Lineární regrese ( ) 2

Transkript

1 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující závslost mez aměřeým velčam. Jeda z ejčastějších metod je metoda ejmeších čtverců. Mějme aměřeých dvojc [ ; ], terým proládáme řvu určeou rovcí f (). Hledáme taovou fuc f (), terá má mmálí součet druhých moc rozdílů psloových souřadc aměřeých bodů a bodů ležících a proložeé řvce: ( ) f( ) je mmálí Z matemat víte, že taovému výpočtu slouží parcálí dervace, teré položíme rov ule. Obecě lze teto postup aplovat a řadu fucí f (), ale ejčastěj se používá pro apromac dat přímou f() +, čl tzv. leárí regres. R [Ω] Závslost eletrcého odporu ovu a teplotě t [ C]

2 Leárí regrese Přesé odvozeí regresích oefcetů a lze alézt v lteratuře, zde uvádím až výsledé vztah: Vhodost použtí leárí regrese ověříme pomocí orelačího oefcetu r, jehož hodota leží v tervalu <-; >. Apromace přímou je oprávěá, je-l r >,99 (tzv. pravdlo dvou devíte). Pro výpočet platí vztah: ( )( ) ( ) ( ) r, de a Pro odchl alezeých regresích oefcetů platí vztah: ( ) a ( ) de Iterval spolehlvost staoveí regresích oefcetů, a ted jejch přesost, závsí a těchto odchlách a zvoleé pravděpodobost P. tudetův součtel t P,(-) má parametr - a P 95 %. Výpočt regresích oefcetů a jejch chb emusíte provádět ručě, je výhodé použít výpočetí techu (alulač, program pro PC ). Napřílad v programu EXCEL slouží těmto výpočtům fuce LINREGREE() používaá jao matcový vzorec.

3 Leárí regrese Přílad: Blo provedeo měřeí závslost eletrcého odporu ovu a teplotě (aměřeá data vz. tabula íže). Je možé zísaá data proložt přímou? Určete parametr přím ejlépe vsthující zísaou závslost včetě jejch chb. t [ C] 8,3 4,5 9,9 37,3 4,7 47,7 5, 58,7 6,7 66, R [Ω] Nejprve spočteme regresí oefcet: r ( t t)( R R) ( t t) ( R R), Z jeho velost vplívá, že aměřeá data lze oprávěě proložt přímou +. tr t t t R t t t R 5 76,7 438,9 67 3, , ( 438,9) tr 666, ,9 5 76,7 993,8 666, t ( 438,9) ( ) t t 8 8,5366 [ 666,, ( 438,9) ],969 ( ) t t tudetův součtel t,95; 9,36. t 8,5366, 666, 8 [ 666,, ( 438,9) ] 4,589 Naměřeá data lze proložt přímou s parametr: (3,9 ±,) a (99 ± ) 3

4 Leárí regrese Zpracováí dat pomocí programu EXCEL K provedeí leárí regrese slouží fuce LINREGREE( ). Je vša uté j použít jao tzv. matcový vzorec. Postup s uážeme a řešeí předchozího příladu: Vzačíme oblast 3 řád sloupce a apíšeme vzorec s fucí pro výpočet leárí regrese: Fuce LINREGREE( ) má čtř parametr, teré oddělujeme středíem. Prví parametr je oblast -ových hodot, druhý parametr je oblast -ových hodot. Třetí parametr udává, zda má být regresí oefcet rove ule (parametr astave a ), ebo se jeho hodota má spočítat (parametr astave a ebo eí uvede). Čtvrtý parametr astave a zameá, že chceme zjstt další regresí statst (apř. odchl oefcetů). 4

5 Leárí regrese Místo láves ENTER stseme trojombac láves CTRL + HIFT + ENTER. Ve vzačeé oblast 3 se pa achází příslušé regresí oefcet, jejch odchl a druhá moca orelačího oefcetu. Rozmístěí je zázorěo v ásledující tabulce (údaj v bílém políču ás ezajímá): Určíme hodotu tudetova součtele t P,(-) pomocí fuce TINV( ). Tato fuce má dva parametr prví je pravděpodobost, že výslede bude ležet mmo terval spolehlvost (pro zvoleou pravděpodobost P je to - P/) a druhým parametrem je počet stupňů volost (pro měřeí je to -). 5

6 Leárí regrese Určíme terval spolehlvost regresích oefcetů a orelačí oefcet. Výsledem je ted proložeí dat přímou + s regresím oefcet (3,9 ±,) a (99 ± ). Korelačí oefcet,9976, leárí regres je ted možé použít. r 6

7 Leárí regrese Pozáma: Ja souvsí zísaé regresí oefcet s materálovým ostatam zoumaého ovu? Pro teplotí závslost ovu platí vztah: ( + t) R R α de α je teplotí součtel eletrcého odporu a R je odpor ovu př teplotě C., Vztah rozásobíme a porováme s rovcí přím + :,,, Materálové ostat α a R určíme ted jao: R, α Pro chb pa můžeme odvodt vztah: R R α α α + + α + V předchozím příladu bla aměřeá data proložea přímou + s regresím oefcet (3,9 ±,) a (99 ± ). Materálové ostat α a R jsou ted: R (99 ±) Ω α (3,9 ±,) -3 K 7