3 VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN. 3.1 Náhodná veličina

Transkript

1 3 VBRANÉ MODEL NÁHODNÝCH VELIČIN 3. Náhodná velčna Tato kaptola uvádí stručný pops vybraných pravděpodobnostních modelů spojtých náhodných velčn s důrazem na jejch uplatnění př rozboru spolehlvost stavebních konstrukcí. Podrobný pops těchto rozdělení (jejch přehled je uveden v příloze a dalších důležtých modelů jednorozměrných vícerozměrných náhodných velčn lze nalézt v meznárodních dokumentech ISO [3], skrptech [5] a odborné lteratuře [8,9,0,, 4]. Velčna, která př uskutečnění souboru podmínek π (vz oddíl., tj. př realzac určtého náhodného jevu nabývá právě jednu hodnotu x, se nazývá náhodná velčna (také znak náhodného jevu. Příkladem je síla př porušení betonové kostky zatěžované za stanovených podmínek ve zkušebním stroj (vz příklad.. Náhodné velčny se zpravdla označují velkým písmeny, např.,, jejch konkrétní realzace malým písmeny, např. x, y (v praktckých aplkacích je však toto pravdlo obtížné dodržet. V techncké prax se používají spojté (nabývající lbovolné hodnoty určtého oboru dskrétní (nabývající pouze zolované hodnoty náhodné velčny. Další přehled základních pojmů se však zde omezuje pouze na nejdůležtější spojté velčny, které se často uplatňují v teor spolehlvost. Informace o dskrétních náhodných velčnách a jejch aplkací je možno nalézt ve skrptech [5] a odborné lteratuře [0, 3, 4]. Souhrn všech možných realzací x náhodné velčny se nazývá základní soubor. Popsuje se rozdělením pravděpodobností, tj. funkcí udávající pravděpodobnost, že náhodná velčna patří do dané množny (ntervalu u spojtých náhodných velčn nebo hodnot u dskrétních náhodných velčn. Dstrbuční funkce Φ(x (někdy označená Φ (x udává pro každou hodnotu x pravděpodobnost, že náhodná velčna bude menší než x Φ( x = P( < x (3. Hustota pravděpodobnost spojté náhodné velčny ϕ(x je dervace (pokud exstuje dstrbuční funkce dφ( x φ( x = (3. dx Příklad 3.. Spojtá náhodná velčna, jejíž výskyt v kterémkol bodě x oboustranně omezeného ntervalu <a, b> je stejně možný (nastane se stejnou hustotou pravděpodobnost ϕ (x se popsuje tak zvaným rovnoměrným rozdělením. Jde o základní typ rozdělení, 6

2 užtečný nejen z teoretckého hledska, ale pro pops některých zatížení. Φ(x = (x - a/(b - a x a b ϕ(x = /(b - a x a b Obrázek 3.. Rovnoměrné rozdělení. Dstrbuční funkce Φ(x a hustota pravděpodobnost ϕ(x rovnoměrného rozdělení mají jednoduchý tvar - vz obrázek 3.. Snadno nahlédneme, že pro hustotu pravděpodobnost platí obecná vlastnost, že pravděpodobnost množny všech hodnot náhodné velčny, tj. plocha vymezená vodorovnou osou x a křvkou hustoty pravděpodobnost, je jednotková ϕ ( xdx = ϕ( xdx = b a Rovnoměrné rozdělení se využívá pro aproxmatvní pops některých druhů zatížení nebo geometrckých údajů. Vedle dstrbuční funkce Φ(x a hustoty pravděpodobnost ϕ(x se základní soubor popsuje různým parametry, z nchž nejdůležtější jsou tak zvané momentové parametry. Základním parametrem popsujícím polohu základního souboru je průměr µ (střední hodnota, očekávaná hodnota, matematcká naděje, v běžné techncké termnolog jednoduše průměr, který je defnován prvním obecným momentem µ = xφ( x dx (3.3 Z geometrckého hledska jde vlastně o souřadnc x těžště obrazce vymezeného osou x a křvkou hustoty pravděpodobnost ϕ(x. 7

3 Míra rozptýlení (varablty náhodné velčny vzhledem k průměru µ je dána druhým centrálním momentem (momentem setrvačnost obrazce vymezeného osou x a křvkou hustoty pravděpodobnost ϕ(x, který se nazývá rozptyl a je = ( x µ φ( x dx (3.4 Druhá odmocnna rozptylu = označuje směrodatnou odchylku (poloměr setrvačnost obrazce vymezeného osou x a křvkou hustoty pravděpodobnost ϕ(x náhodné velčny. Mírou nesymetre základního souboru je škmost defnovaná na základě třetího centrálního momentu vztahem 3 α = ( x µ φ( x dx (3.5 3 Mírou strmost (nahromadění hodnot v okolí průměru je špčatost defnovaná na základě čtvrtého centrálního momentu 4 ε = ( x µ φ( x dx 3 (3.6 4 Poznamenáme, že takto defnovaná špčatost (s odečítáním čísla 3 je nulová pro normální rozdělení podle oddílu 3.3. Škmost α a špčatost ε jsou bezrozměrné parametry. Dalším bezrozměrným parametrem základního souboru je varační koefcent defnovaný podílem směrodatné odchylky a průměru w = (3.7 µ Varační koefcent je mírou relatvního rozptylení; selhává však u těch velčn, u kterých je průměr µ blízký nule. U velčn zatížení se w pohybuje ve velm šrokém rozmezí, obvykle od 0,0 do,5, u materálových vlastností obvykle v rozmezí od 0,03 do 0,30. Kromě momentových parametrů se pro pops základního souboru používají ještě další parametry, např. mnmální a maxmální hodnota souboru x mn, x max, rozpětí souboru x max - x mn, modus x mod defnovaný jako hodnota x, v níž nabývá hustota pravděpodobnost ϕ(x lokálního maxma, a další parametry. Podrobný pops těchto parametrů lze najít ve skrptech [5] a v odborné lteratuře [8,9,0]. Příklad 3.. Pro parametry rovnoměrného rozdělení z příkladu 3. plynou z rovnc (3.3 až (3.7 následující vztahy µ = (a +b/, = (b - a/, α = 0, ε = -,, w = (b - a /((a + b 3 Škmost a špčatost rovnoměrného rozdělení jsou nezávslé na mezích a a b; škmost je 8

4 nulová (jde o symetrcké rozdělení, špčatost je však záporná -,, jde o výrazně "málo špčaté" rozdělení (hodnoty náhodné velčny jsou rozloženy rovnoměrně a nejsou nakupeny kolem průměru jako u normálního rozdělení - vz oddíl 3.3. Jestlže a = 0 (v prax často používaný předpoklad, pak µ = 0,5 b, = 0,89 b, α = 0, ε = -,, w = 0,577 Všmněme s, že varační koefcent w je v tomto případě (kdy a = 0 nezávslý na b a má relatvně vysokou hodnotu (w = 0, Výběrové charakterstky Opakovanou realzací podmínek π (zkoušením betonové kostky za stanovených podmínek se získá výběr (za určtých podmínek náhodný výběr {x } o určtém rozsahu n. Podle rozsahu se zpravdla rozlšují velm malé výběry (n 0, malé výběry (0 < n 30 a velké výběry (30 < n. Výběrem se rozumí soubor odebraný z určtého základního souboru (všech betonových kostek daného typu, který je určen k tomu, aby poskytl nformace o základním souboru. Jestlže se o základním souboru neuvažuje, mluví se prostě o statstckém (numerckém souboru. Prvním krokem rozboru jakéhokol výběru by mělo být jeho grafcké znázornění pomocí hstogramu, popř. jných grafů a prověření extrémních hodnot (odlehlých pozorování a opravení (vyloučení chybných hodnot. Je to velm důležtý, často náročný a pracný krok, který by měl však předcházet dalšímu numerckému zpracování výběru a uplatnění složtějších statstckých postupů pro odhad vlastností základního souboru. Upravené (opravené výběry lze použít pro stanovení charakterstk (statstk, které popsují polohu, rozptýlení, nesouměrnost, strmost, popř. další vlastnost výběru. V techncké prax jsou nejdůležtější tak zvané momentové charakterstky, které nejlépe vysthují celkové vlastnost výběru. Momentové charakterstky jsou defnovány analogcky k momentovým parametrům základního souboru. Parametry základního souboru a charakterstky (statstky, stanovené z výběru, je však třeba odlšovat. Výběrové charakterstky se používají pro odhad parametrů základního souboru. Důležtá problematka odhadu parametrů základního souboru na základě nformací získaných z výběru je velm obsáhlá oblast matematcké statstky, která je v těchto skrptech zahrnuta jen částečně. V tomto oddílu uvedeme takové charakterstky výběru, které jsou tzv. nestranným bodovým odhady ( nejlepším bodovým odhady příslušných parametrů základního souboru. Přesnější význam pojmu "nestranný odhad" a ostatní statstcké postupy (např. ntervalové odhady pro zadanou konfdenc jsou podrobně popsány ve skrptech [5], meznárodních dokumentech ISO [3] a v další odborné lteratuře [8,9,0]. 9

5 Základní charakterstkou výběru, popsující jeho polohu, je výběrový průměr (také artmetcký průměr nebo prostě průměr, který je dán obecným momentem prvního řádu m = x (3.8 n Výběrový průměr m je také nestranným bodovým odhadem průměru µ příslušného základního souboru. Základní charakterstkou popsující míru rozptýlení je výběrový rozptyl s, který je defnován na základě centrálního momentu druhého řádu s = n ( x m (3.9 Takto defnovaný výběrový rozptyl s je nestranným bodovým odhadem rozptylu základního souboru. Druhý centrální moment je dán pravou stranou rovnce (3.9, jestlže se ve jmenovatel zlomku výraz n nahradí hodnotou n (jmenovatel n vyplývá z požadavku nestrannost odhadu parametru. Druhá odmocnna rozptylu s = s označuje výběrovou směrodatnou odchylku. Poznamenáme, že výběrová směrodatná odchylka s není nestranným odhadem směrodatné odchylky základního souboru. Výběrová škmost a (též koefcent škmost je bezrozměrná velčna charakterzující nesymetr souboru. Je to nestranný bodový odhad škmost α základního souboru, který je stanoven na základě třetího centrálního momentu n 3 a = ( x m 3 (3.0 ( n ( n s Poznamenáme opět, že zlomek na pravé straně vztahu (3.0 vyplývá z požadavku nestrannost odhadu škmost α základního souboru. Škmost je ctlvá na extrémní výběrové hodnoty (na extrémní odchylky x m a může být snadno zatížena významnou (nenáhodnou chybou. K výpočtu škmost je v každém případě třeba použít pokud možno velké soubory (n > 30. Jestlže však vychází podezřelá hodnota (např. velká záporná hodnota nebo a >, je třeba ověřt odlehlá pozorování a odstrant případné chybné extrémní hodnoty. Výběrová špčatost e (též koefcent špčatost je bezrozměrná velčna charakterzující strmost výběru (nahromadění prvků výběru v okolí průměru. Je to nestranný bodový odhad špčatost ε základního souboru, který je defnován na základě centrálního momentu čtvrtého řádu n( n + 4 (n - e = ( 3 4 x m (3. ( n ( n ( n 3 s ( n ( n 3 30

6 Složté zlomky na pravé straně vztahu (3. vyplývají opět z požadavku nestrannost odhadu špčatost ε základního souboru. Výběrová špčatost, která může být rovněž významně zatížena chybným hodnotam ve výběru, se však v prax používá jen zřídka. V techncké prax, zejména ve stavebnctví, se velm často používá další bezrozměrná charakterstka souboru, která je podílem výběrové směrodatné odchylky s a výběrového průměru m a která se nazývá výběrový varační koefcent s v = (3. m Jde o charakterstku analogckou k varačnímu koefcentu základního souboru w, který je defnován vztahem ( Normální rozdělení Z praktckého teoretckého hledska nejdůležtějším typem rozdělení spojté náhodné velčny je normální (Laplace-Gausovo rozdělení. Normální rozdělení velčny je symetrcké, je defnováno na neomezeném ntervalu - < x < (což může být v některých praktckých aplkacích nežádoucí a je závslé pouze na dvou parametrech, průměru µ a směrodatné odchylce. Symbolcky se často označuje N(µ,. Používá se pro pops chování různých typů náhodných velčn charakterzujících některá zatížení (vlastní tíhu, mechancké vlastnost (pevnost geometrcké údaje (vnější rozměry. Je vhodné pro náhodné velčny s relatvně malým rozptylem (např. varačním součntelem w < 0,3. Selhává u velčn nesymetrcky rozdělených s velkým rozptylem a škmostí, např. α > 0,5. Hustota pravděpodobnost náhodné velčny, která má normální rozdělení s průměrem µ a směrodatnou odchylkou, je dána exponencálním vztahem x µ φ( x = exp (3.3 π Škmost a špčatost defnované vztahy (3.5 a (3.6 jsou pro normální rozdělení nulové. Běžně dostupné tabulky normálního rozdělení [5, 6] jsou zpracovány pro hustotu pravděpodobnost ϕ(u a dstrbuční funkc Φ(u normované náhodné velčny U, která se defnuje obecným transformačním vztahem (používaným pro jakýkol typ rozdělení µ U = (3.4 Normovaná náhodná velčna má průměr rovný nule a rozptyl rovný jedné; symbolcky se často označuje N(0,. Hustota pravděpodobnost normované náhodné velčny U je pak dána funkcí u 3

7 u φ( u = exp π (3.5 Hustota pravděpodobnost normálního a lognormálního rozdělení s koefcentem škmost α =,0 (vz následující oddíl 3.4 normované náhodné velčny u je zachycena na obrázku 3.. Hustota pravděpodobnost ϕ(x 0.5 Lognormální rozdělení, α =, Normální rozdělení N(0, Normovaná náhodná velčna u Obrázek 3.. Normální a lognormální rozdělení (škmost α =,0. Všmněme s, že hustota pravděpodobnost normovaného normálního rozdělení je zakreslena pro u v ntervalu <-3,+3>, který pokrývá velčnu U s vysokou pravděpodobností 0,9973 (v techncké prax se někdy mluví o ntervalu ± Lognormální rozdělení Obecné, jednostranně omezené nesymetrcké lognormální rozdělení je defnováno na jednostranně omezeném ntervalu x 0 < x < nebo - < x < x 0 (což může být v některých praktckých aplkacích výhodné. Lognormální rozdělení je závslé na třech parametrech. Běžně se používají momentové parametry: průměr µ, směrodatná odchylka a škmost α. V případě, že škmost α není známá nebo je velm nejstá, pracuje se také s dolní č horní mezí x 0. Náhodná velčna má lognormální (obecné tříparametrcké rozdělení, jestlže transformovaná náhodná velčna 3

8 = ln - x 0 (3.6 má normální rozdělení. V tomto vztahu x 0 označuje dolní nebo horní mez rozdělení velčny, která závsí na škmost α. Jestlže velčna má průměr µ a směrodatnou odchylku, pak dolní nebo horní mez x 0 je možno vyjádřt vztahem x 0 = µ /c (3.7 ve kterém součntel c je dán hodnotou škmost α podle vztahu α = 3c + c 3 (3.8 ze kterého plyne explctní vztah pro c c = / 3 α 4 4 α α α / 3 (3.9 Závslost mez x 0 a škmostí α je patrná z tabulky 3., která uvádí mez u 0 = /c normované náhodné velčny U = ( - µ / pro vybrané hodnoty koefcentu škmost α 0. Pro α 0 platí hodnoty u 0 s opačným znaménkem (tedy kladné. Lognormální rozdělení s nulovou škmostí α = 0 (u 0 = /c ± přechází na normální rozdělení. Tabulka 3.. Součntele c pro vybrané hodnoty koefcentu škmost α 0. α 0 0,5,0,5,0 u 0 = /c - -6,05-3,0 -,4 -,68 Př stanovení teoretckého modelu je tedy možno postupovat tak, že se kromě průměru µ a směrodatné odchylky uvažuje škmost α, popř. alternatvně mez rozdělení x 0. Obecně se však dává přednost první možnost, neboť o koefcentu škmost jsou zpravdla k dspozc věrohodnější nformace a lépe vyjadřuje celkové rozdělení statstckého souboru (zejména velkých souborů než dolní č horní mez. Zvláštní případ je oblíbené lognormální rozdělení s dolním mezí v nule (x 0 = 0, které stejně jako normální rozdělení závsí pouze na dvou parametrech, střední hodnotě směrodatné odchylce (symbolcky se označuje LN(µ,. V tomto případě z rovnc (3.7 a (3.8 plyne, že součntel c je roven varačnímu koefcentu w. Z rovnce (3.8 dále plyne, že škmost α lognormálního rozdělení s dolní mezí v nule je dána hodnotou varačního koefcentu w podle vztahu µ a 3 α = 3 w + w (3.0 33

9 Lognormální rozdělení s počátkem v nule (x 0 = 0 má tedy vždy kladnou škmost, jejíž hodnota může být poměrně vysoká (větší než 0,5; např. pro varační koefcent 0,30 plyne ze vztahu (3.0 koefcent škmost α =0,97. Neuvážené aplkace lognormálního rozdělení s dolním mezí v nule (x 0 = 0 mohou tak vést k nereálným teoretckým modelům (zpravdla podceňujícím výskyt záporných a zvelčujícím výskyt kladných odchylek od průměru, zejména př vyšších hodnotách varačního koefcentu w. I když výskyt záporných hodnot může být rovněž nežádoucí (u většny mechanckých velčn nereálný, je z praktckého hledska zpravdla zanedbatelný. Hustota pravděpodobnost ϕ(x Lognormální rozdělení LN(5, Normální rozdělení N(5, Krycí vrstva [mm] Obrázek 3.3. Hustota pravděpodobnost pro krycí vrstvu výztuže. Příklad 3.3. Krycí vrstva výztuže železobetonového průřezu má průměr µ = 5 mm a směrodatnou odchylku = 0 mm. Obrázek 3.3 ukazuje hustotu pravděpodobnost ϕ(x pro normální rozdělení a lognormální rozdělení s dolní mezí v nule. Z obrázku 3.3 lze usoudt, že normální rozdělení vede k výskytu záporných hodnot krycí vrstvy výztuže. Tato okolnost zřejmě neodpovídá skutečnost. Na druhé straně lognormální rozdělení s dolní mezí v nule zvelčuje výskyt kladných odchylek krycí vrstvy, což nemusí být rovněž reálné a může dále vést k nepříznvým vlvům na únosnost průřezu. Zvelčení výskytu extrémních kladných odchylek odpovídá vysoká škmost lognormálního rozdělení α =,36, která plyne z rovnce (3.0. Poznamenává se, že dostupné expermentální údaje o krycí vrstvě naznačují, že škmost rozdělení krycí vrstvy se pohybuje v okolí hodnoty α 0,5, ve většně případů α <,0. 34

10 Lognormální rozdělení nalézá v teor spolehlvost šroké uplatnění. Používá se pro pops různých typů náhodných velčn charakterzujících některá zatížení (vlastní tíhu, mechancké vlastnost (pevnost geometrcké údaje (vnější vntřní rozměry průřezů. Lze jej použít pro obecně nesymetrcké rozdělení náhodné velčny s kladnou zápornou škmostí. Lognormální rozdělení s dolní mezí v nule (x 0 = 0 je velm oblíbené pro pops mechanckých vlastností (pevností různých materálů (beton, ocel, zdvo. 3.5 Gama rozdělení Dalším oblíbeným typem jednostranně omezeného rozdělení je Pearsonovo rozdělení typu III. Jeho podrobný pops je ve např. skrptech [5], tabulky také ve skrptech [6]. Zvláštním typem Pearsonova rozdělení typu III s dolní mezí v nule je gama rozdělení. Toto důležté rozdělení je závslé pouze na dvou parametrech: průměru µ a směrodatné odchylce. Pro jednoduchost zápsu se však často používají dva pomocné parametry λ a k ϕ(x = λ k x k- exp(-λx / Γ(k, λ = µ /, k = (µ / (3. Γ(k je gama funkce parametru k. Pro momentové parametry gama rozdělení platí µ = k/λ, = k/λ, α = / k = /µ = w, ε = 3 α / (3. Křvka má zvonovtý tvar pro k >, tj. pro škmost α < (př α je klesající funkcí x. Pro k se gama rozdělení blíží k normálnímu rozdělení s parametry µ a. Gama rozdělení má podobné uplatnění jako lognormální rozdělení s dolní mezí v nule. Odlšuje se něho však tím, že jeho škmost je rovna pouze dvojnásobku varačního koefcentu (α = w, a je tedy nžší než škmost lognormálního rozdělení, která je o více než 50 % vyšší (podle rovnce (3.0 je α = 3w +w 3. Z toho důvodu je gama rozdělení vhodné pro pops některých geometrckých velčn a užtného zatížení, které nemají velkou škmost. Příklad 3.4. Výběr o rozsahu n = 57 expermentálních výsledků měření krycí vrstvy výztuže má tyto charakterstky: m = 6,8 mm, s =, mm a a =0,40. Jde o poměrně velký soubor, u kterého lze zjštěnou škmost považovat věrohodnou charakterstku (navíc odpovídá dlouhodobé zkušenost. Hstogram měřených hodnot a teoretcké modely normálního rozdělení, lognormálního rozdělení s počátkem v nule, gama rozdělení a beta rozdělení jsou zachyceny na obrázku 3.4, který umožňuje posouzení vhodnost teoretckého modelu. Z obrázku 3.4 se zdá, že gama rozdělení lépe vysthuje hstogram naměřených výsledků, než normální a lognormální rozdělení. Vhodným modelem se však rovněž zdá oboustranně omezené beta rozdělení (popsané v následujícím oddílu (3.6. Důležtá otázka vhodnost teoretckých modelů pro pops sledovaných měření je však 35

11 složtá a v tomto textu upozorníme pouze na některé praktcké aspekty a ustálené zvyklost. Pojednání o některých postupech matematcké statstky (o tak zvaných testech dobré shody lze nalézt ve skrptu [5] a odborné lteratuře [8,9,0]. Hustota pravděpodobnost ϕ(x n = 57 m = 6,8 s =, v = 0,4 a = 0,40 Lognormální rozdělení Gama rozdělení Normální rozdělení Beta rozdělení Tloušťka krycí vrstvy [mm] Obrázek 3.4. Hstogram a teoretcké modely pro krycí vrstvu výztuže. 3.6 Beta rozdělení Zajímavým typem rozdělení je tak zvané beta rozdělení (nazývané také Pearsonova křvka typu I, které je defnováno na oboustranně omezeném ntervalu <a, b> (tento nterval se však může lbovolně rozšřovat a rozdělení se pak přblžuje k jným rozdělením. Je obecně závslé na čtyřech parametrech a používá se především v těch případech, ve kterých je zřejmé, že obor náhodné velčny je oboustranně omezený (některá zatížení a geometrcké údaje, např. tíha vagónu metra, ntenzta požárního zatížení, krycí vrstva výztuže železobetonového průřezu. Základní nesnází př praktcké aplkac je nutnost odhadnout čtyř parametry, pro které nemusí být dostupné věrohodné údaje. Beta rozdělení se zpravdla zapsuje ve tvaru (vz příloha c d ( x a ( b x ϕ( x = (3.3 c+ d B( c, d( b a 36

12 Pro dolní a horní mez rozdělení platí a = µ - c g, b = µ + d g, c + d + g = (3.4 cd kde g je pomocný parametr. Z rovnc (3.4 lze odvodt vztahy pro parametry c a d µ a ( µ a( b µ c = (3.5 b a b µ ( µ a( b µ d = (3.6 b a Pro momentové parametry beta rozdělení platí vztahy µ = a + (b - a c / (c + d (3.7 = (b - a/(cg + dg (3.8 α = g (d - c/(c + d + (3.9 ε = 3g ((c + d + cd (c + d - 6/((c+ d + ( c + d (3.30 Všmněme s, že škmost α a špčatost ε jsou závslé pouze na parametrech c a d (jsou nezávslé na mezích a a b. Parametrům c a d se proto někdy říká parametry tvaru. V praktckých aplkacích se rozdělení používá pro c > a d > (jnak má křvka J nebo U tvar, pro c = d = jde o rovnoměrné rozdělení, pro c = d = jde o tak zvané parabolcké rozdělení na ntervalu <a, b.>. Př c = d jde o symetrckou křvku vzhledem k průměru. Jestlže d, přechází křvka na Pearsonovo rozdělení typu III (vz oddíl 3.5, pokud c = d, blíží se normálnímu rozdělení. Beta rozdělení pokrývá tedy v závslost na parametrech tvaru c a d různé specální typy rozdělení. Poloha rozdělení je dána parametry a a b. Beta rozdělení může být defnováno na základě různých kombnací vstupních parametrů. Jestlže jsou dány všechny čtyř parametry rozdělení a, b, c a d, je možno momentové parametry µ,, α a ε stanovt z rovnc (3.7 až (3.30. V praktckých aplkacích však zřejmě mohou nastanou dvě jné důležté kombnace:. Vstupní parametry jsou µ,, a a b. Zbývající parametry c a d se stanoví z rovnc (3.5 a (3.6, momentové parametry α a ε z rovnc (3.9 a ( Vstupní parametry jsou µ,, α a jedna z mezí a (pro α > 0 nebo b (pro α < 0; zbývající parametry rozdělení b (nebo a, c a d se stanoví na základě rovnc (3.7 až (3.9. V praktckých aplkacích se zejména uplatní rozdělení s dolní mezí a = 0. Lze ukázat, že v tomto případě je beta rozdělení defnováno, pokud 37

13 α w (3.3 kde varační součntel w = /µ. Pro α = w přechází křvka na Pearsonovo rozdělení typu III (vz oddíl 3.5. Jestlže tedy vstupním parametry jsou průměr µ, směrodatná odchylka a škmost α w, je beta rozdělení s dolní mezí v nule (a = 0 plně určeno. Horní mez beta rozdělení s dolní mezí v nule plyne ze vztahu (3.4 b = µ (c + d/c = µ (+ w(+αw/(w - α (3.3 V rovnc (3.3 jsou za parametry tvaru c a d jsou dosazeny vztahy α (w α (4 + α c = (3.33 w ( wα + (4 + α d α = (w α ( wα + (4 + α (4 + α + αw α w (3.34 které pro a = 0 plynou z obecných rovnc (3.5 až (3.9. Příklad 3.5. Mají se stanovt parametry beta rozdělení s počátkem v nule (a = 0 pro krycí vrstvu výztuže, jestlže je dán průměr µ = 5 mm, směrodatná odchylka 0 mm (w =0,40 a škmost α = 0,5. Rovnce 3.3 je splněna (0,5 < 0,4. Z rovnc (3.33 a (3.34 plyne 0,5 c = 0,4 ( 0,4 0,5 (0,4 0,5 + (4 + 0,5 (4 + 0,5 = 4,406 d = 0,5 ( 0,4 0,5 (0,4 0,5 + (4 + 0,5 (4 + 0,5 + 0,5 0,4 0,5 0,4 =,96 Z rovnce (3.3 plyne pro horní mez rozdělení b = 5 (4,407 +,96/4,407=98,36 Beta rozdělení s odvozeným parametry je zachyceno na obrázku 3.5 společně s odpovídajícím normálním, lognormálním a beta rozdělením s počátkem v nule, které mají stejný průměr µ a směrodatnou odchylku. Vraťme se krátce k dskus o vhodnost jednotlvých rozdělení. Obrázek 3.5 dále ukazuje, že normální rozdělení (škmost α = 0 vede k výskytu záporných hodnot, což nemusí odpovídat skutečným podmínkám pro krycí vrstvu výztuže. Lognormální rozdělení s dolní mezí v nule má podle rovnce (3.0 škmost α =,64, což neodpovídá expermentálním výsledkům a vede ke zvelčení výskytu kladných odchylek (což může dále vést k nepříznvým důsledkům př rozboru spolehlvost železobetonového prvku. Gama 38

14 rozdělení má podle rovnce (3. škmost α = w = 0,8 a je tedy blíže expermentální hodnotě 0,5. Beta rozdělení, u kterého je škmost α = 0,5 zcela podřízena výsledkům měření, se zdá vhodnějším modelem než předchozí typy rozdělení. Jak jsme jž uvedl v předchozím oddílu 3.5, další podklady pro hodnocení výstžnost jednotlvých typů rozdělení poskytují různé statstcké testy dobré shody [5,8,9,0]. Hustota pravděpodobnost ϕ(x 0,05 0,04 0,03 0,0 Lognormální rozdělení LN(5;0 a = 0, α =,64; Normální rozdělení N(5;0, α = 0 Gama rozdělení Gama(5;0 a = 0, α = 0,8; Beta rozdělení Beta(5;0 a = 0, b = 98,3, α = 0,5; 0,0 0, Krycí vrstva x [mm] Obrázek 3.5. Normální, lognormální, gama a beta rozdělení pro krycí vrstvu výztuže železobetonového průřezu. Matematcká statstka poskytuje celou řadu různých "testů dobré shody" pro hodnocení vhodnost rozdělení jako teoretckého modelu pro získané expermentální výsledky [5, 8, 9, 0]. Shora uvedenou dskus je tedy možno doplnt o výsledky testů. Na druhé straně je však nutno poznamenat, že zmíněné testy dobré shody někdy nevedou k jednoznačnému závěru. Volba vhodného modelu je pak závslá na charakteru základní velčny, dostupných zkušenostech a ustálených zvyklostech. 3.7 Gumbelovo a ostatní rozdělení extrémních hodnot Maxmální nebo mnmální hodnota souboru o určtém rozsahu je náhodná velčna, jejíž rozdělení je z hledska teore spolehlvost velm důležté. V odborné lteratuře se zpravdla uvádějí tř typy rozdělení extrémních hodnot, které se označují jako typy I, II a III. Každý typ má dvě verze, jednu pro rozdělení mnmálních hodnot, druhou pro rozdělení maxmálních hodnot. Všechny typy rozdělení mají jednoduchý exponencální tvar a dobře se 39

15 s nm pracuje. Podrobně popíšeme rozdělení typu I (rozdělení maxmálních hodnot, které se běžně označuje jako Gumbelovo rozdělení. Pops ostatních typů rozdělení lze nalézt ve skrptech [5] a odborné lteratuře [8,9,0,3,4]. Dstrbuční funkce rozdělení maxmálních hodnot typu I (Gumbelova rozdělení pro maxmální hodnoty má tvar Φ(x = exp(-exp(-c(x-x mod (3.35 Jde o rozdělení defnované na neomezeném ntervalu, které závsí na dvou parametrech: na modu x mod a parametru c > 0. Dervací dstrbuční funkce obdržíme hustotu pravděpodobnost ve tvaru ϕ(x = c exp(-c(x-x mod -exp(-c(x-x mod (3.36 Oba parametry lze stanovt z průměru µ a směrodatné odchylky x mod =µ - 0,577 6 /π (3.37 c = π /( 6 (3.38 Škmost špčatost rozdělení jsou konstantní: α =,4, ε =,4. Důležtou vlastností Gumbelova rozdělení je jednoduchá úprava dstrbuční funkce původního rozdělení Φ(x na dstrbuční funkc Φ N (x pro pops maxma souborů o N násobném rozsahu než je rozsah původního souboru s průměrem µ a směrodatnou odchylkou. Jestlže jsou jednotlvé násobky původního souboru navzájem nezávslé, pak pro dstrbuční funkc Φ N (x platí Φ N (x = (Φ(x N (3.39 Dosazením rovnce (3.35 do (3.39 získáme Φ N (x = exp(-exp(-c(x-x mod - ln N/c (3.40 takže pro průměr µ N a směrodatnou odchylku maxm souborů o N násobném rozsahu plat µ N = µ + ln N /c = µ +0,78 ln N, N = (3.4 Směrodatná odchylka původního souboru se tedy nemění N =, pro průměr µ N se však zvětšuje prot původní hodnotě µ o ln N/c. Příklad 3.5. Jednoroční maxma tlaku větru jsou popsány Gumbelovým rozdělením o průměru µ = 0,35 kn/m, = 0,06 kn/m. Odpovídající parametry rozdělení maxm za dobu 50 let, tj. parametry µ 50 a 50, plynou z rovnce (3.4 40

16 µ 50 = 0,35 + 0,78 ln 50 0,06 = 0,53 kn/m, 50 = 0,06 kn/m Obrázek 3.5 ukazuje obě rozdělení jednoročních padesátletých maxm tlaku větru popsaných Gumbelovým rozdělením. Hustota pravděpodobnost ϕ N (x 8 7 ϕ (x ϕ 50 (x Tlak větru x Obrázek 3.5. Rozdělení maxm tlaku větru za rok a 50 let. Dstrbuční funkce rozdělení mnmálních hodnot typu I (Gumbelova rozdělení pro mnmální hodnoty má tvar Φ(x = - exp(-exp(-c(x mod - x (3.4 Jde o rozdělení symetrcké k rozdělení maxmálních hodnot popsané funkcí (3.35. Je tedy opět defnované na neomezeném ntervalu, které závsí na dvou parametrech: na modu x mod a parametru c > 0. Dervací dstrbuční funkce obdržíme hustotu pravděpodobnost ve tvaru ϕ(x = c exp(-c(x mod - x-exp(-c(x mod - x (3.43 Oba parametry lze stanovt z průměru µ a směrodatné odchylky x mod =µ + 0,577 6 /π (3.44 c = π /( 6 (3.45 Obraz hustoty pravděpodobnost mnmálních hodnot je symetrcký s tvarem hustoty pravděpodobnost maxmálních hodnot vzhledem k modu x mod, jak je patrné z obrázku

17 Hustota pravděpodobnost ϕ(x 0,4 0,3 0, Rozdělení mnmálních hodnot Rozdělení maxmálních hodnot 0, 0, Velčna Obrázek 3.6. Hustota pravděpodobnost Gumbelova rozdělení pro mnmální a maxmální hodnoty. Podobně jsou defnovány rozdělení typu II, tak zvané Fréchétovo rozdělení, a rozdělení typu III, tak zvané Webullovo rozdělení. Všechny tř typy rozdělení se vzájemně doplňují vzhledem k možným hodnotám škmost α. Každý typ pokrývá určtou oblast škmostí, jak znázorňuje obrázek 3.7. Rozdělení maxmálních hodnot typ III typ I typ II Rozdělení mnmálních hodnot typ II typ I 0,4 typ III α -,4 0 α Obrázek 3.7 Členění typů rozdělení extrémních hodnot podle škmost α. 4

18 Rozdělení maxmálních hodnot typu I a II se často aplkuje př popsu velčn, u nchž se sledují maxmální hodnoty (zatížení, rozdělení typu III pro velčny, u nchž se sledují mnmální hodnoty (např. pevnost a další materálové vlastnost. 3.8 Vícerozměrné náhodné velčny Tento oddíl uvádí některé základní poznatky o vícerozměrných, zejména o dvourozměrných náhodných velčnách. Podrobné pojednání o vícerozměrných náhodných velčnách, pravděpodobnostních modelech, parametrech základního souboru a výběrových charakterstkách lze nalézt ve skrptech [5] a odborné lteratuře [8,9,0]. Jestlže se př uskutečnění souboru podmínek π (vz oddíl., tj. př realzac určtého náhodného jevu, sledují u každé jednotky (prvku dvě velčny (dva znaky a, přčemž velčna nabývá právě jednu hodnotu x a velčna nabývá právě jednu hodnotu y, tvoří velčny a dvojc sdružených náhodných velčn. Příkladem je síla a hmotnost, které se sledují př porušení betonové kostky zatěžované za stanovených podmínek ve zkušebním stroj (vz příklad.. Jstě je možno sledovat více než dva znaky, např. sílu, hmotnost a vlhkost. V obecném případě se sledují velčny,, n, které pro jednoduchost zápsu označíme jako vektor [,, n ], jeho realzace x, x,, x n jako vektor x [x, x,, x n ]. Následující souhrn se zabývá zejména dvourozměrným náhodným velčnam, které mají dvě složky (dvě sdružené náhodné velčny a. Souhrn všech možných realzací x a y dvojce sdružených náhodných velčny a se nazývá dvourozměrný základní soubor. Dvojce sdružených náhodných velčn a se také nazývá dvourozměrná náhodná velčna, obecně náhodný vektor. Podobně jako jedna náhodná velčna popsuje se dvourozměrná náhodná velčna rozdělením pravděpodobností, tj. funkcí udávající pravděpodobnost, že náhodné velčny a patří do dané množny (u spojtých náhodných velčn nebo nabývá dané hodnoty (u dskrétních náhodných velčn. Dvourozměrná dstrbuční funkce Φ(x,y (někdy označená Φ (x,y udává pro každou dvojc x, y pravděpodobnost, že náhodná velčna bude menší nebo rovna x a náhodná velčna bude menší nebo rovna y Φ( x, y = P( x; y (3.46 Hustota pravděpodobnost spojté náhodné velčny ϕ(x je dervace (pokud exstuje dstrbuční funkce φ( x, y = Φ( x, y x y (3.47 Margnální (okrajová dstrbuční funkce Φ (x velčny je zvláštní případ dstrbuční funkce 43

19 Φ(x,y bez jakékol podmínky pro velčnu, tj. pro souhrn všech realzací < Φ(x, = P( x, = Φ (x (3.48 Obdobně se defnuje margnální (okrajová dstrbuční funkce Φ (y velčny, která je zvláštním případem dstrbuční funkce Φ(x,y bez jakékol podmínky pro velčnu, tj. pro souhrn všech možných realzací velčny < Φ(, y = P(, y = Φ (y (3.49 Říkáme, že náhodné velčny a jsou nezávslé právě tehdy, platí-l Φ(x,y = Φ(x, Φ(, y = Φ (x Φ (y (3.50 pak pro hustotu pravděpodobnost platí ϕ(x,y = ϕ (x ϕ (y (3.5 kde ϕ (x a ϕ (y jsou margnální hustoty pravděpodobnost velčn a. Dvourozměrná náhodná velčna se popsuje momentovým parametry a různým typy rozdělení (zpravdla pouze normálním obdobně jako jednorozměrná velčna. Kromě jednorozměrných momentů, které vedou k defnc průměrů µ, µ a směrodatných odchylek,, se však uplatňují rovněž sdružené momenty obou velčn a. Nejdůležtější je sdružený centrální moment prvního řadu, který se nazývá kovarance = ϕ( x, y ( x µ ( y µ dxdy (3.5 Na základě kovarance se defnuje korelační koefcent ρ ρ = (3.53 Pro hodnotu korelačního koefcentu vždy platí - ρ +. Jsou-l velčny a nezávslé, pak ρ = 0. Opačné tvrzení platí pouze v případě dvourozměrného normálního rozdělení (které je popsáno níže. U vícerozměrných náhodných velčn [,, n ], kovarance j a korelační koefcenty ρ j mez jednotlvým složkam,, n tvoří matce. Matce kovarancí se uplatňuje př transformac vektoru závslých velčn na vektor nezávslých náhodných velčn, která se využívá př analýze spolehlvost složtějších případů (vz software STRUREL [3]. Na základě výběru párových pozorování x,y ; x,y ;...; x n y n se stanoví že výběrová kovarance s = ( x m ( y m n (

20 která je jž nestranným odhadem kovarance základního souboru (jmenovatel n - vyplývá z požadavku nestrannost podobně jako u výběrového rozptylu (3.9. Pro výběrový korelační koefcent analogcky k (3.53 tedy platí = = m y m x m y m x s s s r ( ( ( ( (3.55 V tomto vzorc se po dosazení vztahů (3.54 a (3.9 jejch jmenovatele n - jž neuplatní. Výběrový korelační koefcent r se často používá k numerckému vyjádření vzájemné lneární závslost mez a v řadě párových pozorování. Hodnota r leží mez - a +. Rovná-l se některé z těchto mezí, znamená to, že mez a v řadě párových pozorování je přesná lneární závslost. Je-l to možné, měl by se k ověření lnearty také použít bodový dagram znázorňující soubor pozorování, popř. na základě dagramu omezt sledovaný obor tak, aby předpoklad lnearty byl oprávněný. Dvourozměrné normální rozdělení dvou spojtých náhodných velčn a s parametry µ, µ,, a ρ = ρ je dáno následující rovncí + = ϕ ( exp π, ( µ y µ y µ x ρ µ x ρ ρ y x (3.56 Margnální rozdělení ϕ (x a ϕ (y jsou rovněž normální s parametry µ, a µ, stejně jako podmíněná rozdělení, která popsují rozdělení pro dané y = y 0 a x = x 0 a pro jejchž parametry platí µ +ρ (y 0 - µ /, (-ρ / a µ +ρ (x 0 - µ x /, (-ρ / [8,9]. Podmíněná rozdělení mohou být užtečná př (velm častém nepřímém expermentálním ověřování vlastností jedné se sdružených náhodných velčn a pomocí druhé. Stejně jako u jednorozměrné náhodné velčny se přechází transformacem µ V µ U = =, (3.57 na normované náhodné velčny U a V, pro které normované dvourozměrné normální rozdělení lze zapsat ve tvaru ( + = ϕ ( exp π, ( v ρuv u ρ ρ v u (3.58 Dvourozměrné normální rozdělení lze zobecnt [8,9,0] na rozdělení vícerozměrných náhodných velčn popsaných vektorem [,, n ], kdy kovarance a korelační koefcenty mez jednotlvým složkam,, n tvoří matce. 45