D(f) =( 1, 1) [ ( 1, 1) [ (1, 1). 2( x)3 ( x) 2 1 = 2(x) 3. (x) 2 1 = f(x) Funkce je lichá, není periodická

Transkript

1 Vyšetříme funkci f(x): f(x) = 2x3.. Stanovme definiční obor funkce D(f) a zjistíme,ve kterých bodech je funkce sojitá D(f) =(, ) [ (, ) [ (, ). 2. Počítáme f( x) = 2( x)3 ( x) 2 = 2(x) 3 (x) 2 = f(x) Funkce je lichá, není eriodická 3. Vyšetříme body nesojitosti ±,v těchto bodech určíme jednostranné limity: = lim (x )(x + ) = lim (x + ) lim (x ) = = ( ) =, + = lim + (x )(x + ) = lim + (x + ) lim = (+) =, (x ) = x! = lim x! (x )(x + ) = lim x! (x ) lim x! (x + ) = = ( ) =, x! + = lim x! + (x )(x + ) = lim x! + (x ) lim x! + (x + ) = = () =. 4. Asymtoty grafu funkce bez směrnice jsou římky x = ax =. Asymtoty se směrnicí: y = kx + q 2 k = lim =2. 2x( ) q = lim = 2x =0. Existuje tedy jediná asymtota se směrnicí y = 2x.

2 5. Intervaly monotonnosti určíme omocí rvní derivace f 0 (x) = 6x2 ( ) (2x) ( ) 2 = 6x4 6 4x 4 ( ) 2 = 2x4 6 ( ) 2 = 2x2 ( 3) ( ) 2. Pro rostoucí funkci latí, že f 0 (x) > 0: f 0 (x) = 2x2 ( 3) ( ) 2 > 0, 2 ( 3) > 0. Funkce je tedy rostoucí na intervalech (, Pro funkci klesající latí, že f 0 (x) < 0: f 0 (x) = 2x2 ( 3) ( ) 2 < 0, 2 ( 3) < 0 3) a ( 3, ). a klesající na intervalech ( 3, ) a (, ) a (, 3). 6. Lokální extrémy funkce vyočítáme ze vztahu f 0 (x) = 0. f 0 (x) = 2x2 ( 3) ( ) 2 =0, 2 ( 3) = 0 Funkce tedy nabývá lokálních extrému ve stacionárních bodech ± 3. Zda funkce nabývá lokálního maxima (f 00 (x s ) ale 0) či lokálního minima (f 00 (x s ) ale 0) ve stacionárních bodech určíme omocí druhé derivace Tedy, f 00 (x) = 2{[2x((x2 3) (2x)]( ) 2 ( 3)[2( )(2x)]} [( ) 2 ] 2 = = [(8x3 2x)( ) 2 (2x 4 6 )(4x)] [( ) 2 ] 2 = = [(8x3 2x)( ) (2x 4 6 )(4x)] ( ) 3 = = 8x5 8x x 8x x 3 ( ) 3 = = 4x3 + 2x ( ) 3 = 4x(x2 + 3) ( ) 3 f 00 ( 3) = 4 3[( 3) 2 + 3] [( = 4 3(3 + 3) 3) 2 ] 3 (3 ) 3 =

3 ve stacionárním bodě je lokálního minimum, f 00 ( 3) = 4( 3)[( 3) 2 + 3] [( 3) 2 ] 3 = 4( 3)(3 + 3) (3 ) 3 = 3 3 ale 0 ve stacionárním bodě je lokální maximum. Hodnoty funkce ve ve stacionárních bodech, dosadíme do zadání: f( 3) = 2( 3) 3 ( 3) 2 =3 3 f( 3) = 2( 3) 3 ( 3) 2 = 3 3 POZN: je zajímavé, že lokální maximum nabývá menší hodnoty než lokální minimum. 7. Intervaly, kde je funkce konkávní (f 00 (x) < 0) či konvexní(f 00 (x) > 0), určíme také omocí druhé derivace: f 00 (x) = 4x(x2 + 3) ( ) 3 > 0 [4x( + 3) > 0 ^ ( ) 3 > 0] _ [4x( + 3) < 0 ^ ( ) 3 < 0] f 00 (x) = 4x(x2 + 3) ( ) 3 < 0 [4x( + 3) < 0 ^ ( ) 3 > 0] _ [4x( + 3) > 0 ^ ( ) 3 < 0] Podle znamének určíme, že funkce je konvexní na intervalech ( na intervalech (, ),(0, )., 0),(, ) a konkavní Inflexní body z druhé derivace f 00 (x) = 0: 3

4 f 00 (x) = 4x(x2 + 3) ( ) 3 =0 4x(x2 + 3) = 0 Funkce má tedy jediný inflexní bod v x = 0. Vyšetříme funkci f(x): f(x) = +x2. Stanovme definiční obor funkce D(f) a zjistíme,ve kterých bodech je funkce sojitá D(f) =(, ) [ (, ) [ (, ). 2. Počítáme y( x) = +( x)2 ( x) 2 = +x2 = y(x) Funkce je sudá, není eriodická POZN: funkce je sudá, omezíme se roto na vyšetřovaní jen nezáorné časti(graf je souměrný odle osy y). 3. Vyšetříme body nesojitosti x = ± a v těchto bodech jeednostranné limity: x! + = lim x! + ( x)( + x) = lim x! + x lim x! +x = = ( ) =, + x! + = lim + x! + ( x)( + x) = lim + x! + x lim x! +x = = (+) =, + = lim + ( x)( + x) = lim + +x lim x! x = = () =, + + = lim + + ( x)( + x) = lim + + +x lim x! x = = ( ) =. Asymtoty grafu funkce bez směrnice jsou římky x = a x =. Asymtoty se směrnicí: y = kx + q 4

5 + k = lim x( ) = lim x 3 ( + x 3 x ) x 3 ( ) = lim ( + x 3 x ) ( ) = 0 =0. + q = lim = lim ( + ) ( ) = lim ( + ) ( ) = Existuje tedy jediná asymtota se směrnicí y =. 4. Intervaly monotonnosti určíme omocí rvní derivace: y 0 (x) = 2x( x2 ) ( + )( 2x) ( ) 2 = 2x3 +2x + ( ) 2 = Pro rostoucí funkci latí, že f 0 (x) > 0: f 0 (x) = 4x ( > 0, 4x >0. ) 2 Funkce je rostoucí na intervalech (0, ) a (, ) Pro funkci klesající latí, že f 0 (x) < 0: f 0 (x) = 4x ( < 0, 4x <0 ) 2 a klesající na intervalech (, ) a (, 0). 4x ( ) 2 5. Lokální extrémy funkce vyočítáme ze vztahu f 0 (x) = 0. f 0 (x) =4x( ) 2 =0, 4x =0 Funkce tedy nabývá lokálního extrému ve stacionárnḿ bodě x = 0. Zda funkce nabývá lokálního maxima (f 00 (x s ) ale 0) či lokálního minima (f 00 (x s ) 0) určíme omocí druhé derivace f 00 (x) = 4( x2 ) 4x(2)( )( 2x) ( ) 4 = = 4( x2 ) 8x( 2x) ( ) 3 = = 4 4x2 + 6 ( ) 3 = = 4(3x2 + ) ( ) 3. 5

6 Tedy, f 00 (0) = 4[3(0)2 + ] [ (0) 2 ] 3 =4 0 ve stacionárním boděx = 0 je lokálního minimum. Hodnotu funkce ve ve stacionárním bodě, dosadíme do zadání: f(0) = + (4)2 (4) 2 = +0 0 = Hodnota lokálního extrému je rovna. 6. Intervaly, kde je funkce konkávní (f 00 (x) < 0) či konvexní(f 00 (x) > 0), určíme také omocí druhé derivace: y 00 (x) = 4(3x2 + ) ( ) 3 y 00 (x) = 4(3x2 + ) ( ) 3 > 0 [4(3 + ) > 0 ^ ( ) 3 > 0] _ [4(3 + ) < 0 ^ ( ) 3 < 0] funkce je konvexní na intervalu (, ) y 00 (x) = 4(3x2 + ) ( ) 3 < 0 [4(3 + ) > 0 ^ ( ) 3 < 0] _ [4(3 + ) < 0 ^ ( ) 3 > 0] a konkávní na intervalech (, ) a (, ). Inflexní body z druhé derivace f 00 (x) = 0: f 00 (x) = 4(3x2 + ) ( ) 3 = 0 4(3x2 + ) = 0 Funkce nemá žádný inflexní bod. 6

7 Plot 2x3, {x, -5, 5} Plot x2 +, {x, -5, 5} Printed by Wolfram Mathematica Student Edition