Teorie obnovy Meoda operačního výzkumu, kerá za pomocí maemaických modelů zkoumá problémy hospodárnosi, výměny a provozuschopnosi echnických zařízení. Obnova Uskuečňuje se až po uplynuí určiého času činnosi zařízení, keré končí jeho zničením nebo opořebením. 1
Údržba Zabezpečuje původní vlasnosi zařízení a odsranění poškozených čásí. Rozlišuje se: prevenivní (profylakická) údržba vykonává se bez ohledu na sav poškození. Vyměňují se při ní y prvky zařízení, keré jsou opořebené nad sanovenou mez. represivní (dodaečná) údržba vykonává se ehdy, dojde-li k poruše zařízení v důsledku selhání někerého prvku. Základní ypy úloh eorie obnovy A. Problémy obnovy srojního zařízení, jehož užiečnos pro sysém se posupně snižuje. Důvody pro náhradu sarého zařízení: dosavadní zařízení nesačí již svým výkonem zvýšeným požadavkům, i když je jinak v bezvadném savu, dosavadní zařízení morálně zasaralo, i když podává sejný výkon jako dříve, dosavadní zařízení již vyžaduje nadměrné náklady na údržbu a opravy, výkon dosavadního zařízení klesá, čímž rosou provozní náklady připadající na jednoku výroby, kombinace výše uvedených okolnosí. 2
Základní ypy úloh eorie obnovy B. Problémy obnovy prvků zařízení, keré v určiém okamžiku selžou a přesanou plni svou funkci. Je-li v sysému několik prvků sejného nebo podobného druhu, přicházejí pro provedení oprav v úvahu následující variany: Sysém se opravuje pouze pokud dojde k selhání někerého prvku. Exisují yo alernaivy: nahradí se pouze porouchaný prvek, osaní prvky se ponechají, osaní prvky sejného ypu se prohlédnou, a dle pořeby vymění, nahradí se všechny prvky sejného druhu prvky novými. Zařízení se v pravidelných lhůách prohlíží a vyměňují se y prvky, keré jsou nadměrně opořebovány. V pravidelných lhůách se vymění v zařízení vždy všechny prvky ohoo druhu, bez ohledu na supeň jejich opořebení. Druhy nákladů v eorii obnovy náklady na nově zamonované prvky, náklady na demonáž zařízení, monáž nových prvků a monáž zařízení, náklady vyvolané vyřazením zařízení z provozu po dobu jeho opravy. 3
Základní charakerisiky procesů obnovy Uvažujme soubor homogenních prvků, kerý prochází posupně obnovou následkem selhání. Jednolivé prvky souboru jsou při selhání nahrazovány prvky novými. p() p(t>) p c () pravděpodobnos selhání prvku ve věku pravděpodobnos přežií věku podmíněná pravděpodobnos selhání Označení použiých veličin T N() věk prvku doba fungování prvku základního souboru poče prvků, jež fungují v čase 4
Pravděpodobnos selhání prvku ve věku Pravděpodobnos, že náhodně vybraný prvek souboru selže po dosažení věku, před dosažením věku + 1. p() N() N( N( 0) 1) Pravděpodobnos přežií věku Pravděpodobnos, že náhodně vybraný prvek přežije věk. p(t ) N() N(0) 5
Podmíněná pravděpodobnos selhání Pravděpodobnos, že náhodně vybraný prvek, kerý přežil věk selže v následující časové jednoce, j. v časovém inervalu (, + 1). N() N( 1) p c () N() Vzah mezi pravděpodobnosí selhání a pravděpodobnosmi přežií p() = p(t > ) p(t > + 1) neboť plaí: N() N( N( 0) 1) N() N( 1) N( 0) N( 0) 6
Vzah mezi pravděpodobnosí přežií a pravděpodobnosmi selhání p(t ) k p(k) neboť plaí: p(t ) N() N() N( 1) N( 1) N( 2) N( 2) N( 3)... N( 0) N( 0) Vzájemný vzah mezi pravděpodobnosmi p c (), p(), p(t>) () p c N() N( 1) N() N() N( 1) N( 0) N() N( 0) p() p(t ) 7
Sřední doba živonosi prvku souboru Sřední doba, jež uplyne od počáku fungování prvku do jeho selhání. Za předpokladu, že k selhání prvků dochází vždy na konci příslušného období, plaí: 0 ( 1)p() Celkový poče odpracovaných období 1. N(0). p(0) + 2. N(0). p(1) + 3. N(0). p(2) + poče prvků fungujících jedno období poče prvků fungujících dvě období poče prvků fungujících ři období 8
Sřední poče odpracovaných období 1 ( 1.N( 0).p( 0) 2.N( 0).p( 1) 3.N( 0).p( 2)...) N( 0) po úpravě: 1.p( 0) 2.p( 1) 3.p( 2)... Sřední doba živonosi prvku souboru = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) + + p(1) + p(2) + p(3) + + p(2) + p(3) + Jelikož plaí: p(t ) k p(k) lze psá + ad. 0 p(t ) 9
Demonážní věk Maximální doba živonosi prvku, po jejímž dosažení bude prvek obnoven, bez ohledu na jeho skuečný fyzický sav. Sřední doba živonosi prvku souboru při demonážním věku d d1 d ( 1).p() d. p() 0 d d 1 d p(t ) 0 10
Rovnice procesu obnovy Předpokládejme, že prvky základního souboru jsou obnovovány vždy na konci období v němž selžou, že je známo rozdělení pravděpodobnosi p() věku selhání prvků základního souboru, a že je sanoven maximální věk d prvků, při jehož dosažení jsou prvky obnovovány. Označení použiých veličin N o ( 1) poče prvků obnovených v období ( 1), N o ( 2) poče prvků obnovených v období ( 2), ad. pak: N o ( 1).p(0)poče prvků, keré musí bý vyměněny v období 11
Základní rovnice eorie obnovy Celkový poče N o () prvků, jež je nuno obnovi v období : N o () = N o ( 1).p(0) + N o ( 2).p(1) + + N o ( d).p(d 1) Tao rovnice plaí za předpokladu, že obnova probíhá v plném věkovém srukurním složení základního souboru. Rovnice obnovy v useknué formě Proces rozvíjející se obnovy v souboru právě vyvořeném lze popsa za předpokladu < d sousavou rekurenních vzahů: N o (1) = N o (0).p(0) N o (2) = N o (1).p(0) + N o (0).p(1).. N o (d 1) = N o (d 2).p(0) + N o (d 3).p(1) + + N o (0).p(d 2) 12
Závislos poču obnovovaných prvků na době provozu N o () N o () Cykličnos procesu obnovy Je vyvolána koncenrací obnovy do jednoho nebo několika málo po sobě následujících období. V důsledku nesejné živonosi jednolivých prvků souboru dochází posupně k homogenizaci věkové srukury složení souboru, a ím i k usálení poču pravidelně obnovovaných prvků. 13
Sabilizovaný (rovnoměrný) proces obnovy Ve sabilizovaném procesu obnovy je poče obnovovaných prvků v každém období sejný. N o () = N o ( 1) = N o ( 2) = = N o ( d) Plaí, že základní soubor v okamžiku obsahuje N prvků různého věku: N o ( 1).p(T > 0) + N o ( 2).p(T > 1) + + N o ( d).p(t > d 1) = N N o (). [p(t > 0) + p(t > 1) + + p(t > d 1)] = N Liminí hodnoa obnovy S ohledem na planos vzahu: d 1 d p(t ) 0 N o (). N dosáváme: N o () N 14
Závislos poču obnovovaných prvků na době provozu N o () N o () Opimální cyklus obnovy zařízení z hlediska nákladů jeho selhání Úkolem je sanovi opimální (plánovaný) cyklus obnovy D ak, aby úhrn očekávaných nákladů na plánované obnovy a nákladů na poruchové obnovy za dosaečně dlouhou dobu H (zv. plánovací horizon) byl co nejnižší. Plánovaný cyklus obnovy D udává demonážní věk zařízení, edy D = max = d. 15
Druhy nákladů c 1 náklady na plánovanou obnovu (náklady, keré si vyžádá obnova zařízení, je-li uskuečněna v době mimo provoz zařízení) c 2 náklady na neplánovanou, poruchovou obnovu (náklady a zráy, keré vzniknou, je-li nuno provés obnovu následkem selhání při provozu zařízení) Celkový poče obnov zařízení během doby H H D H D plánovací horizon sřední doba živonosi zařízení při sanovení cyklu D 16
Poče plánovaných obnov H D p(t D) p(t > D) pravděpodobnos, že se zařízení dožije alespoň věku D Poče neplánovaných obnov H D p(t H D) 1 D p(t D) 17
Úhrnné náklady na plánované i neplánované obnovy zařízení během doby H N c H H c1 p(t D) c 2 1 p(t D D D) Úhrnné náklady N c (D) připadající na jednoku času N c (D) c (c c )p(t D) (c 2 2 1 2 2 D 1 D 0 c c 1 )p(t D) p(t ) Opimální cyklus obnovy D je akový, pro kerý funkce N c (D) nabývá minimální hodnoy. 18