ROBUST 24 c JČMF 24 EXTRÉMY V TEPLOTNÍCH ŘADÁCH Monika Rencová Klíčová slova: Teorie extrémů, teplotní řady, tříparametrické Weibullovo rozdělení. Abstrakt: Ze statistického hlediska je užitečné studovat chování maximálních nebo minimálních ročních teplot. Z teorie extrémů vyplývá, že rozdělení ročních minimálních/maximálních teplot by mělo odpovídat jednomu z extremálních rozdělení. Existuje však několik důvodů, proč dostupná data neodpovídají Gumbelovu rozdělení. Pro modelování těchto dat může být vhodnější tříparametrické Weibullovo rozdělení. 1 Úvod Široce rozšířená hypotéza o globálním oteplování vyvolala zájem o studium teplotních řad. Ke změně však nedochází pouze u průměrných teplot, ale mnoho klimatologů tvrdí, že změna klimatu se může projevovat především vznikem extremálních událostí. V příspěvku jsou sledovány dlouhé řady průměrných denních teplot naměřených v sedmi meteorologických stanicích- v Padově(1766-1997), Milánu (1763-1998), Uppsale(1722-2), Stockholmu(1756-2), Cadizu(1786-2),St.Petersburgu(1743-1997)aBelgii(1767-1998).Tatodatapocházejí z knihy D. Camuffa a P. Jonese Improved understanding of past climatic variability from early daily European instrumental sources. Podle známé extremální teorie bychom mohli usuzovat, že maximální/ minimální roční teploty budou rozděleny podle jednoho z extremálních rozdělení. Avšak naše data tento závěr nepotvrzují. 2 Základní vlastnosti dat Ukážeme si několik důvodů, proč Gumbelovo rozdělení v našem případě není vhodné pro modelování těchto dat. 1. Gumbelovo rozdělení vzniká jako asymptotické rozdělení maxima/ minima posloupnosti nezávislých veličin, případně maxima/minima stacionárních posloupností s krátkou pamětí(např. ARMA posloupností), viz článek Daniely Jaruškové. Konvergence je však velmi pomalá, pokud mezi po sobě jdoucími členy posloupnosti je silná závislost. Tak tomu je např. u našich dat. Korelační koeficient průměrných denních teplot mezi dvěma po sobě jdoucímidnysepohybujeuvšechstanickolemhodnoty,8.naobrázku1 jsou znázorněny korelační koeficienty průměrných denních teplot mezi jednotlivými po sobě jdoucími dny v roce. Horní křivka odpovídá dvěma po sobě jdoucím dnům, další křivky směrem shora dolů odpovídají korelačním koeficientům průměrných denních teplot mezi dny, jejichž rozdíl jsou 2 dny
348 Monika Rencová 1 Milan korelace.9.8.7.6.5.4.3 5 1 15 2 25 3 35 Obrázek 1: Korelace mezi jednotlivými dny. 25 Milan 2 15 1 5 5 1 15 2 25 3 35 Obrázek 2: Závislost průměrné denní teploty na dni v roce. a3dny,t.j.udruhékřivkybylyspočtenykorelačníkoeficientymezi1.lednem a3.lednem,2.lednema4.lednematd. 2. Dalším důvodem proč asymptotická teorie selhává, je nestejné rozdělení veličin, z nichž počítáme maximum/minimum. Nestejné rozdělení je způso-
Extrémy v teplotních řadách 349 8 Milan 7 6 5 4 3 2 1 2 1 1 2 3 4 Obrázek 3: Histogram všech dostupných dat. 45 4 35 3 25 2 15 1 5 162 17 178 186 194 22 21 218 226 234 Obrázek 4: Histogram z dat, kdy bylo dosaženo maximum. beno ročním chodem. Zjistili jsme např., že v našich datech nastal nejteplejší denvrozmezípřibližně1dnů.toznamená,žepronalezenímaximanení nutno sledovat období mimo tento časový úsek(přibližně 15.- 25. den vroce),vizobrázek2.
35 Monika Rencová 3. Vzhledem k tomu, že uvažujeme maxima z relativně malého počtu dat, hraje výraznou roli původní rozdělení veličin. Na obrázku 3 je histogram všech denních teplot, na obrázku 4 je příklad histogramu z dat, ve kterých alespoň v některém roce byla dosažena maximální teplota. 4. Rozdělení maxim/minim mohou být také ovlivněna celkovým růstem teploty, což ilustruje graf vývoje průměrné teploty, viz obrázek 5. 15 Milan prùm. teplota 14.5 14 13.5 13 12.5 12 11.5 11 175 18 185 19 195 2 Obrázek 5: Řada průměrných ročních teplot. Základní informace o průměrných, minimálních a maximálních hodnotách jsouuvedenyvtabulkách1až3. Průměr x σ n 1 šikmost Miláno 12.8297.6123 -.43 Padova 13.23.585 -.1799 Belgie 9.588.7513 -.2845 Cadiz 17.52.563.2616 Uppsala 5.1719.999.31 Stockholm 5.7945.9478.128 St.Petersburg 4.236 1.1771 -.297 Tabulka 1: Průměr vlastnosti.
Extrémy v teplotních řadách 351 Maximum x σ n 1 šikmost Miláno 28.936 1.339.2635 Padova 27.779 1.2843.4224 Belgie 23.68 1.9263.17 Cadiz 29.3642 1.4383.111 Uppsala 22.1272 1.9472.12 Stockholm 22.3939 1.946.16 St.Petersburg 23.834 1.819 -.98 Tabulka 2: Maximum vlastnosti. Minimum x σ n 1 šikmost Miláno -4.4263 2.781 -.617 Padova -3.9374 2.6492 -.777 Belgium -6.7985 3.3769 -.2411 Cadiz 5.63 2.2947 -.8921 Uppsala -17.875 4.9149 -.585 Stockholm -15.28 4.247 -.4257 St.Petersburg -23.882 5.987 -.1833 Tabulka 3: Minimum vlastnosti. 34 QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal 7 qqplot Gumbel maximum Milan 33 6 32 5 31 4 Quantiles of Input Sample 3 29 28 27 Y Quantiles 3 2 1 26 1 25 2 24 3 2 1 1 2 3 Standard Normal Quantiles 3 24 25 26 27 28 29 3 31 32 33 34 X Quantiles Obrázek 6: QQ plot- maximum Miláno, vlevo-normální rozdělení, vpravo- Gumbelovo rozdělení.
352 Monika Rencová 3 Maxima and minima Když porovnáme tabulky 2 a 3, zjistíme, že pro minimální teploty vychází šikmost záporná a nabývá vyšších hodnot, zatímco pro maximální hodnoty vychází šikmost kladná s hodnotami nižšími, blízkými nule. Mohli bychom tedy usuzovat, že rozdělení maximální teploty je spíše normální než Gumbelovo. Zatímco minimální teploty se neřídí ani normálním ani Gumbelovým rozdělením. O tom se můžeme přesvědčit také srovnáním příslušných grafů naobrázcích6a7. 4 QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal Milan 1 qqplot Gumbel minimum Milan 2 8 6 Quantiles of Input Sample 2 4 6 8 Y Quantiles 4 2 1 12 2 14 3 2 1 1 2 3 4 14 12 1 8 6 4 2 2 Standard Normal Quantiles X Quantiles Obrázek 7: QQ plot- minimum Miláno, vlevo-normální rozdělení, vpravo- Gumbelovo rozdělení..16.14 Weibull minimum Milan Weibull minimum.12.1.8.6.4.2 2 15 1 5 5 Obrázek 8: Srovnání odhadnutého tříparametrického Weibullova rozdělení s původními daty.
Extrémy v teplotních řadách 353 4 Weibullovo rozdělení Pro modelování nesymetrických dat, k nimž patří také maximální/minimální teploty, se často používá tříparametrické Weibullovo rozdělení, pro jehož hustotu platí f(x; θ, α, β)=αβ(x θ) α 1 e β(x θ)α (θ < x <, α >, β >). Pro každou teplotní řadu byly nalezeny odhady tříparametrického Weibullova rozdělení. Např. pro Miláno jsme dostali odhady ˆα=2.24521,ˆβ=.156,ˆθ= 1.31. Z obrázku 8 vyplývá, že tento model popisuje naše data poměrně dobře. Reference [1] Camuffo D., Jones P.(22). Improved understanding of past climatic variability from early daily European instrumental sources. Climatic Change 53,1 3. Adresa: M. Rencová, Katedra matematiky, FSV ČVUT, Thákurova 7, Praha 6 E-mail: rencova@mat.fsv.cvut.cz
354