Průběh funkce II (hledání extrémů)

Transkript

1 .. Průběh funkce II (hledání etrémů) Předpoklad: Pedagogická poznámka: Poslední příklad v běžné vučovací hodině nestíháme. Rchlost postupu je možné značně ovlivnit tím, kolik času dáte studentům na výzkumné příklad, nebo jestli je jako příklad úplně přeskočíte a rovnou jim ukážete řešení. Největším problém v této hodině není v žádném případě derivování, ale řešení rovnic a nerovnic (už je to příliš dávno, kd jsme je probírali). Etrém = výjimečná hodnota maimum = největší hodnota na nějaké množině minimum = nejmenší hodnota na nějaké množině Př. : Najdi na obrázku všechn etrém nakreslené funkce Na obrázku je několik etrémů: minima jsou značena červeným křížkem, maima fialovým.

2 6-6 -? Nejasná je situace pro ;. Je tam nekonečně mnoho hodnot, které jsou stejně velké a větší než hodnot okolo. Nezbývá než si definicí ujasnit, co je vlastně etrém: Funkce f má v bodě lokální maimum, eistuje-li takové okolí δ ( ) všechna z U δ ( ) D ( f ) platí f ( ) f ( ). Funkce f má v bodě lokální minimum, eistuje-li takové okolí δ ( ) všechna z U ( ) D ( f ) platí ( ) ( ). δ f f funkce z obrázku má maimum ve všech bodech intervalu ; Eistuje tp etrémů, do kterého bod vznačené křížk s otazníkem nepatří. Maima v bodě ostrá maima. Minima v bodě ostrá minima., pro která nastává rovnost ( ) ( ), pro která nastává rovnost ( ) ( ) U bodu, že pro U bodu, že pro f = f pouze pro = se nazývají f = f pouze pro = se nazývají Všechna minima (i maima) na obrázku nejsou stejně minimální: hodnot některých jsou menší než hodnot funkce v jejich okolí lokální minima hodnota minima v bodě = 5 je nejmenší hodnotou funkce v zobrazeném intervalu globální minimum (je samozřejmě také lokální) Jak etrém najdeme, kdž nevidíme graf funkce? pokud má mít funkce v bodě etrém, nemůže v tomto bodě ani růst (pak b hodnot napravo bl větší a nalevo menší) ani klesat (pak b hodnot vpravo bl f = menší a nalevo větší) derivace musí být nulová ( )

3 kdž si představíme tečn grafu funkce v jednotlivých bodech, vidíme, že tečn f = v etrémech jsou vžd vodorovné derivace musí být nulová ( ) Př. : Prozkoumej etrém funkcí =, =, = a rozhodni, jak souvisí nulová hodnota derivace s eistencí etrému Funkce = nemá etrém =, derivace je nulová v bodě = funkce můžem mít bod s nulovou derivací, ve kterých není etrém Funkce = má v bodě = minimum =, derivace je nulová v bodě = pokud funkce etrém má je v něm nulová derivace Funkce = má minimum v bodě = derivace v bodě = neeistuje funkce můžem mít etrém v bodech, ve kterých neeistuje derivace - pokud derivace v bodě eistuje a v bodě je etrém, musí být derivace nulová. Obráceně to neplatí, z nulové hodnot derivace nevplývá eistence etrému Naše objev shrnuje věta:

4 Má-li funkce f v bodě platí f ( ) =. f, pak lokální etrém a eistuje-li v tomto bodě derivace ( ) Bod, pro které platí f ( ) = se nazývají stacionární bod. Etrém v nich být může, ale nemusí. Co musíme přidat k podmínce nulové hodnot derivace, abchom měli jistotu, že je v bodě etrém? Proč není v bodě = u funkce = etrém? Funkce po celou dobu roste. V bodě = jen na chvilku zastaví, derivace na obou stranách rovnosti je kladná. Pokud má v bodě eistovat etrém musí v tomto bodě první derivace změnit znaménko. Př. : Nakresli obrázk funkcí, které mají v bodě nulovou derivací a mají (nemají) v tomto bodě etrém. Ověř platnost předchozí úvah a rozhodni zda je možné ze znamének derivace včíst, že zda půjde o maimum nebo minimum. V bodě má funkce maimum derivace v bodě změnila znaménko z + na - (funkce se z rostoucí změnila na klesající) V bodě má funkce minimum derivace v bodě změnila znaménko z na + (funkce se z klesající změnila na rostoucí)

5 V bodě funkce nemá etrém derivace v bodě nezměnila znaménko je stále kladná (funkce je stále rostoucí) V bodě funkce nemá etrém derivace v bodě nezměnila znaménko je stále záporná (funkce je stále klesající) Náš odhad bl správný: f Nechť ( ) =. Jestliže eistuje takové okolí U δ ( ), že v intervalech ( δ ; ) ( ; + δ ) má f ( ) a různá znaménka, má funkce f v bodě ostrý lokální etrém. Mění-li se znaménko derivace z plus na minus, má funkce v bodě lokální maimum, mění-li se znaménko derivace z minus na plus, má funkce v bodě lokální minimum. Př. : Najdi lokální etrém funkce = + +. = + + = + Zderivujeme funkci: ( ) Hledáme stacionární bod: = + = = v bodě = může mít funkce = + + etrém mění se v bodě = znaménko derivace? < = + < > = + > funkce = + + se v bodě = mění z klesající na rostoucí má v bodě = lokální ostré minimum výsledek si ověříme grafem 5

6 Př. 5: Najdi lokální etrém funkce =. Zderivujeme funkci: ( ) = = = = = = Hledáme stacionární bod: ( ) dva stacionární bod =, = zkoumáme znaménko derivace: > = = = nerovnice: ( ) v bodě = se znaménko derivace nemění není tam etrém v bodě = se znaménko derivace mění je tam etrém (minimum) Opět zkontrolujeme výsledek pohledem na graf: 6

7 Řešení nerovnic kvůli odhalování etrémů není příliš pohodlné. Nápad: Etrém se nacházejí ve stacionárních bodech, ve kterých se mění znaménko první derivace mění se tam hodnota první derivace, ale změnu hodnot první derivace popisuje druhá derivace možná bchom mohli rozhodnout o eistenci etrémů i pomocí druhé derivace Př. 6: Nakresli vedle sebe obrázk funkcí = a =. Do každého obrázku dokresli graf jejich první derivace, spočti jejich druhé derivace a rozhodni, zda mají etrém. Zhodnoť situaci. = = = = = =

8 Funkce má v bodě = ostré minimum, její derivace v bodě = mění znaménko z minus na plus, o čemž vpovídá i kladná hodnota druhé derivace Funkce má v bodě = ostré maimum, její derivace v bodě = mění znaménko z plus na minus, o čemž vpovídá i záporná hodnota druhé derivace Nechť f ( ) = a nechť eistuje v bodě druhá derivace. Je-li f ( ) <, má funkce f v bodě ostré maimum je-li f ( ) >, má funkce f v bodě ostré minimum je-li f ( ) =, nelze o eistenci lokálního etrému rozhodnout Př. 7: Použij pravidlo pro určování etrému pomocí druhé derivace u příkladů a 5. = + + = + Zderivujeme funkci: ( ) Hledáme stacionární bod: = + = = v bodě = může mít funkce = + = druhá derivace: ( ) = + + etrém hodnota druhé derivace je v bodě = kladná má v bodě = lokální ostré minimum Zderivujeme funkci: ( ) = = = = = = Hledáme stacionární bod: ( ) dva stacionární bod =, = = = druhá derivace: ( ) 6 hodnota druhé derivace v = : = 6 = 6 = tad nám druhá derivace nepomohla, opět bchom se museli vrátit k řešení nerovnice hodnota druhé derivace v = : = 6 = 6 = funkce má v bodě = lokální ostré minimum Př. 8: Najdi lokální etrém funkce =. Zderivujeme funkci: = ( ) = Hledáme stacionární bod: ( ) ( )( ) dva stacionární bod =, = = = 6 druhá derivace: ( ) hodnota druhé derivace v = lokální ostré maimum = = = + = = 6 = 6 = 6 funkce má v bodě = : ( ) 8

9 hodnota druhé derivace v = : = 6 = 6 = 6 funkce má v bodě = lokální ostré minimum Výsledek zkontrolujeme pohledem na graf: Př. 9: Najdi globální etrém funkce. = + 8 v intervalu ; Postupujeme stejně jako v předchozích příkladech. Kromě nalezených etrémů musíme spočítat i hodnot v krajních bodech: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + 8 = + 8 = f = + 8 = + 8 = 7 f Zderivujeme funkci: = ( + 8 ) = 6 6 Hledáme stacionární bod: ( ) ( )( ) dva stacionární bod =, = druhá derivace: ( ) = 6 6 = 6 = 6 + = = 6 6 = 6 hodnota druhé derivace v v bodě = lokální ostré maimum = 6 = 6 = 8 funkce má = : ( ) hodnota: f ( ) ( ) ( ) ( ) = + 8 = + 8 = 5 hodnota druhé derivace v = : = 6 = 6 = 8 funkce má v bodě = lokální ostré minimum f = + 8 = + 8 = hodnota: ( ) 9

10 po porovnání hodnot vidíme, že funkce globální maimum v bodě = s hodnotou 5 globální minimum v bodě = s hodnotou -7 Výsledek zkontrolujeme pohledem na graf: : = + 8 má v intervalu ; Př. : Petáková: strana 58/cvičení f, f 6 strana 58/cvičení 5 g, g strana 58/cvičení 6 h strana 58/cvičení 7 Shrnutí: