Číslicové zpracování a analýza signálů (BCZA) Spektrální analýza signálů

Transkript

1 Číslcové zpracování a analýza sgnálů (BCZA) Spektrální analýza sgnálů

2 5. Spektrální analýza sgnálů 5. Spektrální analýza determnstckých sgnálů 5.. Dskrétní spektrální analýza perodckých sgnálů 5..2 Dskrétní spektrální analýza obecných sgnálů.2. Vlastnost analýzy pomocí DFT ve srovnání s ntegrální FT spojtých sgnálů.2.2 Časově - frekvenční analýza, spektrogram 5.2. Spektrální analýza stochastckých sgnálů 5.2. Podstata odhadu spekter stochastckých procesů eparametrcký odhad výkonových spekter Metoda perodogramu Metoda korelogramu Odhad výkonového spektra bankou fltrů

3 Úvodní poznámky Spektrum chápeme ve smyslu (ntegrální) Fourerovy transformace - sgnál považujeme za adtvní směs (obecně nekonečného počtu) harmonckých složek Oboustranné spektrum vychází z vyjádření harmonckého sgnálu (-téharmonckésložky) s jωt jϕ jωt j () t A cos( ω t + ϕ ) e e + e e Ampltudové (modulové) spektrum: spektrální čáry A /2 na kmtočtech ±ω Fázové (argumentové) spektrum: fáze ϕ na ω a fáze -ϕ na -ω A 2 A 2 ϕ Spektra dskrétních sgnálů jsou perodcká peroda je ω vz pro -tou harmonckou složku můžeme psát s ( nt ) f f + kfvz A cos( nt ) A cos 2 n A cos 2 n, fvz f ω + ϕ π + ϕ π + ϕ vz kde k je celé číslo

4 Spojtý harmoncký sgnál s(t) 2cos(2πf +ϕ ), kde f 5 Hz, ϕ π/2, a jeho modulové a argumentové spektrum. 2 spojtý harmoncký sgnál a jeho spektrum u(t) t[s] 2 S(f) f[hz] -f f arg(s(f)) [ ] - -ϕ ϕ f[hz] -f f

5 Úsek s dskretního harmonckého sgnálu s(nt) 2cos(2πf nt+ϕ ), kde f 5 Hz, fvz 32 Hz, ϕ π/2, a jeho spektrum. Spektrum je perodcké s perodou f vz. dskrétní harmoncký sgnál a jeho spektrum 2 u(t) t{s] 2 peroda S(f) arg(s(f)) [ ] fvz -fvz/2 fvz/2 fvz peroda f[hz] f[hz]

6 Reálná a magnární část komplexního dskretního harmonckého sgnálu s(nt) e j(2πfnt+ϕ), kde f 5 Hz, fvz 32 Hz, ϕ π/2. Spektrum je perodcké s perodou f vz. REAL(exp[j*(2*p*f*n*T+p/2)]), IMAG(exp[j*(2*p*f*n*T+p/2)]) u(t) t[s].5 u(t) t[s].5 modulové spektrum S(f) arg(s(f)) [ ].5 - peroda -f vz -f vz /2 f vz / f-fvz f f+fvz argumentové spektrum peroda f vz f[hz] f[hz]

7 Spektrum spojtého harmonckého sgnálu o kmtočtu (tučné čáry), f 27 Hz, ϕ π/2. Po vzorkování s f vz 32 Hz dojde k alasngu (f >f vz /2), objeví se spektrální čára na 5 Hz. 2 dskrétní harmoncký sgnál a jeho spektrum u(t) S(f) t{s] 2 f vz f vz fvz -fvz/2 fvz/2 fvz f[hz] arg(s(f)) [ ] f[hz]

8 Vlastnost spekter determnstckých sgnálů Časová oblast Spojté sgnály perodcké Dskrétní sgnály perodcké neperodcké neperodcké Spektrum dskrétní neperodcké spojté neperodcké dskrétní perodcké spojté perodcké Výpočet spektra Fourerova řada ntegrální FT DFT DTFT Poznámka spektrem jsou koefcenty FŘ používá se pojmu spektrální hustota spektrum - koef. DFŘ shodné sdft praxe - počítáme vzorky spektra (DFT)

9 5.. Spektrální analýza determnstckých sgnálů 5.. Analýza perodckých sgnálů Spojté perodcké sgnály analýza pomocí Fourerových řad (FŘ) Dskrétní perodcké sgnály analýza pomocí dskrétní FŘ sgnál s () t k c k e jkωt, Ω 2π komplexní koefcenty FŘ (tj. komplexní spektrální čáry) c k T s T s základní kmtočet s(t) s () t e jkωt dt T s peroda sgnálu s(t) peroda sgnálu základní kmtočet s(nt) s ( nt ) k c koefcenty DFŘ (vzorkovaná peroda spektra) c k n k s e jkωnt ( nt ), Ω 2π T peroda sgnálu s(nt) T/f vz e jkωnt Shodné výsledky, když:. s(t) je korektně vzorkován (f vz >2f max ), 2. do DFT vstupuje celočíselný počet perod s(nt)

10 Analýza perodckých sgnálů Příklad: Dskrétní harmoncký sgnál, peroda T s /5 s (f s 5 Hz), f vz 32 Hz. Transformovat musíme násobek 32 vzorků (5 perod původního spojtého sgnálu), jnak nezískáme spektrální čáry na 5 (resp. 27) Hz... protože 32/5 není celé číslo Peroda dskrétního sgnálu obsahuje 32 vzorků. 32

11 Příklad spektrální analýzy Analýza perodckých sgnálů perodckého sgnálu pomocí DFT Harmoncký sgnál o kmtočtu 5 Hz, f vz 5 Hz transformace necelého počtu perod sgnálu peroda sgnálu T vypočtené DFT spektrum: obdélníkové okno trojúhelníkové okno Hammngovo okno

12 5..2 Analýza obecných sgnálů (neperodckých) Spojté sgnály analýza pomocí Fourerovy transformace (FT) Spektrum S vzorkovaný sgnál FT jωt ( ω) FT{ s( t) } s( t )e dt s { δ ( t nt )} v ( t ) n s n δ jωt jω nt ( t nt ) e dt e δ ( t nt ) spektrum Drac. mpulsu posunutého o nt spektrum vzorkovaného sgnálu pak je FT jω nt { s ( t )} s e DTFT v n n Dskrétní sgnály analýza pomocí DTFT (Dscrete-Tme FT) S ( ω) DTFT{ s( nt )} n s v prax pomocí DFT S ( nt ) e jω nt ( kω) DFT{ s( nt )} k n s ( nt ),,..., e ω kω jkω nt

13 Analýza obecných sgnálů Změny spektra př dskretzac sgnálu (pro jednu harmonckou složku) př ω kω př ω kω sgnálová oblast spektrální oblast sgnálová oblast spektrální oblast spektrum obdélníkového okna má velké boční laloky

14 Analýza obecných sgnálů Důsledky dskretzace sgnálu snížení rozlšovací schopnost náprava: delší okno, jné okno (s lepším spektrálním vlastnostm) perodzace spektra, zkreslení alasngem náprava: zvýšt f vz, použít antalasngový fltr Důsledky dskretzace spektra (př použtí DFT) nemusí být jasný rozdíl mez spektrem původně čarovým a spektrem s původně spojtou hustotou náprava: šířka okna celstvým násobkem perody sgnálu, je-l perodcký výskyt a poloha extrémů nemusí být vzuálně dost zřetelné náprava: m-krát hustší vzorkování spektra doplněním sgnálu (m-) nulam

15 Časově-frekvenční analýza, spektrogramy rozdělení sgnálu na segmenty o délce časové rozlšení, frekvenční rozlšení ( ΔΩ 2π/T ) segmenty se mohou překrývat stanovení spektra z každého segmentu (STFT Short Tme FT) analyzovaný sgnál spektrogram 5 vzorků překrytí 45 vzorků spektrogram vzorků překrytí 9 vzorků

16 Ukázka spektrogramu zobrazeného v 3D prostoru kmtočet čas

17 5.2. Spektrální analýza stochastckých sgnálů Výkonová spektra náhodných procesů Je-l náhodný proces staconární (resp. ergodcký) z hledska autokorelace, pak je svou autokorelační funkcí plně reprezentován Autokorelační funkce staconárního (ergodckého) náhodného procesu je determnstcká náhodný sgnál f(n) determnstcká autokorelace r ss ()f(n) f(-n) DTFT DTFT náhodné spektrum F(ω)? determnstcké spektrum R ss (ω) F(ω)F * (ω) F(ω) 2 F(ω) F(ω) e jargf(ω)... náhodné je fázové spektrum argf(ω). výkonové spektrum

18 Vysvětlující poznámky: DTFT spektrum reálné reverzní posloupnost f ( n) F ( ω) D.: DTFT jω nt jω mt { f ( n) } f ( n) e m n f ( m) e F( ω) F ( ω) n autokorelační teorém Wenerova Chnčnova věta r ff m DTFT ( n) R ( ω) F( ω) F ( ω) ff D.: R ff jω nt ( ω) r ( n) e f ( k) f ( k n) k k f f n k n jω nt jω nt jω ( k ) ( k) f ( k n) e f ( k) f ( m) e n ff jω kt jω mt ( k) e f ( m) e F( ω) F ( ω) F( ω) 2 m n k n m k m k e m m T

19 Výkonové spektrum náhodného procesu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M ff F M F E F F E R 2 2 ω ω ω ω ω jedná se o souborový průměr jednotlvých výkonových spekter z M realzací o délce vzorků Perodogram

20 Prncp výpočtu perodogramu z úseku sgnálu f(n)... sgnál ( vzorků) váhování oknem (n) odhad ndvduálního výkonového spektra perodogramem f(n)(n) DFT F(k)... spektrum ( vzorků) umocnění složek spektra, násobení / F(k) 2 /... výkonové spektrum ( vzorků) konvoluce s oknem W (k) 3 až 5 vzorků vyhlazené výkonové spektrum

21 Prncp výpočtu perodogramu ze segmentovaného sgnálu sgnál ( vzorků) rozdělíme na M navazujících segmentů segmenty o délkách m, když 2... M vstup po segmentech o délkách m odhad ndvduálního výkonového spektra perodogramem kumulace /M konvoluce s oknem W (k) 3 až 5 vzorků vyhlazené výkonové spektrum

22 Alternatvou k perodogramu je korelogram Korelogram vychází z Wenerova-Chnčnova vztahu ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ), e r r DTFT R T j ff ff ff ω ω + ( ) ( ) ( ) + n n f n f r' ( ) ( ) ( ) + n n f n f r vychýlený odhad nestranný odhad ( ) ( ) r r'

23 Prncp výpočtu korelogramu (B s možností vyhlazení spektra konvolucí) vstup ( vzorků) korelátor vychýlený odhad váhování (-)/ DFT konvoluce s oknem W (k) 3 až 5 vzorků vyhlazené výkonové spektrum

24 Výpočet korelogramu ze segmentovaných dat sgnál ( vzorků) rozdělíme na M navazujících segmentů segmenty o délkách m, když 2... M vstup po segmentech o délkách m korelátor vychýlený odhad váhování ( m -)/ m kumulace DFT m konvoluce s oknem W (k) 3 až 5 vzorků vyhlazené výkonové spektrum

25 Prncp odhadu výkonového spektra pomocí banky fltrů vstupní sgnál PP PP2... PP M pásmové propust se stř. kmt. ω m ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 krátkodobý ntegrátor krátkodobý ntegrátor krátkodobý ntegrátor S(ω ) S(ω 2 ) S(ω M )

26 Perodogram šum + 2 harmoncké složky (5 a Hz) 5 úsek sgnálu Jeden prubeh - realzace DFT perodogram useku sgnalu perodogram úseku sgnálu <, f vz /2 > Vykonove spektrum zprumerneneho perodogramu zprůměrněný perodogram úseků sgnálu <, f vz /2 >

27 Korelogram šum + 2 harmoncké složky (5 a Hz) autokorelace úseku sgnálu autokorelace useku (modra) a zprumernena autokorelace (cervena) DFT korelogram useku sgnalu korelogram úseku sgnálu <, f vz /2 > zprůměrněná autokorelace úseků sgnálu DFT korelogram ze zprumernene autokorelace korelogram úseků sgnálu <, f vz /2 >