NUMERICAL INTEGRATION AND DIFFERENTIATION OF SAMPLED TIME SIGNALS BY USING FFT

NUMERICAL INTEGRATION AND DIFFERENTIATION OF SAMPLED TIME SIGNALS BY USING FFT J. Tuma Summary: The paper deals wth dfferentaton and ntegraton of sampled tme sgnals n the frequency doman usng the FFT and nverse FFT. The tme sgnal ntegraton n the tme doman s replaced by dvson of the sgnal frequency spectrum by jω factor n the frequency doman. Smlarly the dfferentaton of tme sgnals wth respect to tme s replaced by multplcaton of the frequency spectrum by factor jω. As the data are corrupted by nose some components of the frequency spectrum are fltered out. 1. Úvod Sgnály se výhradně zaznamenávají jako vzorkované nejčastěj s konstantní vzorkovací frekvencí. Příkladem může být rychlost pohybu. V případě, že je požadována znalost dráhy (výchylky) nebo zrychlení, je třeba sgnál ntegrovat nebo dervovat. Jestlže je potřeba odvodt ze záznamu zrychlení pohybu výchylku, pak je třeba ntegrovat dvakrát. Stejně v případě výpočtu zrychlení ze známé výchylky je třeba použít druhou dervac. Protože vzorkovací frekvence je obvykle dostatečně vysoká, stačí vypočítat dervac nebo ntegrál pouze v okamžcích vzorkování. Učebnce numercké matematky nabízejí nterpolační vzorce pro numercké ntegrování nebo dervování. Pro ntegrac je nejednodušší kumulovaný součet a pro dervac zpětná nebo dopředná dference. V obou případech je uvažováno s velkostí vzorkovací perody. U ntegrace tento postup znamená náhradu časového průběhu obdélníky. Složtější výpočet představuje náhrada lchoběžníky a ještě složtější postup pak náhrada polynomy vyššího stupně než 2. U dervace lze pro okamžk zvoleného vzorku vypočítat dervac rovněž z aproxmačního polynomu. Výpočet koefcentů zvoleného aproxmačního polynomu vyžaduje o jeden vzorek více než je stupeň tohoto polynomu. Je výhodnější samozřejmě co největší stupeň polynomu. Rovněž přesnost je vyšší pokud se počítá dervace pro vzorek prostřední než pro vzorky na okraj skupny po sobě jdoucích vzorků. Popsané postupy však nevyhoví, jestlže jsou data zatížená specfckým měřcím chybam. Další nevýhodou je to, že například př výpočtu dervace je počet vypočtených dferencí o jednu nžší než je počet vzorků, což někdy nemusí vyhovovat. Tento referát bude demonstrovat postup využívající transformac sgnálu do frekvenční oblast, ve které se provede úprava frekvenčního složení spektra a záznam se bude transformovat nverzní Prof. Ing. Jří Tůma, CSc., Department of Control Systems and Instrumentaton, VŠB - Techncal Unversty of Ostrava, 17.lstopadu 15, Ostrava-Poruba, 78 33, Czech Republc, tel.: 596993482 jr.tuma@vsb.cz

transformací zpět do časové oblast. Použtí tohoto postupu je zvláště vhodné pro sgnál zrychlení pezoelektrckým akcelerometrem, z jehož záznamu je třeba vypočítat výchylku, nebo pro sgnál úhlové výchylky sloužící k výpočtu úhlového zrychlení. Pro obě tyto úlohy budou uvedeny příklady z měření. 2. Teoretcké základy ntegrace a dervace ve frekvenční oblast Nejrozšířenějším postupem výpočtu Fourerovy transformace je rychlá Fourerova transformace (FFT). Jejím omezením je počet vzorků. I když jsou odvozeny algortmy pro počty vzorků rozložtelných na nestejné čntele, nejrozšířenější je výpočet pro počet vzorků roven mocnně dvou. Konečnou posloupnost vzorků o tomto počtu N, x, =,1,..., N 1 se převede dskrétní Fourerovou transformací (DFT) na stejný počet vzorků, =,1,..., N 1 ( x) X = DFT, (1) kde x a X jsou vektory obsahující prvky x a X. Jestlže x je vektor reálných čísel, pak X je vektor komplexních čísel a pro jeho složky s pořadím > platí, že jsou komplexně sdružené X =. (2) * X N Je třeba s všmnout, že jsou to prvky symetrcké kolem prvku s pořadím N 2. Hodnota prvku s pořadím nula, X, je reálné číslo, které je úměrné součtu vzorků. Obraz matematcké operace ntegrování podle času odpovídá obecně dělení Fourerova obrazu časové funkce výrazem j ω a obraz operace dervování podle času je ve frekvenční oblast nahrazeno násobením tímto faktorem. Pro vzorkované hodnoty je úhlová frekvence ω vypočtena podle vzorce 2π T, N 2 ω =, (3) 2π ( N ) T, N 2 N 1 kde T je doba záznamu vzorků o počtu N. První složka vektoru X souvsí se střední hodnotou vzorků v záznamu, druhá a poslední složka jsou v absolutní hodnotě shodné a souvsejí s ampltudou složky vzorkovaného sgnálu o perodě T, třetí a předposlední složka souvsí s ampltudou složky vzorkovaného sgnálu o perodě T 2, atd. Faktor jω je ryze magnární číslo. Př ntegrac se jm dělí jednotlvé komplexní prvky vektoru X a př dervac naopak se uvedené prvky násobí. Tato operace zachová symetr v absolutní hodnotě a reálné část komplexních prvků výsledného vektoru a antsymetr v magnárních částech prvků tohoto vektoru, což je podmínka pro reálné prvky vektoru vzorků po nverzní Fourerově transformac. Př ntegrac vzorkovaného sgnálu popsaným postupem nelze prvek vektoru X s pořadím dělt nulovou úhlovou frekvencí. Ostatně nenulová střední hodnota (nenulový součet vzorků záznamu) vede po ntegrac na lneárně se zvětšující trendovou složku. Pokud má tato složka význam pro výsledek ntegrace, lze její průběh vypočítat bez použtí technky FFT. V případě například dat z měření zrychlení pohybu ve svslém směru je aprorně předpokládáno, že střední hodnota zrychlení je nulová. X

Výhodou výpočtu dervace vzorkovaného sgnálu je to, že výsledkem je stejný počet vzorků jako u výchozího záznamu. Transformac časového průběhu vzorkovaného sgnálu do frekvenční oblast je možné využít k úpravě frekvenčního spektra sgnálu. Př měření je apror známo, které složky spektra přísluší měřícímu šumu. Nejjednodušší fltrace nežádoucích složek je jejch nulování. Př náhradě složek nulam je třeba dodržet symetr kolem prvku s pořadím N 2. 3. Integrace posloupnost záznamů a vyhlazení navazujících spojů Dosud popsaný postup není nkterak složtý a lze jej realzovat snadno dostupným prostředky. Nevýhodou popsaného postupu je to, že délka záznamů u metody výpočtu FFT, opírající se o počet vzorků rovný mocnně dvou, nelze provést pro lbovolnou délku nebo aspoň s mnmalzací zbytku záznamu, který nelze do ntegrace zařadt. Například 12 vzorků umožňuje vypočítat FFT jen z 8192 vzorků. Zbývající as 4 vzorků nelze v tomto případě použít. Časová oblast Frekvenční oblast Časová oblast Časový sgnál Výpočet FFT Dolní propust Inverzní FFT 2 4 2 4 2 2-2 2 4 6 8 16 24 8 16 24-2 2 4 6 + + 2 4 2 4 2 2-2 2 4 6 8 16 24 8 16 24-2 2 4 6 = Frekvenční osa Frekvenční osa = 2 2-2 2 4 6 Přechod skokem Plynulý přechod -2 2 4 6 Časová osa Časová osa Obr. 1 Vysokorychlostní konvoluce s využtím FFT Aby se lépe zužtkovaly naměřená data, lze výchozí záznam například rozdělt na bloky (segmenty) o velkost 248 nebo 124 a pro každý blok samostatně vypočítat ntegrovaný

nebo dervovaný časový průběh. Výsledné bloky však nebudou na sebe navazovat. V místě spojení budou skoky, což může vadt například, jestlže jsou dvojtě ntegrované záznamy zrychlení do výchylek polohy použty jako řídcí velčna pro hydraulcký zatěžovací stroj. Přítomnost skoků znamená rozšíření frekvenčního spektra o složky s vysokou frekvencí. Například dvakrát ntegrovaný sgnál zrychlení pro řízení zatěžovacího stroje může mít omezené spektrum s vyloučením složek o vysokých frekvencích, která regulační obvod není schopen přenést na zdvh hydraulckých válců. Jným příkladem je dervovaný sgnál, s potlačením ntenzvně zesílených složek spektra o vysokých frekvencích. Obě operace, ntegrování a dervování, je vhodné doplnt fltrací typu dolní propust. Vhodnou technkou je vysokorychlostní fltrace s využtím FFT. Prncp spočívá v rozdělení navzorkovaného sgnálu na dílčí segmenty. Každý segment je prodloužen na dvojnásobnou délku doplněním nulam. Takto rozšířený segment je transformován FFT do frekvenční oblast, kde je fltrován. Pro použtí k vyhlazení spojů segmentů je použta dolní propust, což znamená, že vysokofrekvenční složky jsou nulovány. Segment s upraveným spektrem je nverzní FFT převeden zpět do časové oblast. Jednotlvé segmenty jsou složeny tak, že rozšířený segment s úsekem vyplněný nulam se přčte k první část následujícího segmentu. Postup výpočtu je zřejmý z obr. 1. V lteratuře je uvedeno, že tento způsob fltrace předčí svou rychlostí číslcovou fltrac, například fltrem s konečnou mpulsní odezvou (FIR). 4. Příklad dvojté ntegrace vzorkovaného sgnálu Př testech systému pérování automoblu se projíždí zkušební vozovky a měří se zrychlení na nápravách nebo v místě uchycení kabny k rámu a nebo přímo na podlaze kabny. Cílem měření je získat budící funkce pro zkušební stavy smulující pohyb vozdla po zkušební vozovce. Protože elektrohydraulcké systémy se řídí výchylkou, je třeba záznamy zrychlení dvakrát ntegrovat. Problém ntegrace však spočívá v tom, že akcelerometry mají nízkofrekvenční tepelný drft. Například na zkušební dráze PAVE o délce 4 m s nerovnostm v rozsahu jednotek centmetrů se po ntegrac sgnálu zrychlení bez úprav frekvenčního spektra zjstí převýšení nebo vlny v metrech, přčemž dráha je ve skutečnost téměř plochá. Nerovnost v mlmetrech jsou uvedeny na obr. 2. [mm] 2 15 1 5-5 5 1 15 2 25 3 35 4 Dstance [m] Obr. 2 Nerovnost zkušební dráhy PAVE polygonu TATRA Kopřvnce Vozdlo se pohybovalo rychlostí as 25 km/h. Sgnály zrychlení byly vzorkovány s frekvencí 256 Hz. Záznam zrychlení podlahy kabny nákladního automoblu T 815 za 62 s je znázorněn na obr. 3 a obsahuje 15831 vzorků. Pro výpočet FFT bylo možné použít jen 8192 vzorků, což odpovídá 32 s jízdy na dráze as 22 m. Absolutní hodnota FFT spektra je na obr. obr. 4.

[m/s^2] 3 2 1-1 -2-3 1 2 3 4 5 6 Tme [s] Obr. 3 Sgnál zrychlení na podlaze kabny nákladního automoblu př průjezdu dráhou PAVE 496 * Ampl [m/s^2] 8 6 4 2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 22 24 26 28 3 Frequency [Hz] Obr. 4 Spektrum sgnálu zrychlení z obr. 3 7 6 7 6 496 * Ampl [m/s^2] 5 4 3 2 1 496 * Ampl [m/s^2] 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 Frequency [Hz] 1 2 3 4 5 Frequency [Hz] Obr. 5 ZOOM spektra z obr. 4 Obr. 6 ZOOM spektra z obr. 5 bez složek s frekvencí do,5 Hz Tepelný drft akcelerometru se předpokládá v rozsahu do,5 Hz. Toto pásmo bylo stanoveno zkusmo tak, aby rozsah pohybů kabny byl realstcký. Na obr. 5 a 6 jsou znázorněny ZOOM spektra bez úprav a s odfltrováním složek do,5 Hz. Je zřejmé, že v tomto pásmu se nevyskytuje žádná rezonanční složka, kterou lze spojovat s karoserí, kabnou nebo nápravou vozdla. Spektrum výchylek po ntegrac je znázorněno na obr. 7 a 8 s logartmckou svslou osou. Tento obrázek dokumentuje neodůvodněnou složku spektra domnující v pásmu tepelného šumu akcelerometru.

1 1 1 1 496 * Ampl [m] 1 1 496 * Ampl [m] 1 1 1 1 2 3 4 5 Frequency [Hz] 1 1 2 3 4 5 Frequency [Hz] Obr. 7 ZOOM dvakrát ntegrovaného spektra z obr. 4 Obr. 8 ZOOM dvakrát ntegrovaného spektra z obr. 6 bez složek s frekvencí do,5 Hz Jestlže se dříve popsaným způsobem nevyloučí ze spektra pásmo v rozsahu do,5 Hz, pak výsledkem ntegrace je časový průběh pohybu kabny znázorněný na obr. 9. Naprot tomu spektru z obr. 6 odpovídá časový průběh výchylek podlahy kabny znázorněný na obr. 1. [m] 2, 1,, -1, -2, 4 8 12 16 2 24 28 32 Tme [s] Obr. 9 Časový průběh výchylky po dvojté ntegrac sgnálu zrychlení bez úpravy frekvenčního spektra sgnálu Délka celé dráhy je 4 m. Jak jž bylo uvedeno, časový úsek záznamu o velkost 32 s odpovídá uletí více než polovny dráhy. Integrace celého časového záznamu lze provést tak, že se záznam rozdělí do většího počtu segmentů, pro které se provede ntegrace zvlášť. Na obr. 11 je uveden příklad výpočtu z 4sekundových segmentů o délce 124 vzorků s vyhlazením spojů dolnopropustným fltrem 2 Hz. V místech spojení segmentů, která jsou v tomto obrázku zvýrazněna, jsou zřejmé skoky. Na obr. 12 je demonstrováno spojení segmentů o délce 512 vzorků v druhé sekundě a použtí různých dolnopropustných fltrů, a to 3 Hz a 1 Hz. V případě, že výsledný sgnál je použt k řízení elektrohydraulckého zatěžovacího stroje, pak omezení frekvenčního rozsahu je zdůvodntelné přenosovým vlastnostm hydraulckých válců. Jným řešením propojení segmentů pro řízení elektrohydraulckého zatěžovacího stroje je plynulé utlumení a opětovný náběh řídcího sgnálu například s modulační funkcí podobnou Hannngovu časovému oknu.

[m],15,1,5, -,5 -,1 -,15 4 8 12 16 2 24 28 32 Tme [s] Obr. 1 Časový průběh výchylky po dvojté ntegrac sgnálu zrychlení s úpravy spektra sgnálu (odfltrování složek od do,5 Hz) [m],15,1,5, -,5 -,1 -,15 4 8 12 16 2 24 28 32 Tme [s] Obr. 11 Časový průběh výchylky po dvojté ntegrac sgnálu zrychlení složený ze 2sekundových segmentů (místa spojení segmentů jsou zvýrazněna),15,1 [m],5, -,5 -,1 Bez skoku Spojení nevyhlazeno Dolní propust 1 Hz Dolní propust 3 Hz -,15 1 1,5 2 2,5 3 Tme [s] Obr. 12 Skoky ve spojení segmentů s různě fltrovaným sgnálem 5. Příklad dvojté dervace vzorkovaného sgnálu Výsledkem fázové demodulace mpulsního sgnálu je závslost úhlu otočení na čase [Tůma, 1997]. Rovnoměrnému otáčení odpovídá s časem lneárně narůstající úhel otočení. Jestlže dochází k úhlovým kmtům ze rotace, není nárůst úhlu otočení v čase lneární, ale kolísá kolem lneárně vzrůstajícího úhlu. Příklad časového průběhu narůstajícího úhlu otočení je uveden na obr. 13 a příklad extrahovaných odchylek úhlu je na obr. 14. Místo časové osy je použta stupnce v počtech otočení, jejíž dělení je v čase lneární. Tento způsob přepočtu

kompenzuje měnící se průměrnou rychlost otočení. Časový průběh odchylky je považován za úhlové kmty za rotace. Odchylky úhlu mají nulovou střední hodnotu. rad 7 6 5 4 3 2 1,2,4,6,8 1,15,1,5 rad -,5 -,1 -,15,2,4,6,8 1 Obr. 13 Úhel otočení v závslost na čase Obr. 14 Kolísání úhlu otočení v závslost na čase K demonstrac dvojté dervace časového průběhu odchylek úhlu otočení podle času je použto měření úhlových kmtů 4taktního a 4válcového zážehového motoru osobního automoblu za volnoběhu. Kolísání úhlu otočení za 1 dvojotáček je znázorněno na obr. 15. Pro fázovou demodulac bylo použto pásmo do 6 order od nosné složky. Na obr. 16 je znázorněno spektrum ampltud složek po Fourerově transformac. Měřítko pro ampltudy je úhlových stupních a měřítko pro frekvenční osu je v order, tj. v násobcích základní průměrné rychlost otáčení. Ve spektru úhlových výchylek domnují nízkofrekvenční složky, zatímco vysokofrekvenční složky nad 6 order jsou zanedbatelné. deg 1,5 1,,5, -,5-1, -1,5,2,4,6,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 Obr. 15 Časový průběh úhlové rychlost během 1 dvojotáček po ntegrac úhlových odchylek (odfltrovány složky na 6 order) Úhlová rychlost v RPM (otáčky za mnutu) se získá násobením Fourerova obrazu úhlových odchylek Φ ( ω) faktorem j ω, které zesílí vysokofrekvenční složky. V pásmu nad 6 order je zvlněné nenulové pozadí spektra. Patrná je rovněž změna proporcí mez nízkofrekvenčním složkam, které obsahují užtečnou nformac o úhlovém kmtání za rotace. Opakované násobením Fourerova obrazu úhlové rychlost Ω ( ω) znovu faktorem j ω se získá Fourerův obraz úhlového zrychlení. Nad frekvencí 6 order se v tomto případě lneárně s frekvencí zvětší ampltuda šumových složek. Vyloučt šum lze tedy jen nulováním složek spektra nad s frekvencí převyšující 6 order. Výsledek výpočtu úhlové rychlost v otáčkách za mnutu metodou dervování časového průběhu úhlových výchylek podle času je znázorněn na obr. 17. Časová osa je v otočeních.

Úplnému cyklus čtyřtaktu odpovídají dvě otáčky motoru. V dagramu je zakresleno celkem 1 dvojotáček přes sebe. Výsledek výpočtu kolísání úhlového zrychlení metodou druhé dervace časového průběhu úhlových výchylek podle času za dvojotáčku je znázorněn na obr. 18. V časovém průběhu lze pozorovat čtyř zpomalení vlvem komprese směs ve válcích a čtyř fáze zrychlení vlvem spalovacího tlaku př hoření palva včetně anomále vznkající v prvním válc a velkého rozptylu maxm ampltud zrychlení ve všech válcích. V komentář k výsledkům je třeba s uvědomt, že záznamy obsahují frekvenční složky jen do šesté harmoncké frekvence otáček, tj. do třetí harmoncké frekvence zápalů palva ve válcích (dvakrát za otáčku). () Φ( jω ) ϕ t, ω = d ϕ dt, Ω = jωφ ε = d ω dt, Ε = jω Ω 1,2 1,8,6,4,2 deg 8 RPM 7 6 5 4 6 12 Order Fltered out rad/s2 12 1 8 6 Fltered out 3 4 2 1 2 6 12 6 12 Order Order Obr. 16 Spektrum kolísání úhlu otočení, úhlové rychlost a zrychlení RPM 83 82 81 8 79 78 77,2,4,6,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 Obr. 17 Časový průběh úhlové rychlost během 1 dvojotáček po ntegrac úhlových odchylek (odfltrovány složky na 6 order) V posledních dvou obrázcích byly časové průběhy úhlové rychlost kresleny přes sebe, což lze zdůvodnt potřebou zjstt rozsah změn zrychlení v jednotlvých pracovních fázích motoru. Pro jné důvody může být požadováno kreslt časové průběhy za sebou. Výpočty probíhají však po segmentech odpovídajících dvojotáčce a vznkne problém skoků mez navazujícím segmenty. Řešení tohoto problému spočívá ve vyhlazení míst spojení fltrací dat. Výhodné se jeví proto použtí metody vysokorychlostní konvoluce jako v příkladu s ntegrací záznamu zrychlení. V obr. 19 je časový průběh pět dvojotáček následujících bezprostředně za sebou nevyhlazený ve spojích (kresleno černě) a průběh vyhlazený (červeně).

rad/s2 3 2 1-1 -2,2,4,6,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 Obr. 18 Časový průběh úhlového zrychlení během 1 dvojotáček po dvojté ntegrac úhlových odchylek (odfltrovány složky na 6 order) 3 2 1 rad/s2-1 -2-3 2 4 6 8 1 Obr. 19 Časový průběh úhlového zrychlení po dvojté ntegrac úhlových odchylek během 5 po sobě jdoucích dvojotáček 6. Závěr Referát popsuje postup ntegrování a dervování sgnálů pomocí rychlé Fourerovy transformace, tj. ve frekvenční oblast dělením nebo násobením faktorem j ω. Protože ve vzorkovaných záznamech je obsažen měřící šum, je sgnál ve frekvenční oblast fltrován vynulováním vhodných složek spektra. Pro ntegrac je nezbytné vyloučt složky spektra ve frekvenčním pásmu počínaje nulou. Naprot tomu dervace vyžaduje fltrovat vysokofrekvenční složky. V obou případech jsou tyto složky slně zeslovány a překryjí užtečné číst sgnálu. Ltertura [Tůma, 1997] Tůma, J.: Zpracování sgnálů získaných z mechanckých systémů užtím FFT. Sdělovací technka, Praha 1997. PODĚKOVÁNÍ Výzkum byl proveden na katedře Automatzační technky a řízení Fakulty strojní, VŠB Techncké unverzty Ostrava jako součást prací na řešení grantového projektu Identfkace vbračního účnku na ldské tělo v obecném směru a jeho aktvní potlačení č. 11/2/175/A GAČR České republky. Některé poznatky vyplynuly rovněž z práce pro průmyslové podnky, jmenovtě ŠKODA-Auto a.s. a TATRA a.s..