Úloha V.E... gumipuk 8 bodů; průměr 4,40; řešilo 25 studentů Závaží o hmotnosti m na gumičce délk l 0 je zavěšeno v pevném bodě o souřadnicích = = 0 a = 0. Z os, která je horizontálně, závaží pouštíme. Jaká bude závislost nejnižšího dosaženého bodu na poloze na ose? Dominika zkoušela, jak co nejlépe někomu vpíchnout oko. Tuto úlohu pojmeme téměř úplně eperimentálně a z teorie se omezíme na druhý Newtonův zákon. Speciální případ pohbu závaží sice vřešíme analtick, ale pro popis obecného případu pohbu vtvoříme numerický model, který potom srovnáme s eperimentem. V eperimentu jsme používali pomůck s těmito parametr: hmotnost závaží m = (51,5 ± 0,1) g, délka nenatažené gumičk l 0 = (19,1 ± 0,1), délka gumičk s volně visícím závažím (před samotným měřením) d = (23,4 ± 0,1). Stejné hodnot parametrů bl použit v numerickém modelu. Rozbor situace vidíme na obrázku 1. l ϕ F p F G Obr. 1: Závaží na gumičce označení veličin a sil. Polohu závaží budeme popisovat kartézskými souřadnicemi, nebo polárními l, φ. Platí transformační vztah l = 2 + 2, cos φ = /l, sin φ = /l. Na závaží působí v každém okamžiku tíhová síla F G o velikosti F G = mg, kde g je tíhové zrchlení, a síla pružnosti gumičk F p o velikosti F p = k(l l 0 ), kde k je tuhost gumičk a (l l 0 ) je její prodloužení (tato síla působí pouze tehd, kdž l > l 0 ). Za pomoci uvedených vztahů můžeme napsat pohbové rovnice (ẍ a ÿ značí druhou derivaci souřadnic podle času, ted zrchlení v jednotlivých souřadnicích) mẍ = F p cos φ, mÿ = F G F p sin φ. Dosadíme-li do nich za výše uvedené veličin a vjádříme zrchlení, dostaneme tvar, který vužijeme při numerickém řešení: ( ) k 2 + 2 l 0 ẍ =, (1) m 2 + 2 ( ) k 2 + 2 l 0 ÿ = g. m 2 + 2 1
Analtické řešení Budeme řešit případ, kd počáteční poloha závaží je (0, 0), ted že ho volně pustíme dolů (pohb probíhá pouze v ose ). Tuhost gumičk spočítáme z protažení vlastní vahou závaží dáme do rovnosti tíhovou sílu a sílu, jakou je gumička napínána, a vjádříme k = mg/(d l 0 ). Vjde k = (11,7 ± 0,4) kg s 2. Ke zjištění protažení gumičk l zvolíme přístup přes energie. Zvolíme-li hladinu nulové potenciální energie v bodě (0, 0), pak v nejnižším místě trajektorie (po puštění) se bude potenciální energie závaží rovnat energii pružnosti z natažení gumičk, neboli mg(l 0 + l) = 1 2 k l2. Dosadíme za k a s vužitím l = l 0 + l vjádříme prodloužení l = d l 0 + d 2 l 2 0, ted l = (17,8 ± 0,4), kde jsme nejistotu tpu B určili podle zákona šíření nejistot ( ) 2 ( ) 2 l l s l = s l0 + l 0 d s d, kde s l označuje nejistotu veličin l atd. Kdž prodloužení přičteme k původní délce gumičk l 0, dostaneme Numerický model l 0 + l = (36,9 ± 0,4). Numerickým řešením rovnic (1) Eulerovou metodou (prvního řádu) jsme získali model pohbu závaží. Jako počáteční podmínk jsme zvolili čas t = 0 s, = 0 m, v = v = 0 m s 1 ; polohu 0 jsme měnili v intervalu 0, 2 l 0. Simulaci jsme nechali běžet 20 s s časovým krokem 0,001 s. Pro hrubý odhad chb metod zkusíme měnit časový krok a sledovat, o kolik se prodloužení změní. Je-li prodloužená délka 31,908 7 s krokem 0,001 s, 31,922 3 s polovičním krokem 0,000 5 s a 31,901 8 s dvojnásobným krokem 0,002 s, odhadneme chbu na 0,05. Zvolená metoda je sice jedna z nejjednodušších, niéně vpočtený pohb se od výsledků jiných metod významně liší až po několika kvech. Pro dvacet různých počátečních poloh jsme vkreslili polohu závaží a závislost délk gumičk na čase a odečetli délku gumičk, kdž poprvé dosáhla spodní úvrati. Číselné výsledk jsou v tabulce 1 a vnesen v grafu na obrázku 2. Pro zajímavost jsme vkreslili pohb závaží pro dvě různé počáteční poloh (obrázk 3 a 4). Eperiment Jako závaží jsme použili nástrčnou hlavici, lidově ořech. Gumičku jsme k němu připevnili stlově další gumičkou. Celý pokus jsme filmovali oproti světlému pozadí a nezapomněli na měřítko. Z videa jsme potom odečetli délku gumičk ve spodní úvrati. Pro každou polohu jsme udělali několik pokusů, z nich aritmetický průměr a výběrovou směrodatnou odchlku; její hodnotu jsme potom použili jako délku chbové úsečk. Výsledk jsou v grafu na obrázku 5. 2
Tabulka 1: Maimální délka gumičk l ma pro různé počáteční poloh z numerického modelu. /l 0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 l ma / 36,93 36,89 36,76 36,53 36,20 35,76 35,21 /l 0 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 l ma / 34,51 33,66 32,65 31,91 33,15 34,47 35,88 /l 0 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 l ma / 37,25 38,50 39,67 40,80 41,95 43,13 44,36 Diskuze Ve výsledném grafu nelze v rámci chb s jistotou pozorovat hledanou klesající závislost. Mohlo b to být chbami měření, které b mohl být způsoben nahráváním videa v kvalitě 30 fps, nepřesným uspořádáním, zkreslením videa, atd. ale tto důvod nebudou hlavní příčinou neúspěchu. Porovnejme klidovou délku gumičk před měřením a po dvaceti měřeních 19,1 a 21,3! Hlavním problémem ted bude hstereze gumičk. Guma je polmer (přírodní kaučuk) a v klidovém stavu je tvořena navzájem smotanými uhlovodíkovými řetězci, které se po natažení narovnají. Při opětovném uvolnění se ale nenaskládají zpátk přesně tak, jak bl, a pokud proces stále opakujeme, na stejné prodloužení potřebujeme stále méně práce. Závěr Numerický model ukazuje, že prodloužení gumičk směrem od poloh (0, 0) nejprve klesá, v poloze (l 0, 0) je nejmenší a pak dál roste. Délka gumičk ve spodní úvrati z poloh (0, 0) bude 36,93. Z analtického řešení máme pro srovnání l = (36,9 ± 0,4). Do tohoto intervalu se numerický model krásně trefil. Eperimentálně se nám tento výsledek bohužel nepodařilo potvrdit. Kvůli velké hsterezi gumičk jsou chbové úsečk v grafu závislosti prodloužení na poloze tak velké, že z něj nelze závislost s jistotou určit. Dominika Kalasová dominika@fkos.cz Fzikální korespondenční seminář je organizován student MFF UK. Je zastřešen Oddělením pro vnější vztah a propagaci MFF UK a podporován Ústavem teoretické fzik MFF UK, jeho zaměstnanci a Jednotou českých matematiků a fziků. Toto dílo je šířeno pod licencí Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported. Pro zobrazení kopie této licence, navštivte http://creativecommons.org/licenses/b-sa/3.0/. 3
46 44 42 40 l ma 38 36 34 32 30 0 0,5 1 1,5 2 l 0 Obr. 2: Závislost prodloužení gumičk na počáteční poloze z numerického modelu. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 25 20 15 10 5 0 5 10 15 20 Obr. 3: Pohb závaží pro počáteční polohu (l 0/2, 0). 4
0 5 10 15 20 25 30 35 25 20 15 10 5 0 5 10 15 20 25 Obr. 4: Pohb závaží pro počáteční polohu (l 0, 0). 55 50 45 l ma 40 35 30 25 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 Obr. 5: Naměřená závislost prodloužení gumičk na -ové poloze, z které závaží pouštíme. l 0 5