Moderní metody optimalizace mechanických soustav Eduard Rohan Katedra mechaniky ZČU Moderní metody v mechanice, 13.12.2006, kurz ÚCV/KME ZČU 1. Témata přednášky Co je optimální konstrukce? Jak měnit konstrukci? Optimalizace prutových soustav Kritéria??? Layout optimization Optimální topologie těles Volná materiálová optimalizace Využití metody homogenizace Tvarová optimalizace (úlohy s prouděním) Optimalizační metody používané v SO Vývoj...... již 300 let se nemění. Optimální??? Jak vše spolu souvisí???
2. Co je optimální konstrukce? Kritéria optimality (Statika): Minimální hmotnost, Minimální poddajnost, maximální tuhost, Minimální napětí, (limitní design), Speciální: lokalizace plastické zóny, rovnoměrnost kontaktních napětí Některá výše uvedená kritéria jsou protichůdná Základní úlohy (Solid Mechanics): Kritérium: Omezení: min. hmotnost max. napětí min. hmotnost max. poddajnost min. poddajnost max. hmotnost Speciální úlohy : Optimalizace rozložení dané veličiny (teplotní pole, kontaktní napětí). Optimalizace dynamických vlastností ladění vlastních frekvencí. Úlohy z oblasti interakce (Fluid dynamics) proudění, aerodynamika (Shape Optimization)
Jak měnit konstrukci? Sizing optimization optimalizace rozměrů geometricky jednoduché části (prut, nosník), soustavy parametry: průřezové charakteristiky, délky, průměry,... Shape optimization tvarová optimalizace 3D / 2D / (1D) tělesa parametry: popis části hranice (B-spline) Topology optimization topologická optimalizace zobecněná tvarová optimalizace vznik nových hranic parametry: hustota {0/1} design Topology & free material optimization navíc: optimalizace matriálových parametrů parametry: hustota, parametry mikrostruktury Speciální: optimalizace prolisu skořepin (Topography opt.) optimální orientace vláken kompozitu
Maximalizace tuhosti minimalizace poddajnosti Nejčastěji používaná úloha (Minimum compliance design) Stavová úloha (pro daný design) Kritérium: Minimalizace práce vnějších sil u = arg min v {Φ(v) 1 2 vt Av v T f} ψ(u) = u T f Stav u Au = f A závisí na designu t,...... A = A(t), Optimalizační úloha min t D ψ(u(t)) max t D min v {1 2 vt A(t)v v T f}, (1) D... množina přípustných designů (hmotnostní omezení)
3. Optimalizace prutových soustav Optimální topologie maximální tuhost Konstrukce soustava elastických prutů. Základní struktura (Ground structure): Designové parametry: Michell, 1904 objemy prutů t i, i = 1,..., m Velký počet designových proměnných: Topologie ovlivněna změnou objemu prutů t i, pro t i 0 prut zanikne. n... počet uzlů m... počet prutů design. prom. ( ) n m =, n = 10 10 m = 4950 2
Formulace úlohy optimální topologie MODEL: Index prutu i = 1,..., m Objem prutu t i = l i A i (délka průřez) Posuvy: u. Deformace prutu: u T b i Matice tuhosti prutu (diáda) E t i A i = t i (l i ) 2b ib T i Celková matice tuhosti: A(t) = m i=1 t ia i Stavová úloha: A(t)u = f Maximalizace tuhosti ψ(u) = u T f min Hmotnostní omezení: objem V D {t IR m m t i = V, t i 0} i=1 Úloha sedlového bodu: { ( m ) } max min 1 t D u 2 ut t i A i u u T f konvexní v u, lineární v t. Úlohy s několika zatíženími (robustní design) Různé zátěže: f k, k = 1,..., M, multiplikátor λ k 0. i=1 Optimalizace nejhoršího případu max t min λk { M ( 1 max min min λ k t D u λ k 0 k 2 ut k k=1 k λ k = 1 )} m t i A i u k u T k f k i=1
Efektivní metody řešení Snaha o snížení počtu provázaných optimalizačních proměnných. Eliminace t i reformulace: Platí: ϕ(t, u) = 1 2 m i=1 m ( t i u T A i u ) u T f i=1 t i ( u T A i u ) V max i ( u T A i u ) Lze přeformulovat (A i 0) min u max V ( u T A i u ) u T f i } 2 {{ } (2) α nehladká konvexní optimalizace Převod na hladkou optimalizaci min u, α α u T f V s. t. : 2 ut A i u + α 0, i = 1,..., m Konvexní programování: x = [u; α] min x x T c s. t.: g i (x) 0, i = 1,..., m, Používané numerické metody: Metody s vnitřní penaltou (Penalty-Barrier-Multiplier methods), multiplikátor = design Primárně duální, Semidefinitního programování.
Příklady optimálních topologií maximální tuhost Př. 1 Zákl. strukt.: N = 2(4 3) = 24 Pruty: N = 66 Redukce účelové funkce: 43.65% Metoda: PBM (1 restart) Př. 2 hustší zákl. str. Zákl. strukt.: N = 2(7 5) = 70 Pruty: m = 595 Redukce účelové funkce: 26.25% Metoda: PBM (1 restart) Př. 3 Zákl. strukt.: N = 2(8 4) = 64 Pruty: m = 408 Redukce účelové funkce: 21.21% LABILNÍ KONSTRUKCE!
4. Layout optimization full stress configuration Podmínky optimality princip Michellových konstrukcí Princip pro Topologickou optimalizaci těles Maximalizace tuhosti optimální volba průřezu a i 0 compliance = m a i El i ɛ 2 i i=1 Omezení hmotnosti multiplikátor Λ 0 Omezení průřezu multiplikátory λ i 0 Karush Kuhn Tuckerovy podmínky Λ( Eɛ 2 i = Λ λ i λ i a i = 0 m a i l i V 0 ) = 0 i=1 Kriteria optimality: (OC) E a i > 0 Λ ɛ i = 1 E a i = 0 Λ ɛ i 1 všechny pruty mají optimální (stejnou) deformační energii Λ. Rozšíření na kontinuum: (COC) a i a(x, y, θ) ɛ i ɛ(x, y, θ)
5. Optimální topologie těles {0; 1} design Zdá se, dokonalosti není dosaženo tenkrát, když už není co přidat, ale když už není, co ubrat. (Antoine de Saint-Exupéry, Země lidí) Základní rozvržení Metody relaxovaný problém Optimální topologie Volná materiálová optimalizace SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization) black & white design Homogenizace materiál s mikrostrukturou Zobecněná tvarová otimalizace level set methods
Volná materiálová optimalizace M. Kočvara http://www.utia.cas.cz/user_data/kocvara/ MOPED semidefinitní programování. Určit: ρ & E ijkl Maximalizace tuhosti Cena materiálu lokálně limitována hustotou ρ E ijkl ψ(e)... cena materiálu Vazba: maximální přípustná hmotnost kde max density ρ 0 ρ min ρ ρ max Ω ρ dω V a E (u, v) = Ω E ijkl e kl (u)e ij (v) dω, max elast.e 0 Ψ(E) ρ min u U Lokální optimalizace anizotropní materiál s proměnnou tuhostí Realizace??? 1 2 a E(u, u) L(u), (3) L(v)... funkcionál vnějších zátěží
Lokálně extrémní materiály Pro dané deformační pole e ij v každém bodě oblasti Ω Pro lokální limit hustoty ρ hlavice femuru idealizace (Wolf 1800) Určit optimální elastickou tuhost E ijkl max E 0 Ψ(E) ρ 1 2 E ijkl e kl e ij (4) Řešení: v maticovém zápisu E = e kl E ijkl = ρ e ij e e ρ e 2 I + e2 II e 2 I e I e II 0 e I e II e 2 II 0 0 0 0 (5), (6) jen 1 nenulové vlastní číslo materiál je nestabilní pro jinou deformaci (úloha s jedinou zátěží). Silně ortotropní materiál osy ortotropie osy hlavních deformací. Konstrukce kosti remodelace???
{0, 1} design topologická optimalizace Topologická optimalizace E = ρe 0, kde ρ {0, 1} Takto nelze řešit Relaxace: ρ (0, 1] šedivý materiál měnící se mikrostruktura Alternativy: SIMP materiál s malou hustotou je cenově nevýhodný penalizace, např. E = (ρ) p E 0, p > 1(= 3) ρ = { 0.0?... void 1 0.0?... solid Homogenizace šedivý materiál: ρ = 0.235,... existuje mikrostruktura??? Problémy: G-uzávěr omezení topologií mikrostruktury
Topologická optimalizace penalizace (SIMP) SIMP izotropní materiál s penalizací E = (ρ) p E 0, kde p > 1, (p = 3) Designové proměnné: ρ e pro každý element e velmi mnoho designových proměnných Omezení: ρ dω V, 0 < ρ min ρ(x) 1 Ω Nežádoucí efekty checkerboard effect omezení perimetru souvislých oblastí multigrid filtrování nekonformní FEM aproximace nevýhoda malé hustoty ρ Inverzní homogenizace identifikace mikrostruktury pro lib. ρ (0, 1) materiálové inženýrství? Optimalizace desek, skořepin (2D geometrie): hustota = tloušťka bez penalizace!
Optimální kompozity homogenizace v topologické optimalizaci Parametrizace mikrostruktury 3 typy: Vrstvený kompozit + iterovaná homogenizace: higher rank materials optimální materiál Ortogonální mikrostruktura: obdélníkové kavity Čtvercové kavity sub-optimální materiál (???) Design = mikrostruktura pro každý strukturální element e ( FEM) geometrie: µ e, γ e, rotace: θ e Lokální úloha: najít extrémní materiál E(x), x Ω E(x) = E H (µ e, γ e, θ e ),... homogenizace, ρ e = ρ e (µ e, γ e ),... hustota, ρ e V e V, 0 ρ e 1,... omezení. e (7)
Příklad: použití metody homogenizace v topologické optimalizaci Optimalizace uložení ložisek převodovky Maximalizace tuhosti Ground structure Síť konečných prvků Vývoj optimální topologie (M. Hajžman semestrální práce)
Varianty v topologické optimalizaci Co je cílem? A B black & white design standardní materiál strukturovaný materiál mikrostruktura
6. Optimalizační metody používané v SO Obecná forma úlohy SO: Lagrangeova funkce úlohy: Úloha sedlového bodu: subject to Duální funkce: D(λ) = min x L(x, λ) min f(x), x IR n g i (x) 0, i = 1,..., m x [x min, x max ]... box constraints L(x, λ) = f(x) + (8) m λ i g i (x), (9) i=1 L(x, λ ) = max min L(x, λ) (10) λ i 0 x Princip duálních metod: L(λ ) = max λ i 0 D(λ) (11) primární subproblém (mnoho designových proměnných x k ) se aproximuje efektivní metodou duální subproblém standardní metody (málo proměnných λ i ), jen triviální omezení λ i 0
Gradientní metody & lokální aproximace Známe x 0 a f(x 0 ), g i (x 0 ) a gradienty, chceme aproximovat f a omezení g, abychom určili další iteraci x 1. Metody založené na kritériích optimality (OC) Metody matematického programování Standardní: SLP SQP (optimalizace prutových soustav), obecná metoda pro hladkou optimalizaci, Konzervativní metody, speciálně pro SO, duální formulace CONLIN (C. Fleury) konvexní linearizace, MMA (K. Svanberg) pohyblivé asymptoty, SACA (Chung) aproximace vyššího řádu, PBM (Ben-Tal) vnitřní penalta s multiplikátorem
7. Konzervativní aproximace, duální subproblémy lokální aproximace v IR n lineární Taylorův rozvoj 1. řádu (SQP aproximace aktivních omezení) kvadratická kvazinewtonovské metody aproximace Hessovy matice (SQP) konvexní linearizace (CONLIN) hybridní aproximace linearizace v reciprokých proměnných y i = 1 x i f(x) = f(x 0 ) + (+) i f(x 0 ) x i (x i x 0 i ) + pohyblivé asymptoty (MMA) linearizace v y i = 1 x i A i f(x) = r + (+) i p i U i x i + ( ) i ( ) kde r, p i, q i závisí na x 0, f(x 0 ), f(x 0 ) a asymptotách L i, U i. CONLIN a MMA i f(x 0 ) (x i x 0 i ) x0 i x i x i q i x i L i, separovatelnost v souřadnicových směrech... konzervativni: g(x) g(x)... n nezávislých prim. úloh vnitřní aproximace vazeb
Aproximace konvexní? konzervativní? CONLIN aproximace: konvexní? ANO (x > 0) konzervativní? NE VŽDY MMA aproximace: (volba asymptot) konvexní? ANO konzervativní? ANO
Reciproká aproximace & mechanika V mechanice exaktní aproximace Intermediate Variables : I z, A,... průřezové charakteristiky A E l u = F u = 1 F l A E m = la KONVEXITA vs. KONKAVITA poddajnosti (K. Svanberg): Poddajnost je K(t) = i t i K i, konvexní (t i ) konkávní (1/t i ) význam pro minimalizaci hmotnosti ( vnitřní aproximace omezení, projekce)
Sekvenční programování x k??? x k+1 Subproblémy: optimální pokles cílové funkce nová iterace x k+1. SQP sekvence kvadratických úloh kvadratická aprox. cílové funkce f(x) lineární aprox. omezení g i (x) CONLIN / MMA a duální metoda konvexní aprox. cílové funkce f(x) a omezení g i (x) formulace úlohy QP KKT podmínky kvazi-newtonovská metoda (BFGS) směr poklesu f projekce směru přípustnost linesearch délka kroku je-li n m, tvarová optimalizace separace do n podúloh v x i analyt. řešení podúloh duální funkce D(λ) úloha v λ j, j = 1,..., m max D(λ) λ j 0 je-li n m, topologická optimalizace OptiStruct: adaptivní aproximace, CONMIN / CONLIN
8. Optimalizace tvaru Základní charakteristika Využívána paralelně s topologickou: zefektivnění optimalizačního procesu Dána topologie, hledá se část hranice Nevznikají nové hranice designová hranice definována Jakákoliv účelová funkce ve spojení s citlivostní analýzou. Nekonvexní (špatně podmíněná) optimalizace mnoho lokálních minim Většinou nutné přesíťování (adaptivní FEM) náročnost Omezení: hladkost hranice (B-spline,... )
Příklady optimalizace páky (2D) Optimalizace celé hranice, metoda konečných prvků (autor: Dr. Ing. Petr Kočandrle, 1994) počáteční design optimalizovaný design minimalizace hmotnosti
Příklady optimalizace háku (3D) Optimalizace profilu háku, metoda hraničních prvků (autor: Dr. Ing. Petr Koška, 1997) počáteční a optimalizovaný design napětí počáteční design napětí optimální design, minimalizace hmotnosti
Příklady optimalizace kontaktní hranice Plasticita, velké deformace, variační nerovnice (autor: E. Rohan, 1999) rozložení kontaktních napětí designová a kontaktní hranice optimální design plastická zóna počáteční design deformace optimální design deformace
9. Závěr Optimalizace konstrukcí syntéza znalostí mechaniky kontinua matematické optimalizace numerických metod Prolínání typů optimalizace (např. topologická tvarová) Aplikace: zcela nepostradatelná při vývoji nových konstrukcí využitelná i v oblasti biomechaniky (inverzní úlohy): stavba kostí optimální topologie, mikrostruktura design implantátů dřík endoprotéz ergonomie a komfort optimální svalové zatížení Některé zdroje autoři: Bendsoe M.P., Pedersen P, Olhoff N. (Denmark) Cherkaev A.V. (USA) Allaire G. (France) Neitaanmaki P. (Finland) Rozvany G.I.N., Zowe J. (Germany) Nemirovski A., Ben-Tal A., Hassani (Israel) Haslinger J., Hlaváček I., Kočvara M. (Česká republika)