Zadání Úloha V. 1... vesmírná atastrofa Tř planety o stejné hmotnost M = 10 6 g jsou umístěny ve vrcholech rovnostranného trojúhelnía o straně l = 100 Gm [ggametry]. Nemajíce počáteční rychlost nezbývá jm než padat vstříc jsté záhubě. Určete, za ja dlouho se srazí (rozměry planete zanedbejte). Úloha V.... obvod ze zdrojů Mějme velm jednoduchý obvod složený z n stejných deálních zdrojů o napětí U e sérově zapojených do ruhu o poloměru r. Dráty je spojující mají stejnou délu a měrný odpor ρ na jednotu dély (rozměry zdrojů zanedbejte vůč obvodu ružnce). Jaé bude napětí mez bodem A uprostřed prvního a B uprostřed tého drátu? Na obrázu Obr. A je naresleno zapojení onrétně pro n=1 a =5. Obr. A r A B Úloha V. 3... Ondrova stavebnce Malý Ondra je na svůj vě velce zvídavý chlapec a místo hraní s s autíčy studuje Obr. B tařa fyzálně svět. Ve své stavebnc nalezl dřevěnou oul a válec o stejném průměru ze stejného materálu a jal se ω dělat pousy. Vrhnul oul a válec (bez v 0 v roztočení, vz. Obr. B) rychlostí v 0 po F t podlaze a sledoval, na jaé rychlost v se pohyb těles ustálí. Byl velce převapen, dyž zjstl, že jedno z těles je rychlejší než druhé. Rozeberte teoretcy jeho expermentální zjštění a určete onečné rychlost těles. (uvažujte pouze smyové tření s oef. μ, valvé tření zanedbejte) Úloha V. 4... ol máme rve? Jednou z metod měření objemu apalny, jejíž objem se obtížně měří standardním metodam, je následující metoda: Pousné osobě vpravíme do těla teutnu o objemu V 1 = 4 cm 3 obsahující radoatvní atomy 4 Na a o celové atvtě A 1 = 500 s -1. Jelož poločas rozpadu sodíu 4 je T = 15 hod, nemusíme se bát o zdraví měřené osoby. Po čase t = 10 hod odebereme vzore rve o objemu V = 10 cm 3 a atvtě A = s -1. Jaé množství rve obsahuje náš pousný objet? Pozn: Poud neznáte význam velčn psaných urzívou, zuste se podívat do nějaé záladní učebnce jaderné fyzy. Úloha V. 5... chladnutí apaln Ve fyzce se často zoumají tzv. relaxační procesy, tj. postupné ustálení určté fyzální velčny na nějaé hodnotě. V termodynamce pod pojmem relaxační doba máme na Strana 1
mysl čas, za terý nastane mez sledovaným systémem a jeho oolím (s nějaou přesností, danou chybou měření nebo flutuacem) termodynamcá rovnováha. Relaxační doba se samozřejmě mění od procesu, terý sledujeme př vyrovnání tlaů je to as 10-16 s, př různých chemcých dějích až měsíce č roy. Vaším úolem bude sledovat rychlost chladnutí dvou č více apaln (např. voda a olej) za stejných oolních podmíne. Aby se vaše práce více podobala sutečnému fyzálnímu expermentu, proložte naměřeným hodnotam func f(t) = Ae -Bt + T 0 a zuste nterpretovat vypočtené onstanty nebo alespoň odhadněte, na čem by mohly závset. Pro ty, do neví, co je to lneární regrese, je určen rátý odstavec o této metodě. Příloha zadání Metoda lneární regrese Předpoládejme, že máme dspozc N naměřených hodnot y, x mez nmž teore předpoládá lneární závslost y = ax +. Uazuje se, že podmínou pro to, aby tato b závslost co nejlépe procházela naměřeným hodnotam, je S ( y y) N = mn. Z této podmíny stačí nalézt rovnce pro oefcenty a, b, tomuto postupu se říá metoda nejmenších čtverců. V dalším odvození budu vynechávat meze sumace, sčítáme samozřejmě pro = 1,..., N. Součet S je funcí a, b, nutnou podmínou extrému je, aby parcální dervace podle a a podle b byly nulové. Obdržíme ta dvě rovnce, teré snadno vyřešíme * S a S b = xy a x b x = 0 a= = y a x Nb = 0 b = ( ) ( ) = 1 y x N x y x N x xx y x N x Př výpočtu je samozřejmě vhodné nejprve spočítat přslušné sumy Σx, Σy, Σx y, Σx a potom jednoduše dostaneme oefcenty a, b. f y = a. g x + b, stačí provést Lneární regres lze použít na aždou závslost ( ) ( ) substtuc u = f ( y ) v = g( x ) a máme lneární závslost taových závslostí:, u = av + b. Přílady y = a + b, substtuce u = y, v = 1 ; x x y = Ce ax, substtuce u = ln y, v = x, b = lnc; ( ) y = aln bx, substtuce u = y, v = ln x. Ve statstcé matematce se defnují nejrůznější velčny, teré popsují soubor ξ, pro nás N naměřených hodnot. Nejdůležtější z nch jsou střední hodnota (artmetcý * Symbol a je znaem parcální dervace, což je totéž jao normální dervace funce, dyž považujeme ostatní proměnné (v našem případě b) za onstanty. Strana
průměr) defnovaná vztahem μ ξ = 1 1 ξ a rozptyl σ ξ = ( ξ μ ξ). Na těchto N N velčnách je založena celá teore fyzálních měření, tím se tu ale zabývat nebudeme. Co je pro nás podstatné z hledsa leární regrese je, že pomocí střední hodnoty μ a rozptylu σ, resp. směrodatné odchyly σ (rozptyl je druhá mocnna směrodatné odchyly) můžeme nadefnovat tzv. oefcent orelace K, terý nám říá, do jaé míry spolu souvsí naměřené hodnoty y, x. K je defnován tato a po úpravách dostaneme: μ N x y y x xy μ xμ y K = = σ xσ y N x x N y y ( ) ( ) Hodnoty oefcentu orelace leží v ntervalu 0,1, můžeme jej tedy vyjádřt v procentech. I dyž pravděpodobně nechápete plně matematcé pozadí, vůbec nevadí, použjete-l předešlé poznaty jao uchařu na hodnoty y, x prošlé lneární regresí. Spočtete-l ještě sumu Σy, snadno určíte oefcent K, terý říá to, že čím více hodnoty z regrese leží na přímce, tím více se blíží hodnotě 100% a této hodnoty dosáhne, právě dyž bude splněno y = ax + b. Koefcent K olem hodnoty 50% dává náhodnou závslost hodnot y, x. Leží-l hodnota K v ntervalu 80%,100%, můžeme prohlást, že mez naměřeným hodnotam je rozumná lneární orelace. Závěr: Výsledy z lneární regrese mají mít as tuto podobu: Pro hodnoty y, x vychází oefcenty lneární regrese tato: a= ; b= Koefcentem orelace hodnot je % Poznáma: Když jsme s ta rásně nadefnoval střední hodnotu a rozptyl, neodpustím s dodat ještě toto. Předpoládejme, že jsme n rát měřl jednu velčnu X (napřílad hmotnost závaží) a obdržel ta hodnoty x. Zavedeme-l ještě směrodatnou odchylu σ = σ 1, artmetcého průměru (resp. vychází tato z teore měření) jao ( ) x x n můžeme napsat výslede měření tato: Naměřl jsme hodnotu velčny X = μ x ± σ x, de chyba výsledu je směrodatnou odchylou artmetcého průměru. Pozor! Velčna σ x je parametrem popsujícím celý soubor naměřených hodnot, dežto σ x se týá pouze artmetcého průměru (střední hodnoty) měření. Úloha M. 1: (M jao měření) Pro ty z vás, do s myslí, že pochopl metodu nejmenších čtevrců a zároveň umějí dervovat func více proměných, mám následující úol. Odvoďte pro soubor N hodnot y, x vztahy pro oefcenty A, B, C, teré určují tzv. vadratcou regres y = Ax + Bx + C z podmíny S ( y y) N = mn. Součet S chápeme jao func tří parametrů S = S(A,B,C) a podmíny mnmalty lze psát jao S S S = = = 0. A B C Serál na poračování Ja bylo poznamenáno v mnulé sér, Newtonova metoda je schopna onvergovat velce rychle, ale je třeba mít dostatečně dobrý počáteční odhad, jna není úspěch jstý. Navíc musíme znát romě funčních hodnot dervace v aždém bodě. Často vša o = 1 Strana 3
zoumané func známe velm málo a výpočet dervace může být dost nejstý a pracný. Proto s uvedeme ještě jednu jednoduchou metodu nazývanou prostá terace. Ta, jao jsme mohl aždou úlohu převést do tvaru f(x)=0, můžeme tento požadave změnt na tvar g(x)=x. Poud nás nenapadne nc lepšího, můžeme tedy postupovat prostě ta, že novou hodnotu x n+1 dostaneme prostým výpočtem hodnoty této funce g v bodě x n. Tento postup povede cíl (tj. metoda bude onvergovat) za podmíny, terou formuluje tzv. Banachova věta o ontrac: Na jstém ntervalu I = a, b nechť je funce g(x) spojtá, zobrazuje nterval do sebe (tj. pro x I je opět g(x) I ) a navíc je zde tzv. ontratvní, t.j. pro aždé x a y z ntervalu I platí gx gy < qx y (*) pro nějaé 0< q 1. ( ) ( ) Pa exstuje v I (jedné) řešení g(λ)=λ a posloupnost {x n } daná předpsem x n+1 = g(x n ) němu onverguje. Důaz přenecháme matematům (věta platí doonce obecně v různých vícerozměrných metrcých prostorech). Podstatné pro nás je dosáhnout toho, aby byly podmíny věty splněny, tj. aby na dostatečném oolí přesného řešení platla ontratvta. To je g x, což je vlastně lmta výrazu evvalentní podmínce, že dervace ( ) gx ( ) gy ( ) x y ( ) ( ) pro y se blížící x, byla na celém ntervalu (v absolutní hodnotě) menší než 1. Toho lze dosáhnout vhodným zavedením fce g(x) vycházíme-l původně z podmíny ve tvaru f(x)=0, lze volt g(x) = f(x)+x a parametrem můžeme měnt dervac výsledné fce. V našem problému se soanem funce f(x) v oolí hledaného řešení lesá, dervace je záporná, taže volíme jao malé ladné číslo. q Taé je pro nás zajímavé tvrzení, že chyba té terace je x q x x λ 1 1 máme tedy souvslost mez sutečnou chybou a naším odhadem z rozdílu následujících terací, terý jsme používal např. v metodě tečen. Dosadíme-l s ve výrazu (*) za y gx λ < qx λ, že tato metoda onverguje ořen λ, snadno ověříme z nerovnost ( ) lneárně (s poměrem q). Nabízí se pa (podobně jao v mnulých metodách) použít Atnův proces, terý (až na vyjímečné případy) zvýší rychlost onvergence na vadratcou. (Abychom uvedl věc na pravou míru, je třeba poznamenat, že teprve nyní je použtí tohoto procesu zcela oprávněné pouze v případě, že se naše řada blíží řešení monotónně, tj. preczněj (x λ) nemění znaméno, lze zaručt spolehlvé chování vzorce pro Atnovo urychlení. V předchozích metodách totž mohla terace přesočt z jedné strany ořene na druhou a potom jsme často dostal extrapolací odhad mmo původní nterval. To, že jsme nezřída dosáhl dobrého urychlení, bylo dáno ja vhodným průběhem zoumané funce, ta poztvním vlvem narušení přílš pomalé a jednotvárné onvergence např. metody regula-fals. Nyní jž vša dává Atnův vzorec spolehlvé výsledy zejména v blízost řešení. Program s použtím této metody vznne trvální úpravou (spíše zjednodušením) předchozích, taže ho nebudeme uvádět. Věnujme se raděj ještě chvíl problému naznačeném v úvodu serálu. Máme více rovnc (obecně n) obsahující taé n neznámých proměnných x 1 x n. Společné řešení těchto rovnc pa hledáme jao n tc čísel ( x 1 x n ), terou můžu chápat jao vetor x r r o n r r složách a soustavu rovnc psát jao fx ( ) = 0(f jao vetor znamená, že první rovnce r r f 1 0 f x = 0 atd.). To nám pomůže rozhodnout, ja blízo je složa ( x ) =, druhá ( ) Strana 4
přesnému řešení jsme velost vetoru x r x r 1, stejně jao x r x r přes, se musí blížt 0. Problém je ovšem s použtím něterých metod např. u metody sečen nebo regula fals nám z výchozích bodů a r a b r r dá aždá rovnce f jný průsečí s 0. Nejsnazší je vyjít z právě popsané metody prosté terace. Převedeme funce f na g, pro teré by mělo platt r ( r r gx) = x, a předpoládejme, že jsou splněny podobné podmíny r r gx gy r r < q x r y r. ontratvnost jao v prvním případě: ( ) ( ) Potom naše metoda spolehlvě onverguje cíl. Ilustrujme s to na příladu dvou rovnc o dvou neznámých: r(x, y)=0 a s(x, y)=0 převedeme na požad. tvar např. u(x, y)= r(x, y)+x, v(x, y)=s(x, y)+y (případně zvolíme vhodné oefcenty u r a s). Požadovanou přesnost výsledu budeme srovnávat s r r x x x x + y y. +1 = ( ) ( ) + 1 + 1 Pár slov řešení mnulých dvou úloh. V první šlo o snadnou varac na téma rozebírané mnule, věnujme se tedy raděj druhé z nch, ve teré jste měl analyzovat výsledy dosažené v předchozích metodách v závslost na dosažené přesnost. Něteří z řeštelů se něco taového pooušel jž v mnulých úlohách (možná jm nebylo jasné, co se od nch žádá). Uveďme napřed strohé výsledy: metoda bsece: hrubý počát. nterval (0,1;10) jemný počát. nterval (0,8;1,0) číslo řád dosažená hodnota číslo řád dosažená hodnota rou chyby rou chyby 7 1 1,0547769531500 1 1 0,98500000000000 10 1,005976074187 4 1,0156500000000 14 3 1,0178510585644 3 8 1,01808593750000 17 4 1,01811807899475 4 11 1,0181011718750 0 5 1,018184731864 5 14 1,0181438964843 4 6 1,01817317630 6 18 1,018173696533 7 7 1,018174937989 7 1 1,018174710113 30 8 1,0181744334959 8 4 1,018174479676 34 9 1,0181744470 9 8 1,018174440510 37 10 1,018174445907 10 31 1,018174441418 40 11 1,018174443634 11 34 1,018174443456 44 1 1,018174443435 1 38 1,018174443430 47 13 1,018174443410 13 41 1,018174443408 50 14 1,018174443410 14 44 1,018174443411 54 15 1,018174443411 15 47 1,018174443411 57 16 1,018174443411 16 51 1,018174443411 60 17 1,018174443411 17 54 1,018174443411 64 18 1,018174443411 18 57 1,018174443411 metoda sečen: hrubý počát. nterval (0,1;10) jemný počát. nterval (0,8;1,0) číslo. řád ch. dosažená hodnota číslo. řád ch. dosažená hodnota 1 1 0,5740834753989 1 1 1,040310419 11 1,0183965991080 1 1,040310419 1 3 1,01817591560 3 3 1,0181630869317 13 5 1,0181743819779 3 4 1,0181630869317 Strana 5
14 8 1,01817444344 4 5 1,0181744454176 15 1 1,018174443411 5 9 1,018174443410 16 17 1,018174443411 6 14 1,018174443411 17 8 1,018174443411 7 18 1,018174443411 17 58 1,018174443411 9 58 1,018174443411 metoda tečen: hrubý počát. nterval (0,1;10) jemný počát. nterval (0,8;1,0) číslo. řád ch. dosažená hodnota číslo. řád ch. dosažená hodnota 9 1 1,0188863147197 0 1 1,000748907847 10 3 1,01813018171798 1 1,018145354748 11 5 1,018174447003 4 1,018174457515 1 10 1,018174443411 3 8 1,018174443411 13 18 1,018174443411 4 16 1,018174443411 5 18 1,018174443411 Graf A znázorňuje obsah předchozích tabule 70 60 50 počet roů 40 30 0 10 0 0 4 6 8 10 1 14 16 18 řád přesnost bsece h. bsece j. sečny h. sečny j. tečny h. tečny j. Metoda regula-fals není zde zahrnuta: ja bylo poznamenáno dříve, onverguje v našem případě velm pomalu (hůře než bsece), doud nedosáhne dostatečného přblížení hledanému řešení. Proto by ležela v grafu něde vysoo nad vyneseným čaram. Ja je nejlépe patrno z grafcého znázornění, metoda bsece je rásně lneární, u druhých dvou metod není těžé proložt zísanou závslostí parabolu (abychom tento předpolad ověřl, musel bychom počítat do podstatně vyšších řádů přesnost, na což nám nedostačují výpočetní prostředy.) Úloha S. 5: (obyčejná) Sestavte program pro terační metodu a zvolte vhodnou onst. pro fc g., abyste dostal vhodný nterval oolo 1 splňující ontratvnost. Ověřte lneární onvergenc a zuste zjstt míru zrychlení př užtí Atnova procesu. Strana 6
Úloha S. 6: (prémová pro náročné - zvláštní dotace 5 bodů) Chceme-l demonstrovat metodu řešení soustavy rovnc na našem soanov, budeme muset přdat další podmínu: dejme tomu, že první dopad na prno se mu zdál přílš tvrdý; rozhodl se tedy rozývat prno natol (změnt ampltudu mtů), aby druhá sráža s prnem proběhla se zanedbatelnou vzájemnou rychlostí. Tedy ja hodnota Funce, ta Dervace (uvedená v mnulém díle) byla v oamž srážy rovna nule. Vašm úolem je najít potřebnou ampltudu A n a dobu druhého sou T n (odráží se opět dole ). Strana 7
Řešení Úloha III. 1... zasněžená (maxmum počtu bodů 5; řešlo 40 studentů) Uvažujme nejprve element dráhy Δs (vz Obr. C). Průmět síly F do směru pohybu je zřejmě Obr. C F = m g f cosα + m g snα. Element práce ΔW vyonané podél této dráhy je pa ΔW = F Δs, nebol v našem případě máme ΔW = ( m g f cosα + m g snα ) Δs. Jelož Δs Δy cosα = Δx / Δs a snα = Δy / Δs, dostáváme ΔW = m g f Δx + m g Δy. Po sečtení všech α příspěvů W = m g f x + m g y. Práce potřebná Δx na vytažení sáně tedy nezávsí na tvaru opce, ja většna z vás spávně uvedla. Nejčastější chybou bylo nesprávné použtí vztahu W = F s, terý platí pouze tehdy, mál síla stejný směr jao dráha s. Obecně platí W = F. s = F s cosβ, de β je úhel mez F a s. Jaroslav Hamrle Úloha III.... osta (maxmum počtu bodů 3, bonusu 1; řešlo 33 studentů) Po vhození hexaedru do vody se vznlé vlnění šíří podle Huygensova( Fresnelova) prncpu. Znamená to, že chceme-l znát novou vlnoplochu, zonstruujeme j jao vnější tečnou obálu tzv. elementárních vlnoploch. Tyto mají ruhový tvar a vycházejí ze všech bodů vlnoplochy staré (stuac lustruje Obr. D). Vlnoplocha po vhození hexaedru bude tedy vypadat as jao na Obr. E.Z obrázu je taé patrné, ja bude vlnoplocha vypadat ve velé vzdálenost bude se Obr. D Obr. E blížt ružnc. Sutečný obráze stuace je poněud složtější. Z expermentu bychom zjstl, že ruhový tvar vlnoplochy zpozorujeme mnohem dříve, než by mělo odpovídat naší představě. Část vlnoplochy vznlá od hrany bude pochoptelně mnohem výraznější než část vznlá od vrcholu, elementární vlnoplochy se tedy budou šířt převážně od Strana 8
hranové část vlnoplochy. Počítačovým modelem lze shodu této představy s realtou ověřt. Mchal Hvězda Úloha III. 3... polytropa (maxmum počtu bodů 5, bonusu 1; řešlo 3 studentů) Nejprve stanovíme závslost počtu sráže N S za jednotu času na stavových velčnách p,v a T. Jedna částce se za jednotu času srazí průměrně x rát, přčemž x = v / l, de v je střední rychlost atomu a l je střední déla dráhy mez srážam ( tzv. střední volná dráha ). Střední rychlost v závsí pouze na teplotě T, je úměrná T ( v T ). Střední volnou dráhu spočteme za zjednodušujícího předpoladu, že všechny ostatní atomy stojí. Bude-l průměr atomu D, pa se srazí s první částcí, jejíž střed bude ve válc s podstavou o poloměru D a s osou ve směru pohybu atomu. Střední volná dráha je pa taová výša válce, př teré se v něm náchází právě jedna částce, nebol n l π D = 1, de n je počet atomů v jednotce objemu. Pro počet sráže částce x ta dostáváme x = v π D n =(v π D N) / V, de N je celový počet atomů a V celový objem plynu. Poud bychom chtěl započítat pohyb ostatních atomů, musel bychom místo střední rychlost atomu v uvažovat střední vzájemnou rychlost mez částcem, což by se naonec projevlo pro náš účel nepodstatným fatorem. Mez celovým počtem sráže N S a počtem sráže jedné částce x platí jednoduchý vztah N S = 0,5N.x ( máme N částc, z nchž aždá se za jednotu času srází x rát, fator 0,5 je tam proto, abychom nezapočítával srážu dvarát ). Jestlže počet částc N zůstává během děje onstantní, dostáváme pro závslost celového počtu sráže N S na stavových velčnách N S T / V. Má-l se zachovávat celový počet sráže, pa T / V = K 1, taže T = K 1 V. Po dosazení do stavové rovnce pv = K K 1 V obdržíme pv -1 = K 3, de K 1, K, K 3 jsou nějaé onstanty. V případě b) je tedy α = 1. Počet sráže v jednotce objemu je zřejmě N S / V T / V. Obdobným postupem dostaneme T / V = L 1 ; T = L 1 V 4 ; pv = L L 1 V 4 ; pv -3 = L 3, de L 1, L, L 3 jsou opět onstanty. V případě a) vyšlo α = 3. Spousta z vás uvažovala, že tla je úměrný počtu sráže N S. Tato přímá souvslost exstuje pouze pro počet nárazů částc na stěnu. Počet těchto sráže je vša př běžných podmínách zanedbatelný vůč počtu sráže mez atomy. Saša Kupčo Úloha III. 4... odpor 4 rozměrné rychle (maxmum počtu bodů 5; řešlo 8 studentů) Odpor čtyřrozměrné rychle rychle byl pro vás snadnějším úolem než jsem čeal. Téměř Obr. F všchn jste jej určl správně a většna z vás se pousla s větším č menším úspěchem výslede zobecnt na n rozměrů. Nyní jž e správnému řešení. Čtyřrozměrnou rychl je možno vzhledem symetr úlohy přereslt do evvalentního zapojení podle Obr. F. V té vrstvě je m odporů a aždým teče proud I/ m, úbyte napětí na dané vrstvě je RI/ m. Celový odpor proto bude 4 1 1 4 (vrstev máme n = dm) n R cel R1 odporů ve vrstvě. = 1 Strana 9
Jedným úolem zůstává určení m. Následující způsob řešení byl nejčastější. Mějme n rozměrný prostor, pravoúhlou soustavu souřadnou. Vrcholy rychle leží v bodech se souřadncem (0,0,...,0) až (1,1,..,1) (záps souřadnce bodu může obsahovat pouze 1 nebo 0). Defnujme vzdálenost vrcholu od počátu jao mnmální počet hran, přes teré musíme projít. Pro počet v d vrcholů vzdálených d od počátu platí vztah v d = n. Z vrcholu ve vzdálenost d vede (n-d) odporů vrcholům ve vzdálenost d+1. Počet odporů v té (mez vrcholy n vzdálené a +1 od počátu ) vrstvě je proto dán vztahem m = (n-d). Celový odpor n 1 bude R R ( n d) n cel = 1 d d. Pro n=4 dostáváme R cel =/3R a třeba pro n=5 = 1 R cel =8/15R. Pro velá n tato řada onverguje jao R cel =. R/n, což znamená, že pro n : R 0. Vladmír Slaví Úloha III. 5... grant strýča Srblía (maxmum počtu bodů 6, bonusu 3; řešlo studentů) Tuto úlohu vypracovalo as 0 řeštelů, z toho as 1/4 stále neví, co to znamená expermentální úloha! Jestlže navrhnete řešení, ale experment, ať jž z jaéhoolv důvodu neprovedete, nemůžete bohužel dostat více než 1/ možných bodů. Ale zpět příladu, celem nám došly 4 způsoby řešení: a) Prvním (nevyužívalo se zde napovězeného prověšeného provázu, ale to nebylo nutností) bylo řešení pomocí páy vytvořené z pravíta. Na jedné straně zavěšena lžíce, na druhé závaží. Posouváním po pravítu se hledala rovnováha. Celé nejdříve ve vzduchu, poté s ponořenou lžící ve vodě. Zde problém nebyl. b) Druhou metodou bylo přvázání provázu jednomu hřebíu a přehození Obr. G přes druhý jao ladu, vz Obr. G. Jeden z předmětů pa byl navázán na onc A B provázu, druhý zavěšen na úseu mez hřebíy. Soustava se vyrovnala ta, že rozlad m L vyrovnala m Z. Stačlo změřt např. DC. Totéž pa pro jedno ze závaží ponořené ve vodě. Zde bylo jednodušší m Z posunout závaží m Z do středu (jsté zjednodušení slového rozladu). m L Problémem bylo jstě tření mez provázem a hřebíem, teré jste řešl mazáním provázu č použtím oleča. I výsledy této metody vycházely v mezích normy. c) Třetí (oprot ostatním as nejméně přesnou) metodou bylo měření prodloužení ntě př zavěšení závaží známé hmotnost, lžíce ve vzduchu a ve vodě (dle Hooova záona). Bohužel hlníová lžíce není dostatečně těžá, aby toto prodloužení bylo rozumně měřtelné, z čehož plynula značná chyba měření. d) Čtvrtou a poslední metodou byla tzv. metoda ntových váže. Zde s řada řeštelů s tímto zařízením nepohrála a měřla zbytečně mnoho parametrů, potl se se slovým rozlady atp. Proto tuto metodu blíže rozebereme: Vycházelo se z provázu prověšeného mez hřebíy. Na prováze se zavěsla lžíce a závaží o známé hmotnost. Vz. Obr. I d d Strana 10
Nyní se posunovalo závažím (č lžící, č obojím) ta, aby se prováze mez lžící a závažím (CD) stal vodorovným (rovnoběžným s EF). Vz. Obr. H Úhly α a β určíme ze vztahů: x F1 y F1 tg( α ) = = tg( β ) = = h h po úpravě: F gz F gl y x = a tedy: y. FgL = x. F tg( β ) tg( α ) gz z toho dostáváme: m L x =. y m Z. Nyní ponoříme lžíc do vody a opět vyrovnáme podle Obr. H. a dosadíme do tvaru: x. F = y. F ; F = F V g gz gl ρ gl gl H O F = gv( ρ ρ ) ; V gl Al H O gm. L F gl =.( ρal ρh O ) ρ xy. po dosazení: ρal =. ρh O. xy x y Všechny velčny x, y,x',y', lze jednoduše a přesně změřt. Al m L = ρ Al Závěr: Ja je vdět, u těchto metod bylo možné dotáhnout řešení do tvaru, de nefguroval objem lžíce, terý část řeštelů zjšťovala ponořováním lžíce do ýblu a měřením změny úrovně hladny. To je př poměru objemů lžíce a ýblu metoda značně nepřesná (avša pravděpodobně jedná možná). Bylo lepší se měření objemu lžíce vyhnout úpravou na tvar, de se objem V nevysytoval. Mre Panoš Obr. I Obr. H A B A F 1 F 1 B E C m Z obr.. D m L F E α x F gz C m Z h m L F gl β D y F / AE/ = / BF / Strana 11
Pořadí řeštelů po třetím ole Jméno Příjmení Třída Šola Hand 1 3 4 5 S III. BB PB cap s. 0 Student Plný. MFF UK Praha 100% 5 3 5 5 6 5 9 80 80 1 Rudolf Sýora 3.A G Hejčín 8% 5 4-5 - 5 19 70 57 Matouš Jrá 3.A G Říčany 87% 5 3 6 4 5-3 6 54 3 Jndřch Kolorenč 4.G G Nová Paa 67% 5 3 5 0 6 5 4 79 53 4-5 Mchal Fabnger 4.E G Nad Alejí Praha 67% 5 3 3 5 6 5 7 75 50 4-5 Jří Franta 3.A G Příbram 87% 4 3 0 3 6 3 19 57 50 6 Přemysl Kolorenč vnta G Nová Paa 98% 5 3 3 6 5 46 45 7 Peter Macá 4.A G Jur. Hronca Bratslava 73% 5 3 5 5 - - 18 56 41 8-9 Martn Krse 4.A G J.K.Tyla Hradec Králové 77% 5 3 0 5 9 4 51 39 8-9 Pavel Bubá 3.A G tř. pt. Jaroše Brno 86% 0 5-5 14 45 39 10-11 Martn Hadráve 3.A G Jírovcova Česé 88% 5 3 4 - - 14 4 37 Budějovce 10-11 Zdeňa Brolová vnta G Polča 107% 5 - - 5 5-15 35 37 1 Vlastml Křápe.C G Křenová Brno 98% 5 3 0 - - 10 37 36 13-14 Davd Nečas 4.A G tř. pt. Jaroše Brno 75% 5 - - 5 - - 10 47 35 13-14 Jaub Mache 3.A G Žďár nad Sázavou 88% 5 3-4 6-18 40 35 15 Marta Bednářová 4.A G tř. pt. Jaroše Brno 73% 5 3-5 - - 13 47 34 16-17 Jří Wale 4.B G souromé Havířov 78% 5 3 0 5 5-18 40 31 16-17 Martn Hála vnta G Rumbur 98% 5 - - - 6-11 31 31 18 Josef Šeda.C G Křenová Brno 99% 5 3 3 0 1-1 9 9 19-0 Davd Stanovsý 4.D G Pardubce 75% 5 3 4-14 38 8 19-0 Robert Šámal 4.D G Zborovsá Praha 75% 5-3 3 3-14 38 8 1 - Verona Štulíová 3.B G Beroun 89% 1 1 4 6-1 30 7 1 - Mchal Vopálensý 3.D G Jhlava 88% 5 3 3 - - - 11 30 7 3 Jaroslav Brzá 3.? G Nový Bydžov 89% 3 4 0 6-15 9 6 4 Petr Vejchoda 3.A G Brno 88% 5 - - - 9 8 5 5 Martn Vohralí 4.D G Pardubce 78% 5 3 0 4 - - 1 31 4 6 Mchal Bursa 3.B G Jana Keplera Praha 88% 1-3 - - 6 6 3 7-7 Robert Špale 3.A G Brno 89% 1 0 5 - - 8 0 7-7 Václav Porod vnta G 100% 5 3 4 3 5-0 0 0 9-30 Jan Rychtář 4.C G Strahonce 78% - - - - - - 0 4 19 9-30 Jan Foretní 3.A G tř. pt. Jaroše Brno 88% - - - - - - 0 19 31-3 Lubomír Zrnečo 4.? G Rumbur 78% - - - - - 3 18 31-3 Anna Jančaříová 3.C G Zborovsá Praha 87% - - - 5 3-8 1 18 33-34 Martn Čada 4.B G Jesení 79% 3 3-0 - - 6 17 33-34 Davd Bača 3.A G Frýdlant n. O. 89% 3 - - - - 5 19 17 35 Pavel Klang 3.A G tř. pt. Jaroše Brno 88% - 5 - - 9 18 16 36 Mare Mášová 3.? G PORG Praha - Lbeň 89% - - - - - - 0 17 15 37 Tomáš Kolsý.C G Zborovsá Praha 99% - - - - - 14 14 38-39 Jana Koláčová otáva PORG PORG Praha 8 - Lbeň 78% 5 0 - - - 7 17 13 Strana 1
38-39 Gabrela Randáová 4.A G Brandýs nad Labem 79% - - - - - - 0 16 13 40-4 Pavel Kraus vnta G Masaryovo Plzeň 99% - - - - - - 0 1 1 40-4 Kaml Řezáč vnta G J. Vrchlcého Klatovy 110% 0 - - 3-5 11 1 40-4 Karel Kolář varta G Sušce 119% - - - - - - 0 10 1 43-45 Tomáš Vojta 4.? G 79% 5-0 - - 7 14 11 43-45 Jří Sulovsý 3.D G F.X.Šaldy Lberec 89% - - - - - - 0 1 11 43-45 Rudolf Bíle vnta G J. Vrchlcého Klatovy 100% 1 - - 4-7 11 11 46-47 Josef Janovec 4.B SPSt Pelcla Rychnov n. Kn. 79% - - - 3-3 1 10 46-47 Krstýna Kupová 4.C G Nad alejí Praha 6 79% 5 0 - - - 5 1 10 48-50 Martn Navrátl 4.A G Karlovy Vary 78% - - - - - - 0 11 9 48-50 Martn Číže 3.? SUSt Sezmovo ústí 90% 1 0 0 3-6 10 9 48-50 Jří Smola Q G J. Vrchlcého Klatovy 109% - - - - - - 0 8 9 51-56 Petr Doube 4.D G Pardubce 78% - - - - - - 0 9 7 51-56 Jan Horáče 4.A G Valašsé Mezříčí 78% - - - - - - 0 9 7 51-56 Zdeně Hrnčíř 4.A G Brandýs nad Labem 79% 0 1 0 0 - - 1 9 7 51-56 Blana Janoušová 4.A G Na Vítězné plán Praha 4 78% - - - - - - 0 9 7 51-56 Mroslav Jíle 3.A G Polča 88% - - - - - - 0 8 7 51-56 Vtore Šlísová vnta G Rumbur 110% - - - - - - 0 6 7 57-60 Karel Švadlena 4.A G Česé Budějovce 79% - - - - - - 0 8 6 57-60 Zdeně Žabortsý 4.C G F.M.Pelcla Rychnov n. Kn. 79% - - - - - - 0 8 6 57-60 Rade Podhajsý 3.A G Maránsé Lázně 89% - - - - - - 0 7 6 57-60 Mloš Rošot.C G BN Benešov 100% - - - 0 6 6 61-64 Matěj Lsza 4.A G Frýdecá Česý Těšín 78% - - - - - - 0 7 5 61-64 Tomáš Belza 3.D 0 F.X.Šaldy Lberec 90% - - - - - - 0 6 5 61-64 Josef Marcel Q G J. Vrchlcého Klatovy 100% 0 1 - - - - 1 5 5 61-64 Kateřna Nohavová.C G Jana Keplera Praha 100% - - - - - - 0 5 5 65 Karel Borovča 3.D G F.X.Šaldy Lberec 90% - - - - - - 0 4 4 66-69 Krstna Bartová 4.C G J.A.Komensého Uh. Brod 79% - - - - - - 0 4 3 66-69 Matouš Borá 4.C G Čs. Exlu Ostrava - Poruba 80% - - - - - - 0 4 3 66-69 Tomáš Černoch 4.C G Nad štolou Praha 78% - - - - - - 0 4 3 66-69 Petr Hladí.A SPSa Mělní 100% - - - - - - 0 3 3 70 Mona Šťástová 4.A G Praha 80% - - - - - - 0 71-7 Pavel Krsten varta G Týn n. Vltavou 110% - - - - - - 0 1 1 71-7 Petr Sedláče.C G Benešov 100% - - - - - - 0 1 1 Termín odeslání: 1. větna 1995 Adresa: FKS, KTF MFF UK, V Holešovčách, 180 00 Praha Strana 13