Teorie grafů Jirka Fink

Teorie grafů Jirka Fink Nejprve malý množinový úvod Definice. Množinu {Y; Y X} všech podmnožin množiny X nazýváme potenční množinoumnožiny Xaznačíme2 X. Definice. Množinu {Y; Y X, Y =n}všech n-prvkovýchpodmnožinmnožiny X značíme ( X n). Základní definice Definice. Graf G(obyčejný neorientovaný) je uspořádaná dvojice G =(V, E), kde V je nějaká neprázdná množina a E je množina dvoubodových podmnožin množiny V (E ( V 2) ). V jemnožinavrcholů(anglickyvertex)aejemnožinahran(edge) mezivrcholy V.Je-li e Ehranagrafu,pak e={u, v},kde u, v V u v. Definice. Orientovanýgraf Gjeuspořádanádvojice G=(V, E),kde E V V, rozlišujemetedy,odkudkamhranavede.hranu ezvrcholu udo vzapisujeme e= (u, v).jakjevidět,tatodefinice(narozdílodpředchozí)připouštíihranytypu(u, v). Těmtohranámseříkásmyčkyavevšechtypechgrafůjelzepovolitnebozakázat. Definice. Multigrafem(orientovaným i neorientovaným) nazveme graf, kde mezi každými dvěma vrcholy může vést libovolný počet hran. Definice. Ohodnocený graf je uspořádaná trojice(v, E, ω), kde V a E jsou jako vpředchozíchdefinicíchaωjefunkce ω:e R,tedyfunkce,kterákaždéhraně přiřadí reálné číslo. Speciální grafy Definice. Úplnýgraf na nvrcholech(značíme K n)jegraf G=(V, E),kde V =n a E= ( V 2),tedygraf,vekterémjekaždádvojicevrcholůspojenahranou. 8

Jirka Fink: Teorie grafů Definice. Úplnýbipartitnígraf na manvrcholech(značíme K m,n)jegraf G= (V, E),kde V = {u 1,..., u m, v 1,... v n}ae= {{u i, v j }; i=1,..., m, j=1,..., n}, tedygrafna m+nvrcholechrozdělenýchdodvouskupinomanvrcholechtakový, že dvojice vrcholů je spojena hranou právě tehdy, když dané vrcholy náležejí různým skupinám. Definice. Cestana nvrcholech(značíme P n)jegraf G=(V,É),kdehranyvedou mezisousednímivrcholy,tedy V = {1,..., n}, E= {{i, i+1}; i=1,..., n 1}. Definice. Kružnicena nvrcholech(značíme C n)jegraf G=(V,É),kdehranyvedou mezisousednímivrcholyatéžmeziprvnímaposledním,tedy V = {1,..., n}, E= {{i, i+1}; i=1,..., n 1} {{1, n}}. Další definice Definice. Dvagrafy G=(V, E)aG =(V, E )nazvemeizomorfní(značíme G = G ),pokudexistujebijekce(vzájemnějednoznačnézobrazení) f : V V tak,že platí {u, v} Eprávětehdy,když {f(u), f(v)} E. Definice. Graf H je podgrafem grafu G(značíme H G), jestliže vznikne vynechánímněkterýchvrcholůahran,tedy V(H) V(G)aE(H) E(G). Definice. Graf H je indukovaným podgrafem grafu G(značíme H G), jestliže vznikne vynecháním některých vrcholů a hran tyto vrcholy obsahujících, tedy V(H) V(G) E(H)=E(G) ( V(H) ) 2. Souvislé grafy Definice. Sledjeposloupnostnenutněrůznýchvrcholů(v 0,... v n),kdekaždédva sousedníjsouspojenyhranou,tedy v i V a {v i, v i+1 } E. Definice. Tah jesled,vekterémseneopakujíhrany,tedy {v i, v i+1 } {v j, v j+1 } pro i j. Definice. Cestajetah(sled),vněmžseneopakujívrcholy,tedy v i v j pro i j. Poznámka. Uzavřenýtah(sled)jetah(sled),prokterýnavícplatí v 0 = v n.místo pojmu uzavřená cesta se používá pojem kružnice. 9

Chlumětín 02 Věta. Mezi dvěma vrcholy existuje cesta právě tehdy, když mezi nimi existuje tah, a právě tehdy, když mezi nimi existuje sled. Definice. Řekneme, že graf G je souvislý, jestliže mezi každými dvěma jeho vrcholy existuje cesta. Definice. Komponenta grafu je každý maximální souvivislý podgraf. Každý graf lze jednoznačně rozložit na komponenty. Definice. Řekneme, že graf G je 2-souvislý, má-li alespoň 3 vrcholy a odebráním libovolného vrcholu zůstane souvislý. Vlastnosti grafu Definice. Stupněm vrcholu v nazveme počet hran jej obsahujících a označíme jej deg G (v),tedydeg G (v)= {e; e E(G) v e}. Definice. Skóre grafu G je posloupnost stupňů všech jeho vrcholů. Věta.(Principsudosti) Prokaždýgraf G=(V, E),platí deg G (v)=2 E v V Důsledek. Počet vrcholů každého grafu G, které mají lichý stupeň, je sudý. Věta.(Havlova) Nechť D=(d 1,..., d n)jeneklesajícíposloupnostpřirozenýchčísel. Označne D posloupnost(d 1,..., d n 1),kde d i = d ipro i < n d na d i = d i 1pro i n d n.potom Djeskóregrafuprávětehdy,když D jeskóregrafu. Stromy Definice. Strom je souvislý graf neobsahující kružnici. Definice. List je vrchol stromu stupně 1. Věta. Strom s alespoň dvěma vrcholy má alespoň dva listy. Definice. Kostrougrafu G=(V, E)rozumímekaždýstrom T,prokterýplatí T G a V(T)=V. Věta. Prokaždýstrom T=(V, E)platí E = V 1. 10

Jirka Fink: Teorie grafů Věta. Pro graf G =(V, E) jsou nasedující podmínky ekvivalentní: (1) G je strom. (2) Mezi každými dvěma vrcholy grafu G existuje právě jedna cesta. (3) G je souvislý a vynecháním libovolné hrany z G vznikne nesouvislý graf. (4) G neobsahuje kružnici a přidáním libovolné hrany vznikne kružnice. (5) Gjesouvislýa E = V 1. Rovinné grafy Definice. Rovinný graf je graf, který je možné nakreslit do roviny bez křížení hran. Nakreslit graf do roviny znamená, že každému vrcholu grafu přiřadíme bod roviny avrcholyspojenéhranouspojíme čárou. Definice. Mějme dáno nakreslení rovinného grafu. Potom stěnou rovinného grafu nazveme minimální část roviny ohraničenou hranami. Počet stěn grafu G značíme s(g). Věta.(Eulerovaformule) Prokaždýrovinnýgraf G=(V, E)platí V E +s(g)=2. Vidíme tedy, že počet stěn grafu G nezávisí na jeho daném nakreslení. Důsledek. Nechťgraf G=(V, E)jerovinnýanechť V 3.Pak E 3 V 6. Speciálněodtuddostáváme,žegraf K 5 nenírovinný. Důsledek. Nechťgraf G=(V, E)jerovinný,neobsahujetrojúhelníka V 3.Pak E 2 V 4.Speciálněodtuddostáváme,žegraf K 3,3 nenírovinný. Důsledek. Nechťgraf G=(V, E)jerovinný.Potomexistujevrchol v V takový, žedeg G (v)} 5. Definice. Nechť G=(V, E)jegrafa{u, v}jejehohrana.potomřeknemežegraf G =(V, E )vzniknedělenímhrany {u, v}právětehdy,když V = V {x}ae = E \{{u, v}}) {{u, x}, {v, x}}.jednuhranujsmenahradilidvěmahranamivedoucími přes nový vrchol. Definice. Graf G nazvemedělenímgrafu G,pokudvzniknezgrafu Gpostupným opakováním operace dělení hrany. Věta.(Kuratowski) Graf G je rovinný právě tehdy, když žádný jeho podgraf není izomorfnídělenígrafu K 5 nebo K 3,3. 11

Chlumětín 02 Barevnost grafu Definice. Barevnost grafu G(značíme χ(g)) je minimální počet barev potřebný k obarvení vrcholů grafu G tak, aby každé dva vrcholy spojené hranou měly různou barvu. Věta. Každý rovinný graf má barevnost nejvýše 5. Eulerovské a Hamiltonovské grafy Definice. Graf G nazveme Eulerovský, pokud je izomorfní s nějakým uzavřeným tahem. Věta. Graf G je Eulerovský právěi tehdy, když je souvislý a stupně všech jeho vrcholů jsou sudé. Definice. Graf G nazveme Hamiltonovský, pokud obsahuje jako svůj podgraf kružnicina V vrcholech. 12