Funkce základní pojmy a vlastnosti
|
|
- Radek Jaroš
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické Goniometrické Cklometrické 5 Transformace grafu funkce 6 Operace s funkcemi Leonard Euler
2 Pojem funkce Definice (funkce) Necht D je neprázdná množina reálných čísel. Pravidlo f, které každému reálnému číslu D přiřazuje právě jedno reálné číslo, se nazývá reálná funkce jedné reálné proměnné (stručně funkce). Zapisujeme = f(). - argument funkce f (nezávisle proměnná). - funkční hodnota funkce f v bodě (závisle proměnná). D - definiční obor funkce f, značí se D(f). Množina všech reálných čísel f(), která dostaneme pro všechna D, se nazývá obor hodnot funkce f a značí se H(f). Příklad (funkce) = cos, D(f) = R, H(f) =, =, D(f) = R \ {} protože, H(f) = R \ {} Obsah kruhu je funkcí jeho poloměru, ted =. D(f) = (, + ), nebot poloměr kruhu je vžd kladné číslo, H(f) = (, + ). Není-li definiční obor pro funkci f zadán, pak jím rozumíme množinu všech reálných čísel, pro které má výraz f() smsl. Příklad (definiční obor) Určete definiční obor funkce = a ted D(f) =, + ) Určete definiční obor funkce = log(5 ) 5 > < 5 a ted D(f) = (, 5 ) Určete definiční obor funkce = a ted D(f) = R \ { 4}
3 Graf funkce Definice (graf funkce) Grafem funkce = f() s definičním oborem D(f) rozumíme množinu všech bodů [, f()] rovin, kde D(f) ve zvolené kartézské souřadnicové soustavě. Definiční obor znázorňujeme na ose, obor hodnot na ose. Libovolná rovnoběžka s osou protíná graf funkce nejvýše v jednom bodě. Příklad (č. graf funkce) Křivka = není grafem funkce, protože jednomu nemohou být přiřazena dvě různá reálná čísla. = Příklad (č. graf funkce) =, grafem je přímka = k + q, směrnice k =, q =. Průsečík s osami: s osou [, ] ( = ): = = [, ] s osou [, ] ( = ): = = [, ] = D(f) = R, H(f) = R
4 Příklad (č. graf funkce) =, grafem je hperbola. D(f) = (, ) (, ), H(f) = (, ) (, ) = Poznámka (zadání funkce) Způsob zadání funkce: eplicitní = f(), ( = vzorec pro ) např. = tg, = 5, =, = + implicitní F (, ) =, ( vzorec pro a = ) např. log() + = tabulka funkčních hodnot graf
5 Vlastnosti funkcí Definice (parita funkce) Funkce f s definičním oborem, který má tu vlastnost, že s každým bodem obsahuje i bod, se nazývá sudá, jestliže pro každé D(f) platí f( ) = f(), lichá, jestliže pro každé D(f) platí f( ) = f(). Graf sudé funkce je souměrný podle os, např. = cos. Graf liché funkce je souměrný podle počátku souřadnic, např. = sin. Nutným předpokladem pro tuto vlastnost je, ab definiční obor bl souměrný podle počátku souřadnic. Obecně nemusí být funkce ani sudá ani lichá. Parita funkce Příklad (sudost, lichost funkce) graf sudé funkce = graf liché funkce = f() f() f() souměrnost podle os souměrnost podle počátku
6 Funkce rostoucí nebo klesající se nazývají rze monotonní, neklesající nebo nerostoucí se nazývají monotonní. Příklad (sudost, lichost funkce) Rozhodněte, zda následující funkce jsou sudé nebo liché. = +, R f( ) = ( ) + = + = + = f() Funkce je ted lichá. = +, R f( ) = ( ) + ( ) = + = f() Funkce je ted sudá. = + D(f) = R \ {} Není splněn předpoklad, že definiční obor s každým obsahuje také, funkce není ani sudá ani lichá. Monotonie funkce Definice (monotonie funkce) Necht f je funkce a M D(f) podmnožina definičního oboru. Řekneme, že funkce f je na množině M rostoucí, jestliže pro každé dvě, M takové, že < platí f( ) < f( ). klesající, jestliže pro každé dvě, M takové, že < platí f( ) > f( ). neklesající, jestliže pro každé dvě, M takové, že < platí f( ) f( ). nerostoucí, jestliže pro každé dvě, M takové, že < platí f( ) f( ).
7 Příklad (rostoucí, klesající funkce) graf rostoucí funkce = e f( ) graf klesající funkce = e f( ) f( ) f( ) < f( ) < f( ) < f( ) > f( ) obě funkce jsou rze monotonní na D(f) = R Příklad (neklesající, nerostoucí funkce) graf neklesající funkce graf nerostoucí funkce f( ) = f( ) f( ) = f( ) < f( ) f( ) < f( ) f( ) obě funkce jsou monotonní na D(f) = R
8 Příklad Funkce = není na celém svém definičním oboru D(f) = R \ {} klesající a ted ani monotonní. f( ) < ale f( ) < f( ) f( ) Je klesající pouze v každém z intervalů (, ) a (, ). Ohraničenost funkce Definice (ohraničenost funkce) Necht f je funkce a M D(f) podmnožina definičního oboru. Řekneme, že funkce f je na množině M zdola ohraničená, jestliže eistuje takové d R, že pro každé M platí f() d. shora ohraničená, jestliže eistuje takové h R, že pro každé M platí f() h. ohraničená, jestliže je na množině M ohraničená shora i zdola. Je-li funkce ohraničená zdola, pak eistuje vodorovná přímka = d taková, že graf funkce leží celý nad touto přímkou. Je-li funkce ohraničená shora, pak eistuje vodorovná přímka = h taková, že graf funkce leží celý pod touto přímkou. Je-li funkce ohraničená, leží celý graf mezi dvěma vodorovnými přímkami.
9 Příklad = je ohraničená zdola = je ohraničená shora h d = sin je ohraničená h d Prostá funkce Definice (prostá funkce) Řekneme, že funkce f je na množině M prostá, jestliže pro každé, M takové, že, platí f( ) f( ). Každá funkční hodnota odpovídá pouze jedinému argumentu. Graf prosté funkce protíná každá vodorovná přímka v nejvýše jednom bodě. Věta Každá rze monotonní funkce na množině M je prostá. Je-li ted funkce na množině M rostoucí nebo klesající, je zde prostá.
10 Příklad funkce = je prostá na D(f) = R funkce = není prostá na D(f) = R f( ) = f( ) na intervalu (, ) je klesající a ted prostá na intervalu (, ) je rostoucí a ted také prostá Periodičnost funkce Definice (periodičnost funkce) Funkce f s definičním oborem, který má tu vlastnost, že s každým bodem obsahuje také bod + p, kde p >, se nazývá periodická s periodou p, jestliže pro všechna D(f) platí f( + p) = f(). Příklad Goniometrické funkce = sin a = cos jsou periodické funkce se základní periodou (jsou ale periodické také s periodou 4, 6 atd.). - Goniometrické funkce = tg a = cotg jsou periodické s periodou.
11 Inverzní funkce Definice (inverzní funkce) Necht f je prostá funkce. Funkce f, která každému číslu H(f) přiřazuje právě to číslo D(f), pro které platí = f(), se nazývá inverzní funkce k funkci f. Značíme ji f, ted = f (). D(f) f H(f) f H(f ) D(f ) Platí D(f ) = H(f), H(f ) = D(f). f je inverzní funkce k funkci f. Graf funkcí f a f jsou smetrické podle přímk =. Je-li funkce f rostoucí (klesající), je i f rostoucí (klesající). Chceme-li k funkci f najít inverzní funkci, zaměníme v zadání funkce = f() proměnné a. Z rovnice = f() pak vjádříme proměnnou. Příklad Určete inverzní funkci k funkci =. f : = je prostá (rostoucí) D(f) = R H(f) = R f : = + = = + D(f ) = R H(f ) = R = = = +
12 Základní elementární funkce Základní elementární funkce mocninné eponenciální logaritmické goniometrické cklometrické Všechn funkce, které ze základních elementárních funkcí získáme konečným počtem operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a skládáním těchto funkcí navzájem, se nazývají elementární funkce. Mocninné funkce Mocninná funkce je funkce tvaru = a, kde (, ), mocnitel a R je číslo libovolné, ale pevné. Pro různé mocnitele může mít různé definiční obor, nebot je lze někd rozšířit. Mezi mocninné funkce patří = n, = n = n, D(f) = (, ), D(f) = (, ) (, ), = n = n, D(f) =, ), kde n N. Pro n liché můžeme definiční obor funkce = n rozšířit na množinu (, ) tak, že pro kladné číslo a je n a = n a. Ted např. 8 =. Pro n sudé platí, že n a není v R definována, např. 4.
13 mocninné funkce přímka = parabola = D(f) = R, H(f) = R D(f) = R, H(f) =, ) mocninné funkce kubická parabola = hperbola = D(f) = R, H(f) = R D(f) = R {}, H(f) = R {}
14 mocninné funkce = odmocnina = D(f) = R {}, H(f) = (, ) D(f) =, ), H(f) =, ) Eponenciální funkce eponenciální funkce = a (a >, a ) = a (a > ) = a ( < a < ) a D(f) = R, H(f) = (, ) a > rostoucí pro a > a klesající pro < a < speciální případ = e, kde e =, 788 je tzv. Eulerovo číslo a
15 Příklad (eponenciální funkce) Nakreslete graf funkcí = a = ( ). = ( ) = ( ) je totožný s grafem =. Platí totiž Graf funkce = ( ) = = Logaritmické funkce logaritmické funkce = log a (a > ) = log a ( < a < ) a a D(f) = (, ), H(f) = R rostoucí pro a > a klesající pro < a < a = e, = ln (= log e ), tzv. přirozený logaritmus a =, = log (= log ), tzv. dekadický logaritmus
16 Příklad (logaritmické funkce) Nakreslete graf funkcí = log a = log. = ( ) = = = log = log Logaritmická funkce = log a a eponenciální funkce = a o stejném základu a jsou vzájemně inverzní a platí vztah, = log a = a Pro logaritmickou funkci platí log a a = speciálně log =, ln e =, log a = speciálně log =, ln =, log a = ln ln a speciálně log = ln ln Příklad log = 5 = 5 log = = ln = = e
17 Příklad (logaritmické funkce) Nakreslete graf funkcí = ln a = log. = ln = log e Goniometrické funkce goniometrické funkce = sin - = cos - D(f) = R, H(f) =, funkce jsou periodické se základní periodou p = funkce = cos je sudá, funkce = sin je lichá
18 goniometrické funkce = tg, tg = sin cos = cotg, cotg = cos sin D(f) = R { (k + ), k Z}, H(f) = R D(f) = R {k, k Z}, H(f) = R funkce jsou periodické se základní periodou p =, jsou obě liché Hodnot goniometrických funkcí Hodnot goniometrických funkcí ve vbraných úhlech Stupně Radián sin α cos α tg α - cotg α - -
19 Cklometrické funkce Inverzní funkce k = sin = arcsin = - = sin Inverzní funkce k funkci = sin,,, je funkce = arcsin Inverzní funkce k = cos = arccos = - = cos Inverzní funkce k funkci = cos,,, je funkce = arccos
20 cklometrické funkce = arcsin = arccos 6 D(f) =,, H(f) =, funkce = arcsin je rostoucí a lichá D(f) =,, H(f) =, funkce = arccos je klesající Inverzní funkce k = tg = tg = arctg = Inverzní funkce k funkci = tg, (, ), je funkce = arctg
21 Inverzní funkce k = cotg = arccotg = = cotg Inverzní funkce k funkci = cotg, (, ), je funkce = arccotg cklometrické funkce = arctg = arccotg 4 4 D(f) = R, H(f) = (, ) funkce = arctg je rostoucí a lichá D(f) = R, H(f) = (, ) funkce = arccotg je klesající
22 Příklad (určení funkční hodnot) arcsin = 6, protože sin 6 = ( ) ( ) arcsin = arcsin = 4, protože sin 4 = a funkce = arcsin je lichá ( ) arccos = 6, protože cos 6 = ( ) arccos = 5 6, protože cos 6 = a 6 = 5 6 arctg = ( ), protože tg = Příklad (definiční obor) Určete definiční obor funkce = arccos. Funkce = arccos má definiční obor,, proto musí platit a / 4 Definiční obor je ted D(f) =,
23 Transformace grafu funkce Poznámka (přičtení čísla k argumentu) graf funkce = f( ± c) (posun ve směru os ) = ( + ) = ( ) Poznámka (přičtení čísla k funkční hodnotě) graf funkce = f() ± c (posun ve směru os ) = = +
24 Příklad Nakreslete graf funkce = + log ( + ). Posun, ; a = > rostoucí funkce; + > D(f) = (, ) 4 = + log ( + ) = log průsečík a osami: = = + log = [, ] = = + log ( + ) = log ( + ) = + 4 = 4 = [ 4, ] Poznámka (vnásobení funkční hodnot číslem ) = graf funkce = f() (překlopení kolem os ) e = e = -e = e souměrnost podle os
25 Poznámka (vnásobení argumentu číslem ) graf funkce = f( ) (překlopení kolem os ) = = = ln( ) = ln -e e souměrnost podle os Operace s funkcemi Poznámka (operace s funkcemi) Funkce lze sčítat, odčítat, násobit a dělit: (f + g)() = f() + g() (f g)() = f() g() (f g)() = f() g() ( ) f () = f(), kde g() g g() Definiční obor těchto funkcí je průnikem definičních oborů jednotlivých funkcí s tím, že v případě podílu navíc požadujeme, ab g().
26 Skládání funkcí Definice (složená funkce) Necht je dána funkce u = g() s definičním oborem D(g), oborem hodnot H(g) a funkce = f(u), která je definována na množině D(f) H(g). Složenou funkcí (f g)() rozumíme přiřazení, které každému D(g) přiřadí číslo = f (g()), tj. hodnotu funkce f v čísle g(). Funkce g se nazývá vnitřní složka, funkce f vnější složka složené funkce. D(g) D(f) H(g) H(f) g f g() f(g()) f g Funkce složená vznikne dosazením libovolné funkce za argument jiné funkce. Opakováním postupu skládání funkcí dostaneme vícenásobně složené funkce. Příklad Funkce = log, má vnější složku = u a vnitřní složku u = log. Funkce = sin( ), má vnější složku = sin u a vnitřní složku u =. Funkce = ln cos(), má vnější složku = ln z a vnitřní složk z = v, v = cos u, u =.
27 Určování definičních oborů Poznámka Při určování definičních oborů složených funkcí a podílu funkcí je třeba brát v úvahu následující podmínk: funkce tvaru = f() je definovaná pro g(), g() funkce tvaru = f() je definovaná pro f(), funkce tvaru = log a f() je definovaná pro f() >, funkce tvaru = tg(f()) je definovaná pro f() (k + ), k Z, funkce tvaru = cotg(f()) je definovaná pro f() k, k Z, funkce tvaru = arcsin(f()) a = arccos(f()) jsou definován pro f(). Příklad Určete definiční obor funkce = ln( + ) e 4 + > > ( )( ) (, > <, ) D(f) = (,, 4) (4, )
28 Vzájemně inverzní základní elementární funkce = =, = = = e = a, a, a > = sin,, = cos,, = tg, (, = cotg, (, ) ) = ln = log a = arcsin = arccos = arctg = arccotg Pro vzájemně inverzní funkce f a f platí f (f()) =, f(f ()) = pro všechna, pro která má tento zápis smsl. Příklad Pro všechna, pro která mají uvedené operace smsl, například platí: = ln(e ) = e ln = log a (a ) = a log a = ( ) = = sin(arcsin ) = arcsin(sin ) = tg(arctg ) = arctg(tg )
Funkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceFunkce. Vlastnosti funkcí
FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční
Více2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Funkce 2.. Definice Říkáme, že na množině D reálných čísel je definována funkce f jedné reálné proměnné, je-li dán předpis, podle kterého je ke každému číslu x D přiřazeno právě
Víceh = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R
.4. Cíle V této kapitole jsou deinován nejdůležitější pojm týkající se vlastností unkcí. Při dalším studiu budou tto vlastnosti často používán. Je proto nutné si jejich deinice dobře zapamatovat. Deinice.4..
Více0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
VíceV této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že
.5. Cíle Uvedeme nní několik unkcí, z nichž většinu studenti znají již ze střední škol. Nazveme je základní elementární unkce. Konečným počtem sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání a případně invertování
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
VíceP ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
VíceMatematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
Vícey = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +
Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Více2 Reálné funkce jedné reálné proměnné
2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen
VícePřednáška 1: Reálná funkce jedné reálné proměnné
Přednáška : Reálná unkce jedné reálné proměnné Pojem unkce Deinice Reálnou unkcí jedné reálné proměnné rozumíme předpis y ( ) na jehož základě je každému prvku množiny D (zvané deiniční obor) přiřazen
VíceElementární funkce. Polynomy
Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.
VíceFUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF
FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční
VíceČíselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, }
ÚVOD DO MATEMATIKY Číselné množin Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Racionální čísla (Q) Čísla která lze vjádřit
VíceDerivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
VíceFunkce a základní pojmy popisující jejich chování
a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny
VíceÚvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
VíceZákladní elementární funkce
Základní elementární funkce Základní elementární funkce Za základní elementární funkce považujeme funkce: a) eponenciální a logaritmické; b) obecné mocninné; c) goniometrické a cklometrické; d) hperbolické
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá
VícePřehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.
Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)
VíceProseminář z matematiky pro fyziky
Proseminář z matematiky pro fyziky Mgr. Jan Říha, Ph.D. e-mail: riha@prfnw.upol.cz http://www.ictphysics.upol.cz/proseminar/inde.html Katedra eperimentální fyziky Přírodovědecká fakulta UP Olomouc Podmínky
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
VíceFunkce, elementární funkce.
Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.
VíceREÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny
VíceExponenciální a logaritmická funkce
Variace 1 Exponenciální a logaritmická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Exponenciální
VícePetr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125
Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125 Obsah 1 Množiny a číselné obory Množinové operace Reálná
VíceObecnou definici vynecháme. Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když dosadíme za argument funkci g. Potom y f g
Složená funkce Obecnou definici vynecháme Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když do funkce y f dosadíme za argument funkci g Potom y f g Funkce f je vnější složka, funkce g vnitřní složka Pochopitelně
Více(Zavedení pojmu funkce, vlastnosti. Repetitorium z matematiky
Funkce Zavedení pojmu unkce, vlastnosti unkcí,lineární, kvadratické a mocninné unkce Repetitorium z matematik Podzim 01 Ivana Medková A Zavedení pojmu unkce V odorných a přírodovědných předmětech se často
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
Více1. Písemka skupina A...
. Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
Více(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení
.. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Více2. FUNKCE Funkce 31
Základ matematik FUNKCE 0 Základní vlastnosti Ohraničená a neohraničená funkce Monotónnost funkce, funkce rostoucí a klesající Prostá funkce Sudá a lichá funkce 7 Periodická funkce 9 Inverzní funkce 0
Více1.1 Funkce 1. Tab. 1: Omezující funkce definičního oboru. 1 V tomto textu se pojmem funkce uvažuje funkce jedné proměnné
1.1 Funkce 1 V životě se běžně setkáváme se vztahem závislosti mezi různými proměnnými. Takovým vztahem závislosti může být například cena akciového titulu v závislosti na čase nebo teplota v místnosti
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VícePlanimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje
VíceCyklometrické funkce
4 Cyklometrické funkce V minulé kapitole jsme zkoumali první funkci inverzní ke funkci goniometrické (tyto funkce se nazývají cyklometrické) funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ) Př: Nakresli
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceFunkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
VíceMATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik
MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,
VíceNejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
VíceÚvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 80 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
VíceInovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Téma: Název: Autor: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Funkce Funkce a její vlastnosti Ing. Vacková Věra
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice
Vícesoubor FUNKCÍ příručka pro studenty
soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá
VíceFunkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
VíceFunkce. Logaritmická funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Digitální učební materiály, Gymnázium Uherské Hradiště
Funkce Logaritmická funkce Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště Digitální učební materiály, 01-1 Obsah Logaritmická funkce 1 Logaritmická funkce předpis funkce a ukázky grafů srovnání grafů
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/..00/07.0018 7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy V této chvíli jsme již ve výkladu přikročili ke kapitole, kterou můžeme považovat za
VíceOčekávaný výstup Pracovní list se skládá ze dvou částí teoretické, kde si žák připomene vlastnosti funkcí a praktické, kde tyto funkce určuje.
Číslo projektu Škola Autor Číslo materiálu Název Téma hodiny Předmět Ročník/y/ Anotace CZ.1.07/1.5.00/34.0394 Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1 Mgr. Renata
VíceUrčete a graficky znázorněte definiční obor funkce
Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. /8 3. Elementární funkce. 3. Elementární funkce. Matematická analýza ve Vesmíru.
VíceMATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch
MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. Vážení studenti,
VíceMatematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16
Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.
VíceGrafy elementárních funkcí v posunutém tvaru
Graf elementárních funkcí v posunutém tvaru Vsvětlíme si, jak se změní graf funkce, jestliže se částečně změní funkční předpis základní elementární funkce Všechn změn původního grafu budou demonstrován
Více1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu
22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
VíceMatematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:
Matematická funkce Kartézský součin Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: [x, y] = [u, v] x = u y = v Pokud K, L jsou libovolné množiny, pak množinu
Víceanalytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.
4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami
Více4. Funkce Funkce. S pojmem funkce jsme se setkali již v Kapitole 1F Zobrazení. Připomeňme základní pojmy.
. Funkce.. Funkce Verze. prosince 6 S pojmem funkce jsme se setkali již v Kapitole F Zobrazení. Připomeňme základní pojm. Zobrazení z množin X do množin Y je formálně podmnožina F kartézského součinu X
VíceOrganizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část
Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova
VíceFunkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,
Funkce ) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f pro které platí: f ( ) je povrch krychle o straně b) f ( ) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně a povrchem rovným c) f (
Vícex (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.
1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/21 Matematická analýza ve Vesmíru. proměnné - p. 2/21 Definice. Funkcí (přesněji:
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
VíceVY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce
VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce Anotace: Prezentace zavádí pojmy lin. funkce, její definiční obor a obor hodnot funkce. Dále vysvětluje typy funkcí
VíceDERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Více6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina
Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení
VícePříklady k přednášce 3
Příklad k přednášce 3 1. Určete, zda závislost a daná uvedeným vztahem je funkce = f(). V případě záporné odpovědi stanovte, kterými funkcemi je možné příslušnou závislost popsat. 1. =3 2, (, + ) je funkcí,
VícePoznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
VíceFunkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu
VíceOmezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace
VíceFunkce. Limita a spojitost
Funkce. Limita a spojitost skriptum J. Neustupa text Funkce (úvod) na této web stránce III.2 Fce - základní pojmy 1. Definice, def. obor D(f), obor hodnot H(f), graf 2. Fce složená, omezená, 3. Fce sudá,
VíceLogaritmus. Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým. umocníme základ a, abychom dostali číslo.
Logaritmus Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým umocníme základ a, abychom dostali číslo. Platí tedy: logax = y a y = x ( Dekadický logaritmus základ 10 označení
VíceCyklometrické funkce
4..7 Cyklometrické funkce Předpoklady: 46 Cyklometrické funkce: funkce inverzní k funkcím goniometrickým z minulé hodiny známe první cyklometrickou funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ). Př.
Více8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!.
8. Elementární funkce I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k = k!. Vlastnosti exponenciální funkce: a) řada ( ) konverguje absolutně
Více8. Elementární funkce
Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne
Více( ) Opakování vlastností funkcí. Předpoklady:
.. Opakování vlastností funkcí Předpoklad: Pedagogická poznámka: Tato hodina je zamýšlená jako první, druhá ve třetím ročníku. Podle toho, které úkol necháte student řešit, může trvat jednu až dvě vučovací
VíceMATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY
MATEMATIKA B Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika B - Sbírka úloh. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs,
VíceFunkce arcsin. Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde 4.
.. Funkce arcsin Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: Kvadratická funkce Druhá odmocnina y =, 0; ) y = - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde - - - - - - y = y = Eponenciální
Více