Hypergrafové removal lemma a Szemérediho

Hypergrafové removal lemma a Szemérediho věta Zdeněk Dvořák 7. prosince 207 Hypergrafové removal lemma a jeho důsledek Definice. Dvojice (V, E) je k-uniformní hypergraf, je-li E množina neuspořádaných k-tic prvků z V. Jako K n (k) označme úplný k-uniformní hypergraf na n vrcholech, tj. V ( K n (k) ) = {,..., n} a E ( K n (k) ) = {e {,..., n}, e = k}. Věta (Hypergrafové removal lemma). Pro každé k > 0 a α > 0 existují β > 0 a n 0 takové, že každý k-uniformní hypergraf G s n n 0 vrcholy bud obsahuje alespoň βn k+ podhypergrafů isomorfních K (k) k+, nebo existuje X E(G) velikosti nevýše αn k tž. G X neobsahuje žádný podhypergraf isomorfní K (k) k+. Pro k = 2 je to Removal lemma pro trojúhelníky (Věta 2) z druhé přednášky. Lemma 2. Pro každé δ > 0 a k > 0 existuje n tž. platí následující. Jestliže n n a A {,..., n} k má velikost alespoň δn k, pak existuje x A a d 0 tž. x + (d, 0, 0,...) A, x + (0, d, 0,...) A,... Důkaz. Necht α = δ. Necht β > 0 a n 2(2k) k 0 jsou odpovídající konstanty z hypergrafového removal lemma. Necht n = max(n 0, /β). Necht G je k-uniformní hypergraf s vrcholy {v c,i : c k, i n} {v k+,i : i kn} a hranami definovanými následovně: v,x v 2,x2... v k,xk je hrana, jestliže (x,..., x k ) A.

pro j k, v,x... v j,xj v j+,xj+... v k,xk v k+,z je hrana, jestliže (x,..., x j, z x... x j x j+... x k, x j+,..., x k ) A. Položme x = (x,..., x k ) a d = z x... x k. Pak {v,x, v 2,x2,..., v k,xk, v k+,z } indukuje K (k) k+ právě tehdy, když x A, x+(d, 0, 0,...) A, x+(0, d, 0,...) A,... Takový podhypergraf K (k) k+ nám tedy dává požadované řešení, jestliže d 0. Označme jako T množinu podhypergrafů K (k) k+ s d = 0; máme T = A n k, tvrzení tedy platí, jestliže G obsahuje více než n k podhypergrafů K (k) k+. Necht G obsahuje nejvýše n k < n (2kn)k+ = V n (G) k+ β V (G) k+ podhypergrafů K (k) k+. Dle Věty existuje X E(G) velikosti nejvýše α V (G) k = δ 2 nk taková, že G X neobsahuje žádný podhypergraf K (k) k+. Povšimněme si, že hypergrafy v T jsou navzájem hranově disjunktní, a protože každý z nich musí obsahovat hranu z X, dostáváme X T. To je spor, jelikož T = A δn k. 2 Aritmetické posloupnosti v hustých podmnožinách čísel Věta 3 (Szemerédi). Pro každé γ > 0 a k > 0 existuje n tž. platí následující. Jestliže n n a B {,..., n} má velikost alespoň γn, pak b, b + d,..., b + kd B pro nějaká b, d > 0. Důkaz. Necht δ = ( γ a zvolme n 2 tak, aby platilo Lemma 2 a n 4k 2 /γ. Položme A = {(x,..., x k ) : x +2x 2 +...+kx k B}. Odhadněme velikost 4k 2 ) k γ A: pro každé b B můžeme zvolit x 2,..., x k b k 2 libovolně a dopočítat x tak, aby x + 2x 2 +... + kx k = b; jestliže b 2k 2, dostáváme tedy alespoň b k 2 k (2k 2 ) k b k prvků z A. Proto A (2k 2 ) k b B,b2k 2 b k b k (2k 2 ) k b B,bγn/2 ( γ ) k n k {b B : b γn/2} (2k 2 ) k 2 ( γ ) k γ 4k 2 2 nk = δn k. 2

Dle Lemma 2 tedy existuje x A a d 0 tž. x + (d, 0, 0,...) A, x+(0, d, 0,...) A,... Necht a = x +2x 2 +...+kx k. Pak a B, a+d B,..., a + kd B. Věta 4. Existují libovolně velká přirozená čísla N a množiny A {0,..., N } neobsahující 3-prvkovou aritmetickou posloupnost tž. A N. 6 log2 N Důkaz. Necht n je přirozené číslo. Položme d = 2 n a N = (2d) n. Povšimněme si, že log 2 N = n( + log 2 d) = n 2. Pro 0 k n(d ) 2, položme S k = { x {0,..., d } n : x = k}. Jelikož Sk je podmnožina sféry, S k neobsahuje 3-prvkovou aritmetickou posloupnost (tj. pro každé x, z S k platí x+ z S 2 k ). Navíc {0,..., d } n n(d ) 2 d k=0 S k, a proto existuje k tž. S k n > n(d ) 2 + dn 2 /n. Zafixujme takové k. Pro x = (x,..., x n ) {0,..., 2d 2} n zadefinujme f( x) = n i= (2d ) i x i. Zjevně f( x) {0,..., N }. Dále si povšimněme, že f je bijekce a pokud x, y, z {0,..., d } n, pak f( x) + f( y) = f( x + y) a 2f( z) = f(2 z). Proto f(s k ) neobsahuje 3-prvkovou aritmetickou posloupnost a f(s k ) = S k > d n 2 /n. Zvolíme-li A = f(s k ), dostáváme A N > dn 2 /n (2d) = n n2 n d 2 4 > n+log 2 d 4 =. 2n 6 log2 N 3 Hales-Jewettova věta Necht A je nějaká konečná množina. Budeme se zabývat k-ticemi prvků z A obarvenými pomocí c barev, tedy funkcí f : A k [c]. Množinu A k si můžeme představit jako k-rozměrnou krychli. Nyní nadefinujeme kombinatorickou přímku v této krychli. Necht p = (a,..., a k ) je k-tice tž. a i A { } a pro alespoň jedno a i platí a i =. Pro a A definujme p(a) jako k-tici získanou z p nahrazením všech hodnoutou a. Kombinatorická přímka popsaná p je definována jako p(a) = {p(a) : a A}. Příklad: necht A = {, 2, 3} a k = 2, A 2 je tedy dvojrozměrná tabulka o rozměrech 3 3. Možné kombinatorické přímky jsou např. p = (, ) dávající přímku p (A) = {(, ), (, 2), (, 3)}, p 2 = (, 2) dávající přímku p 2 (A) = {(, 2), (2, 2), (3, 2)} a p 3 = (, ) dávající přímku p 3 (A) = {(, ), (2, 2), (3, 3)}. 3

Věta 5 (Hales-Jewett). Pro každé n a c existuje k tž. pro množinu A velikosti n a každé obarvení A k pomocí c-barev existuje monochromatická kombinatorická přímka. Důsledek 6. Pro každé c a d existuje n tž. v libovolném obarvení čísel,..., n pomocí c barev existuje monochromatická aritmetická posloupnost délky d. Důkaz. Necht A = {,..., d} a k je konstanta z Hales-Jewettovy věty pro A a c. Položme n = kd. Každé k-tici (a,..., a k ) prvků A přiřad me barvu čísla a + a 2 +... + a k. Necht p je popis monochromatické kombinatorické přímky, která existuje dle Hales-Jewettovy věty, takže čísla p(0), p(),..., p(d ) mají všechna stejnou barvu. Tato čísla tvoří aritmetickou posloupnost s krokem rovným počtu v p. K důkazu Hales-Jewettovy věty budeme potřebovat další definice. Necht p je k-tice prvků A {,..., d }, v níž se každý symbol,..., d vyskytuje alespoň jednou. Pak p(a,..., a d ) je k-tice získaná z p nahrazením všech i hodnotou a i, a množinu {p(a,..., a d ) : (a,..., a d ) A d } označujeme jako d-rozměrný podprostor generovaný p. Necht x a y jsou různé prvky A. Říkáme, že k-tice a = (a,..., a k ) a b = (b,..., b k ) jsou xy-podobné, jestliže pro každé i bud a i = b i nebo {a i, b i } = {x, y}. Říkáme, že jsou xy-sousední, jestliže jsou xy-podobné a liší se pouze v jednom prvku. Pro k -tici c a k 2 -tici e jako c e označme jejich zřetězení; c e je tedy (k + k 2 )-tice. Lemma 7. Pro každé k, n, c existuje K tž. pro množinu A velikosti n a různé prvky x, y A platí následující. Necht f : A K [c] je libovolné obarvení. Pak existuje k-rozměrný podprostor generovaný nějakou K-ticí p takový, že f(p( a)) = f(p( b) pro každé xy-sousední a, b A k. Důkaz. Necht K 0 = 0 a K i = K i +c nk+k i pro i, a necht K = K k. Pro i = k, k,...,, 0 nalezneme (K K i )-tici p i definující (k i)-rozměrný podprostor, splňující následující podmínku: ( ) Pro každou K i -tici c A K i f( cp i ( a)) = f( cp i ( b). a pro každé xy-sousední a, b A k i platí Pak p = p 0 splňuje podmínku lemmatu. Jako p k položíme prázdnou 0-tici. Předpokládejme, že už jsme zkonstruovali p i+ a konstruujeme p i pro nějaké i < k. Pro j = 0,..., K i+ K i označme jako s j (K i+ K i )-tici mající na prvních j pozicích x a na zbylých y. Necht ϕ j je obarvení A K i+k i definované pro c A K i a e A k i jako ϕ j ( c e) = f( c s j p i+ ( e)). Dostáváme tak K i+ K i + obarvení A K i+k i pomocí c barev. Různých obarvení této množiny c barvami je ale pouze 4

c A Ki+k i c nk+k i = K i+ K i, dvě z těchto obarvení jsou tedy stejná; tedy ϕ j = ϕ j2 pro nějaké j < j 2. Necht q i je (K i+ K i )-tice mající na prvních j pozicích x, na dalších j 2 j pozicích i, a na zbylých K i+ K i j 2 pozicích y. Jako p i položme zřetězení q i p i+. Tvrdíme, že p i splňuje podmínku ( ): uvažme libovolné xy-sousední a, b A k i. Jestliže se a a b liší na pozici různé od první, pak ( ) pro p i plyne ze ( ) pro p i+ (z a a b odstraníme jejich společný první prvek v a za c zřetězíme q i (v)). Necht se tedy a a b liší na první pozici a tedy a = x e a b = y e pro nějaké e. Pak f( cp i ( a)) = f( cp i (x e)) = f( cq i (x)p i+ ( e)) = f( c s j2 p i+ ( e)) = ϕ j2 ( c e) = ϕ j ( c e) = f( c s j p i+ ( e)) = f( cq i (y)p i+ ( e)) = f( cp i (y e)) = f( cp i ( b)). Důkaz Hales-Jewettovy věty. Postupujeme indukcí dle n = A. Pro n = je tvrzení triviální, necht tedy n 2. Necht k je konstanta Hales-Jewettovy věty pro n a c a necht K je odpovídající konstanta z Lemma 7. Ukážeme, že Hales-Jewettova věta platí pro libovolné obarvení f : A K [c]. Necht p je K-tice generující k-rozměrný podprostor A K takový, že f(p( a)) = f(p( b) pro každé xy-sousední a, b A k. Z toho plyne, že f(p( a)) = f(p( b) pro každé xy-podobné a, b A k. Nadefinujme obarvení g množiny (A \ {x}) k předpisem g( a) = f(p( a)). Z indukčního předpokladu existuje v tomto obarvení monochromatická přímka q = (q,..., q k ). Položme p = p(q,..., q k ). Tvrdíme, že toto je monochromatická přímka v původním obarvení A K. Pro a A \ {x, y} máme f(p (a)) = f(p(q(a))) = g(q(a)) = g(q(y)) = f(p(q(y)) = f(p (y)). Navíc, p (x) a p (y) jsou xy-podobné, a proto f(p (x)) = f(p (y)). 5