13 1.1. ZákladnÍ pojmy Přímka p 2 prochází body S 2 a U p. Přímka s 2 (pravoúhlý průmět spádové přímky s ρ ) splývá s přímkou p Sestrojíme bod S ve sklopení((s) k d ) a přímku p ve sklopení ((p ) = (S)U p ). 3. Sklopená přímka (s ) prochází bodem (S) a je kolmá k (p ). 4. Průsečík U s přímek s 2 a (s ) je úběžníkem spádových přímek roviny ρ. 5. Úběžnice u ρ prochází úběžníkem U ρ a je kolmá k p 2 = s Musíme najít jeden stopník libovolné přímky ležící v rovině ρ a procházející bodem M. Zvolíme libovolnou přímku r (r ρ, M s r s, U r u ρ ). Přímka r 2 = S 2 U r a r 2 r 2 a M 2 r Stopník N r přímky r je průsečíkem přímek r 2 a r s. 8. Stopa n ρ hledané roviny ρ prochází stopníkem N r a je rovnoběžná s úběžnicí u ρ roviny ρ. Obrázek 1.27: Obrázek 1.28: Skutečná velikost úsečky Hledáme skutečnou velikost úsečky ležící na přímce a. Přímkou proložíme libovolnou rovinu α. Úsečku otočíme do stopy nα roviny α. Otočení odpovídá rovnoběžnému promítnutí, proto najdeme úběžník U u promítacího paprsku u. Použitím úběžníku sestrojíme středový průmět promítacího paprsku A s U u, na kterém leží bod (A), tj. otočený bod A do stopy roviny α. Příklad 1.11 Ve středovém promítání se středem S určete skutečnou délku úsečky AB p. - obr Řešení: (obr. 1.31) 1. Zvolíme rovinu α tak, aby p α ( U p u α a N p n α ). 2. Sestrojíme úběžník promítacích paprsků U u u α : Sklopíme trojúhelník SS 2 U p, ve sklopení mu odpovídá trojúhelník (S)S 2 U p s pravým úhlem při vrcholu S 2, velikost strany S 2 (S) = d. Vzdálenost = (S)U p je rovna skutečné vzdálenosti úběžníků U p a U u.
14 1.1. ZákladnÍ pojmy 14 Obrázek 1.29: 3. Z úběžníku světelných paprsků U u promítneme body A s, B s na stopu n α, získáme body [A], [B] n α. 4. Vzdálenost bodů [A], [B] je skutečnou velikostí úsečky AB. Příklad 1.12 Ve středovém promítání se středem S naneste na přímku p od bodu V délku a - obr Řešení: (obr. 1.33) Úloha je obrácená k úloze předchozí, sestrojíme úběžník světelných paprsků U u, promítneme bod V na stopu roviny, naneseme úsečku délky a a promítneme získaný bod zpět na přímku p. 1. Zvolíme rovinu α tak, aby p α (U p u α a N p n α ). 2. Sestrojíme úběžník promítacích paprsků U u u α : (a) Sklopíme trojúhelník SS 2 U p, ve sklopení mu odpovídá trojúhelník (S)S 2 U p s pravým úhlem při vrcholu S 2, velikost strany S 2 (S) = d. (b) Vzdálenost = (S)U p je rovna skutečné vzdálenosti úběžníků U p a U u. 3. Z úběžníku světelných paprsků U u promítneme bod V s na stopu n α, získáme bod [V ] n α. 4. Na stopu n α naneseme zadanou vzdálenost a, získaný bod označíme [W ] a promítneme jej z bodu U u zpět na přímku p s.
15 1.1. ZákladnÍ pojmy 15 Obrázek 1.30: Obrázek 1.31: 5. Promítnutím jsme získali bod W s, který je středovým průmětem bodu W ležícího na přímce p a velikost úsečky V W je a. Otáčení Obrázek 1.32: Obrázek 1.33: Stejně jako v dalších projekcích i zde řešíme některé rovinné úlohy otočením příslušné roviny do průmětny (viz obrázek 1.34). Otočíme rovinu ρ kolem stopy do průmětny. Otočení můžeme nahradit rovnoběžným promítnutím (bodu bodů roviny ρ do průmětny). Promítnutí bodu S odpovídá otočení úběžnicové roviny kolem úběžnice do průmětny. Otočíme bod S (v úběžnicové rovině kolem úběžnice), rovina otáčení je kolmá k úběžnici, střed otáčení je úběžník spádových přímek a poloměr otáčení je přepona pravoúhlého trojúhelníka jehož odvěsnami jsou úsečky S 2 U s a S 2 S (přeponu sestrojíme sklopením tohoto trojúhelníka do průmětny, bodu S odpovídá ve sklopení bod (S)), otočený bod označíme S 0 - viz obrázek Otočený bod A (A 0 ) nalezneme takto: Bodem A vedeme spádovou přímku (prochází A s a U s ), její stopník leží na stopě roviny, otočená spádová přímka prochází stopníkem a je kolmá
16 1.1. ZákladnÍ pojmy 16 Obrázek 1.34: ke stopě. Bod A 0 leží na otočené spádové přímce a na přímce procházející bodem S 0 (otočený bod S) a bodem A s. Mezi středovým průmětem a otočeným objektem platí vztah středové kolineace jejíž osou je stopa n ρ roviny ρ, středem je otočený střed S 0 a párem odpovídajících si bodů body A s a A 0. Příklad 1.13 Ve středovém promítání se středem S určete skutečnou velikost trojúhelníka ABC ležícího v rovině α(n α, u α ). - obr Řešení: (obr. 1.36) Rovinu trojúhelníka otočíme do průmětny. 1. Sestrojíme bod S v otočení: (a) Určíme úběžník spádových přímek U s (leží v průsečíku kolmice vedené bodem S 2 ke stopě a úběžnice u α ). (b) Sestrojíme bod S v otočení (středem otáčení je bod U s, poloměrem je velikost úsečky U s (S)), otočený bod S 0 leží na kolmici vedené bodem S 2 k u α (průmět roviny otáčení). 2. Bod A v otočení najdeme takto: (a) Bodem A vedeme spádovou přímku s A s (prochází A s a U s ). (b) Stopník spádové přímky leží na stopě roviny, otočená spádová přímka s A 0 stopníkem a je kolmá ke stopě n α. prochází
17 1.1. ZákladnÍ pojmy 17 (c) Bod A 0 leží na otočené spádové přímce s A 0 a na přímce procházející bodem S 0 (otočený bod S) a bodem A s. 3. Mezi otočeným objektem a jeho středovým průmětem platí vztah středové kolineace jejíž osou je stopa n ρ roviny ρ, středem je otočený střed S 0 a párem odpovídajících si bodů body A s a A Pomocí této kolineace sestrojíme body B, C v otočení (otočené body označíme B 0, C 0 ). 5. Trojúhelník A 0, B 0, C 0 je otočený obraz trojúhelníka ABC tj. trojúhelník ABC ve skutečné velikosti. Obrázek 1.35: Obrázek 1.36: Příklad 1.14 Ve středovém promítání se středem S sestrojte čtverec ABCD, ležící v rovině α jestliže znáte středový průmět úhlopříčky AC. - obr Řešení: (obr. 1.38) Otočíme rovinu α do průmětny, v otočení sestrojíme čtverec ve skutečné velikosti a jeho vrcholy otočíme pomocí kolineace zpět. 1. Sestrojíme bod S v otočení (viz. příklad 1.13), otočený bod označíme S Sestrojíme bod A v otočení (viz. příklad 1.13), otočený bod označíme A Pomocí této kolineace (jejíž osou je stopa roviny n ρ, středem je otočený střed S 0 a párem odpovídajících si bodů body A s a A 0 ) sestrojíme bod C v otočení (otočený bod označíme C 0 ). 4. V otočení sestrojíme čtverec A 0 B 0 C 0 D 0 s úhlopříčkou A 0 C 0.
18 1.1. ZákladnÍ pojmy Pomocí kolineace tento čtverec otočíme zpět, získáme čtverec ABCD ve středovém promítání. 6. Obrazem čtverce je čtyřúhelník A s B s C s D s, jehož protější strany se protínají na úběžnici roviny α. Obrázek 1.37: Obrázek 1.38: Příklad 1.15 Ve středovém promítání se středem S sestrojte krychli s podstavou v rovině α a na ní umístěte pravidelný čtyřboký jehlan tak, aby vrcholy podstavy splývaly s vrcholy horní podstavy krychle. Znáte středový průmět úhlopříčky AC, velikost výšky jehlanu je shodná s velikostí strany krychle. - obr Řešení: Úlohu překreslete na větší formát (A4) a vypracujte jako domácí cvičení. Návod: při řešení využijte poznatky z úloh (podstava krychle), (kolmé hrany) a (nanesení výšky). Obraz kružnice Středovým průmětem kružnice je kuželosečka, v níž průmětna protíná promítací kuželovou plochu kružnice (kuželová plocha jejímž vrcholem je střed promítání a řídící křivkou zobrazovaná kružnice). Typ kuželosečky závisí na poloze kružnice vzhledem k distanční rovině: pokud kružnice neprotíná distanční rovinu (nemá s ní žádný společný bod), pak je obrazem elipsa, jestliže kružnice protíná distanční rovinu, pak je obrazem hyperbola a jestliže se kružnice dotýká distanční roviny (má s ní jeden společný bod), pak je obrazem kružnice parabola. Postup při sestrojování obrazu kružnice vidíme na obrázku 1.41: sestrojíme otočený střed promítání a otočený střed kružnice (viz příklad 1.13), v otočení sestrojíme kružnici a v kolineaci najdeme její obraz (viz předmět Deg1). Podrobněji je tento postup popsán v následující úloze, kde sestrojujeme rotační kužel a kružnice je jeho podstavou.
19 1.1. ZákladnÍ pojmy 19 Obrázek 1.39: Obrázek 1.40: Příklad 1.16 Ve středovém promítání se středem S sestrojte rotační kužel s podstavou v rovině ρ. Je dán střed podstavy O v rovině ρ, poloměr podstavy je r a výška kužele a. - obr Řešení: (obr. 1.42) Sestrojíme podstavu kužele (obraz kružnice ve středovém promítání), bodem O vedeme kolmici k rovině ρ a na kolmici naneseme od bodu O výšku a. 1. Sestrojíme bod S v otočení (viz. příklad 1.13), otočený bod označíme S Sestrojíme bod O v otočení (viz. příklad 1.13), otočený bod označíme O V otočení sestrojíme kružnici m 0 se středem O 0 a poloměrem r. 4. Sestrojíme obraz kružnice m v kolineaci určené středem kolineace S 0, osou n ρ a párem odpovídajících si bodů O s, O 0 : (a) Sestrojíme úběžník kolmic U k (postup je stejný jako v příkladě 1.1.5, pro lepší přehlednost nejsou na obrázku označeny všechny použité přímky): (a) Bodem S 2 vedeme nárys s 2 spádové přímky s, která prochází středem promítání a leží v rovině (ρ ρ, S ρ ). Přímka s 2 prochází bodem S 2 a je kolmá k úběžnici u ρ. (b) Úběžník spádových přímek U s leží v průsečíku úběžnice u ρ a přímky s 2. (c) Sklopíme promítací rovinu přímky s 2 (bod (S) leží na kolmici k s 2 procházející bodem S 2 a na distanční kružnici k d, U s = (U s ).
20 1.1. ZákladnÍ pojmy 20 Obrázek 1.41: (d) Sklopená přímka (s ) prochází body (S), U s. (e) Sklopená kolmice (k ) prochází bodem (S) a a je kolmá k (s ). (f) Úběžník kolmic U k je průsečíkem přímek (k ) a s 2 = k Obraz přímky k, která prochází bodem O a je kolmá k rovině ρ prochází bodem O s a úběžníkem kolmic U k. Přímka k 2 prochází stopníkem N n α a je kolmá k n α. 7. Určíme stopník N k přímky k (průsečík přímek k 2, k s ). 8. Na přímku k naneseme od bodu O vzdálenost a (postup je stejný jako v příkladě 1.1.5, pro lepší přehlednost nejsou na obrázku označeny všechny použité přímky): (a) Zvolíme rovinu α tak, aby k α (U k u α a N k n α ) - volíme n α n ρ. (b) Sestrojíme úběžník promítacích paprsků U u u α : i. Sklopíme trojúhelník SS 2 U k, ve sklopení mu odpovídá trojúhelník (S)S 2 U k s pravým úhlem při vrcholu S 2, velikost strany S 2 (S) = d. ii. Vzdálenost = (S)U k je rovna skutečné vzdálenosti úběžníků U k a U u. (c) Z úběžníku světelných paprsků U u promítneme bod O na stopu n α, získáme bod [O] n α. (d) Na stopu n α naneseme zadanou vzdálenost a, získaný bod označíme [V ], který promítneme z bodu U u zpět na přímku k s. (e) Promítnutím jsme získali bod V s, který je středovým průmětem bodu V ležícího na přímce k a velikost úsečky V W je a.
21 1.1. ZákladnÍ pojmy Obrysové površky kužele sestrojíme tak, že z bodu V s vedeme k obrazu podstavy tečny.
22 1.1. ZákladnÍ pojmy 22 Obrázek 1.42:
23 Literatura [1] Bohne, E. Klix, W.D.: Geometrie Grundlagen für Anwendungen. Leipzig, Fachbuchverlag [2] Ježek, F. Míková, M.: Maticová algebra a analytická geometrie. Plzeň, ZČU [3] Rogers, D.F. Adams, J.A.: Mathematical Elements for Computer Graphics. New York, Mc Graw Hill [4] Urban, A.: Deskriptivní geometrie I. Praha, SNTL [5] Urban, A.: Deskriptivní geometrie II. Praha, SNTL
Cyklografie. Cyklický průmět bodu
Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme
Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1
Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu
MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část
MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice
MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím
část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po
Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:
Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme
Konstruktivní geometrie - LI. Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44
Kótované promítání Konstruktivní geometrie - LI Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44 Obsah 1 Polohové úlohy 2 Spád přímky a roviny Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání
Kótované promítání. Úvod. Zobrazení bodu
Úvod Kótované promítání Každá promítací metoda má z pohledu praxe určité výhody i nevýhody podle toho, co při jejím užití vyžadujeme. Protože u kótovaného promítání jde o zobrazení prostoru na jednu rovinu,
Konstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU
Konstruktivní geometrie & technické kreslení PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Mongeova projekce - úlohy polohy
Mongeova projekce - úlohy polohy Mgr. František Červenka VŠB-Technická univerzita Ostrava 16. 2. 2010 Mgr. František Červenka (VŠB-TUO) Mongeova projekce - úlohy polohy 16. 2. 2010 1 / 14 osnova 1 Mongeova
Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich
AXONOMETRIE - 2. část
AXONOMETRIE - 2. část Průmět přímky K určení přímky stačí její dva libovolné průměty, zpravidla používáme axonometrický průmět a půdorys. Bod ležící na přímce se zobrazí do bodu na přímce v každém průmětu.
Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie. Pomocný učební text. František Ježek, Světlana Tomiczková
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň 20. září 2004 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný text
Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou
Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří
MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]
ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten MONGEOVO PROMÍTÁNÍ π 1... půdorysna π 2... nárysna x... osa x (průsečnice průměten) sdružení průměten A 1... první průmět bodu A A 2... druhý průmět bodu A ZOBRAZENÍ
KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE
KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Přednáška Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
Elementární plochy-základní pojmy
-základní pojmy Kulová plocha je množina bodů v prostoru, které mají od pevného bodu S stejnou vzdálenost r. Hranolová plocha je určena lomenou čarou k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ),
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE KOSOÚHLÉ PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání: 2012 Vypracovala:
Deskriptivní geometrie 1
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 1 Pomocný učební text 1. část Světlana Tomiczková Plzeň 2. října 2006 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE PLOCHY A OBLÁ TĚLESA V KOSOÚHLÉM PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY DIPLOMOVÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok
RELIÉF. Reliéf bodu. Pro bod ležící na s splynou přímky H A 2 a SA a reliéf není tímto určen.
RELIÉF Lineární (plošná) perspektiva ne vždy vyhovuje pro zobrazování daných předmětů. Například obraz, namalovaný s osvětlením zleva a umístěný tak, že je osvětlený zprava, se v tomto pohledu "nemodeluje",
BA008 Konstruktivní geometrie. Kolmá axonometrie. pro kombinované studium. učebna Z240 letní semestr
BA008 Konstruktivní geometrie pro kombinované studium Kolmá axonometrie Jan Šafařík Jana Slaběňáková přednášková skupina P-BK1VS1 učebna Z240 letní semestr 2016-2017 31. března 2017 Základní literatura
Perspektiva. Doplňkový text k úvodnímu cvičení z perspektivy. Obsahuje: zobrazení kružnice v základní rovině metodou osmi tečen
Perspektiva Doplňkový text k úvodnímu cvičení z perspektivy Obsahuje: úvodní pojmy určení skutečné velikosti úsečky zadané v různých polohách zobrazení kružnice v základní rovině metodou osmi tečen 1 Příklad
0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.
strana 9 3.1a Sestrojte sdružené průměty stopníků přímek a = AB, b = CD, c = EF. A [-2, 5, 1], B [3/2, 2, 5], C [3, 7, 4], D [5, 2, 4], E [-5, 3, 3], F [-5, 3, 6]. 3.1b Určete parametrické vyjádření přímek
BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Řešené úlohy v axonometrii Vypracovala: Barbora Bartošová M-DG, III. ročník Vedoucí práce: RNDr. Miloslava
KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI
KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení
Deskriptivní geometrie 1
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 1 Pomocný učební text 1. část Světlana Tomiczková Plzeň 22. září 2009 verze 3.0 Předmluva Tento pomocný
P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,
P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor
Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Michaela Sukupová 3. ročník prezenční studium Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání a český jazyk se zaměřením na vzdělávání
[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]
Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.
Metrické vlastnosti v prostoru
Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii
Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
Deskriptivní geometrie pro střední školy
Deskriptivní geometrie pro střední školy. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Deskriptivní geometrie Díl Deskriptivní geometrie,. díl Mgr. Ivona Spurná Jazyková úprava:
Pravoúhlá axonometrie
Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou
DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze:
DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA Mgr. Ondřej Machů --- Pracovní verze: 6. 10. 2014 --- Obsah Úvodní slovo... - 3-1 Základy promítacích metod... - 4-1.1 Rovnoběžné promítání...
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní
PŘÍMKOVÉ PLOCHY. Přednáška DG2*A
PŘÍMKOVÉ PLOCHY Přednáška DG*A PŘÍMKOVÉ PLOCHY = plocha, jejímž každým bodem prochází alespoň jedna přímka plochy. Každá přímková plocha je určena třemi řídícími křivkami, příp. plochami. p k k k 3 Je-li
Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 11. září 2006 verze 4.0 Předmluva
Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika. Bítov Blok 1: Kinematika
Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika Bítov 13.-17.8.2012 Blok 1: Kinematika Pro lepší orientaci v obrázku je vhodné umísťovat. Nabízí se dvě rychlé varianty. Buď pomocí příkazu
DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) ---
DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --- PŘÍKLA: A4 na výšku, O [10,5; 9,5] Pravidelný šestiboký hranol má podstavu v půdorysně
3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru
3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ A B E 3 E 2 Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.1.Kartézský souřadnicový systém O počátek
Deskriptivní geometrie pro střední školy
Deskriptivní geometrie pro střední školy Mongeovo promítání 1. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Obsah TEMATICKÉ ROZDĚLENÍ DÍLŮ KNIHY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE 1. díl
MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě
MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě BRNO 2006 BLANKA MORÁVKOVÁ Prohlášení: Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracovala
1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
Mongeovo promítání 1 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ 1.1 Základní pojmy V Mongeově promítání promítáme na dvě navzájem kolmé průmětny. Vodorovná průmětna se nazývá půdorysna a značí se, svislá průmětna se nazývá
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE Diplomová práce Řezy rotačních těles v projekcích Vedoucí diplomové práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání:
středu promítání (oka) se objekty promítají do roviny (nahrazuje sítnici). Perspektivní obrazy
Lineární perspektiva Lineární perspektiva je významnou aplikací středového promítání. V technické praxi se používá především k zobrazování objektů větších rozměrů, napodobuje tak lidské vidění. Ze středu
KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ
KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ 2.KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ Označíme: s...směr promítání, s p k c...kóta bodu C C 1 (k c )...kótovaný průmět bodu C. pokud k c 0 (k c 0), potom bod C leží nad (pod) průmětnou p. jednotka j=1cm
ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy
ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího
Konstruktivní geometrie
Konstruktivní geometrie Elipsa Úloha 1: Najděte bod M takový, aby součet jeho vzdáleností od bodů F 1 a F 2 byl 12cm; tj. F 1 M+F 2 M=12. Najděte více takových bodů. Konstruktivní geometrie Elipsa Oskulační
STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
STEREOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia utoři projektu Student na prahu 21. století - využití IT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTIE
S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A
S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,
Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek
Konstruktivní geometrie (KG-L) Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Sestrojte elipsu, je-li dáno a = 5cm a b = 3cm. V libovolném bodě sestrojte její tečnu. Tento úkol je na krásu, tj. udělejte oskulační
SBÍRKA ÚLOH STEREOMETRIE. Polohové vlastnosti útvarů v prostoru
SÍR ÚO STROTRI Polohové vlastnosti útvarů v prostoru Sbírka úloh STROTRI Polohové vlastnosti útvarů v prostoru gr. arie hodorová, Ph.. rafická úprava a sazba: arcel Vrbas OS SZN POUŽÍVNÝ SYOŮ 5. ZÁY STROTRI
Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Plzeň 1. února 2009 verze 6.0
Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 1. února 2009 verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie
půdorysu; pro každý bod X v prostoru je tedy sestrojen pouze jeho nárys X 2 a pro jeho
Řešené úlohy Rotační paraboloid v kolmém promítání na nárysnu Příklad: V kolmém promítání na nárysnu sestrojte tečnou rovinu τ v bodě A rotačního paraboloidu, který má ohnisko F a svislou osu o, F o, rotace;
AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.
AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Kartografické projekce
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Kartografické projekce Vypracoval: Jiří Novotný Třída: 4.C Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem
5 Pappova věta a její důsledky
5 Pappova věta a její důsledky Pappos z Alexandrie (?90?350), řecký matematik a astronom. Pod označením Pappova věta je uváděno více vět. Proto je třeba uvést, o jaké z těchto vět hovoříme. Zde se budeme
ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY
ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno
Axonometrie KG - L ZS MZLU v Brně. KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS / 60
Axonometrie KG - L MZLU v Brně ZS 2008 KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 1 / 60 Obsah 1 Úvod 2 Typy axonometrií 3 Pravoúhlá axonometrie Zobrazení přímky Zobrazení roviny Polohové úlohy KG - L (MZLU
Mongeovo zobrazení. Řez jehlanu
Mongeovo zobrazení Řez jehlanu Středová kolineace Středová kolineace Definice Geometrická příbuznost mezi útvary dvou rovin (různých nebo totožných) splňující následující podmínky Středová kolineace Definice
OBECNÉ ROTAČNÍ PLOCHY
OBECNÉ ROTAČNÍ PLOCHY 1. Základní konstrukce na rotačních plochách, tečné roviny a řezy rotačních ploch. Rotační plochy vznikají rotačním pohybem kolem osy. Máme-li v prostoru dánu přímku o a orientovaný
Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách
Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz
9.5. Kolmost přímek a rovin
9.5. Kolmost přímek a rovin Pro kolmost přímek a rovin platí následující věty, které budeme demonstrovat na krychli ABCDEFGH se středy podstav S, Q. Přímka kolmá k rovině je kolmá ke všem přímkám této
Aplikace deskriptivní geometrie
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Rozšíření akreditace učitelství matematiky a učitelství deskriptivní geometrie na PřF UP v Olomouci o formu kombinovanou CZ.1.07/2.2.00/18.0013 Aplikace deskriptivní geometrie
REKONSTRUKCE ASTROLÁBU POMOCÍ STEREOGRAFICKÉ PROJEKCE
REKONTRUKCE ATROLÁBU POMOCÍ TEREOGRAFICKÉ PROJEKCE Václav Jára 1 1 tereografická projekce a její vlastnosti tereografická projekce kulové plochy je středové promítání z bodu této kulové plochy do tečné
Deskriptivní geometrie
Deskriptivní geometrie Stavebnictví RNDr. Milan Vacka 2013 České Budějovice 1 Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora studentů se specifickými vzdělávacími potřebami na Vysoké
Deskriptivní geometrie II.
Střední průmyslová škola elektrotechnická a Vyšší odborná škola Pardubice, Karla IV. 13 Deskriptivní geometrie II. Ing. Rudolf Rožec Pardubice 2001 Skripta jsou určena pro předmět deskriptivní geometrie
P L A N I M E T R I E
M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů
Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.
Abstrakt Tento text je určen všem zájemcům z řad široké veřejnosti, především jako studijní materiál pro studenty Konstruktivní a počítačové geometrie. Práce pojednává o rotačních kvadratických plochách,
Fotogrammetrie. zpracovala Petra Brůžková. Fakulta Architektury ČVUT v Praze 2012
Fotogrammetrie zpracovala Petra Brůžková Fakulta Architektury ČVUT v Praze 2012 Fotogrammetrie je geometrický postup, který nám umožňuje určení tvaru, velikosti a polohy reálných objektů na základě fotografického
Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem
Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................
ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191. Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ
STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ 1. ročník TECHNICKÉ KRESLENÍ ÚVOD A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE
Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
Aplikace lineární perspektivy
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Aplikace lineární perspektivy Vypracoval: Jakub Sýkora Třída: 8.M Školní rok: 2015/2016 Seminář : Deskriptivní geometrie Prohlašuji,
PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh
PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní
Deskriptivní geometrie
Deskriptivní geometrie Stavebnictví RNDr. Milan Vacka 2013 České Budějovice 1 Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora studentů se specifickými vzdělávacími potřebami na Vysoké
ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce
1) Šroubový pohyb ŠROUBOVICE Šroubový pohyb vznikne složením dvou pohybů : otočení kolem dané osy o a posunutí ve směru této osy. Velikost posunutí je přitom přímo úměrná otočení. Konstantou této přímé
Mongeovo zobrazení. Osová afinita
Mongeovo zobrazení Osová afinita nechť je v prostoru dána průmětna π, obecná rovina ρ a v této rovině libovolný trojúhelník ABC, promítneme-li trojúhelník kolmo do průmětny π, dostaneme trojúhelník A
Pravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles
Pravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles KG - L MENDELU KG - L (MENDELU) Pravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles 1 / 1 Příklad (Řez šikmého hranolu) Sestrojte řez šikmého čtyřbokého hranolu ABCDA
Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,
5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu
1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další
Kapitola 1 Planimetrie a stereometrie Doplňky ke středoškolské látce 1.1 Základní pojmy prostorové geometrie 1.1.1 Axiomy Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další
2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21
2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému
Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,
Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží
FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině
FOTOGRAMMETRIE Máme-li k dispozici jednu nebo několik fotografií daného objektu (objekt zobrazený v lineární perspektivě), pomocí fotogrammetrie můžeme zjistit jeho tvar, rozměr či polohu v prostoru. Známe-li
Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11].
Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. VŠB-TU Ostrava 1 Jana Bělohlávková Konstruktivní geometrie
Prùniky tìles v rùzných projekcích
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PØÍRODOVÌDECKÁ FAKULTA Katedra algebry a geometrie Prùniky tìles v rùzných projekcích Bakalářská práce Vedoucí práce: RNDr. Lenka Juklová, Ph.D. Rok odevzdání: 2010 Vypracoval:
Kartografické projekce
GYMNÁZIUM CHRISTIANA DOPPLERA Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce z deskriptivní geometrie Kartografické projekce Vypracoval: Nguyen, Viet Bach, 4.C Školní rok: 2011/2012 Zadavatel: Mgr. Ondřej Machů
Mendelova univerzita. Konstruktivní geometrie
Mendelova univerzita Petr Liška Konstruktivní geometrie rno 2014 Tato publikace vznikla za přispění Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu ČR prostřednictvím Operačního programu Vzdělávání pro
Základní geometrické tvary
Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.
pomocný bod H perspektivního obrázku zvolte 10 cm zdola a 7 cm zleva.)
Teoretické řešení střech Zastřešení daného půdorysu rovinami různého spádu vázaná ptačí perspektiva Řešené úlohy Příklad: tačí perspektivě vázané na Mongeovo promítání zobrazte řešení střechy nad daným
Dvěma různými body prochází právě jedna přímka.
Úvod Jestliže bod A leží na přímce p a přímka p leží v rovině, pak i bod A leží v rovině. Jestliže v rovině leží dva různé body A, B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině. Dvěma
KARTOGRAFIE. Rovinné projekce. Gnómické projekce. 1. Pólová gnómonická projekce
KARTOGRAFIE Kartografie se zabývá zobrazováním zemského povrchu. Zemský povrch (geoid) nahrazujeme plochou kulovou a tu zobrazujeme. Délky zmenšujeme v daném měřítku. Na kulové ploše zavádíme souřadný
Test č. 1. Kuželosečky, afinita a kolineace
Test č. 1 Deskriptivní geometrie, I. ročník kombinovaného studia FAST, letní semestr 2006-2007 Kuželosečky, afinita a kolineace (1) (a) Je dána elipsa E(F 1, F 2, a), F 1 F 2 < 2a. Sestrojte několik bodů
ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
STEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,...
STEREOMETRIE Stereometrie je část geometrie, která se zabývá studiem prostorových útvarů. Základními prostorovými útvary, se kterými budeme pracovat, jsou bod, přímka a rovina. Značení: body A, B, C,...
ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Zpracovala: Kristýna Rožánková FA ČVUT 2011 ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY Zborcené přímkové plochy jsou určeny třemi křivkami k, l, m, které neleží na jedné rozvinutelné
5.2.4 Kolmost přímek a rovin II
5.2.4 Kolmost přímek a rovin II Předpoklady: 5203 Př. 1: Zformuluj stereometrické věty analogické k planimetrické větě: aným bodem lze v rovině k dané přímce vést jedinou kolmici. Věta: aným bodem lze
LINEÁRNÍ PERSPEKTIVA
LINEÁRNÍ PERSPEKTIVA Lineární perspektiva je významnou aplikací středového promítání. V technické praxi se používá především k zobrazování objektů větších rozměrů, napodobuje tak lidské vidění. Ze středu