-1-
ÚVOD Technická mechanika je předmět, s nímž se někteří žáci, pro které je učebnice určena, setkávají poprvé. Přívlastek "technická" vyjadřuje její vyčlenění z obecnější, tzv. "klasické mechaniky". Aby se klasická mechanika odlišila od mechaniky kvantové, nazývá se velmi často newtonovská. Klasická mechanika je nejstarší fyzikální disciplína, která má přesně formulované zákony a po dlouhou dobu sloužila jako vzor elegance ve vědě vůbec. V době celkem nedávné bylo rozšířeno i ve filozofii přesvědčení, že newtonovská mechanika dokáže vysvětlit chování čehokoliv, tedy i lidské společnosti. Obtížnost řešení by byla úměrná pouze času nutnému pro provádění výpočtů. Za zakladatele klasické mechaniky je pokládán Sir Isaac Newton (1643-1727) ve svém fundamentálním díle Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Pro matematický popis mechanických jevů zavedl Newton diferenciální a integrální počet, který je dnes základem vyšší matematiky. Sami zakladatelé kvantové mechaniky měli ve své době potíže překonat rámec myšlení Newtonovy mechaniky (Einstein: "Bůh nehrál v kostky"). Dnes však představuje klasická mechanika poměrně skromné odvětví fyziky. Učebnice, z níž budete studovat, si klade za cíl pomoci při pochopení základních pojmů technické mechaniky a získání přehledu o postupech nejjednodušších výpočtů z technické praxe. Dosavadní technické znalosti tak získají vedle popisu funkčnosti ještě rozměr mechanický. Matematický aparát, který je v ní používán, vychází ze středoškolské matematiky a nesmí být chápán jako cíl výuky, ale pouze jako prostředek, jímž se lze dopracovat řešení. Učebnice svým obsahem pokrývá potřeby vzdělávání v předmětu stavba a provoz strojů oboru Těžba a zpracování ropy a zemního plynu a obor Těžba a zpracování kamene. Jejím cílem je proto zvládnutí nejjednodušších praktických aplikací daných oborů. Tím se učebnice bude výrazně odlišovat od učebnic mechaniky středních odborných škol, jejichž cílem vzdělání je získání kvalifikace pro konstrukční a projekční práce. Tato redukce obsahu bude částečně kompenzována poznámkami, psanými kurzívou, které budou probíranou tématiku spojovat s ostatními znalostmi nebo odkazovat na obecnější problematiku. Učebnice obsahuje řadu vzorových příkladů, podle jejichž algoritmů lze potom řešit příklady složitější. Některé tabulky jsou pak vhodné i pro jednoduché příklady v praxi. Pro správnou komunikaci je třeba bezpečně pracovat s pojmovým aparátem, který je v učebnici používán. Zkušenost ukazuje, že běžný, zejména hovorový, jazyk dává některým slovům jiný obsah, než je pro zvládnutí předmětu potřebné. Na tyto odlišnosti je rovněž poukázáno v poznámkách. Postupy výpočtu obsahují kromě komentáře i dílčí výsledky sestavené do různých tabulek. Nikoli pouze pro jejich přehlednost, ale i pro technologii výpočtu, takže lze používat i jednoduchých programů pro běžné počítače. Josef Moravec -2-
1.0 ZÁKLADNÍ JEDNOTKY SOUSTAVY SI V technické praxi se setkáváme s veličinami jako čas, rychlost, síla apod. Veličina je tedy pojem, kterého používáme ke kvalitativnímu i kvantitativnímu popisu jevů, stavů a vlastnosti těles. Jednotka (dříve míra) je číselná hodnota veličiny. Jednotky musí být určeny normou, která je dnes vyjádřením určité mezinárodní dohody. V ČR platí od roku 1974 ČSN 01 1300 mezinárodní soustava jednotek SI. Tato soustava jednotek se dělí na jednotky: - základní, - doplňkové, - odvozené, - násobky a díly. Základní jednotky - metr [m] - jednotka délky - je vzdálenost, kterou urazí světlo ve vakuu za 1/299 792 459 s. Pozn. Původní definice metru byla odvozena od 10-7 délky zemského kvadrantu. Poté byla jeho definice založena na měření vlnových délek atomu kryptonu. Důvodem poslední definice je možnost měření času s přesností, která převyšuje možnosti měření délky, - kilogram [kg] - jednotka hmotnosti - je definován jako hmotnost mezinárodního prototypu, který je uložen v Sévres u Paříže. Pozn. Původní definice kilogramu byla odvozena od hmotnosti destilované vody určité teploty o objemu 11. Hmotnost zásadně nesmíme chápat jako váhu (váha je přístroj), ale jako míru setrvačných vlastností, - ampér [A] - jednotka elektrického proudu - je stálý elektrický proud, který při průtoku - sekunda [s] - jednotka času - je doba rovnající se 9 192 631 770 periodám záření, které přísluší přechodu mezi dvěma velmi jemnými hladinami základního stavu atomu cesia 133. Pozn. Dřívější definice vycházela z délky tropického roku 1900, dvěma rovnoběžnými, nekonečně dlouhými přímkovými vodiči zanedbatelného průřezu umístěnými ve vakuu ve vzájemné vzdálenosti 1m vyvolá mezi těmito vodiči sílu rovnou 2.10-7 N na metr délky, - kelvin [K] - jednotka termodynamické teploty - je definován jako 1/273,16 termodynamické teploty trojného bodu vody. Pozn. Velikost stupně absolutní teploty je stejná jako velikost nám známější Celsiovy stupnice. Obě stupnice se liší jen počátkem, - kandela [cd] - jednotka svítivosti - je svítivost v kolmém směru (1/600 000) m 2 povrchu černého tělesa při teplotě tuhnoucí platiny a tlaku 101 325 Pa, - mol [mol] - látkové množství - soustava, která obsahuje tolik základních jednotek, kolik atomů uhlíku obsahuje přesně 0,012 kg uhlíku C. Pozn. Základní jednotka zde musí být specifikována a může to být atom, molekula, iont, elektron apod. Doplňkové jednotky Jsou to jednotky, o nichž CGPM ještě nerozhodla, a proto se mohou používat jako jednotky základní nebo odvozené. Jedná se o tyto: - radián [rad] - jednotka rovinného úhlu - je to rovinný úhel sevřený dvěma polopřímkami, které vytínají na kružnici opsané z jejich počátečního bodu oblouk o délce rovné jejímu poloměru, Pozn. Převod radiánů na stupně je dán 1 = π /180 rad, 1 rad = 57 17 '44,8" = 57,29578, -3-
- steradián [sr] - jednotka prostorového úhlu - je to prostorový úhel s vrcholem ve středu koule, který vytíná na jejím povrchu plochu s obsahem rovnajícím se druhé mocnině poloměru koule. Odvozené jednotky Odvozené jednotky jsou odvozeny koherentně z jednotek základních, doplňkových i jiných odvozených. Některé odvozené jednotky, které se používají v technické praxi nejčastěji, uvádí tabulka. odvozené jednotky SI se zvláštním pojmenováním veličina název (značka) vztah k základním nebo jednotky SI jiným jednotkám SI kmitočet hertz [Hz] s -1 (frekvence) síla tlak mech. napětí práce, energie teplo výkon newton [N] pascal [Pa] m. kg. s -2 N. m -2 = m -1. kg. s -2 N. m = m 2. kg. s -2 joule [J] watt [W] J. s -1 = m 2. kg. s -3 Pozn. S dalšími odvozenými jednotkami se setkáváme ve fyzice,. Patři k nim coulomb, volt, farad, ohm, siemens, weber, henry, tesla, lumen, lux, becquerel, gray. Násobky a díly Násobky a díly základních jednotek se vyjadřují písmeny, která postupují v řádech 10 3 nebo 10-3. Z historických důvodů používáme vedle desítkové soustavy u některých jednotek systém šedesátinový, a to u měření času a úhlových stupňů. V jiných oblastech života se používají násobky 10 2 (hekto), 10-1 (deci). V mechanice však budeme používat důsledně násobků 10 3. 1.1 ZÁKLADNÍ ZÁKONY MECHANIKY Základní zákony mechaniky formuloval Newton. Jejich přesné a důsledné pochopení je základem pro pochopení celého předmětu technická mechanika. 1. Princip setrvačnosti - každé těleso zůstává v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud není nuceno vnějšími silami tento pohybový stav změnit. Setrvačnost je tedy odpor tělesa proti změně pohybového stavu. Pozn. Relativně jednoduchá formulace v sobě skrývá genialitu Newtona. Byl první, kdo pochopil, že pohyb těles by byl věčný, pokud by nebylo vnějších sil. Běžná zkušenost, kdy uvedeme těleso do pohybu, totiž ukazuje, že pohyb po čase ustane. K zastavení dojde vlivem tření, odporu v pohybu apod. Přímočarý pohyb je zde pohybem po přímce, nikoli po nějaké jiné křivce. Rovnoměrný pohyb znamená, že nedochází ke zpomalování ani zrychlování. 2. Princip síly - mírou setrvačnosti tělesa je jeho setrvačná hmotnost m, její velikost lze stanovit ze vztahu: -4-
F = m. a, kde: F [N] síla, m[kg] hmotnost, a [m.s -2 ] zrychlení. Z tohoto základního vztahu mechaniky lze odvodit definici jednotky síly. Jeden newton je síla, která udělí hmotnému bodu o hmotnosti 1 kg zrychlení a = 1 m.s -2. Pozn. Hmotnost nemá nic společného s tím, co se nazývá váha. Váha, jako přístroj, měří tíži těles v gravitačním poli Země. Protože jednotka síly 1 N nevyvolává v mnohých představu o její velikosti, použijeme pro názornost závaží o hmotnosti m = 1 kg, jež se nachází v gravitačním poli Země, které má zrychlení a g = 9,806 m.s -2. Síla, kterou je tedy závaží o hmotnosti 1kg přitahováno k Zemi, je 9,806 N. Nebo obráceně 1 N je síla, jakou je přitahováno k Zemi závaží o hmotnosti 98,06 g. 3. Princip akce a reakce - každá akce vyvolává reakci stejně velkou, ale opačného smyslu. 1.2 ZÁKLADNÍ POJMY Prostor. V mechanice používáme tzv. Euklidův prostor, který je trojrozměrný, homogenní a izotropní. Známe jej dobře z geometrie, aniž bychom věděli, že se nazývá Euklidův. Pro takový prostor umíme počítat strany trojúhelníků, objemy, obsahy a povrchy těles. Z fyziky víme, že prostor, resp. časoprostor, je čtyřrozměrný, přičemž tři rozměry patří prostoru a čtvrtý rozměr tvoří čas. Třírozměrnost je nejobecnější možnost, která je také nejnáročnější na matematické zpracování. Řada technických aplikací se odehrává ve dvou rozměrech (v rovině), nebo dokonce v jednorozměrném prostoru (na přímce). Homogennost prostoru vyjadřuje skutečnost, že v každém bodě prostoru jsou fyzikální vlastnosti stejné. Takový prostor může být tvořen vzduchem, vakuem, amorfními látkami, ale s velkým přiblížením to platí i pro materiály s krystalickou stavbou. Izotropní prostor vyjadřuje skutečnost, že vlastnosti prostoru jsou ve všech směrech stejné. Například dřevo není izotropní materiál (je anizotropní), protože napříč kmenem jde pouze řezat, ale podél vláken jde snadno štípat. Řada přírodních i umělých materiálů je anizotropní (slída desková odlukovost, azbest vláknová odlukovost). U většiny technických materiálů je s velkým přiblížením podmínka izotropie splněna. Jak znázorňujeme jednotlivé prostory, je patrno z obrázku. jednorozměrný dvourozměrný trojrozměrný Obr. 1 Prostor -5-
Pro snadnější pochopení problematiky n-rozměrného prostoru si uvedeme několik příkladů z technické praxe. n = 1 jednorozměrný prostor - přímka - potrubí, v němž může proudit kapalina pouze jedním nebo druhým směrem, železniční dráha, silnice apod. (vektor rychlosti), - řetězy, lana, táhla, jež mohou přenášet sílu v tahu nebo v některých případech i tlaku (vektor síly), n = 2 dvourozměrný prostor - rovina - pohyb rovinných mechanizmů (klikový, vačkový), pohyb lodi na hladině, vodorovný a šikmý vrh apod. (vektory rychlostí), - ozubená kola, mechanizmy stavebních strojů, síly vzniklé při jednoduchém obrábění, zápřah stavebních strojů apod. (vektory sil), n = 3 trojrozměrný prostor - prostor - pohyb letadel v atmosféře, prostorové mechanizmy, pohyby nástrojů při složitém obrábění apod. (vektory rychlosti), - složité těžní stroje a jejich mechanizmy, obrábění ve více souřadnicích najednou (vektory sil). Čas je protenzívní (nelze mu dát "zpětný chod") základní fyzikální veličina, která se trvale spojitě mění a nelze ji zpětně reprodukovat. Má charakter skaláru. Pro technickou mechaniku není nutné pro různé vztažné soustavy počítat s kontrakcí času tak, jak byla odvozena ve speciální teorii relativity A. Einsteinem.. Pozn. V běžném životě výraz "těleso má hmotnost X kg" znamená, že jsme jej obvykle zvážili na Hmotnost (dříve hmota) je fyzikální veličina charakterizující základní vlastnost všech materiálních objektů, která se ve fyzikálních jevech projevuje setrvačností, tj. zrychlení vnucené tělesu nějakou silou je nepřímo úměrné hmotnosti tělesa. Projevuje se rovněž vzájemnou přitažlivostí. váze. Pro technickou mechaniku je toto chápání nepřijatelné, protože vážením neměříme hmotnost, ale sílu, kterou je těleso přitahováno k zemi. Tato síla působí ve váze na pružinu, páku se závažím, piezokrystal apod. Kdybychom však váhu i s tělesem přenesli do jiných zeměpisných šířek nebo například na Měsíc, naměřili bychom hodnotu jinou. To nás ovšem neopravňuje ke konstatování, že těleso má jinou hmotnost, ta zůstává stejná. Jediné, co se změnilo, je hodnota gravitačního zrychlení, která se na Zemi mění vlivem nadmořské výšky, podloží a podobně. Vztahy: F = m. a, jsou projevem obou základních vlastností hmoty, při použití stejných jednotek jsou podle posledních pokusů sobě rovné. To tedy znamená, že síla je jakýmsi zprostředkovatelem mezi vlastnostmi hmoty setrvačnými a gravitačními. Síla je základní fyzikální veličina, která vyjadřuje vzájemné působení (interakci) mezi tělesy. 1.3 SÍLA JAKO VEKTOR Fyzikální veličiny můžeme rozdělit na veličiny skalární a vektorové. Skalár je fyzikální veličina, která je úplně popsána reálným číslem a příslušnou měřicí jednotkou. Mezi skalární veličiny patří délka, čas, objem, měrná hmotnost, práce, plošný obsah apod. Vektor je fyzikální veličina, která ke svému určení potřebuje znalost nejen velikosti, ale i orientovaného směru. Mezi vektorové veličiny patří rychlost, zrychlení, síla apod. Pozn. V některých speciálních případech, s nimiž se v praxi často setkáme, může i vektorová veličina mít vlastnosti skaláru. Pro sílu jako vektor, např. u lineárního hydromotoru, postačí informace, "že vyvíjí sílu x N". Tato informace může být úplná, protože víme, že lineární hydromotor má nositelku síly totožnou s osou pístnice. Pro vektor rychlosti je údaj "vlak jede rychlostí x m.s -1 " rovněž úplný, protože vlak se pohybuje v jednorozměrném prostoru po kolejích. -6-
Jakmile však hovoříme o vektorových veličinách v dvourozměrném, nebo dokonce trojrozměrném prostoru, potřebujeme pro úplné určení více údajů. působiště směr velikost vektoru (měřítko) Obr. 2 Vektor a jeho části jako symbolika S vektory lze provádět základní operace, jako jsou sčítání, odečítání, skalární součin a vektorový součin. Vektor symbolicky kreslíme jako orientovanou úsečku (šipku), bod je zde symbolem působiště síly, délka úsečky v měřítku vypovídá o velikosti síly (obecně vektorové veličiny) a šípka určuje směr působení. sčítání vektorů a + b = c odečítání vektorů a b = c skalární součin vektorů a. b (plocha a skalár) Obr. 3 Základní matematické operace s vektory vektorový součin a x b (vektor) 1.4 ROZDĚLENÍ TECHNICKÉ MECHANIKY Technická mechanika je částí klasické mechaniky. Její dělení je podřízeno studovaným technickým disciplínám. Definujeme ji jako nauku o pohybu těles. Pohybem v definici není myšlen pouze pohyb mechanický, ale rozumíme jím různé změny. Ty mohou být chemické, elektrické, mechanické apod. Statika je disciplína mechaniky tuhého tělesa, zabývá se řešením problému vnitřních sil jako reakce na působení vnějších sil (zatížení). Pružnost a pevnost je disciplína mechaniky pružného tělesa, která se zabývá vyšetřováním vnitřních sil a jimi způsobeného namáhání a podmínkami pevnosti, pružnosti, deformace apod. -7-
Kinematika je disciplína mechaniky, která se zabývá vyšetřováním pohybu těles, tj. zjišťováním rychlosti, zrychlení, dráhy v závislosti na čase. Nehledá však příčiny, které pohyb vyvolaly. Dynamika je disciplína mechaniky, která spojuje statiku a kinematiku. Vytváří tak komplexnější pohled na pohyb těles a soustav. Zkoumá tedy vztahy mezi pohybem těles a silami, které na ně působí. Hydromechanika je disciplína mechaniky, která se zabývá jevy vznikajícími při pohybu kapalin. Termomechanika je disciplína mechaniky, která se zabývá změnami tepelných soustav. Pozn. Jednotlivé disciplíny technické mechaniky lze obvykle dále dělit. Případné dělení bude provedeno v samostatných statích. -8-
2.0 ÚVOD DO STATIKY Statika se zabývá rovnováhou sil působících na tuhá tělesa a statickou ekvivalencí silových soustav (vzájemného působení těles). Dvě různé soustavy sil působící na tuhé těleso jsou staticky ekvivalentní, pokud mají stejný účinek na těleso v klidovém stavu nebo způsobují stejnou změnu pohybu. Statická rovnováha tělesa (soustavy těles) pod účinkem sil odpovídá stavu klidu nebo rovnoměrného pohybu, tedy nulovému výslednému účinku sil na těleso (soustavu). Rovnovážná soustava nevyvolává žádné změny pohybového stavu tuhého tělesa (soustavy těles). Dokonale tuhé těleso se pod účinkem působících sil v klidu nebo za pohybu nedeformuje, tj. vzdálenosti jeho bodů jsou neměnné. Pozn. Pojem dokonale tuhé těleso předpokládá určitou abstrakci, protože z praxe víme, že tělesa se vlivem vnějšího zatížení deformují. Ve statice musíme tyto deformace zanedbat, protože by se veškeré výpočty staly mnohem složitějšími. Platí zde úměra, čím menší deformace reálně existují, tím je výpočet přesnější. Proto aparát statiky můžeme použít jen u takových reálných těles (soustav těles), jejichž deformace je o několik řádů menší než jejich rozměr. To je pro součásti a stavby z materiálů, jako jsou kovy, beton apod., vždy splněno. 2.1 DRUHY VNĚJŠÍHO ZATÍŽENÍ Síla je z pohledu statiky vektorová míra vzájemného působení těles. Vektor síly je modelem (symbolem) silového působení v jediném bodě. Vnější zatížení však nemusí působit na jeden bod tuhého tělesa. Podle působení vnějšího zatížení rozeznáváme tyto druhy sil: - osamělá síla F [N] je síla, která působí pouze na jeden bod tělesa. Bude to nejčastěji používaný model vnějšího zatížení. V praxi se používá tam, kde se styk dvou těles odehrává na malé ploše, kterou nahradíme bodem. Osamělá síla bude matematickým modelem styku ložisek s hřídelí, namáhání šroubů, čepů, nýtů, břemen zavěšených na laně apod., - liniová síla q [N.m -1 ] je vnější zatížení, které je spojitě rozloženo podél nějaké křivky. Takové zatížení se v praxi vyskytuje v podobě přitažlivé síly prověšeného nebo zavěšeného lana, řetězů apod., - měrná plošná síla p [N.m -2 ] nebo [Pa] je vnější zatížení rozložené spojitě po ploše. Takovým zatížením je tlak vzduchu nebo vodního sloupce na dno nádoby nebo podloží, - měrná objemová síla o [N.m -3 ] je síla rozložena po objemu. osamělá síla F [N] liniová síla q [N. m -1 ] plošná síla [N. m -2 ] [Pa] Obr. 4 Matematický model vnějšího zatížení -9-
2.2 STABILITA ROVNOVÁŽNÉ POLOHY Tuhé těleso nebo soustava těles v poli tíhových sil mohou zaujímat rovnovážnou polohu: - stabilní je poloha, při níž má těleso nebo soustava nejnižší energii. Při vychýlení tělesa z jeho rovnovážné polohy se samo vrací zpět, - neutrální (indiferentní) je poloha, kdy těleso při vychýlení nemění svoji energii a v nové poloze zůstává, - nestabilní je taková poloha, při níž tělesa mají nejvyšší energii. Při vychýlení přechází na nižší energii a ztrácí svoji stabilitu. Obrázek 5 znázorňuje stabilitu těles jak pro translační pohyb, tak pro rotační pohyb (ve formě fyzikálního kyvadla). Pro konstrukce technických zařízení je žádoucí nalézt řešení v podobě stabilní polohy. Nestabilní řešení je krajně nežádoucí. Obr. 5 Stabilita rovnovážné polohy stabilní neutrální labilní -10-
2.3 EKVIVALENCE SIL V JEDNOROZMĚRNÉM PROSTORU Jednorozměrný prostor je popsán v kapitole 1.2 a je nejjednodušším případem řešení ekvivalence sil. Protože všechny síly leží na jedné nositelce, jejich odlišnost spočívá pouze ve velikosti jednotlivých sil a jejich orientaci. F 1 F 2 F 3 F 4 +x Ekvivalentní síla je jejich výslednice nebo obecněji, je to jedna síla, která nahrazuje soustavu více sil se stejnými účinky. Modelem takové soustavy je například lano, které je napínáno několika lidmi různé síly podél svojí délky. Nalezení ekvivalentní síly je zde jednoduché, protože síla jako vektor má v jednorozměrném prostoru vlastnosti skaláru a lze ji proto sčítat jako skalár. Předpokladem řešení je pouze dohoda o tom, který směr vektoru budeme pokládat za kladný a který za záporný. Osu souřadného systému budeme označovat "x" a znaménkem + směr nárůstu souřadnice. F 1 F 2 F 3 F n +x Numerické řešení spočívá ve skalárním součtu jednotlivých sil: F v = F 1 + F 2 + F 3 + F n. Grafické řešení předpokládá znázornění soustavy sil orientovanými úsečkami v příslušném měřítku, které spojujeme od 0 v krajních bodech po sobě jdoucích sčítanců. Pro přehlednost kroků každý součet oddělíme spuštěním o řádek. F 1 F 2 F 3 F 4 +x F v Př. Vypočítejte výslednou sílu, kterou je tažen skrejpr při nabírání materiálu. Skrejpr má dva motory, přední náprava vyvozuje tážnou sílu F 1 = 50 kn, zadní náprava sílu F 2 = 65 kn. Celý stroj je ještě tažen dozerem o tažné síle F 3 = 70 kn, který se pohybuje ve směru podélné osy skrejpru. Řešení: 1. Reálné zadání strojů nahradíme matematickým modelem, v němž figurují pouze vektory sil. (Pro matematický model je zde jedno, zda představuje zadanou úlohu nebo například vlakovou soupravu taženou třemi hnacími jednotkami či jiné podobné zadání). -11-
Výsledná síla je dána součtem jednotlivých sil: F v = F 1 + F 2 + F 3 = 50 + 65 + 70 = 185 kn. Grafické řešení: F 1 F 2 F 3 F v Př. Na zavěšeném laně jsou upnuta čtyři břemena (viz obrázek). Jednotlivé hmotnosti jsou: m 1 = 50 kg, m 2 = 35 kg, m 3 = 55 kg, m 4 = 65 kg. Vypočítejte výslednou sílu, kterou je namáháno lano v gravitačním poli Země. Hmotnosti jednotlivých břemen vyjádříme jako sílu vzniklou v gravitačním poli Země. Zrychlení g = 9,81 m.s -2 podle vztahu prvního Newtonova zákona F = m.a, kde a = g. reálné matematický grafické zadání model řešení F 1 = m 1. g = 50. 9,81 = 490,5 N F 2 = m 2. g = 35. 9,81 = 343,4 N F 3 = m 3. g = 55. 9,81 = 539,6 N F 4 = m 4. g = 65. 9,81 = 637,7 N výsledná síla F v = 2 011,2 N -12-
2.4 EKVIVALENCE ROVNOBĚŽNÝCH SIL V DVOUROZMĚRNÉM PROSTORU V dvourozměrném prostoru (rovině) musíme síly chápat jako vektory, které mají vedle své velikosti a orientovaného směru také svoje působiště v rovině. Tato úloha je speciálním případem obecné soustavy tím, že nositelky vektorů jsou rovnoběžky. Souřadný systém může být volen obecně, ale úlohu lze značně zjednodušit správnou volbou souřadného systému, a to tak, že jednu ze souřadnic (x nebo y) orientujeme jako rovnoběžku s nositelkami soustavy sil. obecné řešení Obr. 6 Volba souřadného systému natočením souřadného systému Výslednice (ekvivalentní síla) proto nebude určena pouze svojí velikostí, ale také polohou vzhledem ke zvolenému souřadnému systému. Tato úloha se dále člení na: - soustavu rovnoběžných sil, která má svoje působiště na přímce kolmé na nositelky sil, - soustavu rovnoběžných sil, která má souřadnice působišť v obecných polohách. s působišti na přímce Obr.7 Soustavy rovnoběžných sil s obecnými souřadnicemi působišť Každé reálné zadání, které lze transformovat na soustavu rovnoběžných sil, je nutné převést do určitého standardního stavu, který vyhovuje výpočtu. Postup převodu reálného zadání je tento: 1. Pro zadanou soustavu zvolíme souřadný systém tak, aby jedna jeho osa byla rovnoběžná s jednou z os souřadného systému. 2. Polohy působišť ve směru osy x a y zakótujeme v absolutních souřadnicích x 1, x 2, x 3,...x n a y 1, y 2, y 3,... y n -13-
s působišti sil na přímce s obecnými souřadnicemi působišť Obr. 8 Převedení reálného zadání na matematický model podmínky statické rovnováhy. Její slovní vyjádření je: součet všech momentů k bodu musí být roven 0. Bez odvozování si uveďme, že moment je vždy součin síly a ramene, na němž síla působí. Musí však být splněn požadavek, že nositelka vektoru síly je kolmá na rameno. Výpočet velikosti ekvivalentní síly a její polohy předpokládá použití M = F. r, [N. m] = [N]. [m]. Pozn. Pojem momentu jako abstraktní veličiny lze osvětlit praktickou zkušeností. Když je třeba povolit velmi silně utaženou matici nebo ohnout ocelovou tyč a nestačí k tomu běžný nástroj, každý zkušený pracovník ví, že postačí klíč nebo ohýbací páku nastavit, např. trubkou. Nastavení délky je prodloužení ramene, kolikrát zvětšíme rameno, tolikrát zvětšíme moment síly. Později se dovíme, že moment může být ohybový nebo kroutící. Soustavu rovnoběžných sil F 1, F 2, F 3,... F n máme zadanou, volili jsme souřadný systém, který má jednu osu rovnoběžnou s nositelkami sil. V absolutních souřadnicích známe polohu jednotlivých působišť x 1, x 2, x 3, x n a y 1, y 2, y 3,.y n. Tyto souřadnice nechť jsou ramena sil. Kolmost nositelek jednotlivých vektorů sil k pomyslným ramenům je splněn rovnoběžností a vhodnou volbou souřadného systému. Součet všech momentů bude nulový, pokud bude platit podmínka: F 1. x 1 + F 2. x 2 + F 3. x 3 +... F n. x n = F v. x v, F 1. y 1 + F 2. y 2 + F 3. y 3 +... F n. y n = F v. y v. Bez důkazů provedeme úvahu, jaké řešení můžeme očekávat. Pro soustavu rovnoběžných sil, jejichž působiště leží na přímce kolmé k nositelkám vektorů soustavy sil, bude platit: - výslednice (ekvivalentní síla) bude rovněž rovnoběžka vzhledem k ostatním silám soustavy (neočekáváme vybočení), - její velikost bude dána součtem velikostí jednotlivých sil soustavy, - působiště výsledné síly bude na téže přímce jako působiště ostatních sil soustavy. Pro soustavu rovnoběžných sil, jejichž působiště neleží v jedné přímce, bude třeba pro určení působiště namísto jedné souřadnice dvou souřadnic x v, y v. Z výchozích rovnic tedy vyplývá, že jedinou neznámou je zde x v pro soustavu rovnoběžných sil s působišti na přímce kolmé k nositelkám soustavy sil. Proto platí: -14-
F 1. x 1 + F 2. x 2 + F 3. x 3 + F n. x n x v =. F 1 + F 2 + F 3 +.F n Pro soustavu rovnoběžných sil, která má obecné polohy působišť, bude platit uvedená rovnice pro nalezení souřadnice x n a navíc rovnice pro nalezení polohy souřadnice y n : F 1. y 1 + F 2. y 2 + F 3. y 3 + F n. y n y v =. F 1 + F 2 + F 3 +.F n s působišti sil na přímce Obr. 9 Řešení ekvivalentní síly s obecnými souřadnicemi působišť Grafické řešení této úlohy v dnešní době ustupuje numerickému řešení, vyniká ale jednoduchostí. Úprava reálného zadání předpokládá pro standardní grafické řešení tyto kroky: 1. Reálné zadání transformovat v měřítku sil i souřadnic na matematický model. 2. Jednotlivé vektory sil v pořadí narůstání souřadnice (zleva doprava) nanést v měřítku (nejlépe stejném). měřítku jako na matematickém modelu) na nositelku rovnoběžnou se soustavou sil. Jejich "řetězením" získáme v měřítku výslednou (ekvivalentní) sílu. 3. Zvolíme bod 0, kterému se říká pól, a to nejlépe tak, že tvoří se seřazenými vektory rovnoramenný trojúhelník. 4. Jednotlivé začátky a konce vektorů soustavy sil spojíme s pólem 0. 5. Na nositelky jednotlivých sil soustavy budeme "vázat" řetězec jednotlivých vláken 1, 2, 3,... n. -15-
6. Průsečík rovnoběžky 1 a n (poslední) je bod, kterým prochází nositelka výsledné síly. Obr. 10 grafické řešení soustavy rovnoběžných sil v rovině Př. Tři lineární hydromotory jsou mechanicky spojeny příčníkem. Jednotlivé hydromotory vyvozují sílu: F 1 = 1 kn, F 2 = 2 kn, F 3 = 3 kn. Vzdálenosti os jednotlivých lineárních hydromotorů jsou uvedeny na obrázku. Určete velikost výsledné síly hydromotoru a navrhněte na příčníku umístění oka pro přenos výsledné síly do mechanizmu (polohu výsledné síly vzhledem k osám hydromotoru). Řešení: 1. Reálné zadání transformujeme na matematický model zvolením vhodného souřadného systému. Pro souřadnice y 1, y 2, y 3 musí platit: y 2 - y 1 = 300, y 3 - y 2 = 300. Tyto podmínky musí vyhovovat každému souřadnému systému, který jsme si zvolili. Kóta 50 mm ve směru osy y je zvolena libovolně pro výhodnou polohu kartézských souřadnic. -16-
2. Dosadíme do podmínky momentové rovnováhy. Jedinou neznámou je zde poloha výslednice y v. Velikost výslednice zjistíme prostým skalárním součtem: F 1. y 1 + F 2. y 2 + F 3. y 3 y v = = 450 mm. F 1 + F 2 + F 3 Grafické řešení Polohu umístění osy oka na příčníku podle zadání můžeme zakótovat od libovolné osy kteréhokoliv z lineárních hydromotorů. Její velikost snadno odvodíme z absolutního zakótování. Př. Na mostě o rozpětí 100 m stojí tři motorová vozidla, jejichž hmotnosti jsou: m 1 = 2 000 kg x 1 = 20 m, m 2 = 4 000 kg x 2 = 40 m, m 3 = 3 500 kg x 3 = 80 m. Nalezněte velikost a polohu ekvivaletní síly (tj. síly, která by měla na mostní konstrukci stejný statický účinek). Řešení:: 1. Reálnou situaci nahradíme modelem matematickým. Protože se v zadání nevyskytuje zmínka o počtu či rozvoru náprav zmíněných motorových vozidel, budeme motorová vozidla nahrazovat osamělými silami. Působiště gravitačních sil bude v těžišti vozidel. Jejich velikosti budou: F 1 = m 1. g = 19,62 kn, F 2 = m 2. g = 39,24 kn, F 3 = m 3. g = 34,34 kn. -17-
2. Vypočítané síly a zadané souřadnice dosadíme do podmínky momentové rovnováhy. Jedinou neznámou je zde poloha výslednice ve směru osy x (ve směru narůstající délky mostu): F 1. x 1 + F 2. x 2 + F 3. x 3 x v = = 50,52 m, F 1 + F 2 + F 3 F v = 93,2 kn. 3. Grafické řešení vychází z matematického modelu, který je nakreslen v měřítku sil a měřítku délek. Poznámka: Řešení příkladu říká, že z hlediska statických účinků je možné tři motorová vozidla nahradit jedinou silou o velikosti 93,2 kn, která by musela mít působiště ve vzdálenosti 50,52 m ve směru kladné osy x (po délce mostu). Zde je nutno zdůraznit, že jde pouze o statickou ekvivalenci. Z hlediska například pevnosti mostu nebo velikosti jeho deformací se o ekvivalenci nejedná. Pro soustavy rovnoběžných sil v dvourozměrném prostoru, které mají působiště v obecných polohách, je řešení nutné provádět ve dvou směrech x a y. K tomuto typu úloh se dostaneme při řešení souřadnic těžišť. Př. Nalezněte velikost ekvivalentní síly a její působiště u soustavy rovnoběžných sil v rovině dle zadání: síla souřadnice [kn] x [mm] y [mm] 35 15 10 45 25 25 20 50 35-18-
Řešení: 1. V měřítku sil a souřadnic si nakreslíme matematický model zadání. 2. Vypočítáme souřadnici působiště ekvivalentní síly ve směru osy x podle vztahu: F 1. x 1 + F 2. x 2 + F 3. x 3 x v = = 26,5mm. F 1 + F 2 + F 3 Pro techniku výpočtu je zde třeba poznamenat, že zadání je tabelizováno a výpočet má jednoduchý algoritmus - vynásobit dva sloupce tabulky a jednotlivé součiny (řádky) pak sečíst. 3. Vypočítáme souřadnici působiště ekvivalentní síly ve směru osy y podle vztahu: F 1. y 1 + F 2. y 2 + F 3. y 3 y v = = 21,75 mm. F 1 + F 2 + F 3 4. Vypočítané souřadnice x v a y v vyneseme v měřítku do matematického modelu zadání. Průsečíkem obou souřadnic je bod, který je působištěm síly. Její nositelka je logicky rovnoběžná s ostatními silami zadání a její velikost je dána skalárním součtem velikostí jednotlivých sil F v = 100 kn. 5. Grafické řešení provedeme pro každou osu zvlášť a působiště výsledné síly je opět v průsečíku obou výslednic. -19-
Pozn. U grafického řešení je třeba dát bedlivý pozor na "řetězení" sil ve směru narůstající osy, k níž hledáme řešení. Sled sil například podle indexů nemusí být obecně stejný. 2.5 DVOJICE SIL Soustava rovnoběžných sil v dvourozměrném prostoru nemusí mít obecně splněnou podmínku, že všechny síly mají stejný směr. Musí pouze platit, že jejich vektory jsou rovnoběžné. Pod pojmem dvojice sil rozumíme soustavu rovnoběžných sil stejně velkých, opačného smyslu a neležících na jedné přímce. Obr. 11 Dvojice sil Snadno bychom dokázali, že ekvivalentní síla obou vektorů je nulová a její působiště bychom nalezli jako bod, který půlí vzdálenost mezi působišti sil F 1 a F 2 (bod 0). Výsledným účinkem silové dvojice je otáčivý účinek. Takový účinek se v technické praxi nazývá moment. Velikost (numerická hodnota) momentu je dána součinem jedné síly z dvojice a jejich ramene: M = F. r [N.m]. Pozn. Rozměr [N.m] je podle odvozených jednotek SI [J]. Pro odlišení od práce se v technické mechanice pro momenty používá jednotky N.m a jednotka J se používá pro práci a teplo. Výraz 1 N.m je moment, který vznikne na rameni 1 m, na jehož konci působí kolmo síla 1 N. -20-
Z obrázku 11 je patrné, že otáčivý účinek může mít dva směry. Pravotočivý a levotočivý. Je proto nutné zavést určitou konvenci, který otáčivý účinek budeme považovat za kladný +M a který za záporný -M.. Budeme nadále důsledně dodržovat dohodu: Snaží-li se dvojice sil natáčet rovinu, v níž leží proti smyslu chodu hodinových ručiček, budeme moment dvojice sil považovat za kladný. A naopak. Pro dvojice sil obecně platí: - statický moment dvojice sil k libovolnému bodu S jeho roviny má stálou hodnotu, - dvojici sil lze v její rovině nahradit libovolnou jinou dvojicí sil téže roviny, která má s původní dvojicí stejnou velikost a smysl. Platí podmínka: F 1. r 1 = F 2. r 2 = F n. r n - dvojici sil lze v její rovině zcela libovolně posunout nebo pootočit, aniž by se změnilo něco na jejím účinku. ekvivalence silových dvojic Obr. 12 Vlastnosti silových dvojic pootočení silové dvojice Výsledným účinkem (ekvivalentní) silovou dvojicí v rovině silových dvojic je algebraický součet jednotlivých silových dvojic podle vztahu: M v = M 1 + M 2 + M 3 +.M n. Př. Zjistěte velikost momentu silové dvojice vzhledem ke kterémukoliv bodu v rovině, je-li dáno: F 1 = F 2 = 55 N, r 1 =. 450 mm r 2 = 220 mm Řešení: 1. Zadanou úlohu nakreslíme v měřítku sil a délek. 2. Statický moment dvojice sil má k libovolnému bodu S jeho roviny stálou hodnotu: -21-
M = F 1. r = F 1.(r 1 - r 2 ) = 55. 0,23 = 12,65 N.m. Př. Při montáži je třeba pojistit šroubový spoj přítužnou maticí (kontramaticí). Matice je dotahována klíčem, jehož rameno je dlouhé r 1 = 1 000 mm, silou F 1 = 350 N. Přítužná matice je dotahována klíčem o délce ramene r 2 = l 200 mm, silou F 2 = 400 N. Vypočítejte velikost výsledného kroutícího momentu, který je vyvozován oběma klíči. Řešení: 1. Nakreslíme v měřítku sil a délek matematický model úlohy. 2. Výsledný moment je dán algebraickým součtem obou momentů: M v = M 1 + M 2 = F 1. r 1 + F 2. r 2 = 350. 1 + 400. 1,2 = 830 N.m. 2.6 EKVIVALENCE SOUSTAVY SIL SE SPOLEČNÝM PŮSOBIŠTĚM VE DVOUROZMĚRNÉN PROSTORU Tento problém se v technické praxi vyskytuje velice často. Skládání sil se společným působištěm znázorňuje obrázek 13. Volba souřadného systému, s nímž budeme s výhodou dále počítat, se provádí tak, že působiště soustavy sil se ztotožní s počátkem souřadné soustavy. Jednotlivé síly jsou pak zadány velikostí vektoru a polohovým úhlem, který svírá vektor s osou x. Orientace úhlu je tedy totožná s praxí analytické matematiky. Obr. 13 Soustava sil se společným působištěm v dvourozměrném prostoru Hledání ekvivalentní síly, tj. síly, která má stejný statický účinek jako celá soustava sil, je základní úlohou. Její řešení je možné provést opět numericky nebo graficky. Způsoby řešení volíme s ohledem na počet sil, pro něž hledáme ekvivalentní sílu. Jde-li o řešení ekvivalentní síly pro dvě zadané síly, postačí ke grafickému řešení známé doplnění vektorů na rovnoběžník a výslednice je úhlopříčka rovnoběžníka. Grafické řešení -22-
umožňuje nalézt najednou jak velikost ekvivalentní síly, tak její polohu vůči sčítaným vektorům sil. Numerické řešení předpokládá použití zobecněné Pythagorovy věty, což je kosinova věta. Výsledkem je toliko velikost ekvivalentní síly, její polohu (úhel) je nutné vypočítat zvlášť: F v = [F 1 + F 2 + 2F 1. F 2. cos ( φ 1 - φ 2 )] ½. Pozn. Z matematiky znáte podobu kosinovy věty se znaménkem ve tvaru pod odmocninou F 1 + F 2-2F 1. F 2 cos (φ 1 - φ 2 ). Proto je třeba si uvědomit rozdílnost úhlů, které jsou předpokládány v matematice a které v technické mechanice. Obr. 14 Řešení ekvivalence sil pro dvě síly Pokud zadání obsahuje více než dvě síly, je grafické řešení sice možné prováděním jakýchsi mezisoučtů, které jsou následně přičteny k další síle, ale přesnost řešení se zmenšuje. Numerické řešení předpokládá, že každou sílu rozložíme na dvě složky. Tyto dvě složky jsou navzájem kolmé a ztotožňujeme je se zvoleným nebo zadaným souřadným systémem. Takto rozdělíme dvourozměrnou úlohu na dvě úlohy jednorozměrné. Každou z nich snadno vyřešíme nalezením ekvivalentní síly a následně složíme zpět do dvourozměrného prostoru. Protože je rozložení provedeno na kolmé souřadnice, lze s výhodou použít běžných znalostí pravoúhlého trojúhelníka. Obecný postup výpočtu vypadá takto: 1. Reálné zadání převedeme na matematický model obvykle v měřítku sil. 2. Polohové úhly jednotlivých vektorů přepočítáme tak, že jejich odpočet bude v souladu s matematikou proti směru otáčení hodinových ručiček. 3. Složky každé síly potom jsou: F 1x = F 1. cos φ 1 F 1y = F 1. sin φ 1, F 2x = F 2. cos φ 2 F 2y = F 2. sin φ 2,.... F nx = F n. cos φ n F ny = F n. sin φ n. F vx = F vy = Jednotlivé složky algebraicky sečteme stejným způsobem jako u jednorozměrného prostoru. Tyto výslednice jsou na sebe kolmé. Pozn. Je třeba si uvědomit, že znaménka jednotlivých složek se budou měnit podle funkce cosinus resp. sinus a podle kvadrantu, ve kterém je zadaná síla. -23-
funkce kvadrant I II III IV sin + + - - cos + - + - 4. Výsledné síly průmětů do obou os (x a y) vektorově sečteme, to znamená při kolmosti obou složek provést výpočet přepony pravoúhlého trojúhelníka pomocí Pythagorovy věty: F v = (F 2 vx + F 2 vy ) 1/2. 5. Nalézt velikost polohového úhlu ekvivalentní síly je nejsnazší tak, že si nakreslíme obě výsledné složky průmětů do obou os ve směru, který jsme vypočítali (pozor na znaménko). Pomocí funkce tangens vypočítáme úhel, který svírá výslednice. Ten je pak třeba pro zachování odečítání úhlů od osy x přičíst podle kvadrantu, v němž se ekvivalentní síla nachází. Obr. 15 Grafická interpretace postupu výpočtu Př. Dva remorkéry táhnou po řece vlečnou loď na stejně dlouhých lanech o délce 1 = 50 m. Z bezpečnostních důvodů se svými boky nesmějí přiblížit na vzdálenost menší než h = 15 m. První remorkér vyvíjí tažnou sílu 120 kn a druhý remorkér 90 kn. Vypočítejte výslednou tažnou sílu, kterou je vlečná loď tažena, a směr, jakým se bude pohybovat vzhledem k ose řeky. Ř e š e n í : l -24-
1. Reálné zadání nahradíme matematickým modelem, který nám umožní definovat velikosti tažných sil a jejich polohový úhel vzhledem k ose řeky. Počátek souřadné soustavy bude v místech úvazu lan na vlečné lodi. Velikosti úhlů φ 1, φ 2 vypočítáme pomocí goniometrických funkcí: φ 1 = arsin h/2/l = 8º 37', φ 2 = 360 - φ 1 = 351º 23'. 2. Síly F1, F 2 rozložíme na složky do osy řeky (x) a do osy kolmé na osu řeky (y): F 1x = F 1. cos φ 1 = 118,64 kn F 2x = F 2. cos φ 2 = 88,98 kn F 1y = F 1. sin φ 1 = 17,98 kn, F 2y = F 2. sin φ 2 = -13,48 kn, F vx = 207,62 kn F 2y = 4,50 kn. 3. Vypočítáme velikost výslednice podle Pythagorovy věty: F v = ( F 2 vx + F 2 vy) 1/2 = 207,66 kn. 4. Úhel, který bude svírat vektor síly s osou koryta řeky bude: φv = arctg F vx / F vy = 1º 14'. Př. Zapadlý těžní stroj vytahují tři dozery o tažných silách: F 1 = 5 kn, F 3 = 12 kn. F 2 = 8 kn, Délky lan jsou stejné 1 = 20 m. Nejmenší přípustná vzdálenost úvazů lan na tažných dozerech je h = 6 m. Vypočítejte, jakou výslednou tažnou sílu dozery vyvinou a v jakém úhlu se bude vyprošťovaný stroj pohybovat vzhledem k ose prostředního dozeru. l. Reálné zadání nahradíme matematickým modelem. Souřadný systém budeme volit tak, že osu x ztotožníme s osou lana prostředního dozeru (2). -25-
Z geometrických charakteristik úlohy zjistíme: φ 1 = 17 27', φ 2 = 0, φ 3 = 342 33'. 2. Zadané síly rozložíme do zvolených souřadnic x a y: F 1x = F 1. cos φ 1 = 4,76 kn F 2x = F 2. cos φ 2 = 8,00 kn F 3x = F 3. cos φ 3 = 11,44 kn F 1y = F 1. sin φ 1 = 1,49 kn, F 2y = F 2. sin φ 2 = 0,00 kn, F 3y = F 3. sin φ 3 = -3,50 kn, F vx = 24,20 kn F vy = -2,20 kn. 3.. Výsledná velikost vektoru síly je: F v = ( F 2 vx + F 2 vy) 1/2 = 24,29 kn. 5. Polohový úhel je φ v = arctg F vy /F vx - 3 60 = 355 03'. -26-
2.7 EKVIVALENCE SOUSTAVY ROVNOBĚŽNÝCH SIL V TROJROZMĚRNÉM PROSTORU Soustava rovnoběžných sil v trojrozměrném prostoru je lépe zvládnutelná, když jednu souřadnou osu kartézského souřadného systému volíme rovnoběžnou s nositelkami sil. To znamená, že ke zbývajícím osám, které tvoří rovinu, jsou zadané vektory sil kolmé. Souřadný systém je tvořen osami x, y, z. Obvykle je však souřadný systém apriori zadán svým technickým řešením. Obr. 16 Soustava rovnoběžných sil v trojrozměrném prostoru Podobně jako u dvourozměrného prostoru lze konstatovat, že velikost ekvivalentní síly je dána algebraickým součtem velikostí jednotlivých sil. Její velikost tedy známe ze zadání. Výpočtem řešíme pouze problém nalezení souřadnic jejího působiště. Vektor ekvivalentní síly je rovněž rovnoběžný se soustavou zadaných sil. Souřadnice působiště ekvivalentní síly proto vypočítáme z podmínky momentové rovnováhy: F 1. x 1 + F 2. x 2 + F 3. x 3 + F n. x n x v =, F 1 + F 2 + F 3 +.F n F 1. y 1 + F 2. y 2 + F 3. y 3 + F n. y n y v =, F 1 + F 2 + F 3 +.F n F 1. z 1 + F 2. z 2 + F 3. z 3 + F n. z n z v =. F 1 + F 2 + F 3 +.F n Velikost výslednice sil: F v = F 1 + F 2 + F 3 +...+ F n. -27-
2.8 EKVIVALENCE SOUSTAVY SIL SE SPOLEČNÝM PŮSOBIŠTĚM V TROJROZMĚRNÉM PROSTORU Řešení této úlohy spočívá podobně jako v rovině ve volbě vhodné souřadné soustavy. Její počátek se proto s výhodou situuje do společného působiště sil. Ekvivalentní síla má tu vlastnost, že její působiště je totožné s působištěm zadaných sil. Princip numerického řešení spočívá v tom, že zadané síly F 1 až F n rozložíme do složek souřadné soustavy: F nx = F n. cos α n F ny = F n. cos β n pro n = 1, 2,..n, pro n = 1, 2,..n, F nz = F n. cos γ n pro n = 1, 2,..n. Zároveň platí rovnice: cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1. Je tedy zřejmé, že pro definici vektoru síly v prostoru je třeba znát velikost síly a dva ze směrových úhlů (třetí vyplývá z rovnice). Velikost ekvivalentní síly je dána: F v = (F 2 vx + F 2 vy + F 2 vz) 1/2. Z rovnice je patrné, že se zde jedná o výpočet tělesové úhlopříčky kvádru o stranách rovných velikosti výsledných sil v jednotlivých osách. Obr. 17 Soustava sil se společným působištěm v trojrozměrném prostoru Př. Tři navíjedla postavená v prostoru vyvíjejí tažné síly: F 1 = 15 kn, F 2 = 20 kn, F 3 = 30 kn. Osy jejich lan jsou navzájem kolmé podle obrázku. Vypočítejte ekvivalentní sílu (výslednici), kterou vyvíjí lana v bodě, kde jsou upnuta k břemenu. Vypočítejte polohové úhly výslednice. -28-
Řešení: 1. Nakreslíme matematický model úlohy a zvolíme souřadný systém, s nějakou výhodou např. F 1 x, F 2 y, F 3 z. 2. Vypočítáme ekvivalentní sílu: F v = ( F 2 X + F 2 2 + F 2 3) 1/2 = 39,05 kn. 3. Polohové úhly vypočítáme ze vztahu: F nx = F v. cos α n (pro n = 1) arccos F 1 / F v = 67º 24', F ny = F v. cos β n (pro n = 1) arccos F 2 / F v = 59º 11', F nz = F v. cos γ n (pro n = 1) arccos F 3 / F v = 39º 48'. 4. Pro kontrolu musí pro směrové kosiny platit: cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1. -29-
2.9 STATIKA DOKONALE TUHÉHO TĚLESA Volné tuhé těleso, které není ve svém pohybu nijak omezeno, se může pohybovat v závislosti na počtu rozměrů prostoru. V trojrozměrném prostoru se může pohybovat translačním (přímočarým) pohybem ve směru tří os x, y, z a rotačním pohybem kolem os x, y, z. Má tedy šest stupňů volnosti. Stupeň volnosti je tedy možnost posunutí tělesa nebo jeho pootočení kolem dané osy. Zatížené volné těleso je v rovnováze tehdy, je-li v rovnováze soustava sil na něho působící. Tuhé těleso, které je vedeno (vázáno), je ve svém pohybu omezeno, jeho počet stupňů volnosti je snížen. Vazby působí podle zákona akce - reakce na tuhé těleso určitými silami, které znemožňují volný pohyb tělesa. Vazby - vedení tuhého tělesa Hladká kluzná plocha - je-li jeden bod tuhého tělesa vázán při pohybu na určitou plochu (rovinu). Takováto vazba se realizuje: - kulovým kloubem posuvným po ploše (kuličkové vedení na ploše), - kyvným prutem (speciální podpěry). Obr. 18 Schéma vazby kulovým kloubem a kyvným prutem Kluzná křivka či přímka - je-li při pohybu tuhého tělesa jeden bod vázán na jistou křivku. Takováto vazba se realizuje: - kulovým kloubem posuvným po křivce (válečkové ložisko), - dvěma kyvnými pruty. Obr. 19 Schéma vazby kulovým kloubem a kyvnými pruty -30-
Pevný - neposuvný kulový kloub - lze ho realizovat: - pevným kulovým kloubem, kolem něhož se těleso může volně otáčet (kulový čep), - třemi kyvnými pruty, které neleží v jedné rovině. Obr. 20 Schéma vazby pevného kulového kloubu a kyvných prutů Posuvný kloub válcový - ruší tuhému tělesu čtyři stupně volnosti. Je realizován válcovým vedením a objímkou (sloup radiální vrtačky). Neposuvný válcový kloub - je charakteristický odejmutím poslední vazby translačního pohybu. Těleso může pouze rotovat kolem své osy. Obr. 21 Schéma vazby posuvným válcovým kloubem a neposuvným válcovým kloubem Dokonalé vetknutí - je vazba, která odnímá tělesu všechny stupně volnosti. Tomu odpovídá obecně i počet reakcí. Technickou realizací je vetknutí nosníků. Pozn. Je zřejmé, že počet stupňů volnosti závisí na počtu rozměrů daného prostoru. Značnou část aplikací problematiky technické mechaniky lze převést na dvourozměrný problém. Tomu odpovídají i potřebné vazby a jejich reakce. -31-
2.10 TĚŽIŠTĚ TĚLES Těžiště tělesa je bod, jímž prochází při libovolném pootočení tělesa přímka (nositelka), na které leží vektor tíhy. Těleso zavěšené v těžišti leží vždy v rovnovážné poloze. Těžiště je hmotný střed, v němž se protínají výslednice všech soustav rovnoběžných sil udělujících všem bodům soustavy stejné zrychlení. Pozn. Tak jako lze nalézt těžiště každého tělesa, je možné nalézt i těžiště soustavy těles. V technické mechanice je výhodné pro některé aplikace nahradit reálné těleso hmotným bodem. Takový bod je určen svými souřadnicemi a hmotností. Připomeňme si definici 1 N jako síly, která udělí hmotnému bodu o hmotnosti 1kg zrychlení 1m.s -1. Samotný pojem hmotný bod zdůrazňuje, že vedle popisu jeho polohy je třeba i znalosti jeho hmotnosti. Pojmu bod odpovídá v trojrozměrném prostoru koule, jejíž poloměr je v limitě r = 0, v dvourozměrném prostoru je to kružnice. Je dobré si uvědomit, že těžiště nemusí ležet uvnitř objemu tělesa. SOUŘADNICE TĚŽIŠTĚ ROVINNÉ KŘIVKY Rovinná křivka je křivka, která leží v rovině, tedy v dvourozměrném prostoru (nepatří sem např. šroubovice). Řešení této problematiky spočívá v tomto postupu: 1. K zadané rovinné křivce zvolíme souřadnou soustavu x y. 2. Zadanou křivku rozdělíme na konečný počet úseků "n", které jsou tvořeny elementárními křivkami. Těmi budou úsečka a kruhový oblouk. 3. Všem elementárním křivkám výpočtem určíme polohy těžiště ve zvolené souřadné soustavě. 4. Vypočítáme délky jednotlivých částí rozdělené rovinné křivky, které budou symbolizovat velikosti budou úsečka a kruhový oblouk. Těžiště elementárních křivek (úsečka a kruhový oblouk) a stanovení jejich délky udává tabulka: 5. Tímto způsobem jsme získali soustavu rovnoběžných sil v dvourozměrném prostoru s obecnými polohami jejich působišť: -32-
Obr. 22 Schéma rozdělení rovinné křivky na elementární části a jejich souřadnice 6. Výpočtem hledáme ekvivalentní sílu a souřadnice jejího působiště. Velikost ekvivalentní síly známe, protože je dána součtem vektorů (celkovou délkou křivky): l 1. x 1T + l 2. x 2T +.. l n. x nt x vt =, l 1 + l 2 +. l n l 1. y 1T + l 2. y 2T +.. l n. y nt y vt =. l 1 + l 2 +. l n Souřadnice x nt a y nt jsou působištěm ekvivalentní síly, které jsou z definice zároveň souřadnicemi těžiště křivky. Př. Vypočítejte polohu těžiště zadané rovinné křivky podle obrázku. Řešení: 1. Zadaná křivka je opatřena pravoúhlým kótováním, proto jí přiřadíme souřadný systém, který bude rovnoběžný se systémem kót. 2. Zadaná křivka je složena ze tří úseček, proto je její rozdělení jednoduché - na tři úsečky. 3. Vypočítáme délky jednotlivých úseček pomocí Pythagorovy věty: l n = (x 2 n + y 2 n) 1/2. Pro přehlednost a zpracování zapíšeme výsledky do tabulky. -33-
l n x nt y nt 291,5 125 75 200 350 150 304,1 475 300 4. Určíme souřadnice těžišť, jednotlivých úseček podle vztahu: x n y nt x nt = y nt =. 2 2 Výsledky zapíšeme do tabulky. 5. Vypočítáme souřadnice těžiště: l 1.x 1T + l 2. x 2T + l 3. x 3T x vt = = 315,3 mm, 1 1 + 1 2 + 1 3 l 1. y 1T + l 2. y 2T + 1 3. y 3T y vt = = 179,8 mm. 1 1 + 1 2 + 1 3 Výsledné souřadnice vyneseme zpět do obrázku. Př. Vypočítejte analyticky souřadnice těžiště rovinné křivky podle obrázku. Řešení: 1. Pro zadanou křivku zvolíme souřadný systém x y a zakótujeme důležité rozměry. 2. Vypočítáme délky jednotlivých oblouků, středový úhel je 180 : π. r n l n =. α n. 180 Výsledky zapíšeme do tabulky. 3. Vypočítáme polohy obou těžišť, -34-
výpočet provedeme podle vztahu: t n TO n = r n.. l n Výsledky opět zapíšeme do tabulky s tím, že vzhledem k symetrii oblouků je poloha těžiště na ose y dána osou, která spojuje střed kruhového oblouku se středem kóty t. Je nutné si uvědomit, že kóty v tabulce je třeba ještě přepočítat jako absolutní souřadnice těžiště. l n x nt y nt 785,4 90,8 250 471,2 345 350 4. Vypočítáme souřadnice těžiště celé rovinné křivky podle vztahů: l 1. x 1T + 1 2.. x 2T x vt = = 186,1 mm, 1 1 + 1 2 l 1. y 1T + 1 2. y 2T y vt = = 287,5 mm. Pozn. Řešení souřadnic těžiště rovinné křivky lze provést i grafickou cestou. Řešení je totožné s l 1 + l 2 Výsledné souřadnice zaneseme zpět do souřadné soustavy, jejich průsečík je těžiště rovinné křivky. řešením soustavy rovnoběžných sil v dvourozměrném prostoru (kapitola 2.4). SOUŘADNICE TĚŽIŠTĚ PLOCHY Výpočet těžiště plochy patří k velmi častým výpočtům technické praxe, protože dvourozměrným prostorem lze nahradit většinu technických problémů. Pokud existuje ještě třetí rozměr, není obvykle problémem. Obecné řešení vypadá následovně: 1. Pro zadanou plochu zvolíme výhodnou souřadnou soustavu x y. Zadanou plochu rozdělíme na konečný počet elementárních ploch, které mají známou polohu těžiště. Vypočítáme velikost obsahu jednotlivých ploch. 2. Vypočítáme hodnotu absolutních souřadnic jednotlivých těžišť; x 1T, x 2T,,x nt a y 1T, y 2T,..,y nt -35-
Obr. 23 Schéma rozdělení plochy na konečný počet elementárních ploch -36-
3. Vypočítáme souřadnice výsledné polohy těžiště: S 1. x 1T + S 2. x 2T +... S n. x nt x vt =, S 1 + S 2 +...S n S 1. y 1T + S 2. y 2T +... S n. y nt y vt =. S 1 + S 2 +...S n Pozn. Speciálním případem hledání souřadnic těžiště plochy jsou plochy, které mají jednu osu symetrie. Poloha těžiště je proto na této ose a není třeba ji počítat, výpočet provádíme pouze pro druhou souřadnici (kruhová výseč). Pokud má plocha dvě osy symetrie, je poloha těžiště v průsečíku obou os (kruh, čtverec, obdélník apod.). Někdy je velmi výhodné těchto vlastností využívat. Př. Vypočítejte polohu těžiště plechové figury podle obrázku. Řešení: 1. Pro zadanou plochu zvolíme vhodnou souřadnou soustavu. 2. Zadanou plochu rozdělíme například na dva obdélníky. Vypočítáme obsah každé plochy a zapíšeme do tabulky: S n = a n. b n. 3. Vypočítáme souřadnice těžiště T 1 a T 2 : b n h n x nt = y nt =. 2 2 -------------------1------ s n ---------------1 x n y n Výsledky zapíšeme do tabulky. 100 000 200 225 x n y n 134 000 500 335-37-