Pčítačvá grafka III Zbrazvací rvnc a jjí řšní Jarslav Křvánk MFF UK Jarslav.Krvank@mff.cun.cz
BRDF Bdrctnal rflctanc dstrbutn functn Dvusměrvá dstrbuční funkc drazu utgng n r d rflctd q q ncmng f r dr de dr csq d [sr 1 ] PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 2
Rvnc drazu Rflctanc quatn llumnatn ntgral OVIGRE utgng vacuum tm-nvarant gra radanc quatn Klk světla j dražn d směru? v závslst na mnžství příchzíh světla a matrálu pvrchu f Z dfnc BRDF d r f r csq d PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 3
Rvnc drazu Sčtní ntgrál příspěvků d r přs clu hmsféru: r d cs H f r q d q n q r r clkvá dchzí rad. mtvaná rad. dražná rad. 4 PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012
Od lkálníh drazu k glbálnímu šířní světla Rvnc drazu lkální draz Odkud přchází radanc? Z statních míst v scéně!!! r r - d cs H f r q = r Funkc vržní paprsku ra castng functn 5 PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012
Od lkálníh drazu k glbálnímu šířní světla Dsazní za d rvnc drazu Příchzí radanc vlučna. Odchzí radanc ppsána jak funkc jnd v scéně. d cs r H f r q 6 PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012
Zbrazvací rvnc Rndrng quatn Odstranění ndu u dchzí radanc: Pps ustálnéh stavu = nrgtcké rvnváh v scéně. Rndrng = výpčt pr místa vdtlná přs pl. d cs r H f r q 7 PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012
Rvnc drazu rflctn quatn ppsuj lkální draz světla v jdnm místě Intgrál pmcí něhž lz spčítat dchzí radanc z příchzí radanc v daném bdě Zbrazvací rvnc rndrng quatn Pdmínka na glbální rzlžní světla v scéně Intgrální rvnc nznámá vlv vprav Rvnc drazu vs. zbrazvací rvnc d cs r H f r q d cs H f r q Pdbný tvar jný význam 8
Rndrng Equatn Kaja 1986 PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 9
Kmpltní frmulac prblému Dán Cíl M plcha gmtr scén r funkc vržní paprsku V funkc vdtlnst mtvaná radanc zdrj světla f r BRDF matrál pvrchů Vpčítat hdntu radanc v ustálném stavu pr mnžnu bdů 1 2 n na M s příslušným směr 1 2 n Matmatcký prblém už žádná fzka jn matmatka a algrtm PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 10
Úhlvá a plšná frma ZR
Zbrazvací rvnc úhl vs plch Úhlvá frma: ntgrál přs směr Substtuc: 2 cs d d r A q d cs r H f r q 12 PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012
Zbrazvací rvnc úhl vs plch Plšná frma: ntgrál přs plch scén M r A V G f d 2 cs cs q q G vdtlnst 1 vdtlné z 0 jnak gmtrcký čln pvrch scén 13 PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012
Intgrál přs úhl Sčítání příspěvků světla d bdu z všch směrů Pr každý směr najdu njblžší plchu Implmntac v stchastckém sldvání paprsku: Pr dané míst gnruj náhdné směr pr každý najd njblžší průsčík v něm spčítj dchzí radanc. vš sčt přs všchn vgnrvané náhdné směr. pcké pužtí: výpčt npříméh světlní v bdě PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 14
Intgrál přs plch Sčítání příspěvků světla d bdu z plch scén Příspěvk zapčítán puz pkud j plcha vdtlná Implmntac v stchastckém sldvání paprsku: Gnruj náhdně místa na gmtr. Pr každé tstuj vdtlnst mz a. Pkud vdtlné přčt k světlní v dchzí radanc z vážnu gmtrckým faktrm. pcké pužtí: výpčt příméh světlní v bdě plšné zdrj světla PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 15
Způsb řšní zbrazvací rvnc kální světlní OpnG výpčt ntgrálu drazu pr bdvé zdrj světla bdvé zdrj: ntgrál -> suma Npsktuj ustálnu radanc nní řšním ZR Mtda knčných prvků radační mtda radzta [Gral 84] dskrtzac plch scén knčné prvk zandbává směrvst drazu nzbrazuj lsklé draz světla PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 16
Způsb řšní ZR Sldvání paprsku ra tracng [Whttd 80] puz přímé světlní na lsklých a dfúzní plchách a npřímé světlní puz na dálně zrcadlvých plchách draz lm npsthuj npřímé světlní na dfúzních a lsklých plchách měkké stín Dstrbuvané sldvání paprsku [Ck 84] dhad lkálníh ntgrálu mtdu Mnt Carl pčítá měkké draz stín hlubku strst.. PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 17
Způsb řšní ZR Sldvání cst Path tracng [Kaja 86] řšní zbrazvací rvnc mtdu Mnt Carl výpčt náhdné cst náhdné prcházk psthuj npřímé světlní všších řádů PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 18
Od zbrazvací rvnc k radační mtdě
Od zbrazvací rvnc k radztě Frmulac ZR pmcí ntgrálu přs plch: Radzta přdpklad Puz dfúzní plch BRDF knstantní v a Elmnt plch mají knstantní radztu M r A V G f d 20 PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012
Od zbrazvací rvnc k radztě Puz dfúzní plch BRDF knstantní v a Odchzí radanc j nzávslá na a j rvna radztě B děln p M A V G d p M A V G B B B d p ' G 21 PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012
Od zbrazvací rvnc k radztě Knstantní radzta B přspívajících plšných lmntů B N B B j G' da j j1 A j radzta j-téh lmtu gmtrcký faktr mz plšku j a bdm PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 22
Od zbrazvací rvnc k radztě Knstantní radzta lmntu přjímajícíh světl: Střdní hdnta průměr radzt přs plchu lmntu B 1 A A B da B N B j G' da j d j1 A A A 1 j A q da A q j da j A j F j knfgurační faktr frm factr PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 23
Klascká radztní rvnc Sustava lnárních rvnc B B N j1 B j F j Knfgurační faktr 1 F j G' da j da A A A j PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 24
Radační mtda Klascká radzta Výpčt knfguračních faktrů Mnt Carl hmcub Řšní radztní rvnc Gathrng Shtng Stchastcká radzta Obchází plctní výpčt knfguračních faktrů Mtda Mnt Carl Npraktcká npužívá s v pra Rzdělní na plšk -> ctlvst na kvaltu mdlu Vské paměťvé nárk Nárčná mplmntac PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 25
Vjádřní ZR pmcí ntgrálníh prátru
ZR j ntgrální rvnc Obcný tvar ntgrální rvnc druhéh druhu f g k f d nznámá fc známé fc jádr rc Zbrazvací rvnc H r f r csq d PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 27
nární prátr nární prátr půsbí na funkc jak matc na vktr h f Půsbní j lnární af bg a f b g Příklad lnárních prátrů K f k f d f D f PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 28
ransprtní prátr d cs H f r q Zbrazvací rvnc 29 PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012
Řšní ZR v prátrvém tvaru Zbrazvací rvnc Frmální řšní I 1 I v pra npužtlné nvrz nlz plctně vjádřt PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 30
Epanz zbrazvací rvnc Rkurzvní substtuc n-násbným pakváním vznkn Numannva řada PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 31 2 n n 1 0
Epanz zbrazvací rvnc Pkud j kntrakc tj. < 1 v ZR platí pak lm n 1 0 n Řšní zbrazvací rvnc j pak dán 0 PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 32
Jné dvzní Numannv řad Frmální řšní zbrazvací rvnc Platí Důkaz... 2 1 I I I I I I I I......... 3 2 2 2 1 1 I 33 PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012
Pstupné aprmac Každá aplkac dpvídá jdnmu drazu & přnsu světla 2 3... ms z pvrchu zdrjů přímé světlní OpnG stínvání npřímé světlní prvníh řádu n-bunc ndrct PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 npřímé světlní druhéh řád t-bunc ndrct 34
Pstupné aprmac 2 3... PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 35
Kntraktvta Platí pr fzkálně krktní mdl Vplývá z zachvání nrg Znamná ž pakvané aplkac prátru snžují nrg drazvst všch plch jsu < 1 Scén s vlm lsklým pvrch drazvst blízká 1 knvrgnc vžaduj smulvat větší mnžství drazů světla nž v dfúzních scénách PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 36
Čh jsm tím dsáhl? Nahradl jsm ntgrální rvnc řadu ntgrálů s pstupně rstucí dmnznaltu Numrck vhdncvat ntgrál umím mtda Mnt Carl -> umím řšt zbrazvací rvnc -> umím rndrvat brázk hurá! Rkurzvní aplkac dpvídá rkurzvnímu sldvání paprsku d kamr PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 37
C t td vlastně pčítám? PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 38... 3 2 M r M r M r A A A A A V G f V G f A V G f ž z z z ž z z z z d d d... d d d
Cst vs. rkurz: Otázka ntrprtac Nzávslé cst v vskdmnználním prstru Rkurzvní řšní dvjných ntgrálů přs hmsféru: PG III NPGR010 - J. Křvánk 2011 39... 3 2...
Rkurzvní ntrprtac Úhlvá frmulac ZR Pr výpčt ptřbuj spčítat r pr všchn směr kl bdu. Pr výpčt každéh r ptřbuj spčítat r r pr všchn směr kl bdu r Atd => rkurz H r ' ' r r f r ' csq ' d' r PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 40
Závěr Ptřbujm nástrj pr numrcké ntgrvání Přs hmsféru Přs plch A přs Kartézské sučn přdchzíh Mnhdmnznální ntgrál Nástrj Mnt Carl mtd PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 41
asr: Mnt Carl ntgrvání Obcný nástrj k numrckému dhadu určtých ntgrálů f p Intgrál: I 1 N I N 1 f d Mnt Carl dhad I: f ; p p 0 1 5 3 1 4 2 6 V průměru t funguj: E[ I ] I
asr: Path tracng v. 0 raradancest ω: = tracra ω rturn ω + r ω // mttd radanc // rflctd radanc r ω: ω = gnunfrmrandmdr n rturn p * brdf ω ω * raradancest ω PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 43
asr: Path tracng v. 2012 2012 Clumba Pcturs Industrs Inc. All Rghts Rsrvd. PG III NPGR010 - J. Křvánk 2012 44