Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0

Transkript

1 Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm vyskytovt některé chyby; utor ocení, když jej n chyby nejsnosti upozorníte n emilu jiri.lipovskyzvináč uhk.cz. Teorie ílem je určit integrál z funkce f přes křivku. Předpokládejme, že je křivk v rovině. Prmetrizujeme si ji prmetrem t, který běží od (hodnot t v jednom z krjních bodů křivky) do b (hodnot t ve druhém krjním bodě). Získáme funkce x(t) y(t), které společně popisují křivku. Potom integrál z f přes tuto křivku je roven f(x, y) ds b f(x(t), y(t)) x (t) + y (t) dt. Důvodem členu s odmocninou je to, že pro element délky křivky pltí z Pythgorovy věty [ (dx ) ( ) ] dy ds dx + dy + dt, dt dt tedy ds x (t) + y (t) dt. Pro křivku v prostoru do vzthu pro integrál přibyde z : f(x, y, z) ds b f(x(t), y(t), z(t)) x (t) + y (t) + z (t) dt. Pokud je křivk zdná v polárních souřdnicích jko r r(ϕ), vypočítá se integrál jko f(r, ϕ) ds b f(r(ϕ), ϕ) r(ϕ) + r (ϕ) dϕ. Důvodem tohoto vzthu je vzth pro element délky [ ( ) ] dr ds r dϕ + dr r + dϕ. dϕ

2 3 Řešené příkldy Příkld 3.. Prmetrizujte následující křivky: ) úsečk AB, A [, 5], B [, 3], b) úsečk AB, A [, ], B [, 7], c) dolní polokružnice x + y 9, d) levá část kružnice x + y 5, e) prvá část kružnice (x 3) + y 6, f) prvá polovin elipsy 4x + y 4, g) část elipsy v. kvdrntu 4x + 9y 36, h) prostorová křivk x + y + z 9, x, z, y 3. Řešení: ) Jde o prmetrizci úsečky, proto můžeme zvolit x + bt y c + dt poté vypočítt prmetry, b, c, d. Úsečku budeme prmetrizovt prmetrem t, který jde od do, přičemž bod t odpovídá bodu A t odpovídá bodu B. Pro t dostáváme c 5, pro t máme + b, 3 c + d. Odsud b 3, d. Prmetrizce tedy je x 3t +, y t + 5, t [, ]. b) Obdobně jko v předchozím přípdě volíme x + bt y c + dt t jdoucí od do. Pro t dostneme c, pro t získáme +b, 7 c+d, dosud b 3, d 5. Prmetrizce tedy je x +3t, y + 5t, t [, ]. c) Dná kružnice má střed v bodě [, ] poloměr 3. Můžeme ji prmetrizovt goniometrickými funkcemi. Z obrázku plyne, že x 3 cos t y 3 sin t. Zjímá nás dolní polovin kružnice, t musíme volit v interlu t [π, π]. d) Tto kružnice má střed v bodě [, ] poloměr 5. Potřebná prmetrizce v tomto přípdě je x 5 cos t, y 5 sin t. Abychom dostli levou polovinu kružnice, musíme volit t [ π, 3π ]. e) Tto kružnice má střed v bodě [3, ] poloměr 4. Obdobně jko v předchozích dvou přípdech prmetrizujeme kružnici pomocí sinů kosinů, k x všk musíme přičíst kvůli poloze středu 3. Prmetrizce tedy je x cos t, y 4 sin t. Protože máme prvou část kružnice, bereme intervl t [ π, π ]. f) Elipsu prmetrizujeme podobně jko kružnici, kvůli rozdílnosti délek poloos musíme vzít různé konstnty před sinem kosinem. Nše elips má hlvní poloosu vedlejší poloosu. Předpokládejme tvr x cos t,

3 y b sin t. Doszením do rovnice elipsy získáváme 4 cos t+b sin t 4. Aby tto rovnice identicky pltil, musíme zvolit, b. Poté dostneme identitu 4 cos t + 4 sin t 4. Prmetrizce tedy je x cos t, y sin t, bychom dostli prvou polovinu elipsy, volíme t [ π, π ]. g) Postup je podobný jko v předchozím přípdě. Volbou x cos t, y b sin t dostáváme 4 cos t + 9b sin t 36, tedy je nutno volit 3, b. Prmetrizce je x 3 cos t, y sin t, t [, π ]. h) Jedná se o čtvrtkružnici v prostoru. Vyjdeme nejdříve ze vzthu y 3, doszením odečtením trojky od obou strn rovnice objevíme rovnici kružnice v rovině x + z 6. Máme tedy prmetrizci x 4 cos t, y 3, z 4 sin t; protože z pohledu souřdnic x z bereme čtvrtkružnici v prvním kvdrntu, t ptří do intervlu t [, π ]. Příkld 3.. Vypočtěte x y ds, kde je úsečk AB, A [, ], B [4, ]. Řešení: Úsečku si prmetrizujeme jko v předchozím příkldě, vyjde x 4t, y t, t [, ]. Podle vzthu v teorii vypočteme x y ds b f(x(t), y(t)) x (t) + y (t) dt t (t ) dt t + 5 ln. Příkld 3.3. Vypočtěte integrál (x+y) ds, kde je obvod trojúhelník AB s vrcholy A [, ], B [, ], [, ]. Křivku, přes kterou integrujeme, si rozdělíme do tří úseček, které prmetrizujeme následovně (postup je popsán v prvním příkldě) AB : x t, y, t [, ], B : x t +, y t, t [, ], 3 A : x, y t +, t [, ]. Výsledný integrál spočteme jko tři nezávislé integrály. (x + y) ds (x + y) ds + (x + y) ds + (x + y) ds 3 t dt + [ t dt + ] ( t + ) dt + [t] + [ t ] + [t] +. Příkld 3.4. Vypočtěte y ds, kde je oblouk cykloidy x (t sin t), y ( cos t), t [, π]. 3

4 V tomto přípdě máme přímo zdnou prmetrizci křivky, můžeme proto dosdit do vzthu vypočítt integrál. y ds π π ( cos t) ( cos t) + sin t dt 3 ( cos t) 5/ dt π 3 ( cos t) 5/ dt π 3 5/ sin 5 t dt u t/ π/ dt du 33 ( cos u) ( cos u) du v cos u ( dv sin udu 33 ( )( v +v 4 ) dv ) Příkld 3.5. Určete délku steroidy x cos 3 t, y sin 3 t, t [, π]. Určujeme délku křivky, proto integrujeme jedničku. ds 3 π π x (t) + y (t) dt π cos t sin t dt π/ (3 cos t sin t) + (3 sin t cos t) dt cos t sin t dt u sin t du cos tdt π/ u du 6. Příkld 3.6. Určete délku oblkouku krdiody prmetrizovné polárními souřdnicemi r ( + cos ϕ), ϕ [, π]. Využijeme vzth pro polární souřdnice. s π ds b r + r dϕ π ( + cos ϕ) + sin ϕ dϕ π π + cos ϕ dϕ + cos ϕ dϕ Využili jsme vzthu cos ϕ dϕ t ϕ π/ dt dϕ 4 cos t dt 8 sin π 8. +cos ϕ cos ϕ, který plyne z cos t cos t. Příkld 3.7. Určete délku jednoho závitu šroubovice x cos t, y sin t, z bt, t [, π]. Použijeme vzth pro křivku ve 3D. π s x + y + z dt ( sin t) + ( cos t) + b dt π + b. 4

5 Příkld 3.8. Určete x xy ds, kde je elips 9 + y, x, y Nejdříve si prmetrizujeme elipsu: x 3 cos t, y sin t, t [, π ]. xy ds π π/ 3 cos t sin t ( 3 sin t) + cos t dt 3 cos t sin t + 8 sin t dt u sin t du cos t dt 3u + 8u du v + 8u 9 dv 6u du 3 6 v/ dv [v3/ ] Použitá doporučená litertur. Kopáček Jiří, Příkldy z mtemtiky pro fyziky III., Mtfyzpress, Prh,, kpitol 4. Šibrv Zdeněk, Příkldy k Mtemtice 3 křivkové integrály, dostupné z www: int.pdf 5