Using a Kalman Filter for Estimating a Random Constant Použití Kalmanova filtru pro výpočet odhadu konstantní hodnoty

Transkript

1 II. Semnar ASR 007 Instruments and Control, Farana, Smutný, Kočí & Babuch (eds) 007, VŠB-TUO, Ostrava, ISB Usng a Kalman Flter for Estmatng a Random Constant Použtí Kalmanova fltru pro výpočet odhadu onstantní hodnoty KUPCZAK, Mare Ing, Katedra ATŘ-35, VŠB-TU Ostrava, 7. lstopadu, Ostrava - Poruba, , mare.upcza.fs@vsb.cz, Abstrat: Tento příspěve se zabývá popsem vytvořené aplační úlohy, terá je určena pro výpočet odhadu onstantní hodnoty z měřeného sgnálu, terý je zatížen šumem měření. Jádrem vytvořené aplační úlohy je použtí adaptvního Kalmanova fltru. Velost výběrového rozptylu šumu měření je použta jao adaptablní parametr Kalmanova fltru. Tato aplační úloha byla mplementována v prostředí dgtálních sgnálových procesorů (DSP), onrétně byl použt 3-btový ADSP-065L DSP procesor, terý umožňuje zpracovávat data ve formátu s plovoucí řádovou čárou. Klíčová slova: dgtální sgnálový procesor, Kalmanův fltr, adaptvní fltrace Úvod V roce 960 publoval R. E. Kalman svou slavnou prác [Kalman, 960] popsující reurzvní řešení problému lneární fltrace dsrétních dat. Kalmanův fltr je množna matematcých rovnc, teré posytují výpočetně vysoce efetvní reurzvní řešení metodou nejmenších čtverců. Tento fltr je vysoce výonný v něola aspetech: pomáhá odhadovat mnulé, současné a doonce budoucí stavy, a to pro systémy, jejchž přesný matematcý pops není znám. Kalmanovy rovnce Kalmanovy rovnce řeší problém nalezení optmálního odhadu stavu x R lneárního dsrétního stochastcého systému, terý lze popsat stavovým rovncem () a (). x A x v, (), y C x w, () de v a w jsou vzorované náhodné posloupnost s normálním rozdělením hustoty pravděpodobnost a s charaterem bílého šumu. azývají se šum procesu a šum měření. Kalmanovy rovnce pro uvažovaný lneární dsrétní stochastcý systém () a () jsou následující. x ˆ A xˆ, (3), T A, P A, Q T T P C ( C P C R xˆ K ( y C xˆ ) P K C P P, (4) K ), (5) xˆ P, (6), (7) n

2 de x je aprorní odhad stavu, xˆ je aposterorní odhad stavu, je ovaranční matce ˆ chyb aprorního odhadu stavu, P je ovaranční matce chyb aposterorního odhadu stavu, K je tzv. Kalmanovo zesílení, Q je ovaranční matce šumu procesu a R je ovaranční matce šumu měření. Ja je vdět ze vztahů (3)-(7), Kalmanovy rovnce představují algortmus, terý generuje posloupnost lneárních odhadů stavu (aprorní a aposterorní) a posloupnost ovarančních matc chyb těchto odhadů. Tento algortmus je tvořen dvěm podmnožnam. První podmnožnu tvoří rovnce (3) a (4). Jedná se o vztahy, pomocí nchž je možno určt aprorní odhad stavu x v rou měření a němu příslušnou ovaranční matc chyby tohoto ˆ aprorního odhadu stavu P. Souhrnně se tyto dvě rovnce označují jao tzv. časový nebo predční ro algortmu. Druhou podmnožnu tvoří vztahy (5)-(7). Jedná se o rovnce, pomocí terých lze určt aposterorní odhad stavu xˆ, velost Kalmanova zesílení K v rou a příslušnou ovaranční matc chyby tohoto aposterorního odhadu stavu P. Souhrnně se tyto tř rovnce označují jao tvz. datový nebo oreční ro algortmu. Tento algortmus je symbolcy naznačen na obr.. P Obráze Grafcé znázornění algortmu Kalmanova fltru Význam Kalmanova zesílení K Kalmanovo zesílení (5) je v odborné lteratuře [Welch a Bshop, 006, Wellng, 986] odvozováno ta, aby mnmalzovalo ovaranční matc chyby aposterorního odhadu stavu. Vlv Kalmanova zesílení je následující. Jestlže se ovaranční matce šumu měření P

3 R blíží nule, pa Kalmanovo zesílení chyby aposterorního odhadu stavu lm K R 0 C P K má větší vlv na hodnotu ovaranční matce, neboť platí následující lmta., (8) a druhou stranu, jestlže se ovaranční matce chyby aprorního odhadu stavu nule, pa Kalmanovo zesílení K má menší vlv, neboť platí následující lmta. P blíží lm K 0, (9) P 0 Jným slovy lze význam Kalmanova zesílení K popsat následovně. Jestlže se ovaranční matce šumu měření R blíží nule, pa atuální měření je považováno za věrohodnější, zatímco predované měření je považováno za méně věrohodné. a druhé straně, jestlže ovaranční matce chyby aprorního odhadu stavu pa atuální měření C xˆ y je považováno za věrohodnější. C xˆ se blíží nule, je považováno za méně věrohodné, zatímco predované měření Význam ovarančních matc šumu procesu a šumu měření Př realzac aplace využívající Kalmanovy rovnce je nutné defnovat onrétní tvar ovaranční matc šumu procesu Q a ovaranční matc šumu měření R. Jelož šum procesu v šum měření w jsou chápány jao sgnály s normálním rozdělením hustoty pravděpodobnost, jsou tyto ovaranční matce dagonální, jejchž prvy na hlavní dagonále mají velost rovnu rozptylu těchto sgnálů. Zatímco v prax není problémem šum měření w zísat onrétním měřením a z něj vypočítat odhad velost jeho rozptylu a tím určt ovaranční matc šumu měření R, určt ovaranční matc šumu procesu Q není ta snadné. Většnou se pomocí ní popsuje nejstota mez sutečným procesem a procesem popsaným pomocí stavového modelu. Určení onrétních tvarů těchto matc bývá v prax většnou na předem zaznamenaných datech z měření. Ovšem mohou být předmětem jejch nalezení během fltračního procesu. 3 Reurentní výpočet parametrů rozdělení náhodných velčn Adaptblnost vytvořené aplace spočívá v průběžném počítání odhadu velost rozptylu šumu měření w př samotném procesu fltrování, pomocí něhož je atualzována ovaranční matce šumu měření R. Díy tomu je tato aplace použtelná pro procesy zatížené nestaconárním šumem měření w. Číselné charatersty náhodných velčn se vypočítávají na záladě znalost typu rozdělení a velost jejch parametrů [Tůma, 999]. Ja jž bylo výše zmíněno, předpoládá se, že sgnál, terý reprezentuje šum měření w, má normální rozdělení hustoty pravděpodobnost. Toto rozdělení má dva parametry, a to svou střední hodnotu μ a rozptyl σ. Parametry tohoto rozdělení jsou na rozdíl od rovnoměrného rozdělení přímo záladní charatersty normálního rozdělení. Často se velost těchto parametrů určují z naměřených dat. Vždy se jedná o onečný soubor realzací náhodné velčny, terý se nazývá náhodný výběr. Tento náhodný výběr, terý má ústřední význam v matematcé statstce, představuje posloupnost nezávslých a stejně rozdělených náhodných velčn,, K,, de je rozsah výběru. Z náhodného výběru se vypočte výběrový průměr (0) a výběrový rozptyl m (), y P 3

4 přčemž m se nazývá výběrová směrodatná odchyla. Pro výhodnější lmtní vlastnost se používá taé velčna S ()., (0) m ( ) () S ( ) () Výběrový průměr a výběrový rozptyl jsou náhodné velčny, pro teré lze spočítat taé jejch číselné charatersty, napřílad střední hodnotu a rozptyl. echť rozdělení velčn z výběru má střední hodnotu μ a rozptyl σ. Je žádoucí, aby střední hodnota výběrového { } μ průměru byla shodná se střední hodnotou velčn výběru, tj. E. Této vlastnost výběrové charatersty se říá nestranný (nebo nevychýlený) odhad příslušného parametru. Jestlže střední hodnota výběrového průměru není rovna střední hodnotě náhodné velčny, pa se odhad označuje jao vychýlený nebo že není nestranný. Lze doázat, že právě S je nestranný odhad rozptylu, tj. E { S } σ. Další výhodnou vlastností je to, že rozptyl odhadu charaterst se s rostoucím rozsahem výběru snžuje. Lze doázat, že napřílad platí D{ } σ. Aplace určené pro použtí v prostředí dgtálních sgnálových procesorů nemohou být založeny na vztazích jao jsou napřílad (0)-(). Zpracování číslcových sgnálů totž v těchto systémech nelze provádět na naměřených datech. To by s vyžadovalo uládat poměrně velý objem naměřených dat do pamět a taé časovou prodlevu, terá je dána především časem nutným pro jejch zísání. Obecnou nevýhodou vztahů tohoto typu je nutnost mít dspozc předem zísaný záznam naměřeného sgnálu. Proto bylo přstoupeno nalezení způsobu, ja počítat hodnotu výběrového průměru a výběrového rozptylu průběžně. echť je výběrový průměr pro záznam obsahující vzorů a je výběrový průměr pro záznam obsahující vzorů. (3) Rozdíl mez výběrovým průměrem a výběrovým průměrem, terý obsahuje o jeden vzore delší záznam, nechť je označen Δ. Tyto velčny jsou navzájem svázány rovncí (5). Δ (5) Vztah pro určení tohoto rozdílu (6) lze určt následujícím postupem. Δ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4) 4

5 ( Δ ) (6) Dosazením (6) do (5) dostaneme vztah pro výpočet výběrového průměru pro záznam obsahující vzorů (7) na záladě znalost předešlé hodnoty výběrového průměru, terý obsahuje vzorů, a spočítaného přírůstového rozdílu. Výhodou je to, že není potřeba průběžně uládat naměřená data. ( ) (7) Stejným způsobem lze najít vztah pro určení velost výběrového rozptylu pro záznam obsahující vzorů (8) na záladě znalost předešlé hodnoty výběrového rozptylu, jenž obsahuje m,, m vzorů, a spočítaného přírůstového rozdílu. Výhodou tohoto vztahu je opět to, že není potřeba uládat naměřená data. Odvození tohoto vztahu se opírá o následující postup. echť příslušný přírůstový rozdíl, terý je svázán s příslušným výběrovým rozptyly a rovncí.8, je označen m,, m Δ.,, Δ m m (8) Vztah pro určení tohoto rozdílu (9) lze určt následujícím postupem. Δ ( Δ ) (9) 4 Pops vytvořené aplace Vytvořená aplace je určená pro odhad náhodné salární onstanty, terá napřílad může reprezentovat úroveň napětí. Tato aplace předpoládá použtí lneárního dsrétního stochastcého systému, popsaného pomocí stavového modelu (0) a (). v x x (0) w x y () Jedná se o jednorozměrný systém, tzn. že matce a přejdou ve saláry. avíc nechť. Kalmanovy rovnce poté budou mít následující tvary. A C A C 5

6 . predční rovnce x ˆ xˆ () P Q. oreční rovnce P (3) P ( P R xˆ K y xˆ K ) (4) xˆ P (5) P K P (6) Předpoládejme velm malou odchylu šumu procesu v, nechť ovaranční matce (respetve salár) šumu procesu Q má velost Q 0 5 V (respetve Q 0 V pro třetí prezentovaný přílad). Pomocí ní zavedeme určtou nejstotu v popsu reálného systému užtím stavového modelu (0) a (). Vytvořená aplace demonstruje použtí adaptvního Kalmanova fltru a to ta, že se mění velost rozptylu šumu měření w, terý ovlvňuje měření požadovaného sgnálu. Šum měření w je generován jao sgnál s charaterem bílého šumu a lze jej prezentovat pomocí ovaranční matce (respetve salárem) šumu měření R. Ještě je nutné určt, popřípadě odhadnout velost počátečního aposterorního odhadu stavu ˆx 0 a počáteční ovaranční matc (respetve salár) tohoto aposterorního odhadu P0. echť xˆ0 0 a P 0. echť sutečná hodnota měření je onstantní a o velost 0 V, terá je zatížena šumem měření w o rozptylu postupně 0.,,0 V. echť jeho počáteční hodnota je nulová, tj. σ w σ w R 0 V. Úolem vytvořené aplace je odhadnout velost onstantního napětí, přčemž jsou použty vztahy (5)-(9) pro výpočet velost výběrového průměru a výběrového rozptylu m, teré se použjí jao adaptblní parametr Kalmanova fltru ()-(6). Vypočtená velost výběrového rozptylu se totž použje jao parametr R ve vztahu (4) pro výpočet m Kalmanova zesílení, tj. m R. Déla záznamu pro výpočet a m je zvolena hodnota 56. Ja jž bylo výše zmíněno, není potřeba uládat těchto 56 změřených hodnot do datové pamět sgnálového procesoru. 5 Expermentální ověření a obr. -4 jsou zobrazeny výsledy užtí adaptvního Kalmanova fltru, terý je použt pro odhad velost náhodné onstantní hodnoty z měřeného sgnálu, terý je zatížen šumem měření. a obr. má šum měření rozptyl o velost 0, V, na obr. 3 rozptyl o velost V σ w σ w a onečně na obr. 4 rozptyl o velost 0 V. σ w 6

7 Obráze Užtí adaptvního Kalmanova fltru, σ w 0, V Obráze 3 Užtí adaptvního Kalmanova fltru, σ w V Obráze 4 Užtí adaptvního Kalmanova fltru, 0 σ w Modrou barvou je zobrazen původní měřený sgnál, červenou barvou fltrovaný sgnál. a uvedených příladech lze pozorovat, ja se mění vlv fltrování pomocí Kalmanova fltru. Porovnáním výsledů, zobrazených na obr. a obr. 3, lze vypozorovat, že pro nžší hodnotu rozptylu šumu měření se fltr chová ta, že rychlej důvěřuje měřenému sgnálu (vz obr. ), V 7

8 zatímco po zvětšení hodnoty rozptylu šumu měření desetrát, fltr pomalej důvěřuje měřenému sgnálu (vz obr. 3). Výslede třetího procesu fltrování je valtatvně podobný jao na obr., avša musela být změněna hodnota zvoleného rozptylu procesu z hodnoty σ 0 5 v V na σ 0 v V, neboť původně zvolená hodnota nezaručovala správnou funčnost Kalmanova fltru. Dále na obr. ()-(4) jde vdět, že prvních 56 hodnot výstupů Kalmanova fltru je totožný s měřeným sgnálem. Je to dáno počátečním nastavením nulové velost rozptylu šumu měření. Atualzovaná hodnota výběrového průměru a výběrového rozptylu je posytována v aždém 56. rou, protože déla záznamu pro jejch výpočet je zvolena právě 56. Velost daného zpoždění je mnmální, jelož napřílad př nastavení hodnového mtočtu codeu AD89A, jenž je součástí vývojové desy ADSP-065L, na hodnotu Hz, e sběru 56 vzorů dojde přblžně za 5 ms. f S 6 Závěr Do prostředí sgnálového procesoru ADSP-065L byla mplementována aplace, terá doáže provádět odhad velost náhodné onstantní hodnoty. Tato aplace je založena na použtí Kalmanových rovnc, jejchž jedna proměnná je během procesu fltrace průběžně atualzována. Jedná se o proměnnou, terá reprezentuje odhad velost rozptylu šumu měření. Rozptyl tohoto sgnálu je počítán použtím odvozených vztahů pro výpočet výběrového průměru a výběrového rozptylu, jejch výhodou je to, že jejch výpočtu dochází průběžně, tím není potřeba uchovávat měřený sgnál v datové pamět procesoru. 7 Použtá lteratura KALMA, R. E A ew Approach to Lnear Flterng and Predcton Problems. In Transactons of the ASME Journal of Basc Engneerng, 960, č. 8, s Dostupné z www: <URL: 0.pdf> MAYBECK, P. S Stochastc models, estmaton, and control. USA : Academc Press, 979. Dostupný z www: <URL: MOVELLA, J. R Tutoral on the Dscrete Tme Kalman Flter Dostupný z www: <URL: TŮMA, J Složté systémy řízení I. díl: Regulace soustav s náhodným porucham. Ostrava : srpta VŠB-TUO, str. ISB WELCH, G. & BISHOP, G An Introducton to the Kalman Flter Dostupný z www: <URL: WELLIG, M The Kalman Flter Dostupný z www: <URL: 8