Čsopis pro pěstování mthemtiky fysiky Frntišek Velísek Proudění elektřiny ve vrchlíku kulovém omezeném sférickou ellipsou I. Čsopis pro pěstování mthemtiky fysiky, Vol. 37 (1908), No. 4, 404--414 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/121977 Terms of use: Union of Czech Mthemticins nd Physicists, 1908 Institute of Mthemtics of the Acdemy of Sciences of the Czech Republic provides ccess to digitized documents strictly for personl use. Ech copy of ny prt of this document must contin these Terms of use. This pper hs been digitized, optimized for electronic delivery nd stmped with digitl signture within the project DML-CZ: The Czech Digitl Mthemtics Librry http://project.dml.cz
404 Proudění elektřiny ve vrchlíku kulovém omezeném sférickou ellipsou. Npsl Dr. Frnt. Velísek, ssistent čes. techniky v Prze. Vedeme-li konstntní elektrický proud vodivou plochou, rozdělí se elektřin n ní >určitým způsobem, rozdělení to po jistém čse bude sttionárním. Stv proudění možno pro kždé místo vodivé plochy udti, známe-li n onom místě elektrický potenciál. K tomu cíli použijeme věty Kirchhoffovy (Poggendorffs Annlen fůr Physik und Chemie, sv. 64): Je-li U n jistém místě plochy pnující potenciál, ds lineární element oblouku, h jeho normál, Q vodivost, s limitní tloušťk plochy, proudí v čse dt průřezem ds množství elektřiny. M= Qs~dsdt. (1) w on Vyjádříme zisk n elektrickém množství v plošném elementu vrchlíku v čse dt, jsou-li míst přítoku l9 cc 2, «... cc 4. K tomu cíli zvedeme souřdnice, jimiž se vrchlík omezený sférickou ellipsou dělí n infinitesimální prvoúhelníky. Sférická ellips dán jest průsekem koule jedničkové s* + y* + ** = l, (2) s koncentrickým elliptickým kuželem x 2 «/ 2 z* k d e ^ + iá ^š = 0; «>& Koviny souřdnicové jsou hlvními rovinmi kužele. Kuželosečk sestává ze 2 kongruentních sférických ellips, nd pod rovinou (xy), o elliptických středech Z Z' n ose z, hyperbolických středech X, X' Y, T n druhých 2 osách. Poněvdž 2 /,«-+ <,- "* X» 2 + c 2 < 1 ' součet obou výrzů rovná se 1, položíme 8., c 8 tedy -=tg«, c 0 <<90.
406 Dále kldeme fc 2 = sw 2 8iw 2,, kde 2 + c 2 Z toho plyne: " _ 2 6 6 22 b' 1 + c 2. \ / 2 5 2 m "*=Si+ir> i - + <s-' flm»=íf + -?' ^"^VSi+r-ř Rovnice kužele dá se pk psáti: 2 0. (3) sгw* # sгn* sгn л 1 Elimincí y z rovnic 2) 3) obdržíme projekci kuželosečky n rovinu (xz) (e^v+f^v-i. ys^n ) \cos ) Z dných předpokldů možno klásti sin., c08. x s^n w = - x. tedy - z = cos w. sin 7 cos Pro souřdnice sférické kuželosečky plynou pk výrzy: sin. x = sin w, sin, У=ZA \Jsin 2 sin 2 x \Jsiri 2 x sin 2 w, sгn ť*i cos x cos... z = cos w. (4) cos x Musí tedy býti sin 2 w < sin 2 x. Rovnice reelních, v rovině (xz) ležících fokálních přímek kužele jsou: x = + z tg x tyto sekou kouli 2) ve 4 ohniscích sférické kuželosečky x = + sin x, y = 0, z = + cos 17 t j. x jest excentricit sférické kuželosečky. Zvedeme funkce elliptické v oznčení Gudermnnově. Z modul k volíme k = sin 1} = cos x. sin w = ksnu, cos w = \/l k 2 sn 2 u = ežřw, -. \jsin* t sin 2 w = k cnu.
406 Při témž modulu kldeme sгn = ksnt, cos = dnt, \jsin2 sin 2 x = ikcnt. (6) 71 Úhel pohybuje se v intervllu x... -^-. Pro = x jest ksnt = k, tedy t = K. Pro = -^- jest snť=., rc t = K + %K f. Leží tedy t mezi K K+ ik ř. Rovnice sférické kuželosečky jsou tudíž jko funkce u dány: ik 1 x = ksnt snu, y = -TJ- cntcnu, z = p- dntdnu, (7) kde pro křivku nd rovinou (##) jest u v mezích 0... 4 2T. Myslíme-li si v rovnicích 7) u konstntním v mezích o K t proměnným, obdržíme sférické kuželosečky o středech n ose t. Obě kuželosečky u = konst, t = konst jsou konfokálními sekou se kolmo. Poněvdž = ksnt cnudnu, TT- = i~r, cntsnudnu, Du ' du k }? r- = -5-7 dntsnucnu, du k ' podobně pro č obdržíme pro lineární element výrz: ds 2 = k 2 (sn 2 t sn 2 u) (du 2 dt 2 ). Kldeme-li t = K + iv, dt = idv, ds 2 = k 2 (sn 2 (K +iv) sn 2 u) (du 2 + dv 2 ) = Jc 2 [ p- L Sn 2 u) (du 2 + dv 2 ). \ dn 2 ^v J cmv 1 Místo,. možno rpk psáti -= -. -7-. dmv dn (v, k ) Budiž element plošný ABCD omezen soustvou křivek u, u + du, v, v + dv. Dle vzorce 1) jde tedy strnou AB množství elektřiny î2 W ттғ,, ЭÍ7 Jc\Jsn*(K + iv) sn* u,,, os -. AB.đł = Qe^r \ "«l du đł, Ъv ÅЂ Jc sn* (K + iv) sи «
407 tedy Q6 --- du dt. ov Abychom obdrželi množství jdoucí dále CD, položíme v + dv místo dv. Použijeme-li rozvoje Tylorov omezíme se n členy druhého řádu, obdržíme: Bozdíl obou množství JI#/_ (du.dv d*u. \,,, M =-v [^+uw + -j dudt - д * U л л л* Qê -r -г w dv ãt. Zcel obdobně plyne pro rozdíl elektřiny jdoucí v čse dt mezi AD W) os -=r w ii dt. Nbude tudíž ABCD v řse <žř množství elektřiny Po jistém čse nstoupí stv stcionární, což vyžduje, by du* + ^^; 2 Pltí tudíž pro potenciál podmínk táž, jko pro desku rovinnou, jsou-li u, v prvoúhlé souřdnice. Známe-li tedy možné proudění elektřiny v rovině, určíme n ploše křivky, které odpovídjí křivkám stejného potenciálu proudokřivkám v rovině, jsou tyto křivkmi stejného potenciálu proudokřivkmi pro možné proudění elektřiny n ploše, jink řečeno, známe-li problém proudění n ploše F, známe jej i pro kždou plochu c&, která jest s F v nejmenších částech podobnou, předpokládje, že elektrody obou ploch jsou body odpovídjící. Má pk U vyhovovti těmto podmínkám. Pro stcionární stv pro všechny plošné elementy mimo elektrody musí býti 3w 2 + dv* U '
408 Pro kždý element obshující elektrodu musí se vzrůst množství elektřiny rovnti intensitě I n příslušné elektrody n + 9edtff(^+^\dudv, kde integrce se vzthuje n všechny elementy plošné v n. d*u 3 2 c7 Předpokládáme-li n plým, možno pokládti <=*- + y-r z konstntní, pk integrcí obdržíme plochu elektrody n. Položíme-li pk. /* = Wn, Qe k jest 3 2 U, 2 U_ W + dv* - n - Pro omezení plochy smozřejmě pltí dn Dále musí býti U funkcí jednoznčnou spojitou, lgebrický součet intensit ž n I n = 0. Podmínkmi těmi jest U ž n pří-., četnou konstntu určeno. Pro řešení předloženého úkolu dlužno tedy vrchlík omezený sférickou ellipsou konformně zobrziti n plochu rovinnou, v níž proudění elektřiny jest známo. Pro kružnici podl řešení Kirchhoíf. Použijeme všk řešení pro kldnou půlrovinu g: Potenciál této jest dán reelní částí výrzu Vt=U+ir=2lnl9(t-tn)(t-ťn), kde % n znčí udvtele elektrody, ' n číslo konjugovné. splňují rovnici z/tf = 0, n ose reelní jest = = 0 * dn drj \ V bodech g n jest funkce logrithmickyj nekonečnou. Kldeme-li *" u = x, v = y, U, V
409 zobrzíme vrchlík konformně do roviny. Meze pro u jsou 0.. AK, pro v 0... v 0 < K'. Položme krátce ák = 2, v 0 = 26 pošiňme prvoúhelník z těchto délek sestrojený o délku n ose x. Body prvoúhelníku odpovídjí bodu vrchlíku. Dle Riemnnovy theorie zobrzovcí zobrzí se vnitřek prvoúhelníku dného vrcholy, -f 2ib, + 2ib, n positivní (+ y) půlrovinu % výrzem í x + iy = z=c f J V(i-s )(i -n 2 ) d ^ + C, kde C, C jsou konstnty; při tom rohům prvoúhelník odpovídjí body reelní osy 1. -7-,, 1. Iv /c Určíme-li konstnty podmínkmi d$ Ф + c = cк+, V(l-ř")(l n ) = CK + C, pk tedy C = o, = CK, kde K, K' znčí totální integrály při modulu k (obecně různém od dřívějšího význmu). Dále máme + 2bi = C(K + ik é ), tedy pro poměr period K é h -x-^r =, pro Jcobiho veličinu q 2K 171b q = e~-^. Obdržíme tudíž jko funkce zobrzovcí výrz K^_ rt dі ~J \I7TZI zk neb s = sn. V(i ť) (i - m' <* Týž výrz obdržíme, použijeme-li známého zobrzení půlroyiny prvoúhelníku n kružnici jedničkovou w. Prvoúhelník zobrzí se n kruh relcí w = 1 + i \lk sn ' i + \Jk sn
410 při čemž vrcholům prvoúhelníku odpovídjí body kružnice určené relcí dw. Kz, Kz ' -=- = 0, 1 t. J j. cn dn = 0, dz ' tedy z čehož Ks.., _1_ sn ± 1, ± - Ł -, i'+ťv* V* + î i±\jk ' i \Jk + 1 " ю Positivní půlrovin % zobrzí se n týž kruh výrzem 1 w + i určeným tk, že bodům kružnice pro +, + + 2ib odpovídjí body reelní osy ± 1, + -_--. Dosdíme-li z w, obdržíme zobrzovcí funkci pro prvoúhelník n positivní půlrovinu 1 + i \Jk sn., _ i + V* sn -_, c = - - = sn. V* i + ť V ^ - 1+ť i + V* sn Funkce W dán jest pk tvrem W =.Zt/n f $w sn I sn S)l I. * \ f y J Pro -7T- = 2 obdržíme čtverec, tedy q = e~ 27T, k = 3 \J8. Přejde-li kužel v kruhový, t. j. = b, k = O, k ř = 1, prvoúhelník se prodlouží směrem osy y do nekonečn, funkce
411 dvojperiodické se změní ve funkce o jedné periodě K=2n Kz (K' = co), sn přejde tedy v sin z. Odpovídjící funkcí (X W = ZJ n Ig (sinz sinzn) (sinz sinz f n) dáno rozdělení elektřiny v nekonečném pásu. Souřdnice plochy kulové dány jsou pk výrzy x = sin sin <p, y = sin cos cp, z = cos 7 tedy kuželosečky přejdou v rovnoběžníky meridiny <p. Meze pro <p od 0... 2n 7 pro od 0... 0. Element lineární koule jest ds* = d* + sin 2 dep* = sin* Idy* + ídltg-^-\. Položíme-li <*> = ltg^- = r h obdržíme zobrzení n prvoúhelník z = + ÍTJ, při čemž jest v mezích 0... 2«, ^ v mezích - co... I tg --j-. K vůli jednoduchosti pošineme r t o Igtg-^, tedy 0 = <P + i-^ kde 7] jest v mezích co... 0. Pk výrz pro W možno trnsformovti do jednoduchého tvru. Použijeme-li (sinz sinzn) (sinz sinz f n ) A. Z Z n Z + Z n. Z Zř n # + Z ' M = 4s^n ^ cos ~ sm ^ cos -r - 7 obdržíme sndno z prvních dvou součinitelů 0 [ (p <pn Í(V Vn), <P 9n ^(^ ^n)] 2 sin 9 cos + cos?! s^n -^ ^ I X c05-2 ^-? cos 2 V/ srn g- sin ^.
412 Vyjádříme-li funkce goniometrické pomocí exponenciely, položíme krátce t9 -čj- = A, tg-f = X obdržíme jko reelní část součinu výrz l9 {h +^r~ 2eos(<p - ^ fí+á + 2cos(<p + 9n) ) (íqf+3;" -^(v -^))(x+x.+ 2cM(9> + *4 nebo použijeme-li 2 1 J n z... o U ZJ n lg (A 2 + A n 2AA n c0s (9 qp*)) í^r + A í + 2-Un 00* (9 + <p n )j ( ^ + A? 2A* n 008 (<p - qp n )j ÍA 2 +A* + 2AA n 008(9 + 9»)). Z výrzu pro T7 sndno seznáme, že jk členy první třetí, tk druhý se čtvrtým splňují podmínky pro potenciál. Máme tudíž: U = 2 J n Ig (A 2 + A«2AA n cos (<p <p n )) X PjT + «2^«5 (V ~ <Pn)\ Kldeme-li A* = A n A' n, můžeme při použití 1 z 1 005, ' xx + #?/ x Q n n = tg 2 L, 008 (9 9O = -^- 1 + # 1 + 008 2' sin sin n psáti U-Unlg [ + - -2 (1 +fh1 +7-)J v [!, i 9 ^'* + ž/y'n ] * [l + ^1 + z\ (1 + *) (l + *' )J 57 T / 4 1 ffffn ffl/n 0* n 1 Xx' n ~- yt/' n 0g' n ~ *** 4 (1 + 4Ď(1 + *) (1 + *)(1+*' M ) Poněvdž xx n + yy n + ## n, ##' w + yy 4 + # ' n w znčí kosiny vzdáleností tp n, ý' n bodů (x, y, z), (x* y nj z n ) (x, y, z), \X n; y ny Z n)y
413 U = 2j n lg Zj n lg 1 cos iþ n 1 COS ţþ' (1 + z) (1 + * ) ' (1 + *) (1 + *' n ) sw -=-- sгn -ş- r- ÄЧWSÍ. neb cos2 U Uj n lg sin ~ sin -^ + &0ws. 2 2 Rovnice pro křivky stejného potenciálu v rovině změní se při přechodu n kouli jen tk dlece, že rádius vektor v rovině nhrdí se sinem poloviční úhlové vzdálenosti n kouli. Proudokřivky skýtá imginární část funkce W. 7t Pro 0 = obdržíme proudění v polokouli. Zmizí-li křivk Li vrchlík omezující, odpdá ve výrzu pro potenciál zřejmě člen 7) n druhý, který působí = 0, tedy neb U= ZJnlg (A 2 + XI 2/U n cos (<p <p n )\ U = 2Jj n lg sin --j- + Jconst. V této formě podl Boltzmnn výrz pro potenciál. Rovnice pro proudokřivky v rovině můžeme direktně přenésti n kouli, užíváme-li, že průvodič jdoucí bodem uvžovným z, elektrodou z n nekonečně vzdáleným bodem roviny se změní v kruh n kouli jdoucí bodem (A, q>) 7 {K, <pn) pólem koule P, & že os roviny se trnsformuje v kružnici x* + z* = 1 v rovině {x } z). Poněvdž dle konformního zobrzení pnuje podobnost v nejmenších částech, tvoří kružnice spolu týž úhel jko odpovídjící čáry v rovině. Oznčíme-li tyto úhly #, jest rovnice proudokřivek ZJ n IT = honst. Jednodušší křivky obdržíme pro s, = s 2 =... s n, zvláště Myž odpovídjící elektrody v rovině tk seřdíme, že tvoří vrcholy 2 prvidelných polygonů, které mjí společný střed T počátku vzhledem n vzájemnou polohu libovolně mohou býti stočeny. Pk tvoří elektrody n kouli rovněž vrcholy 2
414 prvidelných polygonů, ležících n 2 rovnoběžnících koule. Trox křivek těch pozná se sndno přímým převodem sítí z roviny n kouli. Interpretujeme-li souřdnice u, v n kouli jko elliptické souřdnice fr, rj komplexní roviny z' = fr -f- irj, jsou dány prvoúhlé souřdnice roviny komplexní z = x + iy relcemi x = c sin & cos ÍTJ, y = c cos & sin itj, tedy x + iy = e sin z'. Pošineme-li trnsformujeme k vůli jednoduchosti prvoúhelník o strnách u = 4K U v = v 0, tk že střed jeho jest 2K v počátku strny 2K, K' kldeme z' = z x, pk leží x x v mezích + --r-, y г v mezích +. T.. 4K Pomocí relce x + iy = c sin z г prvoúhelníku v rovině z ҳ o vrcholech тt тtk' 2*4.5: odpovídá v rovině z ellips x * J- У* - 1 kde 2 Ť J 2 "" >.тtk' c..nk' b =. г- sгn г -r=r. 1 = c cos г j= ; г 4K >* - b* = c\ optřená dvěm řezy přímočrými od vrcholů n hlvní ose k ohniskům. Eelcí X + i Y = w = V* sn z' = V* s n *\ Tt zobrzuje se týž prvoúhelník z x n kruh poloměru 1 se středem v počátku. Kruh optřen jest dvěm řezy n ose reelní délky 1 V* od obvodn do vnitř kruhu. Pomocí prvoúhelníku jsou tedy vnitřky kruhu ellipsy n sebe konformně zobrzeny; řezy si odpovídjí, mohou tedy z omezení «.obrzců býti vynechány.. (Dokončení.)