III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál
|
|
- Sára Staňková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E : +,, } ( ( + ( + d d d ( ( + ( + d d [ [ Příkld. I Řešení : I d e d (9. d. ( [ ( + + d d ( ( d d ( d ( + d d d; {[,, E :, e, } [ ( + d [ e ln [ ( + ponámk: Je-li funkce tpu f(,, g ( g ( g ( množin D je kvádr D, b c, d r, s, pk b d s f(,, d d d g ( d g ( d g ( d. D Příkld.* I sin ddd; { [,, E : sin, sin, } Řešení : I / ( sin ( sin sin d d d 8 c / r ( sin [ sin sin d d
2 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( / ( sin sin d d / [ sin (podle llisov formule vi př sin d 8 / d d d Příkld. Vpočítejte, kde je čtřstěn omeený rovinmi ( + + +,,,. Řešení : Obecnou rovnici rovin npíšeme v knonickém tvru + + I ( ( ( ( + d d d d d + ( ( (7 + ( [ d ( (7 ( d [ 7 ln 7 Příkld. Vpočítejte sin 9 d [ ( + ( + (7 d (7 d + ln 7 d d d + ln 7. cos( + d d d, kde množin je omeená plochmi,,,+. Řešení : I / / ( ( cos(+ d d d ( (sin sin d d 9 / / ( ( [ sin(+ ( sin d d d d
3 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( / u, u, [ ( sin v sin v cos d / ( sin d [ cos +sin / [ /. / sin d Vpočítejte integrál n množinách,které jsou omeen dnými plochmi: ( + + d d d, :,,,, ddd, :,,,, + d d d, :,,, [ + ( + d d d, :,,,,, d d d, :,,,+, + + [ [ [ [ 7 III.. Substituční metod pro trojný integrál Spočítejte integrál substitucí do clindrických souřdnic : r cos ϕ r sin ϕ r w J r>; ϕ< ; r + r r ϕ ϕ ϕ w w w r Příkld. Řešení : ( + d d d, {[,, E : +,, ( >} je část vnitřku rotčního prboloidu : + r w r w, : + r, r, ϕ. ( + d d d ( ( r r rdw dr dϕ ( r [w r dr dϕ 7
4 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( dϕ ( r r dr [ r r (. Vtomtopříkldějsmemohlipostupovtibepoužitíclindrických souřdnic. Mohli + jsme vjádřit přímo : potomvítvúvhuprůměttěles do rovin (, což je ře těles rovinou tj. + použítpolární souřdnice pro dvojný integrál. Ted ( ( + d d d ( + d d d + [ ( + + r cos ϕ r r sin ϕ ϕ J r Příkld. Řešení : + d d + d d d, + + ( + ( + r ( r rdrdϕ. {[,, E : + } d d + je rovnice rotční kuželové ploch s vrcholem vpočátku; je rovnice rotčního prboloidu. Obě ploch mjí společnou osu rotce, protoseprotínjí vkružnici,jejížpoloměrdostnemeesoustv: { +, Ted., +, ( (+. Úloe vhovuje řešení +. Použijeme clindrické souřdnice určíme příslušné mee : ( + d d d r ( r r dr dϕ ( ( r [ r r r r { r w r r ϕ r rdw dr dϕ (. Spočítejte integrál substitucí do sférických souřdnic : r cos ϕ cos ϑ r sin ϕ cos ϑ r sin ϑ r r>; ϕ< ; J <ϑ< ; r + + r ; r ϕ ϕ ϕ ϑ ϑ ϑ r cos ϑ 7
5 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( Příkld. + + d d d, {[,, E : + + 9,, } Řešení : / / ( ( / + + d d d r r cos ϑdr dϕ dϑ 8 8. Příkld. ( + d d d, Řešení : / / ( ( cos ϑdϑ Příkld. r ϕ ϑ / / cos ϑdϑ / dϕ {[,, E : + + 9,, } ( + d d d r dr r + r cos ϑ ϕ d d d Jdrdϕdϑ ϑ J r cos ϑ r cos ϑ r cos ϑdr dϕ dϑ cos ϑdϑ dϕ / [ r 8. d d d, { } [,, E : + +,,, 9 Řešení : Použijeme obecněné sférické souřdnice. 7 d d d r cos ϕ cos ϑ r sin ϕ cos ϑ r sin ϑ J r cos ϑ r ϕ ϑ r dr
6 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( [ r 7 ( ( [ sin ϕ r sin ϕ cos ϕ cos ϑ r cos ϑdr dϕ dϑ [. Příkld 7. Vpočítejte integrál d d d, {[,, E :,,, + b + c } Řešení : Použijeme obecněné sférické souřdnice : } r cos ϕ cos ϑ br sin ϕ cos ϑ cr sin ϑ d d d sin ϑ cos ϑdϑ J bcr cos ϑ, r ϕ ϑ ( ( c r sin ϑ bcr cos ϑdr dϕ dϑ dϕ r dr bc [ sin ϑ [ r bc 8. Vpočítejte integrál : d d d, + + {[,, E : + +,, } ddd, {[,, E :,, } ( + d d d, {[,, E : d d d, + + {[,, E : + +,,, }. ( + + d d d, {[,, E : +, }. d d d, [ ( 9 +ln [ } [ {[,, E : +,, } (Návod : clindrické souř. r cos ϕ, w, r sin ϕ [ (8 [ [ 7
7 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Aplikce trojných integrálů Příkld. Užitímvorceprovýpočetobjemutělespomocítrojného integrálu (tj. V d d d ukžte,žeobjemtělest {[,, T E : [, B E, f(, } pod grfem funkce f(,, která je spojitá n B, B je měřitelná množin v E, le spočítt pomocí dvojného integrálu f(, d d. Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrce vhledem k rovině (, proto le přímo plikovt Fubiniovu větu pro trojný integrál. ( f(, d d d Fubini [ f(, d d d d d f(, d d T B ponámk : Vhledem k lineritě integrálu le tento postup obecnit pro těles,která jsou (ve směru os omeen shor i dol ve smslu f (, f (,. Idele ( přímo plikovt Fubiniovu větu, níž dostáváme V f (, f (, d d. Vpočítejte objem těles omeeného plochmi : B B B B Příkld. + +,,,, Řešení : je část trojbokého hrnolu se ákldnou v rovině. Hrnol je shor omeený rotčním prboloidem s vrcholem [,,. B V ( d d d ( + + : + + d d d ( [ + + d ( ( + [ ( ( B (, d d ( + +d d ( +( d 7
8 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( Příkld. ( +, ( + Řešení : : ( + -rovniceprboloidu ( + -rovnicekuželovéploch ( + ( + V d d d (použijeme clindrické souřdnice r cos ϕ ( + + r w r r sin ϕ r r ϕ w r r J r ( ( r rdw r [ r r dr dϕ Příkld 7., ( [ r r w r dϕ dϕ r r(r r dr Řešení : Ploch je eliptickým prboloidem s vrcholem v bodě [,,. ( V d d d d d d ( d d + r cos ϕ r r sin ϕ ϕ J r ( + ( r r dr dϕ [ r r Příkld 8. +, + Řešení : Ploch je ohrničen rotčním prboloidem s vrcholem v počátku souřdnic rovinou,kteráprocháípočátkem. + + V d d d + + {[, E : + + } + + ( + + d d d 7
9 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( + + ( + d d [, + ( ( ( + + ( + + r cos ϕ r + r sin ϕ ϕ J r ( / ( r rdr dϕ [ r r / ( 8 Příkld 9. Určete hmotnost koule, jestliže hustot ϱ(,, je rovn čtverci vdálenosti od středu koule. Řešení : Zvolíme počátek soustv souřdnic ve středu koule. Pk koule je popsán nerovnicí + + hustotϱ(,, + +. m ϱ(,, d d d ( + + d d d r cos ϕ cos ϑ r sin ϕ cos ϑ r sin ϑ J r cos ϑ ( ( r ϕ ϑ ( ( [ r cos ϑdr dϑ dϕ sin ϑ r r cos ϑdr dϑ dϕ [ r Příkld 7. Určete hmotnost -ovou souřdnici těžiště těles omeeného rovinmi,,,+ +, je-li hustot ϱ(,,. Řešení : Hmotnost těles při ϱ se číselně rovná objemu. Těleso je čtřstěn jeho objem je roven objemu krchle o hrně. m V ϱ T M m, M ϱ(,, d d d ( ( d d d 7 ddd ( ( d d
10 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( [( d ( + d [ (( + ( d, T ( d Příkld 7. Určete těžiště těles omeeného plochmi +,, je-li hustot ϱ(,, k. Řešení : Těleso je rotční porboloid, ted je smetrické vhledem k ose, protojeho těžiště je n -ové ose, tj. T T. Těžiště T [,, T, kde T M m, m ( kddd kd d d + k + k M ( d d + r cos ϕ r r sin ϕ ϕ J r ( ( r rdr dϕ k [r r k. ( ϱdd d k d d d 8 [ + k, T,, + Příkld 7. Určete těžiště těles {[,, E : + +, }, ϱ. Řešení : Těleso je homogenní polokoule se středem v počátku [,,, poloměrem je nd půdorsnou. Těžišě leží n ose. r cos ϕ cos ϑ r sin ϕ cos ϑ r sin ϑ J r cos ϑ r dr r ϕ ϑ T [,, T, kde T M m, V, m V ϱ, M ddd dϕ sin ϑ cos ϑdϑ ( ( [ r [ ϕ r sin ϑ r cos ϑdr dϕ dϑ [ sin ϑ, T [,, 8 Příkld 7. Určete těžiště kužele se ákldnou + vrcholem v bodě [,,, je-li hustot ϱ(,, k. Řešení : Uvžovný kužel je rotční, os je jeho osou rotce. Meridiánem tohoto 77
11 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( rotčního kužele je část přímk +. Potom rovnice kuželové ploch je + T [,, T, kde T M m, m V ϱ k k. M ϱ(,, d d d kddd ( + [ + M k d d d k d d + + k ( r cos ϕ ϕ + d d r sin ϕ r k + J r ( r rdrdϕ k (r 8r + r dr k [8r 8 r + r k, T [,, Příkld 7. Určete moment setrvčnosti vhledem k bodu [,, těles { + [,, E ; }, ϱ(,, k. + Řešení : + rovnice prboloidu + + rovnice kulové ploch Ploch mjí společnou osu rotce. Bod průniku leží v rovině kolmé n osu. Rovnici rovin dostneme vřešením soustv: ( +( k k r cos ϕ r sin ϕ w J r Průnikem je kružnice + vrovině. J ( + + ϱ(,, d d d r w r r r r ( r r +r (r (r + r r, ϕ ( ( r (r + w rdw dr dϕ k r (r r + r ( r r r r7 78 dr k [r w + r w [ r r r r8 8 dr +
12 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( +k k (r r + ( r r dr k 8 r (+ r ( r dr 8 r t r t rdr dt r t k k t (+ ( t dt ( k + k t t t dt k + k [ t / ( 8 k 97 t/ ( k + k 9 +, k Příkld 7. Určete moment setrvčnosti vhledem k ose homogenního těles, {[,, E ; + }. Řešení : Homogenní kužel má konstntní hustotu, ončíme ji ϱ(,, k J ( + ϱ(,, d d d ( k ( + d d k k + + ( + ( + d d + d r cos ϕ r r sin ϕ ϕ J r ( r ( rrdr dϕ k [ r r ( k 8 k Příkld 7. Určete sttický moment M (vhledem k rovině ( těles omeeného rovinmi,,,+, h, ( >,h>, je-li hustot ϱ(,, konstntní. Řešení : Těleso je trojboký hrnol s podstvou v rovině (,. M ϱddd k ddd : h h k kh ( h( d d d k ( h ( d d k h [ Příkld 77. Určete moment setrvčnosti J (vhledem k rovině ( těles, {[,, E ; +, }, ϱ k. 79
13 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( Řešení : Těleso je rotční válec s osou rovnoběžnou s osou. ( J ϱ(,, d d d k d d d k ( + [ d d k ( + ( + d d k k Příkld 78. Vpočítejte integrál stnovte jeho možný fikální výnm: I + + d d d, {[,, E : +, }. Řešení : : + (rotční kuželová ploch + + (kulová ploch I [ r / ( ( [ sin ϑ r cos ϕ cos ϑ r sin ϕ cos ϑ r sin ϑ J r cos ϑ r r cos ϑdr dϕ dϑ ( r dr r ϕ ( ϑ cos ϑdϑ Výnm : I je celková hmot těles při hustotě ϱ(,, + +, I je sttický moment těles vhledem k bodu [,, při hustotě ϱ(,,. dϕ Příkld 79. Vpočítejte hmotnost kužele s vrcholem v počátku, s poloměrem podstv výškou h. Hustot se lineárně mění vávislostinvdálenostibodutělesodpodstv.vevrcholu je ϱ(,, ϱ(,, vkždémboděpodstv. Řešení : Zvolíme soustvu souřdnic s počátkem ve vrcholu kužele, os bude osou rotce, meridiánem bude část přímk,,. Kuželová ploch bude mít rovnici +. Uvžovné těleso píšeme pomocí nerovnic. : + + 8
14 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( Pro hustotu pltí : ϱ( k ( +k : ϱ( k + k ϱ( k k ϱ(,, ( + + m ϱ(,, d d d ( +d d d ( [ ( +d d d + + d d ( + ( 8( + + d d r cos ϕ r r sin ϕ ϕ J r [ ( 8r r rdϕ dr r r ( r Je dán množin D v E funkce f(,,. Nčrtněte množinu D jejíprůmětd do rovin. b Ověřte předpokld pro použití Fubiniov vět vpočítejte trojný integrál f(,, d d d. D c Uved te příkld možného fikálního výnmu dného integrálu. Uved te, d se jedná o hmotnost (při jké hustotě, sttický momentčimoment setrvčnosti (při jké hustotě vhledem k jkému bodu, přímce nebo rovině. 8. D {[,, E :,, }, f(,, b c m, ϱ J, ϱ 8. D {[,, E :,, },f(,, 8. D {[,, E :, }, f(,, b c m, ϱ M, ϱ M, ϱ b c m, ϱ M, ϱ J, ϱ 8
15 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( 8. D {[,, E :,, }, f(,, ( + 8. D {[,, E : + 9,,}, f(,, +, b 7 c m, ϱ ( + M, ϱ + J,ϱ [ b c m, ϱ + 8. D : + + R,, (, f(,,, R je kldná konsttnt b R c M, ϱ, nevjdřuje hmotnost protože ϱ Je dáno těleso D E omeené plochmi : Nčrtněte těleso D jehoprůmětd do rovin. b Množinu D vjádřete ve tvru elementárního oboru integrce v souř d n i c í c h, ve kterých budete objem počítt. c Vpočítejte objem tohoto těles. 8. D : +,,,, 87. D :,,,, D: +,, b c b + c 8 b r ϕ w r cos ϕ c 8
16 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( 89. D : + 9,, b w r ϕ c8 9. D :,, + b r ϕ w r cos ϕ c 9. D :, b r ϕ w r c Vpočítejte objem V těles E : 9. :,+,ln, ln [e 8 9. : +,8 [8 9. : +, : + +, + b, b 9. :( + +,,, 97. :+ +,, [ [ ( ( b [ ( Je dáno těleso D E omeené plochmi : Nčrtněte těleso D jehoprůmětd do rovin. b Při vhodné substituci vjádřete D jko elementární obor v trnsformovných souřdnicích. c Vpočítejte hmotnost těles, je-li dán hustot ϱ(,,. [ 98. D : +,,,, (, ϱ(,, b r ϕ w c 8
17 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( 99. D : +,, ϱ(,,. D : +,, ϱ(,, +. D : + +,, +, ϱ(,, k b r ϕ r w c b r ϕ r w b 8 b r, ϕ, w r, +r ck. D {[,, E ; + + 9, }, ϱ(,, + +, b r, ϕ, ψ, c Je dáno těleso D E. Nčrtněte těleso D jehoprůmětd do rovin. b Vpočítejte objem těles D. c Vpočítejte hmotnost těles D, je-li dán hustot ϱ(,,.. D {[,, E ;,, },ϱ(,, +.. D :,,+,,, ϱ(,, b V c m 9 9 b V c m 8
18 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II (. D {[,, E ; + 9}, ϱ(,, +.. D {[,, E ; + }, ϱ(,, +, b V 8 c m 7. D : +,, + +, ϱ(,, b V c m 8 8. D :,,,, ϱ(,, b V 7 c m 9 b V c m 7 9. D {[,, E ; + +, + 9}, ϱ(,, k b V ( 7 7 c m k( 7 7. D : + b +, ϱ(,, c [ b V bc c m bc Určete hmotnost m těles E :. {[,, E ;, b, c}, ϱ(,, + +. [ bc ( + b + c 8
19 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II (. {[,, E ;,, +, }, ϱ(,, [. {[,, E ; + + 9, }, ϱ(,, + +. je koule o poloměru, jestližehustotjerovnčtvercivdálenostiodprůmě r u. (Zvolte kouli se středem v počátku souřdnic průměr ležící n ose.. je omeené plochmi o rovnicích:, + +,,, je-li ϱ(,,. [8 [ 8. je omeené plochmi o rovnicích : + +,, +, je-li ϱ(,, ( +. [ [ 9 Určete těžiště T těles E omeeného plochmi : 7. :, +,+,,,ϱ(,, k 8. : +, + +,, ϱ(,, k [ [ T,, [ [ T,, 9. : + b + c,,,(vprvnímoktntu,ϱ(,, k [ T [ 8, b 8, c 8 Určete moment setrvčnosti těles E :. : +, + vhledem k osám souřdnic, je-li ϱ(,,. [J 7, J J,. : + +, +, ( vhledem k ose, je-liϱ(,,. [ J (. rotčníhoválcespoloměrempodstv výškoub vhledem k přímce p, která se dotýká pláště válce je rovnoběžná s osou rotce. [ (Zvolte válec ( +, b, přímk p pk bude os. b. {[,, E ; + }, vhledemkose, je-lihustot ϱ(,, k [ J 7 ϱ 8
Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.
E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem
18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.
I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce
11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y
Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu
Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je
U V W xy 2 x 2 +2z 3yz
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 V.5. Gaussova-strogradského věta Má-li vektorováfunkce f (U,V,W spojitévšechn parciálníderivacevotevřenémnožině G E 3, pak skalární
6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
10. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y
II. 5. Aplikace integrálního počtu
494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu
26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
III. Dvojný a trojný integrál
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 III. vojný a trojný integrál III.. Eistence Necht je měřitelná v Jordanově smslu množina v E resp. E a funkce f je omezená na. Necht
MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Ostrv Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Vsoká škol áňská Technická univerzit
12 Trojný integrál - Transformace integrálů
Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.
Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
y ds, z T = 1 z ds, kde S = S
Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných
Výpočet obsahu rovinného obrazce
Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh
PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26
Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz
11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou
1. Cvičení: Opakování derivace a integrály
. Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )
Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.
.. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).
MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,
MATEMATIKA III Program - vojný integrál. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : + dd = { < > < > } ( 3), (, ) : 0,, 0,, dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,3,,, + dd = { < > < > } ( ), (, ):,0,,, + dd=
2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL
. VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin
Neřešené příklady z analýzy funkcí více proměnných
České vysoké učení technické v Prze Fkult elektrotechnická Neřešené příkldy z nlýzy funkcí více proměnných Miroslv Korbelář Pol Vivi Prh 16 Tento dokument byl vytvořen s podporou grntu RPAPS č. 1311/15/15163C5.
14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi
Analytická geometrie v rovině
nltická geometrie v rovině Souřdnicová soustv v rovině Zvolme v rovině dvě nvájem kolmé přímk číselné os. růsečík O těchto přímek nveme počátek souřdnic. Vodorovnou přímku ončíme osou svislou ončíme osou
7. Integrál přes n-rozměrný interval
7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme
R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
) (P u P v dudv, f d p na ploše Q E 3, která je orientována. x = u, y = v, z = a, (P u P v dudv = B
E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II 6 V.4. Plošný integrál vektorové funkce Necht je jednoduchá hladká plocha orientovaná v bodech X jednotkovým vektorem normál n o X. Necht
F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.
Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
Matematika II: Testy
Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit
14 Kuželosečky v základní poloze
4 Kuželosečk v zákldní poloze Následující tet 4 7 se týkjí geometrie v rovině. Až dosud jsme studovli útvr lineární (v nltickém vjádření l vžd proměnné,, z v první mocnině). Nní se udeme zývt některými
Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
Správné řešení písemné zkoušky z matematiky- varianta A Přijímací řízení do NMgr. studia učitelských oborů 2010
právné řešení písemné koušky mtemtiky- vrint A Přijímcí říení do NMgr. studi učitelských oborů Příkld. Vyšetřete průběh funkce v jejím mimálním definičním oboru nčrtněte její grf y Určete pritu (sudá/lichá),
Geometrické a fyzikální aplikace určitého integrálu. = b a. je v intervalu a, b záporná, je integrál rovněž záporný.
4. přednášk Geometické zikální plikce učitého integálu Geometické plikce. Osh ovinného útvu A. Pokud se jedná o ovinný útv omezený osou přímkmi gem spojité nezáponé unkce pk je jeho osh dán učitým integálem
Digitální učební materiál
Digitální učení mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo název šlony klíčové ktivity III/ Inovce zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce
5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti
Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)
Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)
Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh
Zobrazení hranolu. Příklad 5: Sestrojte řez pravidelného šestibokého hranolu s podstavou v půdorysně rovinou ρ. Sestrojte síť seříznuté části.
Zobrazení hranolu Příklad 1: Zobrazte pravidelný pětiboký hranol s podstavou v půdorysně π. Podstava je dána středem S a vrcholem A. Výška hranolu je v. Určete zbývající průmět bodu M pláště hranolu. 1
Elementární plochy-základní pojmy
-základní pojmy Kulová plocha je množina bodů v prostoru, které mají od pevného bodu S stejnou vzdálenost r. Hranolová plocha je určena lomenou čarou k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ),
f(x)dx, kde a < b < c
URČITÝ INTEGRÁL jeho plikce Newton-Leibnizov formule f(x)=f(b) F(), kde F (x)=f(x). Vlstnosti ) ) ) 4) Substituce f(x)+ c f(x)= f(x)= f(x)= b f(g(x))g (x)= f(x)= f(x) c f(x), kde < b < c pro fsudou, =
Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1
Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.
13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
A 1. x x. 1.1 V pravoúhlé axonometrii zobrazte průměty bodu A [4, 5, 8].
strana 1 1. onometrie. 1.1 V pravoúhlé aonometrii obrate průmět bodu [4, 5, 8]. 1.2 Zobrate bývající pravoúhlé průmět bodu do souřadnicových rovin. Určete souřadnice bodu, který je obraen v pravoúhlé aonometrii.
PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE
PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se
Obsah rovinného obrazce
Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce
14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti
Veronika Chrastinová, Oto Přibyl
Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE
PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná
Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}.
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (206 II. Diferenciální počet funkcí více proměnných II.. Definiční obor funkce z = f(, Určete definiční obor funkcí a zakreslete jej
8. Elementární funkce
Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne
Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.
Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
x + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
Obsah. Perspektivy krajinného managementu - inovace krajinářských discipĺın. Jakob Steiner švýcarský matematik - geometr. vzorce, integrační metody
Moment setrvčnosti průřezů - použití určitýc integrálů v ecnické mecnice Dn Říová, Pvl Kotásková Mendelu Brno Perspektiv krjinnéo mngementu - inovce krjinářskýc discipĺın reg.č. CZ..7/../5.8 Os Moment
ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy
ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího
Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26
Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet
MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část
MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice
9.6. Odchylky přímek a rovin
9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných
0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.
strana 9 3.1a Sestrojte sdružené průměty stopníků přímek a = AB, b = CD, c = EF. A [-2, 5, 1], B [3/2, 2, 5], C [3, 7, 4], D [5, 2, 4], E [-5, 3, 3], F [-5, 3, 6]. 3.1b Určete parametrické vyjádření přímek
Plošný integrál funkce
Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho
Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:
Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme
integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze
= b a. V případě, že funkce f(x) je v intervalu <a,b> záporná, je integrál rovněž záporný.
5. přednášk APLIKAE URČITÉHO INTERÁLU Pomocí integálního počtu je možné vpočítt osh ovinných útvů ojem otčních těles délk ovinných křivek. Velké upltnění má učitý integál tké ve zice chemii. eometické
Pravidelný čtyřboký jehlan (se čtvercovou podstavou)
Prvidelný čtyřboký jehln (se čtvercovou odstvou) Jehln se čtvercovou odstvou je trojrozměrné těleso, jehož ovrch tvoří čtyři stejné trojúhelníky čtverec jko odstv. S = obsh odstvy vj v v = výšk trojúhelníku
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0
Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm
V = π f 2 (x) dx. f(x) 1 + f 2 (x) dx. x 2 + y 2 = r 2
Odození zorců pro ýpočet objemů porchů některých těles užitím integrálního počtu Objem rotčního těles, které znikne rotcí funkce y f(x) n interlu, b kolem osy x, lze spočítt podle zorce b V f (x) dx Porch
PŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,
Stereometrie metrické vlastnosti 01
Stereometrie metrické vlstnosti 01 Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek
HYDROMECHANIKA. Požadavky ke zkoušce: - zápočet Zkouška: písemný test (příklady) + ev. ústní
HYDROMECHANIKA Rozsh : /1 z, zk, semestr: 3 Ktedr vodního hospodářství environmentálního modelování Grnt předmětu: Rdek Roub FŽP MCEV II, D439 Tel.: 4 38 153, 737 483 840, e-mil: roub@fzp.czu.cz Konzultční
+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
Logaritmická funkce teorie
Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá
Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem
Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je
ROTAČNÍ KVADRIKY V PŘÍKLADECH
Univerzit Plckého v Olomouci Rozšíření kreditce učitelství mtemtiky učitelství deskriptivní geometrie n PřF UP v Olomouci o formu kombinovnou CZ..07/..00/8.003 ROTAČNÍ KVADRIKY V PŘÍKLADECH Mrie OŠLEJŠKOVÁ,
5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ
5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na
Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0
Příklad 1 Vypočtěte trojné integrály transformací do cylindrických souřadnic a) b) c) d), + + +,,, je omezena + =1,++=3,=0 je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + Řešení 1a,
Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)
Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
DUM č. 11 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla
projekt GML Brno Docens DUM č. v sdě M- Příprv k mturitě PZ geometrie, nltická geometrie, nlýz, komlení čísl 4. Autor: Mgd Krejčová Dtum: 3.8.3 Ročník: mturitní ročník Anotce DUMu: Anltická geometrie v
Maturitní témata z Matematiky
Mturitní témt z Mtemtik. Výrz jejich úprv. Lineární rovnice nerovnice, lineární rovnice s prmetrem. vdrtická rovnice nerovnice, kvdrtická rovnice s prmetrem. Rovnice nerovnice v součinovém podílovém tvru.
4. cvičení z Matematiky 2
4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y
6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
Integrace funkcí více proměnných, numerické metody
Matematika III 6. přednáška Integrace funkcí více proměnných, numerické metody Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Integrální počet více
Vlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
PŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem
Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
Analytická geometrie v E 3 - kvadriky
Analtická geometrie v E 3 - kvadrik ROVNICE KVADRIKY ( v ákladní a posunuté poloe) Kvadrik v ákladní poloe - střed nebo vrchol leží v počátku ( vi příloha na konci) Posunutí v rovnici nahradíme všechn
Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.
.4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli
Transformace integrálů
9 Kapitola 3 Transformace integrálů V předchozí kapitole jsme se seznámili se základní metodou výpočtu vícerozměrných integrálů převodem na násobné integrál. Z teorie jednorozměrného Riemannova integrálu
Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ),
Tělesa 1/6 Tělesa 1.Mnohostěny n-boký hranol Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), hranol kosý hranol kolmý (boční stěny jsou kolmé k rovině podstavy) pravidelný
Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1
Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,
Ohýbaný nosník - napětí
Pružnost pevnost BD0 Ohýbný nosník - npětí Teorie Prostý ohb, rovinný ohb Při prostém ohbu je průřez nmáhán ohbovým momentem otáčejícím kolem jedné z hlvních os setrvčnosti průřezu, obvkle os. oment se
, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami
STEREOMETRIE 9*. 10*. 11*. 12*. 13*
STEREOMETRIE Bod, přímka, rovina, polorovina, poloprostor, základní symboly označující přímku, bod, polorovinu, patří, nepatří, leží, neleží, vzájemná poloha dvou přímek v prostoru, vzájemná poloha dvou
(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení
.. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému