34 Elektomagnetické pole statické, stacionání, nestacionání zásady řešení v jednoduchých geometických stuktuách, klasifikace postředí (lineaita, homogenita, dispeze, anizotopie). Vypacoval: Onda, otja@seznam.cz Upozonění: Tato látka se překývá s otázkami 9 a. Poznámka: Zkatka EM označuje v textu obecně všechny tvay složenin elekto-magnetický, elekto-magnetismus apod. Úvod Matematický model EM pole fomuloval J. C. Maxwell (*83 879) v tzv. Maxwellových ovnicích. Všechny známé jevy spojené s EM polem lze z těchto ovnic odvodit. Někteé jeho pojevy (např. EM vlny) byly na základě těchto ovnic odvozeny dříve, než byly pozoovány. Maxwellova teoie popisuje pouze makoskopické pojevy EM pole (tzv. klasická teoie EM pole), ačkoliv chaakte elektomagnetismu je obecně kvantový. Elektický náboj [q] - základní vlastnost částic z hlediska EM pole - kladný (nositel poton), záponý (nositel elekton) 9 - elementání kvantum náboje e =,69 [ C], jednotka C - coulomb - platí zákon o zachování náboje q 3 Objemová hustota náboje ρ = lim [ C m ] V V ρ dv Náboj obsažený v objemu q [ C] = V Plošná hustota náboje σ = lim q [ C m ] σ d Náboj obsažený v ploše q [ C] = Liniová hustota náboje q τ = lim [ C m ] l τ dl l Náboj obsažený v přímce q [ C] = l Bodový náboj [Q] myšlenková abstakce, kteou zavádíme v případě, že ozměy objektu, v němž je náboj soustředěn, jsou z makoskopického hlediska v dané úloze zanedbatelné. Poud [I] pohyb náboje. Za jednotku času pojde plochou d poud náboje o hustotě ρ a ychlosti v : Q di = = ρv d = J d, t kde je vekto hustoty konvekčního poudu. I = J d A, jednotka A - ampé J [ ] EM pole za zdoj pole lze považovat náboj. Uvažujeme pole: tatické všechny náboje jsou v klidu. tacionání náboje se pohybují tak, že vytvářejí stacionání (stejnosměné) poudy.
Kvazistacionání zjednodušení nestacionáního pole zanedbáním posuvných poudů opoti poudům volných elektonů. Nestacionání obecné EM pole. EM pole je neozdělitelné v tom smyslu, že se vždy jedná o ůzné pojevy téže fyzikální skutečnosti. Helmholtzův teoém aby bylo vektoové pole jednoznačně učeno, musí být v celé uvažované oblasti učena jeho divegence i jeho otace. Elektostatické pole ílu, kteou na sebe působí dva bodové náboje, učuje Coulombův zákon: QQ F =. 4πε ouhlasné náboje se odpuzují a opačné přitahují. Při řešení složitějších soustav se používá pincip supepozice. F Q q Intenzita elektického pole E = = [Vm - ]. Platí Gaussova věta: E d = Q 4πε. Ta ε přiřazuje tok vektou intenzity elektického pole uzavřenou plochou k nábojům plochou ρ ohaničeným. V difeenciálním tvau pak zní: div E =. ε E v někteých geometiích (řešeno Gaussovou větou): 3 ρ ρr Nabitá koule (dielektická) o poloměu R: E = < R; E = > R. 3ε 3ε σ Nabitá ovina E =. ε τ Nabitá přímka E = πε Páce na přenesení náboje v elektickém poli nezávisí na délce křivky pohybu, ale jen na jejím koncovém a počátečním bodě E d l = neboli ot E =. Elektostatické pole je tedy zřídlové a nevíové. B Potenciál φ = E d l. Napětí U AB = φ A φb = E d l, jednotkou je [V] - volt. Dále: A E = gad φ. Potenciál někteých geometií (řešeno dle definice integací intenzity): Q Bodový náboj φ = + K. 4 πε σ σ Nabitá ovina φ = x + K x > ; φ = x + K x <. ε ε
τ Nabitá přímka φ = ln + K. πε Velikost konstanty K volíme podle podmínek úlohy. Elektický dipól je tvořen blízkými náboji stejné velikosti a opačného znaménka. Lze-li zanedbat vzdálenost nábojů vzhledem ke vzdálenosti pozoování, mluvíme pak o tzv. elementáním dipólu. Moment elektického dipólu je: p = Qd. Jeho potenciál pak: p φ = 4πε Rozlišujeme tyto mateiály: Vodiče Izolanty (dielektika). Vodivé těleso je ve statickém poli vždy ekvipotenciálou. Ve vodiči pozoujeme elektostatickou indukci. V dielektiku pozoujeme polaizaci. Zavádíme vekto polaizace: div P = ρv. V mateiálu učuje míu polaizace. V elekticky izotopní a lineání látce platí: P = εχe, kde ε je pemitivita a χ je elektická susceptibilita [-]. Platí: D = ε ( + χ m ) E = εε E = εe D = εe + P Gaussova věta po vekto elektické indukce: D d = Q a div D = ρ Na ozhaní dvou postředí platí: D = D E = E n n t t Q Kapacita, schopnost pojmout náboj, je definována: C =, jednotka [F] faad. U Kapacita někteých geometií (řešeno dle definice z potenciálu (napětí) na geometii): Deskové elektody C = ε, d je vzdálenost desek a jejich plocha. Koaxiál C πε = l ln d, polomě vnitřního, vnějšího vodiče. C πε Dvoulinka =, a je vzdálenost a polomě vodičů. l a ln Koule C = 4πεR, R je její polomě. Při séiovém řazení kapacitoů sčítáme převácené hodnoty jednotlivých kapacit a výslednou hodnotu učíme jako převácenou hodnotu výsledku sčítání. Při paalelním řazení je výsledná kapacita součet kapacit. N n= Enegii v el.stat. poli lze vyjádřit jako: W = W = ρφdv = φd d + D EdV V V D Hustota enegie elektického pole: w e = D E = σe =. σ Q n φ n. Je-li náboj ozložen spojitě, pak:. Pozn.: po je D = φ d.
Enegie obsažená v kapacitou je: W = CU. Při řešení elektostatických polí se používá metoda vituálních pací. Oblíbené příklady: íly mezi náboji.výpočet intenzity a indukce po ůzné geometie. Kapacity ůzných geometií. Vliv pemitivity na kapacitu. tacionání poudové pole Rozlišujeme poudy: Kondukční pohyb elektonů nebo dě ve vodičích a polovodičích. Konvekční pohyb elektonů nebo iontů ve vakuu. Ve stacionáním poudovém poli se nemůže poud v objemu homadit platí kontinuita poudu. Vyjadřuje ji ce.: div J = a je známá jako jeden z Kichhoffových zákonů (J je hustota poudu [Am - ]). Platí: I = J d = vodivost). Tva integální je J n d. Rovnice U = RI. J = σe je Ohmův zákon v difeenciálním tvau (σ je dl R značí elektický odpo [Ω] d R =. Při séiovém řazení odpoů je celkový odpo součet σd jednotlivých odpoů. Při řazení odpoů sčítáme převácené hodnoty. Vně zdojů je stacionání poudové pole nevíové. Objemová hustota výkonu stacionáního poudu je spotřebovaný ve vodiči P=UI. dp dv = E J = σe = J σ a výkon Na ozhaní dvou postředí platí: J = J E = E n n t t Oblíbené příklady: Teplotní závislost odpou. Poměy v koaxiálu. Odpo těles složitých tvaů. Elektody v zemi a kokové napětí. tacionání magnetické pole Rozlišujeme stacionání mag. pole poudu a pole pemanentních magnetů (obě mají původ v pohybu náboje). Magnetické pole vektou magnetické indukce B (jednotka T tesla) je nezřídlové. íla působící na náboj na náboj o velikosti q a ychlosti v v magnetickém poli o magnetické indukci B : d F m = dq( v B), esp. na poudový element d F m = I dl B Celková EM síla působící na náboj je vyjádřena Loentzovou ovnicí: d F = df + df = dq E + v B. e m ( )
Magnetický tok (tok vektou magnetické indukce plochou): Φ = B d. i dl íla mezi na obázku zobazenými poudovými elementy je: µ df = idl i dl sinδ 4π δ Biot-avatův zákon říká totéž pomocí i dl veličin pole. V difeenciálním tvau zní: µ idl db =, 4π i i µ idl a ve tvau integálním: B =. 4π mě vektou indukce se učuje pomocí pavidla pavé uky. íla mezi dvěma ovnoběžnými vodiči se stejným poudem a vzdáleností a : F l µ I = BI =. π a Helmholtzovy cívky dva závity, mezi kteými je poměně homogenní pole. olenoid nekonečně dlouhá ovná cívka, B N na ose cívky: B = µ ni, n =. l I Přímý (nekonečný) poudovodič pole ve vzdálenosti h : B = µ. πh NI Tooid pstencová uzavřená cívka, pole má jen uvnitř cívky: B = µ. π V mateiálu učuje míu magnetizace vekto magnetické magnetizace M, což je objemová hustota magnetických momentů. V magneticky izotopní a lineání látce platí: M = χ H, kde χ m je magnetická susceptibilita [-]. Platí: B B = µ ( + χ m ) H = µ µ H = µh H = M, µ kde µ je pemeabilita (vakua a elativní). Rozlišujeme mateiály: Diamagnetika µ < (míně zmenšují indukci). Paamagnetika µ > (míně zvětšují indukci). Feomagnetika >> (výazně zvětšují indukci). µ Závislost intenzity na indukci při magnetování feomagnetika udává hysteezní smyčka, kteá je po mag. měkké mateiály úzká a po mag. tvdé šioká. Na ozhaní dvou postředí platí: B n = Bn Ht = Ht. Při řešení je někdy vhodné zavést tzv. plošný poud. Dále se řeší lom idukčních ča. Taktéž se používá metoda zcadlení. Do této oblasti spadají dále (zde neozvedené) magnetické obvody. m
Oblíbené příklady: Pohyb elektonu v magnetickém poli, polomě kužnice jeho tajektoie. Mag. pole závitu. Magnetické obvody. Kvazistacionání EM pole Faadayův indukční zákon napětí indukované na uzavřené smyčce c o ploše : v dφc d B Ue = E d l = = B E = t t d ot d d c N = =, R na sekundáu z pohledu pimáu ( ) R ef = R N N u i Tansfomáto - N u i Ztáty vířivými poudy, magnetizací atd. Na pohyblivém vodiči ve stacionáním magnetickém poli se indukuje napětí: U = v B. ( ) dl Φc di Vlastní indukčnost statická definice L = [ H] -heny, dynamická definice u L = L. I dt Indukčnosti: L µ Koaxiální kabel: = ln, -polomě vnitřního, -vnějšího vodiče l π L µ d Dvouvodičové vedení: = ln, d-vzdálenost, a-polomě vodičů l π a N Tooidní cívka: L = µ, -polomě cívky, ostatní ozměy jsou vůči němu zanedbatelné. π Enegie pole indukční cívky: W = LI Vnitřní indukčnost uvažuje magnetický tok v samotném vodiči ze kteého ji lze vypočíst. Φc Φ c Vzájemná indukčnost: M = M = = I I Enegie pole vzájemných indukčností: W = LI + L I + MI I Enegie magnetického pole: W = H B dv dw B Hustota enegie magnetického pole: w m = = BH = µh = dv µ L( x ) íly vznikající při změně indukčnosti vlivem pohybu části magnet. obvodu: F d = I dx Oblíbené příklady: Cívka u vodiče s poměnlivým poudem, učit počet závitů nebo indukované napětí. Tansfomáto, učit počty závitů, jak se jeví odpo na sekundáu z hlediska pimáu... Vodič se pohybuje v magnetickém poli, učit indukované napětí. Tyčinka se odvaluje po kolejničkách v mag. poli... Cívka se otáčí v mag. poli... Učování indukčnosti koaxiálu, tooidní cívky. Vodní příkop.
Nestacionání EM pole Maxwellovy ovnice Difeenciální tva: Integální tva: div B = B d = div D = ρ D d = Q D ot H = J + dψ H dl = I + dt B ot E = dφ E dl = dt Při hamonickém půběhu veličin zavádíme tzv. fázoy vektoů tak, že platí: E x E x, a Maxwellovy ovnice přecházejí na tva: Difeenciální tva: ˆ div B = ˆ div D = ρ ˆ ˆ ˆ ot H = J + jωd ˆ ˆ ot E = jωb ˆ { } e j ω t (, y, z, t ) = Im E( x, y, z ) ˆ ( ( y, z, t )) jωe( x, y, z ) ˆ E ( ( )) ( x, y, z ) E x, y, z, t dt jω Integální tva: ˆ B d = ˆ D d = ρ dv ˆ H dl = I + jωψ ˆ E dl = jωφ Poyntingův teoém udává bilanci enegie EM pole v obecném bodu postou: w v = E J + div( E H ) W v = ( E J ) dv ( E H ) d [ W] t + V Časový úbytek enegie na jednotku objemu se ovná součtu Jouleových ztát a vyzářeného výkonu. Poyntingův vekto okamžitá hodnota plošné hustoty výkonu. v - = E H [ W m ] Po hamonická pole: v ˆ ˆ * - TŘ = Re{ E H } = EmaxHmax cosφ s [ W m ] Oblíbené příklady: Učit výkon přenášený vlnou. Učit fázový posun mezi E a H, když známe. Upozonění: Do oblasti nestacionáního EM pole patří také EM vlny, jejich vyzařování atd. Tato tematika je řešena odděleně v otázkách 5, 35, 36, 37, 38 a 39.
Klasifikace postředí EM vlastnosti postředí z makoskopického hlediska popisují paamety: Pemitivita ε - [Fm ] Pemeabilita µ [Hm - ] - Konduktivita σ [m ] D = D E, B = B H, J = J E. kze tyto paamety jsou definovány mateiálové vztahy: ( ) ( ) ( ) Podle chaakteu paametů klasifikujeme postředí z hlediska lineaity, homogenity, izotopie a dispeze. Lineání postředí paamety jsou nezávislé na intenzitách pole (např. většina mateiálů při malých intenzitách pole nebo jejích malých změnách). Nelineání postředí všechny nebo někteé paamety jsou funkcemi intenzit pole (např. µ µ H ε ε E σ = σ E ). feomagnetika: = ( ), feoelektika: = ( ), většina polovodičů ( ) Homogenní postředí paamety jsou v celém objemu konstantní, postoově nezávislé. Nehomogenní postředí paamety se v postou mění (např. optické vlnovody). Rozeznáváme změnu plynulou a skokovou. Izotopní postředí paamety postředí jsou nezávislé na směu vektoů pole. Platí: D = ε ε E = εe, B = µ µ H = µh, J = σe D E, B H, J E Anizotopní postředí paamety (někteé nebo všechny) závisí na směu vektoů pole. Paamety postředí mají chaakte tenzou. Platí: D = εe, B = µh, J = σe, ε xx εxy εxz kde např.: ε = ε yx ε yy ε yz. εzx εzy εzz Je-li ε tenzo a µ skalá D E, B H, pak hovoříme o elekticky anizotopním postředí (např. plazma, ionosféa, někteé kystaly). Je-li µ tenzo a ε skalá D E, B H, pak hovoříme o magneticky anizotopním postředí (např. feity). Nedispezní postředí fázová ychlost vlny v postředí nezávisí na fekvenci (např. ideální dielektikum). Dispezní postředí fázová ychlost vlny na fekvenci v postředí závisí (např. eálná dielektika). Použitá a dopoučená liteatua [] NOVOTNÝ, K.: Teoie elektomagnetického pole I. Vydavatelství ČVUT, Paha 5. IBN 8--36-4 [] TRATTON, J. A.: Teoie elektomagnetického pole. NTL, Paha 96. [3] NOVOTNÝ, K. a kol.: Vlny a vedení. Vydavatelství ČVUT, Paha 5. IBN 8--337-