. Transformovaný stav ovlivněn aditivním šumem v. ( n)

Transkript

1 SBORNÍK ŘÍSĚVKŮ. ROČNÍKU KONFERENE. RAA : UMUSOF RAA, 5.. 3, S VOLD-KALMANOVA FILRAE V ROSŘEDÍ MALABU rof. Ing. Jří ůma, Sc. VŠB echncká unverzta Ostrava, Ostrava, Česká republka Úvod Výstupem Kalmanova fltru je odhad časového vývoje stavu lneárního sstému, který je dostupný jen prostřednctvím nepřímého pozorování časového vývoje jstého vektoru dat. Algortmus odhadování je rekurzvní, ted zvláště vhodný pro číslcové zpracování naměřených dat v reálném čase, a chba odhadu je mnmální ve smslu statstckém, což znamená, že střední hodnota druhé mocnn hb je mnmální. Bez blžšího popsu podstat rekurzvních výpočtů bude v úvodu popsáno jen zadání úloh fltrace jako referenční metod k Vold-Kalmanově fltrac. Označení velčn bude převzato z knh [akn 996]. Základem fltru jsou dvě rovnce. rvní rovnce (process equaton) popsuje vývoj stavu procesu popsaného v časovém okamžku n vektorem stavových proměnných x ( n) tak, že je defnována souvslost mez stavovým vektorem v okamžku n a v následujícím okamžku n+. Stav procesu v okamžku n+ je ovlvněn náhodným vektorem v ( n). Složk tohoto náhodného vektoru jsou člen bílé posloupnost, tj. lze je označt za nekorelovaný šum. Druhá rovnce (measurement equaton) modeluje měření stavu. Zatímco první rovnce bla v prncpu dnamcká dferenční, představuje druhá rovnce prostou transformac hodnot vektoru stavu prostřednctvím transformační matce na hodnot přístupné měření ( n). ransformovaný stav ovlvněn adtvním šumem v ( n). Vektor šumu obsahuje také složk představující bílé posloupnost. Blokové schéma vzájemných vazeb lze znázornt na obr.. Smbol z znázorňuje posunutí o jeden vzorek ( E je jednotková matce). ( n ) v Σ z E x(n+) x(n) (n) ( n ) Σ F ( n +, n ) ( n ) v Obr. Sgnálový dagram Kalmanova fltru ( ) Výstupem Kalmanova fltru jsou odhad vektoru stavu procesu x ˆ n (),.., ( n) v časovém okamžku n na základě měřených hodnot ( ),.., ( n) x ˆ () a korelačního vektoru chb tohoto počátečního odhadu. ( ) a odhadu počátečního stavu Zadání úloh Kalmanov fltrace lze aplkovat na problém extrakce harmoncké složk z měřeného sgnálu. Stav procesu lze v této úloze považovat za hledanou harmonckou složku, která v součtu se zbývajícím složkam sgnálu představuje měřený sgnál. ops vývoje stavu procesu představující tuto harmonckou složku s případně měnící se frekvencí bude předvedeno v další část fererátu. Modelování měření představuje sumac harmoncké složk se zbtkem složek obsažených v sgnálu. Jstý problém však představují budící sgnál v ( n) a v ( n) sgnálového dagramu z obr.. Jejch rozptl nejsou předem znám a navíc v n nemusí být domnující bílý šum, ale další harmoncká složka o jné frekvenc. sgnál ( )

2 ublkované práce Volda a Leurdana počínaje rokem 993 se přesné aplkac metodk Kalmanova fltrace vhýbají a těží jen z postupu výpočtu, jehož detal nejsou publkován. V úvahách Volda se respektuje neznalost rozptlů obou zmíněných budících posloupností a ve výpočtu se ovládá jen jejch vzájemný poměr, který ovlvňuje frekvenční vlastností fltru. I kdž lze pochbovat o významu dílčího označení tohoto způsobu fltrace jménem Kalman, v prncpu je mšlenka fltrace navržena Voldem a Leurdanem nsprující a otvírá nové možnost řádové analýz sgnálů se známou frekvencí, která je odvozena z měření otáček. opularzace této metod fltrace bla zajštěna její mplementac do sgnálového analzátoru ULSE frm Brűel & Kjær. Jak je ukázáno v tomto referátu, rovněž prostředí Matlabu umožňuje tuto fltrac výhodně provádět. Vold-Kalmanův fltr první generace Účelem první generace fltru tohoto tpu blo extrahování modulované harmoncké složk o známé frekvenc pro analýzu časového průběhu změn její ampltud například za rozběhu stroje. Zvýšena ampltuda může ndkovat například rezonanc. Vold-Kalmanův fltr může být použt také k odfltrování zvolené část spektra pro sstém analzující kvaltu zvuku.. Datová rovnce Jestlže z měřeného sgnálu se vzork ( n) je žádoucí extrahovat jednu harmonckou složku, pak datová rovnce vjadřuje prostý fakt, že měřený sgnál je složen z extrahované harmoncké složk se vzork označeným x ( n) a zbtku sgnálu se vzork označeným η ( n), kde n =,, N znamená pořadí vzorku. Její tvar pro vzork s pořadím n je následující ( n) x ( n) + η( n) =. () armoncká složka může být ampltudově nebo fázově modulována. Zbtkové složk sgnálu mohou představovat nejen šrokopásmový šum, ale také další harmoncké složk. Obecný tvar datové rovnce pro vzork s pořadím n a s počtem sledovaných x n je harmonckých složek ( ) ( n) x ( n) + η( n) = =. () ento vztah platí pro každý naměřený a extrahovaný vzorek sgnálu.. Strukturální rovnce pro harmoncký sgnál V čase spojtý harmoncký sgnál x( t) A ( ωt) = cos je řešením dferencální rovnce druhého řádu s nulovým součntelem tlumení. ro případ vzorkování sgnálu v dskrétních časových okamžcích t n = n t, n =,,, je harmoncký sgnál řešením dferenční rovnce rovněž druhého řádu, jejíž charakterstcká rovnce má dva komplexně sdružené kořen z = exp( jω t) a z = exp( jω t), kde ω je úhlová frekvence. Obecné řešení dferenční n n rovnce druhého řádu rovnce se zapsuje ve tvaru x( n) = ( z + z ). harakterstcký polnom tvoří součn kořenových čntelů ( z z )( z z ), ze kterých lze rekonstruovat výchozí homogenní dferenční rovnc ( n) cos( ω t) x( n ) + x( n ) = přčemž její koefcent u x ( n ) je vhodné označt c( n) = cos( ω t) x, (3). K výpočtu posloupností vzorků postačují hodnot prvních dvou vzorků a samozřejmě velkost úhlové frekvence. Výsledkem řešení rovnce (3) s konstantní velkostí ω je harmoncký sgnál o konstantní ampltudě.

3 armoncké složk měřených sgnálů z rotačních strojů mění ve skutečnost svou frekvenc a ampltudu, tj. stávají se modulovaným harmonckým sgnál. Jednu harmonckou složku může popsovat rovnce kde ( n) x ( n) cos( ω t) x( n ) + x( n ) = ε( n), (4) ε je budící funkce, která spolu s velkost okamžté úhlové frekvence ω určuje řešení dferenční rovnce (4). řenos budící funkce ε ( n) na posloupnost vzorků ( n) x není stablní, protože kořen charakterstcké rovnce leží na jednotkové kružnc. Zesílení je nekonečné pro složku o úhlové frekvenc ω..3 Soustava datových a strukturálních rovnc Datové rovnce pro všechn naměřené vzork sgnálu a neznámé harmoncké složk o celkovém počtu N s ndvduálním vzork lze zapsat takto: () ( ) ( N ) () ( ) x x x ( N ) = η η η () ( ) ( N ) ohodlnější je používání zkráceného zápsu pomocí vektorů x = η. (6) Velkost zbtkového sgnálu jako vektoru lze ohodnott jeho eukldovskou normou (zobecněnou délkou), která v případě reálných sgnálů představuje součet čtverců jednotlvých vzorků η ( n ) = ( n) x ( n), n =,, N. Vektorový záps této eukldovské norm zjednodušuje transpozce vektoru η η = η ( x )( x) (5). (7) odobně jako datové rovnce lze také strukturální rovnce v počtu N- pro jednotlvé vzork uspořádat následujícím způsobem c () c ( ) c ( N ) ( ) ( ) x x x ( N ) ( 3) ( 4) ε ε = ε ( N ). (8) Menší počet rovnc je dán řádem dferenční rovnce. Jako v případě datových rovnc je pohodlnější pracovat s matcovým zápsem soustav strukturálních rovnc. A x = ε, (9) kde A je pásová třídagonální obdélníková matce s N sloupc a N- řádk. odobně jako zbtkový sgnál η ( n) lze také velkost budící funkce se vzork ( n ) n =,, N ε ohodnott její eukldovskou normou. ranspozce vektoru zjednodušuje záps součtu čtverců: ε ε = x A A x. () Násobením matce A (horní ndex označuje transpozc) matcí A vznkne čtvercová smetrcká matce o rozměru NxN. Eukldovská norma vektoru obsahujícího budící funkce

4 má tvar kvadratcká form x A A x v proměnné x, o které lze podle základních vět teore matc uvést, že je nezáporná, tj. x A A x, pro lbovolný nenulový vektor budících funkcí x. ato vlastnost se nazývá poztvní semdefntnost čtvercové smetrcké matce A A. Semdefntnost matce lze zdůvodnt tím, že tato kvadratcká forma může teoretck nabýt také nulové hodnot pro nenulový vektor x. očet nenulových dagonál u matce A A se zvýší na 5, přčemž nenulové prvk jsou na dvou dagonálách pod a nad hlavní dagonálou této čtvercové pásové matce..4 Globální řešení datových a strukturálních rovnc Výsledkem fltrace má být nalezení neznámého vektoru x, který musí vhovovat soustavě datových a strukturálních rovnc. očet prvků vektoru x je N a počet rovnc N + ( N ) = N. Mez neznámé patří také vektor ε (N- prvků) a η (N prvků), pak počet neznámých 3N je všší než počet rovnc, tj. soustava rovnc je vzhledem ke zmíněným třem neznámým vektorům nedourčena. K soustavě rovnc mohou být přpojen podmínk, podle kterých je požadováno, ab vektor ε, η měl mnmální eukldovskou normu, a ab tto norm bl v žádoucím vztahu, tj. ab blo mnmalzováno krtérum ve tvaru ( r A A + E) x x x J = r ε ε + η η = x. () kde r je váhový koefcent, který určuje předepsaný vzájemný vztah mez eukldovským normam zbtkového sgnálu a budící funkce. Jak bude dále ukázáno, podmínka mnmální velkost váženého součtu a zvolený váhový koefcent dávají vpočtenému vektoru výhodné vlastnost, protože realzují fltr s výhodným průběhem frekvenční charakterstk představující pásmovou propust. odnot váhového koefcentu blízké nule zmenšují vlvnost strukturální rovnce a fltr ztrácí účnnost. odle monografe o specálních matcích [Fedler 98] lze dokázat, že jestlže je k hlavní dagonále poztvně defntní matce přčteno lbovolně malé číslo, pak je výsledná matce poztvně defntní, tj. pro lbovolný nenulový vektor budících funkcí x platí ostrá nerovnost x ( r A A + E) x >. rotože je smetrcká čtvercová matce ( r A A + E ) poztvně defntní, je také regulární a ted exstuje její nverzní matce. rvní dervace skalárního krtéra J podle vektoru x se pro mnmalzac tohoto krtera položí rovna nulovému vektoru. J = r x což lze přepsat do tvaru kde A A x + ( x ) =, () B x =, (3) B = r A A + E. Řešení soustav rovnc () je dáno následujícím vzorcem x = B. (4) eoretcký záps řešení bude sloužt k programování algortmu. Jednou možností je naprogramovat výpočt v Matlabu nebo sestavt specální program, například v jazku nebo Vsual Bascu. Klíčovým problémem jsou operace s výchozí matcí A, popřípadě také s matcí B. eoretck délka vektoru x může dosahovat desítek tsíc vzorků a je proto nemožné uchovávat matc B v pamět počítače celou. rostředk Matlabu mají k dspozc úsporné ukládání řídkých (sparse) matc, kd je paměť obsazena pouze nenulovým prvk. Dagonální řídkou matc lze vtvořt příkazem spdags. ento příkaz přetransformuje čtvercovou matc tak, že její sloupce se stanou dagonálam. Dalším specálním příkazem je

5 spee pro vtvoření jednotkové matce, která je uložena v pamět jako řídká. Vzájemné operace mez řídkým matcem tuto vlastnost zachovávají. Fltrac realzuje například funkce MVoldKalman: rogram pro Vold-Kalmanův fltr č. functon x=mvoldkalman(,dt,f,r) % Funkce x= MVoldKalman (,dt,f,r) pro vpocet x=nv(r^*a'*a+e)* % Vstup: % vektor vstupnch dat % f vektor frekvence f v z ( a f maj stejn pocet prvku) % dt vzorkovac peroda v sec, r vahov faktor % Vstup: % x vektor mnmalzuje funkc J=r*r*x'A'*A*x+('-x')*(-x) c = *cos(*p*f*dt); N = max(sze()); N = N-; e = ones(n,); A = spdags([e -*c(:n) e],:,n,n); AA = r*r*a'*a +spee(n,n); x = AA\; K demonstrac obsazení pamět počítače bude uveden příklad pro vektor vstupních dat o délce prvků. lná matce A má rozměr 998 řádků x sloupců. Jestlže pro tuto matc bude vpočten součn A A, pak obsazení pamět je následující:» whos Name Sze Btes lass A 998x 7984 double arra AA x 8 double arra Každý prvek matce zaplní 8 bajtů. V době neustálého zvětšování pamět počítačů se paměť nemusí jevt jako lmtující, ovšem zbtečné plnění pamět nulam zpomalí podstatně výpočet. Jestlže se matce deklarují jako řídké, pak obsazení pamět je následující:» whos Name Sze Btes lass A 998x 3993 sparse arra AA x sparse arra Úspora paměťového místa a z toho plnoucí podstatná redukce počtu operací př násobení nebo sčítání matc vede ke zrchlení výpočtů. 3 Vold-Kalmanův fltr druhé generace Výsledek fltrace spočívající v časovém průběhu frekvenčně a ampltudově modulovaného harmonckého sgnálu je pro techncké aplkace zbtečně podrobný. Okamžtá frekvence je součástí zadání fltrace. Zájem se soustřeďuje proto jen na ampltudu sledované složk sgnálu představující obálku sgnálu. akto defnovaná úloha fltrace patří Vold-Kalmanovu fltru druhé generace. 3. Datová rovnce pro obálku harmonckého sgnálu Ampltudu lze vpočítat z ampltud snové složk a ampltud kosnové složk. ento postup užívá zbtečně mezvýpočet dílčích údajů a komplkuje řešení. Výhodnější je modelovat sledovaný sgnál jako součn komplexní ampltud a komplexního harmonckého sgnálu o jednotkové absolutní hodnotě. Datová rovnce pro jednu složku má ted tvar

6 kde ( n) ( n) x ( n) ( jθ( n) ) + η( n) = exp, (5) x je komplexní ampltuda nebo také obálka sgnálu, j je magnární jednotka a Θ ( n) je průběžná fáze sgnálu od počátku záznamu. odobně jako v datové rovnc () je ( n) měřený sgnál a η ( n) zbtkový sgnál. růběžná fáze sgnálu je obecně rovna časovému ntegrálu úhlové frekvence. V případě vzorkovaných sgnálů se vpočte podle vzorce kde ( n) kde Θ n ( n) = ω( ) = t, (6) ω je okamžtá úhlová frekvence a t = f S je nterval vzorkování. Soustava datových rovnc pro všechn naměřené vzork má vektorový tvar x = η, (7) = je dagonální komplexní matce tvaru { exp( jθ() ),exp( jθ( ) ),, ( jθ( N ))} = dag exp. (8) ato matce stejně jako vektor x, η jsou komplexní. harakterstka velkost zbtkového sgnálu η se určí jako součn transponovaného komplexně sdruženého vektoru η a původního vektoru η, který je reálný. Operace transponování matce a obrácení znaménka magnární část jejch prvků se označuje horním ndexem. Reálné vektor budou však označen jen znaménkem transponování. ro eukldovskou normu vektoru zbtkového sgnálu platí η η = ( x )( x). (9) 3. Strukturální rovnce pro obálku harmonckého sgnálu Strukturální rovnce fltruje posloupnost hodnot komplexní ampltud. Omezení rchlost jejch změn se zadává nejvšším stupněm polnomu k, který lze skupnou vzorků obálk o počtu k + proložt. olnom prvního stupně je řešením dferenční rovnce druhého řádu ( n) = x( n) x( n ) + x( n ) = x. () harakterstcká rovnce této dferenční rovnce má dvojný kořen roven jednotce, což vede na zmíněný výsledek řešení. olnom obecného stupně k splňuje podmínku nulové dference řádu k +, tj. k + x( n) =. rotože se obálka sgnálu postupně mění, je třeba strukturální rovnc budt ε n. Konečný obecný tvar strukturální rovnce je budící funkc ( ) k x( n) = ε( n) +, () kde k představuje řád polnomu, který se spojuje s řádem fltru změn komplexní ampltud. Vold-Kalmanova fltrace druhé generace užívá fltr prvého nebo druhého, popř. až třetího řádu. Strukturální rovnce pro tto fltr mají tvar. rvní řád: x( n) x( n ) + x( n ) = ε( n) Druhý řád x( n) x( n ) + 3x( n ) x( n 3) = ε( n) () 3 (3)

7 Soustava strukturálních rovnc s váhovým koefcent, které ovlvňují každý vzorek budící funkce podle okamžté relatvní frekvence naladění, je shodná se vzorcem (8). Eukldovská norma charakterzující velkost vektoru budící funkce se však změní s ohledem na skutečnost, že vektor obálk obsahuje komplexní čísla. K transpozc je třeba přdat také změnu znaménka magnární část, ab výsledek násobení vektorů blo reálné číslo, tj. ε ε = r x A Ax. (4) Matce A obsahuje jen konstantní prvk v závslost na řádu fltru. Její rozměr pro fltr prvního řádu je NxN- a pro fltr druhého řádu NxN-3. Například pro fltr prvního řádu se jedná o třídagonální obdélníkovou matc následujícího tvaru A =. (5) 3.3 Globální řešení datových a strukturálních rovnc pro obálku harmonckého sgnálu Stejně jako v případě základního fltru, také řešení těchto rovnc se sestaví pomocné krtérum z eukldovských norem budící funkce a zbtkového sgnálu ve tvaru ( x )( x) J = x Dx +. (6) kde D = r A A je pomocná čtvercová matce zjednodušující záps vzorců. Mnmum krtéra (6) lze vpočítat například dervací podle reálné a magnární složk vektoru x = u jv. Výsledkem výpočtu je vektor mnmalzující krterum (6): kde x = B,. (7) B = D + E. Násobením vektoru měřených dat zleva dagonální matcí se posouvá frekvence sledované harmoncké složk sgnálu do nulové frekvence, tj. takto korgovaný sgnál se stane stejnosměrnou složkou sgnálu. latí ( x + η) = x + η = x + η =. (8) Násobením obou dagonálních matc a se kompenzuje velkost průběžné fáze na nulu. a výsledkem násobení je jednotková matce. Vektor je složen z vektoru komplexní obálk sgnálu x a transformovaného zbtkového sgnálu. Fltr plní funkc dolnopropustné fltrace časového průběhu obálk. Jeho frekvenční charakterstka závsí na matc B. Účnek fltrace lze ovládat volbou velkost váhového koefcentu. K výpočtu lze použít dříve uvedených programů s drobným úpravam, které spočívají v náhradě jedné dagonál matce A, která je zaplněna hodnotam c( n), konstantou - a v korekc vektoru měřených dat dagonální matcí. Násobení a lze provést postupem násobení prvku z dagonál prvkem vektoru. Dagonálu zmíněné matce lze vpočítat výrazem exp(-j**p*cumsum(f)*dt), přčemž funkce cumsum nahrazuje ntegrac úhlové rchlost *p*f. roměnná dt je vzorkovací nterval. Vektor se vpočítá příkazem = exp(-j**p*cumsum(f)*dt).*; Násobením prvku s prvkem zajšťuje operátor tečk předcházející smbol násobení (.*). Výsledek výpočtu podle vzorce (9) je komplexní vektor x. Absolutní hodnota tohoto

8 vektoru je však polovční oprot výchozímu vektoru, což je způsobeno komplexním tvarem harmonckého sgnálu. Korgovaný vektor je proto vnásoben. Časový průběh komplexní obálk sgnálu je funkce abs(x). Výsledný program má číslo. rogram pro Vold-Kalmanův fltr č. functon x=mvoldkalman(,dt,f,r,fltord) % Funkce x= MVoldKalman(,dt,f, r, fltord) pro vpocet % x=nv(r*r*a'*a+e)**, % kde = dag(exp(-j*f()),,exp(-j*f(n))), f je faze, % ktera je vpočtena podle vzorce *p*cumsum(f)*dt % Vstup: % vektor vstupnch dat % f vektor frekvence f v z ( a f maj stejn pocet prvku) % dt vzorkovac peroda v sec % r vahov koefcent % fltord rad fltru % Vstup: % x vektor mnmalzuje funkc J= x'a'*k'*k*a*x+('-x'')*(-x) N = max(sze()); f fltord==, NR = N-; else NR = N-3; end; e = ones(nr,); f fltord==, A = spdags([e *e e],:,nr,n); else A = spdags([e 3*e 3*e -e],:3,nr,n); end; AA = r*r*a'*a +spee(n); = exp(-j**p*cumsum(f)*dt).*; x = *AA\; 4 Vold-Kalmanův fltr pro extrahování obecného počtu složek sgnálů 4. Soustava rovnc k řešení ro obecný počet extrahovaných složek má krterum pro volbu velkostí všech neznámých vektorů obecný tvar = + = + J ε K kε K k η η r xk A A xk xk k kxk. (9) k = k = k = k = odmínka mnma krtéra vplývá z nulové dervace krtera (9) podle každého vektoru ze skupn x, =,,. oto dervování se nazývá konjugované. ravdla konjugovaného dervování podle vektorů lze nalézt např. v příloze monografe [akn 996]. o substtuc B k = r A A + E platí J x = B x + k = k k x k =, =,,. (3) ř úpravě posledního výrazu blo vužto vlastností prvků vektoru ( jθ ( n) ) exp. Je zřejmé, že pak platí = E., které jsou rovn

9 Matce soustav rovnc (3) včetně vektoru neznámých velčn a vektoru pravé stran má následující strukturu. B B = B B, x x x =, x ásové matce B s reálným prvk jsou smetrcké a poztvně defntní a protože pro komplexní dagonální matce platí ( ) b =. (3) j j = j, je matce B soustav rovnc (3) hermtovská. Struktura nenulových prvků matce pro = 4 je znázorněna na obr.. Jednotlvé blok jsou čtvercové matce o počtu řádků dosahujících desítek tsíc. Blokové matce na hlavní dagonále jsou pásové matce s několka nenulovým dagonálam (mezní počet několk desítek). Mmo hlavní dagonálu jsou blokové matce dagonální. Obr. Struktura matce soustav rovnc (3) 4. Iterační řešení soustav rovnc odle názoru expertů v oblast lneární algebr (prof. Dostál z VŠB U Ostrava) je nepraktcké hledat explctní vzorce pro výpočet soustav rovnc se strukturou naznačenou na obr., ale je výhodnější řešt tuto soustavu rovnc teračním postupem, který bude těžt z vlastností matce soustav. ento postup pro Vold-Kalmanův fltr dříve navrhl také Feldbauer, h. & oldrch, R. (vz seznam lteratur). Iteračních metod pro řešené soustav lneárních rovnc je velm mnoho. Monografe popsující terační řešení soustav lneárních rovnc (Saad: Iteratve Methods for Sparse Lnear Sstems) nebo dokumentace k Matlabu označují jako zvláště vhodnou a navíc oblíbenou metodu pro řídké postvně defntní smetrcké matce (smmetrc postve defnte SD) matce tzv. recondtoned onjugate Gradent (G) Algorthm. Metoda G je kombnací metod G (onjugate Gradent) a technk použtí předpodmínkové matce (recondtoner matrx). Metoda G bla poprvé popsána autor estenes, M.R. & Stefel E. v roce 95. V MALABu je obsažena metoda G, která má různé varant volání. ro verz, kd je zadána předpodmínková matce M nebo její rozklad M = M M jsou varanta volání této funkce následující x = pcg(a,b,ol,maxi,m) nebo x = pcg(a,b,ol,maxi,m,m) resp. s počátečním odhadem x x = pcg(a,b,ol,maxi,m, x) nebo x = pcg(a,b,ol,maxi,m,m, x), kde OL je tolerance řešení a MAXI je maxmální počet terací. Kromě výpočtu neznámého vektoru x lze vpočítat také další parametr [x,flag,relres,ier,resve] = pcg(a,b,ol,maxi,m,m,x) kde RELRES je relatvní resduum NORM(b-A*x)/NORM(b), přčemž FLAG =, jestlže RELRES je menší nebo rovno než OL, dále je vrácena hodnota skutečného počtu terac IER (IER <= MAXI) a vektor resduálních norem RESVE včetně NORM(b-A*x). Za předpodmíklovou matcí soustav lze zvolt

10 B M = B. (3) B Vzhledem k tomu, že matce B je pásová a pětdagonální, bude řešení předpodmínkové soustav Mu = b snadné metodou holeskho rozkladu na horní a dolní trojúhelníkovou matc. Výsledek výpočtu u předpodmínkové soustav rovnc je použt př hledání aproxmace řešení metodou G. 5 říklad Demonstrační projekt R-UMotor.pls, který je součástí software ULSE, obsahuje měření vbrací a otáček během rozběhu motoru s průběhem znázorněným na obr. 3. RM me stor : Interpolated RM : RM me [s] [m/s] me stor : Vbraton - Input : Vbraton me [s] Obr. 3 Časový průběh otáček a vbrací př rozběhu motoru ílem řádové analýz blo určt ampltudu harmonckých složek, které jsou zvoleným násobkem frekvence otáček motoru. V analzátoru ULSE šlo o volbu výstupu (Output) na hase assgned order. Výsledek výpočtu ampltud v analzátoru ULSE je dagram na obr. 4. [m/s²] Vold-Kalman Order haseass (Vbraton) (Magntude) Workng : Input : Input : me apture Analzer.order 8 9.order 4 3.order.order [s] Obr. 4 Výsledek výpočtu Vold-Kalmanov fltrace v analzátoru ULSE

11 opska Order označuje efektvní hodnot složek o frekvenc dané určeným násobk (, 3, 9, ) frekvence otáček. Jde ted o velkost hodnot obálk podělené odmocnnou ze dvou protože analzátor ULSE preferuje efektvní hodnot (RMS) před obálkou, tj. ampltudou sgnálu.. ro výpočet obálk je zvolen dvoupólový fltr (druhého řádu). ř řádové fltrac musí být kolem sledované frekvence ještě určté propustné pásmo, ab bl zachcen fázový a ampltudový modulační sgnál, který je obsažen v postranních pásmech složk. V daném příkladě bla šířka propustného pásma kolem základní harmoncké složk (jednonásobek otáček) zvolena %. ro všší násobk pak úměrně menší šířka. Data bla krát decmována (vkresluje se jen každý stý vzorek). Řízení šířk propustného pásma Vold-Kalmanova fltru neblo v tomto krátkém příspěvku popsováno, kdž je jž v Matlabu vpracován příslušný program. Na obr. 5 je výsledek výpočtu Vold-Kalmanov fltrace v prostředí Matlab programem, který je označen č. s příslušným rozšířením pro kontrolu šířk propustného pásma fltru. odmínk výpočtu bl totožné, avšak data nebla decmována. odobnost obou grafů dokládá shodnost algortmu výpočtu. Obr. 4 Výsledek výpočtu Vold-Kalmanov fltrace v Matlabu 6 Závěr Vold-Kalmanova fltrace je nový nástroj pro řádovou fltrac sgnálů z točvých strojů, u kterých je součástí záznamu také sgnál otáček. Úloha fltrace vede na řešení rozsáhlých soustav rovnc obsahujících až statsíce neznámých. Matlab s možností paměťově šetrného ukládání řídkých (sparse) matc je velm vhodným prostředkem pro zpracování zmíněných sgnálů nebo ke studu vlastností popsaného algortmu. Lteratura Leurdan, J. & Van der Auweraer,. & Vold,. he analss of non-statonar sgnals, LMS Internatonal, Applcaton Notes Leurdan, J. & Van der Auweraer,. & Vold,. he analss of non-statonar sgnals, Sound and Vbraton, August 994

12 Vold,. & Leurdan, J. gh Resoluton Order rackng at Extreme Slew Rates, Usng Kalman rackng Flter, SAE aper 9388, 993 Blough, J. R. & Brown, D.L. & Vold,. he me Varant Dscrete Fourer ransform as an Order rackng Method, SAE aper 976, 997 Vold,. & Mans, M. & Brown, D.L. heoretcal Foundatons for gh erformance Order rackng wth Vold-Kalman rackng Flter, SAE aper 977, 997 Vold,. & erlufsen,. & Mans, M. & orwn-renner, D. Mult Axle Order rackng wth Vold-Kalman rackng Flter, Sound & Vbraton 997 erlufsen,. & Gade, S. & Konstantn-ansen,. & Vold,. haracterstcs of the Vold/Kalman Order rackng Flter, Sound & Vbraton 997 Gade, S. & erlufsen,. Konstantn-ansen,. & Vold,. haracterstcs of the Vold- Kalman Order rackng Flter. Brüel & Kjær echncal Revew, No akn S. Adaptve Flter heor, hrd Edton, rentce-all Internatonal, IN., New Jerse 996, ISBN Fedler M. Specální matce a jejch použtí v numercké matematce, KI SNL raha 98 Feldbauer, h. & oldrch, R. Realsaton of a Vold-Kalman rackng Flter A Least Square roblem, roceedngs of the OS G-6 onference on Dgtal Audo Effects (DAFX-, Verona Ital, December 7-9, Randall, R.B. Frequenc Abalss, Bruel & Kjaer, Denmark, Revson September 987, ISBN Saad, Y. Iteratve Methods for Sparse Lnear Sstems, Sedond Edtons wth orrectons, Januar 3rd. estenes, M.R. & Stefel E. Methods of onjugate Gradents for Solvng Lnear Sstems, Journal of Research of the Natonal Bureau of Standards, Vol. 49, No. 6, December 95. Research aper 379. oděkování ento výzkum je prováděn na katedře Automatzační technk a řízení VŠB echncké unverst v Ostravě jako část výzkumného záměru číslo EZ J7/3:73, který je podporován Mnsterstvem školství a mládeže České republk.