KIEICKÁ EOIE PLYŮ Knetcká teore plynů studuje plyn z mkroskopckého hledska Používá statstcké metody, které se uplatňují v systémech s velkým počtem částc Zavádíme pojem deálního plynu, má tyto základní vlastnost: šechny molekuly mají stejnou hmotnost a objem, Objem molekul je vzhledem k prostoru, ve kterém se pohybují zanedbatelný Mez srážkam se molekuly pohybují rovnoměrným přímočarým pohybem, Srážky jsou dokonale pružné, Mez molekulam nepůsobí síly vzájemné nterakce, šechny směry pohybu jsou stejně pravděpodobné, Srážkam se rychlost molekul mění, celková energe však zůstává konstantní (př konstantní teplotě systému) Protože rychlost molekul jsou různé, je knetcká energe -té molekuly Ek mv Celková knetcká energe systému je pak rovna součtu knetckých energí jednotlvých molekul je počet molekul plynu E k E k mv Pro výpočty je vhodné zavést pojem střední kvadratcké rychlost Označujeme j v k Je to taková rychlost, kterou by musely pohybovat všechny molekuly daného plynu, přčemž by jejch celková knetcká energe zůstala nezměněná Jestlže počet molekul plynu je, pak mvk mv mvk m v
Po úpravě vychází v k v Podle Maxwell-Boltzmannovy statstky je střední kvadratcká rychlost určena vztahem Základní velčny a konstanty v k M počet molekul plynu A Avogadrova konstanta (částc) k n Boltzmannova konstanta unversální plynová konstanta Platí: látkové množství, jednotka mol obsahuje Platí: aké: M molární hmotnost plynu, závsí na relatvní atomové hmotnost, jednotka kgmol - Pro jednu molekulu lze zavést pojem střední knetcké energe je m M Protože = je m M n k k k k, k A A ýraz platí pro jednoatomovou molekulu, která má tř stupně volnost, Obecně pro dvou a víceatomové molekuly je k mv k Po dosazení za v k
Ekvpartční teorém: a jeden stupeň volnost = přpadá energe k ntřní energe plynu U J Molekuly plynu o hmotnost m se pohybují různým rychlostm v ěmto rychlostem odpovídá knetcká energe Ek mv U deálního plynu součet všech knetckých energí jednotlvých molekul tvoří vntřní energ plynu: Značí se jako U, jednotkou je U E k E k E k E k4 E k E k Pro molekul plynu je U k A A n n nc kde n je látkové množství plynu, C je molární tepelná kapacta př stálém objemu U nc Zahříváním plynu se teplota plynu zvýší, tím se zvýší rychlost jednotlvých molekul a jejch knetcké energe závslost na tom dojde ke zvýšení vntřní energe plynu du nc d d je změna teploty Celkovou změnu vntřní energe vyjádříme vztahem U nc d nc Ochlazováním plynu teplota naopak klesá a vntřní energe plynu se zmenšuje
Platí rovněž pro kapalny a pevné látky Látkové množství vyjádříme převodem pomocí hmotnost a molární tepelnou kapactu nahradíme měrnou tepelnou kapactou vztaženou na kg látky Práce plynu Molekuly plynu uzavřeného v nádobě narážejí př svém termckém pohybu na stěny nádoby F Slové nárazy molekul plynu vyvolávají tlak p S Jestlže je nádoba uzavřená pohyblvým pístem plochy S, může se vlvem tlakové síly molekul F p S píst posunout po dráze ds ykoná tak prác dw F ds ps ds pd dw pd W pd Jestlže plyn zvětšuje svůj objem (expanduje), pak prác koná Jestlže objem zmenšuje (je komprmován), pak prác přjímá
Stavová rovnce plynu Stav plynu je charakterzován stavovým velčnam teplotou, objemem a tlakem p Jednotkam, které používáme, jsou K, m, p Pa Př vyšetřování stavu plynu předpokládáme, že se celkové množství plynu nemění zn, že hmotnost m = konst, látkové množství n = konst Platí vztah: n m M Jednotkam jsou m kg, n mol, M kgmol kde M je molární hmotnost plynu apř: 0,0kgmol - - M O, M 0,08kgmol, - M vzduch 0,09kgmol Souvslost mez stavovým velčnam je vyjádřena stavovou rovncí plynu m p n, p, M kde = 8,4 JK - mol -, M je molární hmotnost plynu Změny stavu plynu (tzn změny teploty, objemu a tlaku) mohou být nahodlé Jestlže plyn přechází ze stavu ( p,, ) do stavu ( p,, ), Pak můžeme použít stavovou rovnc pro změnu stavu p p Pro určté techncké účely je vhodné zavést pojmy deálních dějů, které probíhají za zcela konkrétních podmínek: děj zochorcký - konst děj zobarcký - p konst děj zotermcký - konst děj adabatcký - Q O, plynu se nedodává teplo, je tepelně zolovaný od okolí, děj polytropcký všechny velčny se mění nejvíce se blíží skutečnost
4 První termodynamcký zákon (I hlavní věta termodynamky) yjadřuje zákon zachování energe pro plyny Představme s plyn uzavřený v nádobě s pohyblvým pístem Plyn je ve stavu p,, Jestlže plynu dodáme teplo Q, plyn zahřejeme Stav plynu v nádobě změní hodnoty p,, Zvýší se teplota plynu, tím se zvětší rychlost molekul a jejch knetcká energe, a tím se zároveň zvětší tlak plynu v nádobě Molekuly plynu narážejí na stěny nádoby větší slou Mohou pohnout pístem a zvětšt tak objem nádoby Př zahřátí plynu nastanou dva případy: zvětší se vntřní energe plynu U U U, zvětší se objem a plyn tím vykoná prác W Pak I termodynamcký zákon zapíšeme ve tvaru: Q d U W eplo dodané plynu se spotřebuje na změnu vntřní energe a na prác, kterou plyn vykoná POZÁMKA: ntřní energe závsí na jen na změně teploty Př zahřátí plynu roste Popíšeme j úplným (totálním) dferencálem du Práce plynu závsí na změně objemu Př zvětšení objemu plyn vykoná prác Důležtý je způsob změny objemu Pro každý děj prác vypočteme jnak Prác a dodané teplo popíšeme pomocí neúplného dferencálu W, Q U deálních dějů používáme všude totální dferencál dw, dq ovnce má pro každý děj jný tvar dq du dw dq nc d pd IZOCHOICKÝ DĚJ Př tomto děj udržujeme objem konstantní, = konst Plyn je uzavřen v nádobě konstantního objemu Jestlže plyn zahříváme, pak s rostoucí teplotou roste tlak plynu Pak a platí
p p Grafckým znázorněním je zochora Hovoříme o zochorckém ohřevu (případně zochorckém ochlazení) Zapíšeme I Hlavní větu termodynamky pomocí totálních dferencálů: dq du dw dq nc d pd Protože je změna objemu nulová d 0, nekoná plyn prác dq nc d Integrujeme rovnc dq nc d Látkové množství molární tepelná kapacta jsou konstanty, vytkneme je před ntegrál Q nc d Po ntegrac je Q nc, Q U šechno dodané teplo se spotřebuje jen na zahřátí plynu IZOBAICKÝ DĚJ lak plynu v nádobě udržujeme konstantní, p konst Př zahřívání plynu musíme zvětšovat objem nádoby, abychom tlak plynu v nádobě udržel konstantní
Pak p p a platí Grafckým znázorněním je zobara I hlavní věta termodynamky je: dq du dw dq nc d pd Mění se objem teplota, oba členy zůstanou Integrujeme levou pravou stranu d nc d Q pd Protože je tlak konstantní, vytkneme všechny konstanty před ntegrál a dostaneme p Q nc Plyn se zahřeje (změní se jeho vntřní energe) a zároveň vykoná prác Obsah plochy pod křvkou je roven vykonané prác eplo se rozdělí na zahřátí plynu a na prác vždy ve stejném poměru ento poměr zjstíme po následujících úpravách: Pomocí stavové p n, p n rovnce dostaneme Q nc n C Q n Q ncp Stanovíme poměr dodaného tepla a změny vntřní energe U nc C Q nc p Cp
Pak U Q Podobně pro prác je W n Q nc C p Pak W Q p 5 apř pro dvouatomový plyn pro 5 vychází U Q, W Q 7 7 tepla se spotřebuje na změnu vntřní energe a 7 na prác zn, že 7 5 z dodaného IZOEMICKÝ DĚJ eplotu plynu udržujeme konstantní, konst Abychom př zahřívání plynu udržel teplotu konstantní, zvětšíme objem nádoby a tím zmenšíme tlak plynu Grafckým znázorněním je zoterma Pak a platí p p I hlavní věta termodynamky je: dq du dw dq nc d pd Protože je teplota konstantní, je d 0 a změna vntřní energe plynu je nulová dq pd Integrujeme rovnc dq pd Protože tlak není u zotermckého děje konstantní, ale mění se, vyjádříme ho pomocí stavové rovnce plynu
n p n p Dosadíme do ntegrálu n Q d d Konstanty vytkneme před ntegrál d dq n Po ntegrac Q n ln n ln ln Po úpravě je Q n ln Q W šechno teplo se spotřebuje na prác plynu Obsah plochy pod křvkou je roven vykonané prác ADIABAICKÝ DĚJ Př adabatckém děj je plyn tepelně zolovaný od svého okolí Žádné teplo nepřjímá an neodevzdává některých případech může být zněna tak rychlá, že k tepelné výměně nedojde Adabata je strmější než zoterma Platí rovnce adabaty p p kde je Possonova konstanta Pro dvouatomový plyn má hodnotu,4 Obecně je C C p
I hlavní věta termodynamky je: dq du dw dq nc d pd Protože dq 0 je 0 du dw du dw nc d dw W nc W U Plyn zvětší svůj objem, tím vykoná prác, ale jeho vntřní energe klesne Říkáme, že př adabatckém děj koná plyn prác na úkor vntřní energe Prác můžeme vypočítat zároveň podle vztahu odvozeného pomocí dferencální rovnce p p W Obsah plochy pod křvkou je roven vykonané prác POLYOPICKÝ DĚJ Je to děj, který se nejvíce blíží skutečnost (není možné udržet hodnoty teploty tlaku a objemu konstantní a plyn dokonale tepelně zolovat od okolí Stavová rovnce pro změnu stavu je ve tvaru n n p p n je exponent polytropckého děje Je závslý na podmínkách děje Co do velkost je exponent polytropckého děje mez hodnotou a Possonovou konstantou n Grafckým znázorněním je polytropa, která leží v p dagramu mez zotermou a adabatou I hlavní věta termodynamky je: dq du dw dq nc d pd Prác plynu př zotermckém děj určíme podle vztahu p p W n Shrnutí:
děj U W zochorcký mění se nekonáw 0 Q U zobarcký mění se koná Q U W zotermcký nemění se 0 koná Q W adabatcký klesá koná U W POZÁMKA: ýše uvedené děje byly zakresleny v p dagramu (závslost tlaku na objemu) Můžeme je zakreslt např do p dagramu nebo dagramu nebo jných 5 Kruhový děj Mez termodynamckým změnam má praktcký význam tzv kruhový děj (cyklus) Je charakterzován tím, že se systém po navazujících jednoduchých termodynamckých změnách vrátí zpět do výchozího stavu Protože jde o uzavřený děj, je konečná teplota plynu stejná jako počáteční Celková změna vntřní energe je nulová, U 0 Ze stavu (o stavových velčnách p,, ) přejde plyn postupným změnam do stavu (o stavových velčnách p,, ) Př přechodu z do plyn přjme teplo Q a zvětší svůj objem (expanduje) Př přechodu ze stavu do zmenší objem (je komprmován) a odevzdá teplo Q Q Q Q je pod křvkou (a), Q je pod křvkou (b) ozdíl těchto dvou tepel je roven prác, kterou plyn během celého cyklu vykoná W Q Q Pak pro tento děj můžeme defnovat účnnost
Q Q Q ato účnnost je vždy menší než, Poznámka: Q Q ěkterá lteratura zapsuje výše uvedený vztah takto:, kde teplo Q 0 Q a tomto prncpu jsou založeny tepelné cykly tepelných strojů Účnnost kruhových dějů zkoumal francouzský nženýr Sad Carnot a zjstl, že nejvyšší účnnost má kruhový děj, který je tvořen: zotermckou expanzí, adabatckou expanzí, zotermckou kompresí, 4 adabatckou kompresí Po dosazení za příslušná tepla a úpravě vychází Kde je teplota ohřívače a je teplota chladče 6 Druhý termodynamcký zákon I hlavní věta termodynamky njak neomezuje u tepelných cyklů lbovolné zvyšování účnnost tepelných strojů, což je ovšem v rozporu s praktckým zkušenostm Úpravu vyslovuje II Hlavní věta termodynamky Uvedeme tř její znění, které pocházejí od tří různých autorů v různých časových obdobích šechny vysthují podstatu formulují podmínky, za nchž je možné využívat tepla ke konání práce: hompson (85) Je nemožné trvale vykonávat prác pouze tím, že bychom ochlazoval jedno těleso na nžší teplotu, než je teplota nejchladnější část jeho okolí Clausus (854) Je nemožné přenášet cyklckým procesem teplo z chladnějšího tělesa na teplejší, anž se přtom jsté množství tepla změnlo na prác Planck (90) Je nemožné sestrojt perodcky pracující stroj, který by trvale konal kladnou mechanckou prác pouze ochlazováním jednoho tělesa, anž přtom dochází k jným změnám v ostatních tělesech
7 Entrope Entrope se značí S a závsí na teple, které je dodáno systému Charakterzuje míru neuspořádanost systému Čím větší množství tepla dodáme, tím je míra entrope (neuspořádanost) větší Je defnována vztahem - Jednotkou je S JK Q d S Clausus defnoval entrop takto: Dodáme-l termodynamcké soustavě, která je v rovnovážném stavu a má teplotu, př vratném děj nekonečně malé množství tepla Q (aby se teplota soustavy praktcky Q nezměnla), zvýší se tím entrope soustavy o Ubereme-l teplo Q, entrope soustavy Q se o zmenší Pro nevratné děje rovnce neplatí Entrope je velčna, která charakterzuje stav systému podobně jako vntřní energe U Je možné určt pouze změny těchto velčn S, U S Q ds, S Q S S, Q S představuje první stav, představuje druhý stav
lastnost entrope: Entrope je funkce stavu soustavy Její hodnota je v kterémkolv okamžku průběhu děje určena parametry soustavy a nezávsí na způsobu, jakým se soustava do tohoto stavu dostala případě vratné změny kruhového cyklu je S 0 Př nevratném cyklu entrope roste 8 řetí termodynamcký zákon (III Hlavní věta termodynamky) ernst vyslovl hypotézu, že entrope tuhých látek má př teplotě absolutní nuly nulovou hodnotu Přesněj: Klesá-l teplota kterékolv chemcky čsté látky k absolutní nule, blíží se entrope neomezeně k nule ato ernstova věta má mnoho důsledků, které byly ověřeny v prax např měrné tepelné kapacty, a tím molární tepelné kapacty všech tuhých a kapalných látek klesají př absolutní nule k nulové hodnotě Podle Placka se tento důsledek považuje někdy za třetí hlavní větu termodynamky: ení možné žádným konečným procesem ochladt čstou tuhou látku až na teplotu absolutní nuly ato věta není dosud bezpečně expermentálně ověřena ejnžší dosažená teplota je as 450 pk (4500 - K) PŘÍKLADY Kolk molekul vodíku se nachází v cm př teplotě 7 C a tlaku,0 - Pa? [ =,90 molekul] Kolk molekul se nachází v jednom klogramu O? A = 6,00 mol - [ =,880 5 molekul] ypočtěte měrnou hmotnost CO př teplotě t = 0 C a tlaku 9,50 4 Pa [ρ =,8 kgm - ] 4 ypočtěte měrnou hmotnost vodíku př teplotě t = 0 C a tlaku,050 5 Pa [ρ = 0,09 kgm - ] 5 Bomba obsahuje př teplotě 7 0 C a tlaku 0,4 MPa stlačený plyn Jak se změní jeho tlak, když polovční hmotnost plynu vypustíme, přčemž poklesne jeho teplota na 0 C 6 Kolk tepelné energe vyžaduje ohřátí vzduchu obsaženého v nádrž stálého objemu 00 m z teploty 0 C na 00 C? Počáteční tlak vzduchu je 740 torrů Jak velká je změna vntřní energe? Jak velkou prác plyn vykoná?
7 0,7 m vzduchu počáteční teploty 5 C a tlaku,50 5 Pa se př stálém tlaku zahřeje na teplotu 75 C ypočtěte vykonanou prác změnu vntřní energe a dodané teplo 8 Jakého množství tepla s vyžádá práce 7 960 J, kterou vykoná vzduch př rozpínání za stálého tlaku Jak se změní vntřní energe? 9 zduchu obsaženému v 0, m př tlaku 0 6 Pa se př stálé teplotě 00 C dodá 5 600 J tepla počtěte výsledný tlak, výsledný objem a vykonanou prác 0 kg vzduchu počátečního tlaku 0,980 8 Pa se adabatcky komprmuje na osmnásobný tlak ypočtěte výsledný objem, teplotu, dodanou prác, změnu vntřní energe, jestlže počáteční teplota je 5 C m vzduchu počátečního tlaku 0 5 Pa zotermcky expanduje na dvojnásobný objem ypočtěte výsledný tlak, prác, kterou plyn vykoná a množství přvedeného tepla zduch tlaku 0 5 Pa a objemu 0,08 m expanduje př stálém tlaku na dvojnásobný objem ypočítejte vykonanou prác, změnu vntřní energe a přjaté teplo zduchu obsaženému v nádrž objemu 0,5 m počáteční teploty 0 0 C a počátečního tlaku 0 7 Pa se odvede 60 4 J tepla př stálém objemu ypočítejte výslednou teplotu vzduchu! 4 zduch počáteční teploty 77 0 C je adabatcky stlačen na /5 svého původního objemu Určete výslednou teplotu! 5 Carnotův motor má př teplotě chladče 7 účnnost 40 ato účnnost se má zvýšt na 50 O kolk stupňů se má zvýšt teplota ohřívače? 6 Izotermcká expanze v Carnotově cyklu probíhá př teplotě 400 K, zotermcká komprese př 00 K Během expanze přejde do plynu 500 J tepla Určete: a) prác vykonanou během zotermcké expanze b) teplo odevzdané plynem př zotermcké kompres
c) prác př zotermcké kompres d) celkovou prác vykonanou strojem během celého cyklu 7 a kompres kg dusíku počátečního tlaku 0 5 Pa bylo př stálé teplotě zapotřebí práce 6,80 5 J ypočítejte a) počáteční a výsledný objem plynu, výsledný tlak a teplo, které je třeba př kompres dusíku odebrat, b) změnu entrope př tomto děj 5 5 a ) 7,750 Pa;, m ; 0,4m ; 6,80 J; b),8 kjk 8 uzavřené nádobě stálého objemu 5 m je vzduch počátečního tlaku 9,50 4 Pa a počáteční teploty 0 0 C Ohřátím vzduchu vzrostl tlak vzduchu na hodnotu,50 4 Pa a) ypočítejte, kolk tepla jsme musel plynu dodat a o jakou hodnotu vzrostla vntřní energe, b) jak se př tomto děj změnla entrope vzduchu? 6 6 4 a) 8,70 J; 8,70 J; b),890 JK 9 zduch objemu 0,08 m expanduje př stálém tlaku 0 5 Pa na dvojnásobný objem ypočítejte a) prác vykonanou vzduchem, změnu jeho vntřní energe a přjaté teplo, b) změnu entrope 4 5 5 a) 9,40 J;,90 J;,0 J; b) 790 JK 0 zduch má hmotnost 0, kg a počáteční teplotu 50 0 C Proběhne-l polytropcká změna (n =,), klesne teplota na 50 0 C ypočítejte a) prác vykonanou plynem a změnu jeho vntřní energe, b) změnu entrope př tomto děj a) 9,550 J; 7,40 J; b) 6,5 JK kalormetru smícháme 0,0 kg vody teploty 00 0 C a 0,0 kg vody teploty 5 0 C ypočítejte výslednou teplotu a změnu entrope př tomto děj 0 4, C; 0,95 JK Q = Q m c(t - t) = m c(t-t ) = 6, (K)