ČESKÉ VYSOKÉ ČENÍ TEHNKÉ V PZE MSYKŮV ÚSTV VYŠŠÍH STDÍ Katedra inženýrské pedagogiky KÁŘSKÁ PÁE Praha 9 c. Pavel Řezníček
ČESKÉ VYSOKÉ ČENÍ TEHNKÉ V PZE MSYKŮV ÚSTV VYŠŠÍH STDÍ Katedra inženýrské pedagogiky Sbírka řešených úloh z elektrických obvodů ollection of Solved Exercises in Electrical ircuits KÁŘSKÁ PÁE utor: Studiní program: Studiní obor: Vedoucí práce: c. Pavel Řezníček Specializace v pedagogice čitelství odborných předmětů prof. NDr. Emanuel Svoboda, Sc. Praha 9
Prohlášení Prohlašui, že sem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatně s přispěním vedoucího bakalářské práce a použil pouze podklady v práci uvedené. Nemám závažný důvod proti zpřístupňování této závěrečné práce v souladu se zákonem č. / Sb., o právu autorském, o právech souviseících s právem autorským a o změně některých zákonů autorský zákon v platném znění. V Praze dne podpis:
Poděkování čkoliv na titulní straně této bakalářské práce stoí mé méno, nemohla by vzniknout bez dalších osob. Děkui především vedoucímu této bakalářské práce prof. NDr. Emanueli Svobodovi, Sc. za poskytnutí cenných rad a zkušeností a za upozornění na chyby. Dále děkui rektorovi ČVT, prof. ng. Václavu Havlíčkovi, Sc. za povolení použít příklady z neoficiálních internetových stránek předmětu Elektrické obvody.
bstrakt Tato práce představue sbírku řešených příkladů z oblasti vysokoškolského předmětu Elektrické obvody. Jedná se o předmět prvního ročníku. Příklady pokrývaí oblast řešení elektrických obvodů nacházeících se ve stacionárním ustáleném stavu a v harmonickém ustáleném stavu. Jsou vhodné také pro vyšší ročníky středních škol se zaměřením na slaboproudou elektrotechniku. bstract This publication represents a collection of solved exercises from an area of university subect Electrical circuits. t is a subect of the first year-class. Exercises overlay an area of the solution of electrical circuits in stationary steady state and in harmonic steady state. They are also suitable for higher yearclasses of secondary schools with specialization to light-current electrotechnics.
Obsah Obsah... 5 Úvod... 7. Volba tématu... 7. Forma sbírky... 8.. Tištěná forma... 8.. Elektronická forma... 8.. Konečný výběr formy sbírky... 8. íle práce... 9. Metody použité v práci... 9.5 Stručný popis ednotlivých částí práce... 9 Část. Teoretický úvod... Stacionární ustálený stav.... Metody řešení elektrických obvodů ve stacionárním ustáleném stavu..... Přímá aplikace Kirchhoffových zákonů..... Metoda lineární superpozice..... Metoda smyčkových proudů..... Metoda uzlových napětí.... Věty o náhradních zdroích..... Théveninův teorém..... Nortonův teorém... Harmonický ustálený stav... 5. Metody řešení elektrických obvodů v harmonickém ustáleném stavu... 5.. Základní pomy... 5.. Fázorové diagramy... 6.. Výkon v obvodech harmonického ustáleného stavu.... Věty o náhradních zdroích... OSH 5
Část. Řešené příklady... Stacionární ustálený stav.... Metody řešení elektrických obvodů ve stacionárním ustáleném stavu..... Příklad..... Příklad..... Příklad..... Příklad.....5 Příklad 5... 5..6 Příklad 6... 7..7 Příklad 7... 8. Věty o náhradních zdroích..... Příklad 8..... Příklad 9..... Příklad... 5.. Příklad... 9 5 Harmonický ustálený stav... 5 5. Metody řešení elektrických obvodů v harmonickém ustáleném stavu... 5 5.. Příklad... 5 5.. Příklad... 55 5.. Příklad... 57 5.. Příklad 5... 59 5..5 Příklad 6... 6 5..6 Příklad 7... 6 5..7 Příklad 8... 6 5..8 Příklad 9... 66 5..9 Příklad... 68 5.. Příklad... 69 5. Věty o náhradních zdroích... 7 5.. Příklad... 7 5.. Příklad... 7 5.. Příklad... 77 5.. Příklad 5... 8 6 Závěr... 8 iteratura... 85 OSH 6
Úvod. Volba tématu Na elektrotechnické fakultě ČVT v Praze se v prvním ročníku strukturovaného studiního programu Elektrotechnika a informatika vyučue předmět Elektrické obvody. Tento předmět uvádí základní pomy z teorie elektrických obvodů, definue obvodové veličiny a prvky, zabývá se analýzou lineárních odporových obvodů a analýzou lineárních obvodů s akumulačními prvky v harmonickém ustáleném stavu s využitím symbolicko-komplexní metody fázory, komplexní imitance. Jsou uvedeny základní principy elementární analýzy Kirchhoffovy zákony, dělič napětí, dělič proudu, řazení prvků, metoda postupného zednodušování, Théveninův a Nortonův teorém, princip superpozice atd.. Jsou definovány základní topologické pomy a uvedeny obecné metody analýzy metoda uzlových napětí, metoda smyčkových proudů včetně eich maticového vyádření viz anotace předmětu [7]. Předmět se zakončue zápočtem a zkouškou skládaící se ednak z teoretických otázek, ednak z příkladů navazuících na probíraná témata v průběhu semestru. Na neoficiálních internetových stránkách předmětu viz [8] e pro studenty umístěn soubor typových příkladů určených pro přípravu ke zkoušce. Tyto příklady sou studenty honě využívány zeména proto, že příkladů počítaných na cvičeních e málo a nepostačuí tak na kvalitní přípravu ke zkoušce. Nedostatkem těchto příkladů e však absence alespoň naznačeného postupu řešení e zde uvedeno vždy en zadání a výsledek. Řada studentů využívaící tyto příklady pro přípravu neen ke zkoušce, ale také na cvičení v průběhu semestru, by istě ocenila postup řešení alespoň u části příkladů ze své zkušenosti toto tvrzení mohu potvrdit. Z tohoto důvodu sem se rozhodl realizovat sbírku řešených příkladů. Zadání všech příkladů sem čerpal právě z uvedených neoficiálních stránek se svolením prof. ng. Václava Havlíčka, Sc., rektora ČVT. Řešení sem čerpal z mých poznámek z období, kdy pro mě tyto příklady byly aktuální, a ověřil si e porovnáním s výsledky příkladů na webu. Tímto způsobem e snížena pravděpodobnost chyby na minimum.. ÚVOD 7
. Forma sbírky Každému studentovi pochopitelně vyhovue iný způsob učení. Někdo preferue papírovou formu, iný upřednostňue studium s literaturou v elektronické podobě. Při volbě podoby sbírky, v aké i poskytnu studentům, sem vycházel z výhod a nevýhod následuících možností popsaných také v [6]... Tištěná forma Jedná se zeména o skripta a iné odborné publikace. Mezi nesporné výhody této formy istě patří možnost mít takovou literaturu kdykoliv a kdekoliv u sebe. Jedná-li se ale o sbírku příkladů ako e např. tato sbírka, e zmíněná výhoda poněkud omezena. Předpokládá se totiž, že student se snaží z velké části počítat příklady sám a do řešení příkladu se podívá až ve chvíli, kdy si neví rady. Omezení spočívá ve skutečnosti, že počítat příklady např. ve vlaku nebo autobusu e prakticky nemožné. Další poměrně podstatnou nevýhodou e fakt, že informace uvedené v dané publikaci zastarávaí a eich aktualizace lze provést edině novým vydáním. Totéž platí pro odhalené chyby. Poslední záležitostí týkaící se tištěné formy, kterou zde zmíním, e cena. V současné době můžeme ve skriptárně ČVT pozorovat poměrně vysoké ceny zde vystavených publikací. Studenti si proto kupuí skripta, která většinou potřebuí pouze eden semestr, en s velkou rozvahou... Elektronická forma Jedná se o dokumenty v elektronické podobě na webu, D apod. Materiály v této formě nelze mít kdykoliv a kdekoliv u sebe podobně ako v případě tištěné formy. Tento fakt vyplývá z potřeby mít k dispozici počítač nebo podobné zařízení PD,... a připoení k internetu. Nevýhodou sou pořizovací náklady spoené s nákupem počítače a zařízení internetu, avšak v dnešní době sou tyto záležitosti natolik běžné, že se touto nevýhodou nemá cenu zabývat. Mezi velké výhody patří možnost snadné aktualizace obsahu, opravy případných chyb atd. Osobně oceňui také pohodlné a rychlé vyhledávání přesné fráze v běžných programech pod klávesovou zkratkou trl F i pomocí odkazů... Konečný výběr formy sbírky Po zvážení všech výhod a nevýhod předchozích možností a po konzultaci s edním z přednášeících předmětu Elektrické obvody sem se rozhodl pro kombinaci tištěné a elektronické formy. Sbírka bude umístěna na neoficiální internetové stránky předmětu [8] v této podobě, tedy v podobě souboru pdf. Tato možnost zahrnue maximum předností studenti si sbírku mohou zdarma stáhnout, soubor lze snadno aktualizovat korekce případných chyb a nedostatků, přidání dalších příkladů,..., navíc lze v dokumentu rychle vyhledávat. Pro studenty, kterým více vyhovue tištěná podoba, e tu stále možnost sbírku vytisknout.. ÚVOD 8
. íle práce Tato bakalářská práce představue doplňkový studiní materiál, který by měl obasnit metody počítání elektrických obvodů nacházeících se ve stacionárním ustáleném stavu a harmonickém ustáleném stavu a poskytnout tak kvalitní přípravu k části zkoušky z předmětu Elektrické obvody, kde se obvody podobné těmto počítaí. Pokrývá postupně celou problematiku nerůzněších situací, které se řeší v souvislosti se stacionárním a harmonickým ustáleným stavem. Nabízí studentům možnost samostatně si vyzkoušet, zda látku pochopili a dovedou i samostatně aplikovat při řešení příkladů. Je žádoucí, aby se studenti naučili poznat, kdy e pro řešení obvodu vhodná aká metoda, a danou metodou potom zdárně příklad vyřešili. Naopak e nežádoucí, aby se studenti naučili řešení příkladů zpaměti. To e bohužel častá chyba, která se u zkoušky nevyplatí.. Metody použité v práci V případě všech příkladů se edná o algebraický-syntetický způsob řešení. Neprve e překresleno schéma elektrického obvodu s vyznačenými veličinami potřebnými pro výpočet. Dále se uvádí obecné vzorce s případným zdůvodněním proč se ubíráme právě tím směrem a ne iným a výsledek příkladu včetně ednotek. Přestože sou v zadání příkladů uvedeny hodnoty prvků příslušných obvodů s přesností ednotek, výsledky se zaokrouhluí s přesností na dvě platné cifry nebo iný počet platných cifer, pokud e to vhodné. Pokud e příklad řešen několika metodami, e uvedeno porovnání výsledků v obou případech..5 Stručný popis ednotlivých částí práce Sbírka příkladů e rozdělena celkem do dvou částí teoretický úvod a řešené příklady. První část obsahue krátký teoretický úvod do dané problematiky. Je zde uvedena pouze pro úplnost, studenti by iž danou problematiku měli znát z přednášek a cvičení ve škole. Probíraí se zde ednotlivé metody řešení elektrických obvodů ako sou aplikace Kirchhoffových zákonů, metody lineární superpozice, smyčkových proudů a uzlových napětí a věty o náhradních zdroích Théveninův a Nortonův teorém. Vždy e popsána podstata metody a v několika krocích naznačen postup při řešení. Druhou část představuí samotné příklady. každého příkladu e kompletní zadání včetně hodnot součástek a obvodového schématu následované řešením. Řešení e popsáno slovně a obecnými vztahy. Do těchto vztahů sou číselně dosazeny hodnoty veličin ze zadání a dále e uveden výsledek příkladu. Příklady sou zaměřeny na látku probíranou v teoretické části. Obvody v prvních příkladech se nacházeí ve stacionárním ustáleném stavu, z toho 7 příkladů má za cíl procvičit metodu uzlových napětí a smyčkových proudů, popř. metodu lineární superpozice a příklady sou zaměřeny na věty o náhradních zdroích Théveninův a Nortonův teorém. První příklad e přitom spočítán všemi třemi metodami pro srovnání. Obvody ve zbývaících příkladech se nacházeí v harmonickém ustáleném stavu, z toho příkladů má za cíl procvičit metodu uzlových napětí a smyčkových proudů a příklady sou zaměřeny na věty o náhradních zdroích.. ÚVOD 9
Část. Teoretický úvod
Stacionární ustálený stav Elektrický obvod e ve stacionárním ustáleném stavu, pokud odezní všechny přechodové děe způsobené např. připoením obvodu na zdro elektrické energie. Napětí na prvcích obvodu a proudy protékaící těmito prvky sou neměnné v čase.. Metody řešení elektrických obvodů ve stacionárním ustáleném stavu.. Přímá aplikace Kirchhoffových zákonů Jedná-li se o ednoduchý elektrický obvod, e možné vypočítat napětí a proudy na daných prvcích přímo pomocí Kirchhoffových zákonů. Použití metod uvedených dále se v takových případech stává zbytečné. Za předpokladu znalosti Kirchhoffových zákonů e eich přímá aplikace při řešení elektrických obvodů velmi ednoduchá a proto se zde touto problematikou nebudeme více zabývat... Metoda lineární superpozice Tuto metodu lze využít pouze v obvodech s lineárními prvky, a to k výpočtu napětí a proudů, nelze i využít pro počítání výkonů. Jeí použití e vhodné, pokud se v obvodu nachází více zdroů elektrické energie zdroe napětí, proudu nebo kombinace. Napětí se stanoví ako algebraický součet napětí na daném prvku vyvolaného ednotlivými zdroi samostatně, přičemž ostatní zdroe napětí zkratueme a zdroe proudu rozpoíme. Pro výpočet proudu platí totéž... Metoda smyčkových proudů Metoda smyčkových proudů e založena na druhém Kirchhoffově zákoně algebraický součet všech svorkových napětí zdroů a všech úbytků napětí na spotřebičích se v uzavřené. STONÁNÍ STÁENÝ STV
smyčce rovná nule. Počet rovnic e roven počtu uzavřených smyček v obvodu zmenšeném o počet zdroů proudu v obvodu: r s, kde r e počet rovnic nutných pro výpočet daného obvodu, s e počet uzavřených smyček v obvodu a z e počet zdroů proudu v obvodu. Při řešení elektrického obvodu metodou smyčkových proudů postupueme podle následuících kroků: - na každém prvku v obvodu označíme libovolně směr napětí; - v každé uzavřené smyčce stanovíme smyčkový proud v libovolném směru doporučue se však volit smysl všech smyčkových proudů v obvodu shodný; - pro každou smyčku sestavíme obvodovou rovnici: - pokud smyčka obsahue zdro proudu, e velikost smyčkového proudu rovna proudu tohoto zdroe a obvodovou rovnici pro tuto smyčku nesestavueme; - pro každý zdro napětí v dané smyčce zapíšeme do rovnice napětí tohoto zdroe pokud e eho smysl opačný vůči smyslu smyčkového proudu, má záporné znaménko; - pro každý další prvek např. rezistor v dané smyčce zapíšeme do rovnice napětí na tomto prvku, ehož směr sme si zvolili v prvním bodě pokud e na daném prvku smysl proudu opačný vůči smyslu smyčkového proudu, má záporné znaménko; - napětí na ednotlivých prvcích vyádříme ako součin odporu prvku a smyčkových proudů tímto prvkem protékaících v případě, že e prvek společný dvěma smyčkám, prochází ím smyčkové proudy dva příslušící každé smyčce; - dostaneme tak soustavu r rovnic s r neznámými proměnnými smyčkové proudy, kterou vyřešíme; - z hodnot smyčkových proudů dopočítáme proudy protékaící prvky v obvodu a napětí na těchto prvcích. Metoda smyčkových proudů e vhodná pro obvody, kde převažuí zdroe napětí. z.. Metoda uzlových napětí Metoda uzlových napětí e založena na prvním Kirchhoffově zákoně algebraický součet všech proudů v uzlu se rovná nule. Počet rovnic e roven počtu uzlů v obvodu zmenšeném o počet zdroů napětí v obvodu a o eden referenční uzel: r u z, kde r e počet rovnic nutných pro výpočet daného obvodu, u e počet uzlů v obvodu a z e počet zdroů napětí v obvodu. Při řešení elektrického obvodu metodou uzlových napětí postupueme podle následuících kroků: - na každém prvku v obvodu označíme libovolně směr proudu;. STONÁNÍ STÁENÝ STV
- stanovíme všechny uzly obvodu a eden z nich určíme ako referenční uzel doporučue se volit takový uzel, ve kterém e spoeno nevíce prvků; - k tomuto referenčnímu uzlu se vztahuí všechna uzlová napětí ze všech ostatních uzlů; - pro každý uzel sestavíme obvodovou rovnici: - pokud e na uzel přímo napoen zdro napětí, e velikost napětí v tomto uzlu rovna napětí tohoto zdroe a obvodovou rovnici pro tento uzel nesestavueme; - pro každý zdro proudu tekoucího přímo do tohoto uzlu zapíšeme do rovnice proud tohoto zdroe pokud do uzlu vtéká, má záporné znaménko; - pro každý další prvek např. rezistor vycházeící z uzlu zapíšeme do rovnice proud protékaící tímto prvkem, ehož směr sme si zvolili v prvním bodě pokud do uzlu vtéká, má záporné znaménko; - vyádříme proudy protékaící ednotlivými prvky ako součin vodivosti převrácená hodnota odporu prvku a napětí na tomto prvku odvozeného z příslušných uzlových napětí v případě, že se prvek nachází přímo mezi dvěma uzlovými napětími, e na něm rozdíl těchto dvou napětí; - dostaneme tak soustavu r rovnic s r neznámými proměnnými uzlová napětí, kterou vyřešíme; - z hodnot uzlových napětí dopočítáme napětí na prvcích v obvodu a proudy protékaící těmito prvky. Metoda uzlových napětí e vhodná pro obvody, kde převažuí zdroe proudu.. Věty o náhradních zdroích.. Théveninův teorém ibovolně složitý obvod skládaící se z lineárních prvků můžeme vzhledem k libovolným dvěma svorkám nahradit obvodem skutečného zdroe napětí skládaícího se z ideálního zdroe napětí T a vnitřního odporu zdroe T zapoených sériově. Náhradní obvod e na obr... Potom e však třeba určit parametry tohoto náhradního obvodu. Napětí zdroe T se vypočítá ako napětí naprázdno na výstupních svorkách. Odpor T představue odpor mezi výstupními svorkami za předpokladu, že sme všechny zdroe napětí v obvodu zkratovali a zdroe proudu rozpoili. Obr.. Náhradní zapoení podle Théveninova teorému. STONÁNÍ STÁENÝ STV
.. Nortonův teorém ibovolně složitý obvod skládaící se z lineárních prvků můžeme vzhledem k libovolným dvěma svorkám nahradit obvodem skutečného zdroe proudu skládaícího se z ideálního zdroe proudu N a vnitřního odporu zdroe N zapoených paralelně. Náhradní obvod e na obr... Parametry tohoto náhradního obvodu se stanoví obdobně ako v případě Théveninova teorému. Proud zdroe N se vypočítá ako proud protékaící zkratovanými výstupními svorkami. Odpor N představue odpor mezi výstupními svorkami za předpokladu, že sme všechny zdroe napětí v obvodu zkratovali a zdroe proudu rozpoili. Je tedy stený ako v případě Théveninova teorému, N T. Obr.. Náhradní zapoení podle Nortonova teorému. STONÁNÍ STÁENÝ STV
Harmonický ustálený stav Elektrický obvod e v harmonickém ustáleném stavu, pokud e buzen ze zdroe příp. zdroů harmonického signálu a parametry signálů v obvodu se nemění v čase eich okamžité hodnoty se však měnit mohou. Pokud se obvod nachází v harmonickém ustáleném stavu, sou všechny signály v daném obvodu také harmonické a ustálené. Frekvence všech signálů v obvodu e shodná s frekvencí budicího signálu. Průběhy napětí a proudů se liší pouze amplitudou a počáteční fází.. Metody řešení elektrických obvodů v harmonickém ustáleném stavu.. Základní pomy Elektrické obvody v harmonickém ustáleném stavu řešíme podobně ako obvody ve stacionárním ustáleném stavu, tedy s využitím Kirchhoffových zákonů, metodou lineární superpozice, smyčkových proudů či uzlových napětí. V harmonickém ustáleném stavu sou však průběhy napětí a proudů obecně signálů střídavé. Maí tedy amplitudu, frekvenci a fázový posun, viz obr... Tyto parametry signálů musíme v uvedených metodách např. při sestavování rovnic respektovat. Harmonický signál, se kterým se zde budeme setkávat, lze zapsat ve tvaru u t m sin t ϕ, kde m e amplituda signálu v tomto případě napětí, φ e úhlová frekvence vyádřená v rad/s πf, f e frekvence v ednotkách Hz a e fázový posun signálu.. HMONKÝ STÁENÝ STV 5
Obr.. Harmonický signál s vyznačenými parametry Na frekvenci napětí a proudu závisí také kapacitní a indukční reaktance, které vyadřueme pomocí komplexních čísel: X X., Pro tyto veličiny platí Ohmův zákon: X X,, který lze obecně zapsat ako Z. Veličinu Z nazýváme impedance obdoba odporu a eí převrácenou hodnotu Y admitance obdoba vodivosti... Fázorové diagramy Zápis harmonického signálu ut m sint φ lze zapsat také pomocí komplexních čísel ako tzv. fázor ϕ m e. V tomto tvaru se neuvažue frekvence. To si můžeme dovolit, protože v harmonickém ustáleném stavu maí všechny signály frekvenci stenou ako zdro signálu. Do tohoto tvaru e výhodné převést signál při některých výpočtech a lze e dobře znázornit ve fázorovém grafu komplexní rovina s reálnou a imaginární osou. Pro ideální rezistor platí, že fázor napětí a proudu tímto rezistorem protékaícím e ve fázi rezistor nezpůsobue žádný fázový posun proudu vůči napětí. V komplexní rovině toto značíme shodným směrem vektorů označuících napětí a proud viz obr..a.. HMONKÝ STÁENÝ STV 6
a b c Obr.. Fázory napětí a proudu v obvodu s ideálním rezistorem a, kondenzátorem b a cívkou c V případě ideálního kondenzátoru e napětí zpožděno o π/ za proudem protékaícím kondenzátorem, ak e vidět na obr... V komplexní rovině toto znázorňueme podle obr..b. Obr.. Průběh napětí a proudu v obvodu s ideálním kondenzátorem Pro ideální cívku platí analogie kondenzátoru: fázor napětí předbíhá proud protékaící cívkou o π/. Na obr.. e vidět časový průběh a a obr..c tuto situaci opět znázorňue v komplexní rovině. Obr.. Průběh napětí a proudu v obvodu s ideální cívkou vedené ideální součástky lze zapoovat sériově, paralelně nebo kombinovaně sérioparalelně. Podle toho se mění fázorové diagramy. Při eich kreslení vždy vycházíme z veličiny, která e pro daný obvod nebo některou eho větev společná. V případě sériového zapoení součástek e to proud, v případě paralelního zapoení e to napětí. sériového zapoení rezistoru a kondenzátoru podle obr..5a tedy fázorový diagram začneme kreslit proudem, protože e společný pro oba prvky.. HMONKÝ STÁENÝ STV 7
a b Obr..5 Sériové zapoení rezistoru a kondenzátoru a fázorový diagram tohoto zapoení Napětí na rezistoru e ve fázi s proudem, takže vektor tohoto napětí má stený směr ako proud tímto rezistorem protékaící. Napětí na kondenzátoru se za proudem zpožďue o π/. Zakreslíme e tedy pootočené o π/ ve směru pohybu hodinových ručiček. elkové napětí určíme ako vektorový součet obou napětí. Jeho velikost lze určit z Pythagorovy věty ako. Z obrázku obr..5b e vidět, že se napětí zpožďue vůči proudu o úhel φ. Jeho velikost se dá vypočítat z goniometrických vztahů vyplývaících z fázorového diagramu, např. X X tg ϕ. elkovou impedanci zapoení lze vypočítat ze vztahu Z X. sériového zapoení rezistoru a cívky podle obr..6a fázorový diagram nakreslíme podobně ako v předchozím případě. a b Obr..6 Sériové zapoení rezistoru a cívky a fázorový diagram tohoto zapoení. HMONKÝ STÁENÝ STV 8
Opět začneme proudem, který e společný pro oba prvky. Napětí e opět ve fázi s proudem. Napětí na cívce nyní předbíhá proud o π/. ude tedy zakresleno pootočené o π/ proti směru pohybu hodinových ručiček. Vztahy pro velikost celkového napětí, úhel φ a celkovou impedanci obvodu sou analogické ako v předchozím případě: X X ϕ., tg, Z X V případě paralelního zapoení rezistoru a kondenzátoru podle obr..7a začneme fázorový diagram kreslit napětím, protože e společné pro oba prvky. a b Obr..7 Paralelní zapoení rezistoru a kondenzátoru a fázorový diagram tohoto zapoení Proud protékaící rezistorem e ve fázi s napětím. Proud předbíhá napětí napětí se zpožďue o π/, e tedy zakreslen pootočený o π/ proti směru hodinových ručiček. elkový proud se určí ako vektorový součet obou proudů a. Jeho velikost určíme z Pythagorovy věty ako. Velikost úhlu φ se dá vypočítat z goniometrických vztahů vyplývaících z fázorového diagramu na obr..7b, např. X tgϕ. X elkovou admitanci zapoení lze vypočítat ze vztahu X Y G, kde G e vodivost a e kapacitní susceptance udávaná v ednotkách siemens. Kapacitní susceptance e převrácená hodnota kapacitní reaktance X. V případě paralelního zapoení e totiž vhodněší počítat s převrácenými hodnotami reaktancí. paralelního zapoení rezistoru a cívky podle obr..8a fázorový diagram nakreslíme podobně ako v předchozím případě.. HMONKÝ STÁENÝ STV 9
a b Obr..8 Paralelní zapoení rezistoru a cívky Opět začneme napětím, které e společné pro oba prvky. Proud e opět ve fázi s napětím. Proud protékaící cívkou e nyní zpožděn za napětím o π/. ude tedy zakresleno pootočené o π/ ve směru pohybu hodinových ručiček. Vztahy pro velikost celkového proudu, úhel φ a celkovou admitanci obvodu sou analogické ako v předchozím případě: X, tg, Y G X X ϕ, kde e indukční susceptance udávaná v ednotkách siemens podobně ako... Výkon v obvodech harmonického ustáleného stavu elektrických obvodů ve stacionárním ustáleném stavu byly hodnoty napětí a proudů konstantní a proto byl také výkon neměnný v čase: P. V obvodech v harmonickém ustáleném stavu tento vztah odpovídá okamžitým hodnotám napětí a proudu. To není výhodné, protože často pracueme s efektivními hodnotami těchto veličin. Proto zavádíme tzv. zdánlivý výkon, který lze určit ako S V, kde a sou efektivní hodnoty napětí a proudu. Skutečně spotřebovanou energii charakterizue činný výkon definovaný ako P cosϕ W, kde člen cosφ nazýváme účiník. Na ideálním kondenzátoru nebo cívce e úhel φ π/, tedy cosφ, proto na těchto prvcích činný výkon není. Naopak na ideálním rezistoru není tzv. alový výkon Q sinϕ var, který nekoná žádnou práci dochází pouze k výměně energie mezi zdroem a elektrickým nebo magnetickým polem. Mezi zdánlivým, činným a alovým výkonem platí vztah S P Q,. HMONKÝ STÁENÝ STV
který lze zakreslit do pravoúhlého troúhelníka na obr..9. Obr..9 Vztah mezi činným, zdánlivým a alovým výkonem Pokud vyádříme fázor zdánlivého výkonu S ako součet reálné a imaginární složky, můžeme rovnou určit činný a alový výkon: činný odpovídá reálné části, akový imaginární části. Zdánlivý výkon e velikost fázoru zdánlivého výkonu. Fázor zdánlivého výkonu lze vypočítat ako součin fázoru napětí a komplexně sdruženého fázoru proudu eich efektivních hodnot:. Věty o náhradních zdroích S. V harmonickém ustáleném stavu platí Théveninův a Nortonův teorém zcela identicky ako ve stacionárním ustáleném stavu. Je však třeba počítat napětí a proudy obecně ako veličiny závislé na frekvenci a fázovém posunu a vnitřní odpor a zátěž obecně ako impedance Z viz obr... Obr.. Náhradní zapoení podle Théveninova a Nortonova teorému. HMONKÝ STÁENÝ STV
Část. Řešené příklady
Stacionární ustálený stav Přestože sou v zadání uvedeny hodnoty prvků příslušných obvodů s přesností ednotek, výsledky a mezivýsledky sou vždy zaokrouhleny s přesností minimálně na dvě platné cifry popř. na iný počet platných cifer, pokud e to vhodné.. Metody řešení elektrických obvodů ve stacionárním ustáleném stavu.. Příklad Vypočítete napětí x a proud x vyznačené na obr... Hodnoty součástek sou kω, kω, kω, kω, 5 V a m. Obr.. Zadání příkladu Na tomto příkladu e ukázáno, že lze vybrat z několika metod a výsledek vyde ve všech případech steně. Řešení metodou lineární superpozice Obvod obsahue dva zdroe elektrické energie, příklad tedy rozdělíme na dvě části. Neprve budeme počítat se zdroem proudu zdro napětí zkratueme. Dostaneme obvod zobrazený na obr.... STONÁNÍ STÁENÝ STV
Obr.. Zdro napětí e zkratovaný Nyní budeme postupovat metodou postupného zednodušování, abychom získali hodnoty x a x. elý postup e patrný z obr... Obr.. Metoda postupného zednodušování Je vidět, že rezistory a sou vůči sobě zapoeny paralelně. Vypočítáme tedy eich společnou hodnotu odporu:. Ω Ω. Dále e z obrázku patrné, že e odpor zapoen v sérii s rezistorem. elkem maí odpor o velikosti Ω Ω. Nakonec sloučíme tento odpor s rezistorem. Jedná se opět o paralelní spoení:. Ω 9 Ω.. STONÁNÍ STÁENÝ STV
e celkový odpor obvodu na obr.. apostrof značí, že se edná o první část výpočtu pomocí metody superpozice. Protože známe proud protékaící celkovým odporem, můžeme vypočítat napětí na tomto odporu: 9.. V,9 V. Toto napětí e ak na celkovém odporu, tak na odporu a rezistoru sou zapoeny paralelně. Neznámý proud x, tedy proud protékaící rezistorem, se vypočítá podle Ohmova zákona ako Do větve s odporem teče proud,9 x,55 m..,55. 6,5 m. x Tento proud teče ak rezistorem, tak odporem sou zapoeny sériově. Díky tomu můžeme vypočítat napětí na odporu :.6,5. V 7,7 V. Protože sou rezistory a zapoeny paralelně, e toto napětí také na každém z těchto dvou rezistorů. Hledané napětí x tedy e 7,7 V x. Nyní budeme počítat se zdroem napětí zdro proudu rozpoíme. Dostaneme obvod zobrazený na obr... Obr.. Zdro proudu e rozpoený Podobně ako v první části tohoto příkladu budeme postupovat metodou postupného zednodušování, abychom získali hodnoty x a x. elý postup e patrný z obr..5.. STONÁNÍ STÁENÝ STV 5
Obr..5 Metoda postupného zednodušování Na první pohled e vidět, že rezistory a sou vůči sobě zapoeny v sérii. Vypočítáme tedy eich společnou hodnotu odporu: Ω 5 Ω. Dále e z obrázku patrné, že e odpor zapoen paralelně s rezistorem. elkem maí odpor o velikosti 5. Ω Ω 5 875. Nakonec sloučíme tento odpor s rezistorem. Jedná se opět o sériové spoení: 875 Ω 875 Ω. e celkový odpor obvodu na obr.. apostrof značí, že se edná o druhou část výpočtu pomocí metody superpozice. Protože známe napětí na celkovém odporu, můžeme vypočítat proud tímto odporem protékaící: 5,9 m. 875 Tento proud protéká ak celkovým odporem, tak odporem a rezistorem sou zapoeny sériově. Neznámé napětí x, tedy napětí na rezistoru, se vypočítá podle Ohmova zákona ako Na odporu e úbytek napětí x.,9. V,58 V. 5,58 V, V. x Toto napětí e ak na rezistoru, tak na odporu sou zapoeny paralelně. Díky tomu můžeme vypočítat proud protékaící odporem :,,8 m. 5 Proud má záporné znaménko, protože smysl tohoto proudu e v obvodu vyznačen opačně vůči napětí. Ve skutečnosti tedy proud poteče doleva. Protože sou rezistory a za-. STONÁNÍ STÁENÝ STV 6
poeny sériově, protéká tento proud také každým z těchto dvou rezistorů. hledaný proud x tedy e x,8 m. Nyní, když známe příspěvky napětí x a x a proudu x a x vyvolané ednotlivými zdroi samostatně, provedeme eich algebraický součet a získáme tak výsledek: x x 7,7,58 V, V,,55. x x x x,8.,7 m. Řešení metodou smyčkových proudů Neprve označíme na každém rezistoru v obvodu směr napětí. Tento směr můžeme volit libovolně. Dále stanovíme v každé uzavřené smyčce smyčkový proud. Jeho směr můžeme volit také libovolně, zde maí všechny smyčkové proudy směr shodný se směrem hodinových ručiček. Obvod s vyznačenými napětími a smyčkovými proudy e na obr..6. Obr..6 Obvod s vyznačenými napětími a smyčkovými proudy Nyní sestavíme soustavu rovnic pro ednotlivé smyčkové proudy. Obvod se skládá ze uzavřených smyček a obsahue zdro proudu. Počet rovnic tedy bude r s z. Pro smyčku totiž rovnici sestavovat nebudeme smyčka obsahue zdro proudu,. ovnice ale sestavíme pro smyčkový proud a. V tomto případě budou rovnice vypadat následuícím způsobem: : : x V následuícím kroku vyádříme napětí na ednotlivých rezistorech ako součin eich odporu a smyčkových proudů protékaících těmito rezistory: x.,,,.,,. STONÁNÍ STÁENÝ STV 7
. STONÁNÍ STÁENÝ STV 8 Tato napětí dosadíme do rovnic pro smyčkový proud a, : : a vyřešíme soustavu rovnic: 8 5 5, 8,5 5 Z uvedené soustavy rovnic vyplývaí velikosti smyčkových proudů,7 m.,8 m, Ze schématu na obr..6 e vidět, že hledaný proud x přímo odpovídá smyčkovému proudu, proto,7 m x. Hledané napětí x se vypočítá pomocí Ohmova zákona ako, V V,8... x. Řešení metodou uzlových napětí Neprve označíme na každém rezistoru v obvodu směr proudu. Tento směr můžeme volit libovolně. Dále stanovíme všechny uzly v obvodu a eden z nich určíme ako referenční uzel. Zde e referenční uzel označen písmenem. Obvod s vyznačenými proudy, uzly a uzlovými napětími e na obr..7. Obr..7 Obvod s vyznačenými proudy, uzly a uzlovými napětími
. STONÁNÍ STÁENÝ STV 9 Nyní sestavíme soustavu rovnic pro ednotlivá uzlová napětí. Obvod obsahue celkem uzly a zdro napětí. Počet rovnic tedy bude r u z. Pro uzel totiž rovnici sestavovat nebudeme napětí v tomto uzlu e totožné s napětím zdroe,. ovnice ale sestavíme pro uzel a. V tomto případě budou rovnice vypadat následuícím způsobem:., : : x V následuícím kroku vyádříme proudy protékaící ednotlivými rezistory ako součin eich vodivosti a napětí na těchto rezistorech odvozených z příslušných uzlových napětí:.,,, G G G G G G x Vodivosti se rovnaí:,5 ms, ms,,5 ms, ms, G G G G. Takto vyádřené proudy dosadíme do rovnic pro uzel a, : : G G G G G a vyřešíme soustavu rovnic: G G G G G G G G G G G G G G G G G G,666.,8...5,5...,5.,666,8,5,5 Z uvedené soustavy rovnic vyplývaí velikosti uzlových napětí, V. 7,6 V, Ze schématu na obr..7 e vidět, že hledané napětí x přímo odpovídá uzlovému napětí, proto, V x.
Hledaný proud x se vypočítá ako x G,5..7,6 5,7 m. Metoda uzlových napětí e mírně nevýhodná z hlediska přepočítávání odporů na vodivosti může zde také doít k nepřesnostem díky zaokrouhlování. Tento příklad byl vyřešen třemi různými metodami metoda lineární superpozice, metoda smyčkových proudů a metoda uzlových napětí. Výsledné napětí x a proud x vyšlo ve všech třech případech steně s ohledem na zaokrouhlovací chybu. Nedelší výpočet představue metoda lineární superpozice. Výpočet zbývaících dvou metod e kratší, e zde ale nevyhnutelné počítání soustavy rovnic... Příklad Vypočítete napětí x a proud x vyznačené na obr..8. Hodnoty součástek sou kω, kω, kω, kω, 5 V a m. Obr..8 Zadání příkladu Řešení metodou lineární superpozice Obvod obsahue dva zdroe elektrické energie, příklad tedy rozdělíme na dvě části steně ako v předchozím příkladu. Neprve budeme počítat se zdroem proudu zdro napětí zkratueme. Dostaneme obvod zobrazený na obr..9. Obr..9 Zdro napětí e zkratovaný V tomto případě však nesou žádné dva rezistory zapoeny čistě do série nebo paralelně. Tvoří buď zapoení do troúhelníka rezistory, a nebo do hvězdy rezistory, a. To. STONÁNÍ STÁENÝ STV
. STONÁNÍ STÁENÝ STV představue problém, který by se musel řešit přepočítáváním mezi těmito konfiguracemi. Podstatně ednodušší řešení obvodu na obr..8 nabízí metoda uzlových napětí. Řešení metodou uzlových napětí Neprve ve schématu vyznačíme směry proudů na ednotlivých rezistorech a uzly v obvodu eden z nich zvolíme ako referenční, viz obr... Obr.. Obvod s vyznačenými proudy, uzly a uzlovými napětími Počet rovnic bude r u z pro uzel rovnici nesestavueme,. ovnice lze napsat následuícím způsobem:,, : : x kde ednotlivé proudy lze vyádřit ako.,,, x G G G G G G Vodivosti se rovnaí:,5 ms, ms,,5 ms, ms, G G G G. Do rovnic pro uzly a lze potom dosadit, : : G G G G G a vyřešit soustavu rovnic: G G G G G G G G G,666,8,5 5,5,5
Z uvedené soustavy rovnic vyplývá velikost uzlového napětí 7,8 V. Z této soustavy rovnic lze samozřemě vypočítat také, ale pro další výpočty toto uzlové napětí není potřeba. Ze schématu na obr.. e vidět, že hledané napětí x přímo odpovídá uzlovému napětí, proto Hledaný proud x se vypočítá ako 7,8 V. x G,..5 7,8,76 m. x.. Příklad Vypočítete napětí x a proud x vyznačené na obr... Hodnoty součástek sou kω, kω, kω, kω, 5 V a m. Obr.. Zadání příkladu Řešení V obvodu nepřevažuí zdroe proudu ani napětí, lze zvolit akoukoliv z těchto metod. udeme tedy postupovat např. metodou uzlových napětí. Obvod s vyznačenými proudy protékaícími ednotlivými rezistory, uzly a uzlovými napětími e na obr... Obr.. Obvod s vyznačenými proudy, uzly a uzlovými napětími V obrázku sou vyznačeny pouze uzly, pro které budeme sestavovat rovnice nebudeme sestavovat rovnici pro uzel mezi zdroem napětí a rezistorem. Počet rovnic nutných pro výpočet touto metodou e r u z. Pro uzel a platí rovnice : :,,. STONÁNÍ STÁENÝ STV
kde ednotlivé proudy lze vyádřit ako Vodivosti se rovnaí: G G G G,. G ms, G,5 ms, G, ms, G Do rovnic pro uzly a lze potom dosadit : : a vyřešit soustavu rovnic: G G G G G G G G,8,,, G G G,,58 G G 5 Z uvedené soustavy rovnic vyplývaí velikosti uzlových napětí, V, 7, V.,,5 ms. Ze schématu na obr.. e vidět, že hledané napětí x přímo odpovídá uzlovému napětí, proto, V. x Hledaný proud x se vypočítá z prvního Kirchhoffova zákona ako x G.,5..7, 5,65 m... Příklad Vypočítete napětí x a proud x vyznačené na obr... Hodnoty součástek sou kω, kω, kω, kω, 5 V a V.. STONÁNÍ STÁENÝ STV
. STONÁNÍ STÁENÝ STV Obr.. Zadání příkladu Řešení Protože sou v obvodu pouze zdroe napětí, budeme postupovat metodou smyčkových proudů. Obvod s vyznačenými napětími na ednotlivých rezistorech a smyčkovými proudy e na obr... Obr.. Obvod s vyznačenými napětími a smyčkovými proudy Počet rovnic nutných pro výpočet touto metodou e r s z. Sestavíme tedy soustavu tří rovnic:,,, : : : x kde ednotlivá napětí lze vyádřit ako.,,, x Takto vyádřená napětí dosadíme do soustavy rovnic,, : : :
a vyřešíme soustavu rovnic: 6,5,, Z uvedené soustavy rovnic vyplývaí velikosti smyčkových proudů m, m, m. Ze schématu na obr.. e vidět, že hledaný proud x přímo odpovídá smyčkovému proudu, proto m. x Hledané napětí x se vypočítá pomocí Ohmova zákona ako.. V V. x..5 Příklad 5 Vypočítete napětí x a proud x vyznačené na obr..5. Hodnoty součástek sou kω, kω, kω, kω, 5 V a V. Obr..5 Zadání příkladu 5 Řešení Protože sou v obvodu pouze zdroe napětí, budeme postupovat metodou smyčkových proudů. Obvod s vyznačenými napětími na ednotlivých rezistorech a smyčkovými proudy e na obr..6.. STONÁNÍ STÁENÝ STV 5
. STONÁNÍ STÁENÝ STV 6 Obr..6 Obvod s vyznačenými napětími a smyčkovými proudy Počet rovnic nutných pro výpočet touto metodou e r s z. Sestavíme tedy soustavu tří rovnic:,,, : : : x x kde ednotlivá napětí lze vyádřit ako.,,, x Takto vyádřená napětí dosadíme do soustavy rovnic,, : : : a vyřešíme soustavu rovnic:, 7 6,5 Z uvedené soustavy rovnic vyplývaí velikosti smyčkových proudů,5 m. Smyčkový proud k dalším výpočtům není potřeba, proto zde nebyl ani vypočítán. Ze schématu na obr..6 e vidět, že hledaný proud x přímo odpovídá smyčkovému proudu, proto,5 m x.
Hledané napětí x se vypočítá pomocí Ohmova zákona ako.,5.,5. V V. x..6 Příklad 6 Vypočítete napětí x a proud x vyznačené na obr..7. Hodnoty součástek sou kω, kω, kω, kω, 5 m a m. Obr..7 Zadání příkladu 6 Řešení Protože sou v obvodu pouze zdroe proudu, budeme postupovat metodou uzlových napětí. Obvod s vyznačenými proudy protékaícími ednotlivými rezistory, uzly a uzlovými napětími e na obr..8. Obr..8 Obvod s vyznačenými proudy, uzly a uzlovými napětími Počet rovnic nutných pro výpočet touto metodou e r u z. Sestavíme tedy soustavu tří rovnic: : : : x,,,. STONÁNÍ STÁENÝ STV 7
kde ednotlivé proudy lze vyádřit ako Vodivosti se rovnaí: x G G G, G. G ms, G,5 ms, G, ms, G Takto vyádřená napětí dosadíme do soustavy rovnic : : : a vyřešíme soustavu rovnic: G G G G G G G G G,8, G,, G G G G G,,58 G 5 Z uvedené soustavy rovnic vyplývaí velikosti uzlových napětí,6 V, 8,88 V.,,,5 ms. zlové napětí k dalším výpočtům není potřeba, proto zde nebylo ani vypočítáno. Ze schématu na obr..8 e vidět, že hledané napětí x přímo odpovídá uzlovému napětí, proto,6 V. x Hledaný proud x se vypočítá pomocí Ohmova zákona ako 8,88, m x...7 Příklad 7 Vypočítete napětí x a proud x vyznačené na obr..9. Hodnoty součástek sou kω, kω, kω, kω, 5 m a m.. STONÁNÍ STÁENÝ STV 8
Obr..9 Zadání příkladu 7 Řešení Protože sou v obvodu pouze zdroe proudu, budeme postupovat steně ako v předchozím příkladu metodou uzlových napětí. Obvod s vyznačenými proudy protékaícími ednotlivými rezistory, uzly a uzlovými napětími e na obr... Obr.. Obvod s vyznačenými proudy, uzly a uzlovými napětími Počet rovnic nutných pro výpočet touto metodou e r u z. Sestavíme tedy soustavu tří rovnic: : : : kde ednotlivé proudy lze vyádřit ako Vodivosti se rovnaí: G G G G,.,,,,, G ms, G,5 ms, G, ms, G Takto vyádřené proudy dosadíme do soustavy rovnic : : : G G G G G G,,,5 ms.. STONÁNÍ STÁENÝ STV 9
a vyřešíme soustavu rovnic: G G G G G G G G G G,8,,,58 5 Z uvedené soustavy rovnic vyplývaí velikosti uzlových napětí,78 V, 7,78 V,, V. Ze schématu na obr.. e vidět, že hledané napětí x přímo odpovídá uzlovému napětí, proto Hledaný proud x se vypočítá ako, V. x. Věty o náhradních zdroích,78 7,78 5 m x... Příklad 8 Pro obvod podle obr.. nakreslete z hlediska výstupních svorek a náhradní zapoení podle Théveninova i Nortonova teorému a určete eich parametry. Hodnoty součástek sou kω, kω, kω, 5 V a m. Obr.. Zadání příkladu 8 Řešení Náhradní zapoení podle Théveninova teorému obsahue zdro napětí T a vnitřní odpor T viz obr... Napětí T se určí ako napětí naprázdno mezi výstupními svorkami a. Toto napětí lze určit z obr... Zde e rezistor pouze naznačen, při tomto výpočtu se s ním ne-. STONÁNÍ STÁENÝ STV
počítá. Neteče ím totiž žádný proud a nevzniká na něm tedy žádný úbytek napětí. Z toho vyplývá, že e napětí mezi výstupními svorkami a shodné s napětím na rezistoru. Obr.. Obvod pro určení napětí T Napětí T vypočítáme použitím prvního Kirchhoffova zákona pro uzel K. Součet proudů v tomto uzlu musí být nulový: G G T G G Řešením této rovnice získáme velikost napětí G G G T,5 T T T, V. T G 5 Vnitřní odpor T se určí ako odpor mezi výstupními svorkami a za předpokladu, že všechny zdroe napětí zkratueme a všechny zdroe proudu rozpoíme. Takto upravený obvod e na obr... Obr.. Obvod pro určení odporu T Odtud lze vypočítat celkový odpor T mezi svorkami:. Ω Ω 667 T. Náhradní zapoení podle Nortonova teorému obsahue zdro proudu N a vnitřní odpor N. Proud N se určí ako proud protékaící zkratovanými výstupními svorkami a. Tento proud lze určit z obr.. např. metodou uzlových napětí.. STONÁNÍ STÁENÝ STV
G G Obr.. Obvod pro určení proudu N Vydeme z rovnice pro uzel K: K G G G G G K G G G,8 Řešením této rovnice získáme velikost uzlového napětí,7 V. K K K K K G 5 Z vypočítaného uzlového napětí K určíme podle Ohmova zákona proud N ako,7,9 m K N. Vnitřní odpor N se určí steně ako vnitřní odpor T u Théveninova teorému, proto 667 Ω. N T.. Příklad 9 Pro obvod podle obr..5 nakreslete z hlediska výstupních svorek a náhradní zapoení podle Théveninova i Nortonova teorému a určete eich parametry. Hodnoty součástek sou kω, kω, kω, 5 V a m. Obr..5 Zadání příkladu 9. STONÁNÍ STÁENÝ STV
Řešení Náhradní zapoení podle Théveninova teorému obsahue zdro napětí T a vnitřní odpor T. Napětí T se určí ako napětí naprázdno mezi výstupními svorkami a. Toto napětí lze určit z obr..6. Obr..6 Obvod pro určení napětí T Napětí T vypočítáme ako součet napětí a. Tato napětí určíme metodou smyčkových proudů. Sestavíme rovnici pro smyčkový proud : 5 Řešením této rovnice získáme velikost smyčkového proudu,67 m. Napětí vypočítáme podle Ohmova zákona ako a podobně napětí : Hledané napětí T se potom rovná.,67. V, V.. V V. T, V 6,67 V. Vnitřní odpor T se určí ako odpor mezi výstupními svorkami a za předpokladu, že všechny zdroe napětí zkratueme a všechny zdroe proudu rozpoíme. Takto upravený obvod e na obr..7.. STONÁNÍ STÁENÝ STV
Obr..7 Obvod pro určení odporu T Odtud lze vypočítat celkový odpor T mezi svorkami:. Ω Ω 667 T. Náhradní zapoení podle Nortonova teorému obsahue zdro proudu N a vnitřní odpor N. Proud N se určí ako proud protékaící zkratovanými výstupními svorkami a. Tento proud lze určit z obr..8 např. metodou smyčkových proudů. Obr..8 Obvod pro určení proudu N Počet rovnic bude r s z pro smyčkové proudy a : kde ednotlivá napětí lze vyádřit ako : :,,,,.. STONÁNÍ STÁENÝ STV
Takto vyádřená napětí dosadíme do soustavy rovnic a vyřešíme soustavu rovnic: : : 5,,,5 Z uvedené soustavy rovnic vyplývá velikost smyčkového proudu 7,7 m. Ze schématu na obr..8 e vidět, že hledaný proud N přímo odpovídá smyčkovému proudu, proto 7,7 m. N Vnitřní odpor N se určí steně ako vnitřní odpor T u Théveninova teorému, proto 667 Ω. N T.. Příklad Pro obvod podle obr..9 nakreslete z hlediska výstupních svorek a náhradní zapoení podle Théveninova i Nortonova teorému a určete eich parametry. Dále vypočítete výstupní napětí v případě Théveninova teorému, výstupní proud v případě Nortonova teorému a výkon v zátěži uvedeného obvodu, e-li zatížen rezistorem o odporu. Hodnoty součástek sou kω, kω, kω, kω, 5 V a V. Obr..9 Zadání příkladu Řešení Náhradní zapoení podle Théveninova teorému obsahue zdro napětí T a vnitřní odpor T. Napětí T se určí ako napětí naprázdno mezi výstupními svorkami a. Toto napětí lze určit z obr.. např. metodou smyčkových proudů.. STONÁNÍ STÁENÝ STV 5
Obr.. Obvod pro určení napětí T Sestavíme rovnici pro oba smyčkové proudy a : kde ednotlivá napětí lze vyádřit ako : :., Takto vyádřená napětí dosadíme do soustavy rovnic a vyřešíme soustavu rovnic: : :,,,, 5,5, Z uvedené soustavy rovnic vyplývá velikost smyčkového proudu,8 m. Napětí T, které odpovídá napětí, se potom vypočítá podle Ohmova zákona ako.,8. V 5,5 V. T Vnitřní odpor T se určí ako odpor mezi výstupními svorkami a za předpokladu, že všechny zdroe napětí zkratueme a všechny zdroe proudu rozpoíme. Takto upravený obvod e na obr.... STONÁNÍ STÁENÝ STV 6
Obr.. Obvod pro určení odporu T Odtud lze vypočítat celkový odpor T mezi svorkami: T T,8. Ω 55,5 Ω. S,8 ms Po připoení zátěže na výstupní svorky a lze obvod překreslit s využitím Théveninova teorému podle obr... Výstupní napětí zde představue napětí. Obr.. Náhradní obvod podle Théveninova teorému s připoenou zátěží Vypočítáme celkový proud protékaící obvodem: T 5,5,5 m 55,5 T. Tento proud protéká zároveň zátěží. Napětí na zátěži určíme podle Ohmova zákona: Výkon v zátěži se vypočítá ze vztahu.,5. V,5 V. P,5.,5. W,5 mw. Náhradní zapoení podle Nortonova teorému obsahue zdro proudu N a vnitřní odpor N. Proud N se určí ako proud protékaící zkratovanými výstupními svorkami a. Tento proud lze určit z obr.. např. metodou smyčkových proudů.. STONÁNÍ STÁENÝ STV 7
Obr.. Obvod pro určení proudu N ezistorem nepoteče žádný proud všechen proud poteče zkratovanými svorkami, proto tento rezistor nebudeme při sestavování rovnic pro smyčkové proudy uvažovat. Počet rovnic bude r s z : kde ednotlivá napětí lze vyádřit ako : :, Takto vyádřená napětí dosadíme do soustavy rovnic a vyřešíme soustavu rovnic: : : Z uvedené soustavy rovnic vyplývá velikost proudu.,,,,5 m., Ze schématu na obr.. e vidět, že hledaný proud N přímo odpovídá smyčkovému proudu, proto m. N Vnitřní odpor N se určí steně ako vnitřní odpor T u Théveninova teorému, proto 55, 5 Ω. N T. STONÁNÍ STÁENÝ STV 8
Po připoení zátěže na výstupní svorky a lze obvod překreslit s využitím Nortonova teorému podle obr... Výstupní proud zde představue proud. Vypočítáme celkové napětí : Obr.. Náhradní obvod podle Nortonova teorému s připoenou zátěží N 55,5. N V,5 V. 55,5 N Toto napětí e zároveň na zátěži. Proud protékaící zátěží určíme podle Ohmova zákona: Výkon v zátěži se vypočítá ze vztahu,5,5 m. P,5.,5. W,5 mw... Příklad Pro obvod podle obr..5 nakreslete z hlediska výstupních svorek a náhradní zapoení podle Théveninova i Nortonova teorému a určete eich parametry. Dále vypočítete výstupní napětí v případě Théveninova teorému, výstupní proud v případě Nortonova teorému a výkon v zátěži uvedeného obvodu, e-li zatížen rezistorem o odporu. Hodnoty součástek sou kω, kω, kω, kω, 5 m a m. Obr..5 Zadání příkladu Řešení Náhradní zapoení podle Théveninova teorému obsahue zdro napětí T a vnitřní odpor T. Napětí T se určí ako napětí naprázdno mezi výstupními svorkami a. Na první pohled e. STONÁNÍ STÁENÝ STV 9
vidět, že rezistorem, který se nachází mezi výstupními svorkami, protéká proud a napětí T se rovná T.5. V 5 V. Záporné znaménko e zde z důvodu opačného smyslu proudu vůči napětí T. Toto napětí lze také určit z obr..6 např. metodou uzlových napětí. Obr..6 Obvod pro určení napětí T zly byly v tomto příkladu označeny písmeny K, a M, aby nedošlo k záměně s označením výstupních svorek a. Počet rovnic nutných pro výpočet touto metodou e r u z : Z rovnice pro uzel e vidět, že K : : M :.,,. Za proud dosadíme do rovnice pro uzel M a vyádříme proud : 5 m. Napětí T potom určíme podle Ohmova zákona ako T.5. V 5 V. V takto ednoduchém případě e výhodněší určit napětí T prvním způsobem. Metodou uzlových napětí lze k výsledku dospět také, ale vede na soustavu rovnic a počítání e náchylněší na zavedení chyby. Vnitřní odpor T se určí ako odpor mezi výstupními svorkami a za předpokladu, že všechny zdroe napětí zkratueme a všechny zdroe proudu rozpoíme. Takto upravený obvod e na obr..7, kde e okamžitě vidět, že T Ω.. STONÁNÍ STÁENÝ STV 5
Obr..7 Obvod pro určení odporu T Po připoení zátěže na výstupní svorky a lze obvod překreslit s využitím Théveninova teorému podle obr..8. Výstupní napětí zde představue napětí. Obr..8 Náhradní obvod podle Théveninova teorému s připoenou zátěží Vypočítáme celkový proud protékaící obvodem: T 5,75 m T. Tento proud protéká zároveň zátěží. Napětí na zátěži určíme podle Ohmova zákona: Výkon v zátěži se vypočítá ze vztahu.,75. V,75 V. P,75.,75. W,6 mw. Náhradní zapoení podle Nortonova teorému obsahue zdro proudu N a vnitřní odpor N. Proud N se určí ako proud protékaící zkratovanými výstupními svorkami a. Tento proud lze určit z obr..9.. STONÁNÍ STÁENÝ STV 5
Obr..9 Obvod pro určení proudu N ezistorem nepoteče žádný proud všechen proud poteče zkratovanými svorkami, proto tento rezistor nebudeme uvažovat. Obvod se zednoduší viz obr..9 vpravo a velikost proudu N lze určit přímo: N 5 m. Vnitřní odpor N se určí steně ako vnitřní odpor T u Théveninova teorému, proto Ω. N T Po připoení zátěže na výstupní svorky a lze obvod překreslit podle obr... Výstupní proud zde představue proud. Vypočítáme celkové napětí : Obr.. Náhradní obvod podle Nortonova teorému s připoenou zátěží N. N 5. V,75 V. N Toto napětí e zároveň na zátěži. Proud protékaící zátěží určíme podle Ohmova zákona: Výkon v zátěži se vypočítá ze vztahu,75,75 m. P,75.,75. W,6 mw.. STONÁNÍ STÁENÝ STV 5
5 Harmonický ustálený stav Elektrické obvody v následuících příkladech obsahuí vždy eden nebo více zdroů harmonického napětí nebo proudu. Díky tomu sou všechny signály napětí a proudy v daných obvodech také harmonické a lze e tedy popsat rovnicemi obsahuící parametr t. Tento parametr značí čas a uvádíme e v sekundách. Podobně ako v příkladech ve stacionárním ustáleném stavu sou i zde výsledky a mezivýsledky zaokrouhleny s přesností minimálně na dvě platné cifry popř. na iný počet platných cifer, pokud e to vhodné, přestože sou hodnoty prvků příslušných obvodů zadány s odlišnou přesností. Hodnoty kapacit a indukčností sou zadány s přesností platných cifer. V praxi se např. u hodnot kapacity vychází z řady E6,;,5;,;,;,7 a 6,8 a dané hodnoty by se musely vytvořit sérioparalelním zapoením několika součástek. 5. Metody řešení elektrických obvodů v harmonickém ustáleném stavu 5.. Příklad Obvod na obr. 5. e napáen zdroem harmonického napětí u t m sint φ, resp. e φ a pracue v ustáleném stavu. Hodnoty součástek sou kω, kω, 6,6 µf, m V, f 5 Hz a φ π/. Nakreslete orientační topografický fázorový diagram všech napětí a proudů. rčete napětí u x t vyznačené v obvodu a dále činný, alový a zdánlivý výkon dodávaný obvodu zdroem napětí. Obr. 5. Zadání příkladu 5. HMONKÝ STÁENÝ STV 5
Řešení Jedná se o sériové zapoení dvou rezistorů a kondenzátoru. Neprve vyznačíme v obvodu celkový proud a všechna napětí viz obr. 5.. Obr. 5. Obvod s vyznačenými veličinami Nyní vypočítáme fázor proudu, ze kterého potom podle Ohmova zákona stanovíme fázor x hledaného napětí u x a napětí u x samotné. Proud se vypočítá ako Z X a po dosazení hodnot ze zadání a využitím rovnosti dostaneme π π π π 6 π.5.6,6..e,e,e 6 π.5.6,6.,e e,6 e, 8,5e, Fázor hledaného napětí se rovná, π,, x.8,5. e V e..8,5. e V 8,5e V 8,5e a napětí u x v závislosti na čase e u x t 8,5sin,6 t,8 V. π m. Proud i x sme označili proti směru napětí u x, proto e zde záporné znaménko. Činný a alový výkon lze snadno určit ze zdánlivého výkonu, pokud e vyádříme ve tvaru součtu reálné a imaginární části. Fázor zdánlivého výkonu se počítá z efektivních hodnot: S e π.8,5. Velikost zdánlivého výkonu e potom rovna e -, S, V V,e -,5 a činný a alový výkon se pozná podle reálné a imaginární části fázoru S: P,5 W, Q,6 var. -,8 V V,5,6 V. 5. HMONKÝ STÁENÝ STV 5