Kmitavý pohyb trochu jinak JIŘÍ ESAŘ, PER BAROŠ Katedra fyziky, Pedaoická fakuta, JU České Budějovice Kmitavý pohyb patří mezi zákadní fyzikání děje. Většinou se tato část fyziky redukuje na matematický popis děje. Z hediska motivačního je ae třeba žáky a studenty všech typů ško nejprve seznámit se zajímavými experimenty této obasti fyziky a až poté provést jejich kvaitativní a kvantitativní anaýzu. Na tuto probematiku je nutné také vhodně připravit budoucí učitee fyziky. Kmitavý pohyb vodního soupce v U-trubici Obr. 1 Vemi jednoduchý experiment můžeme provést s U trubicí, ve které rozkmitáme vodní soupec. Z hediska vizuaizace je dobré vodu obarvit (např. potravinářskou barvou). rubice může být skeněná nebo z vhodné průhedné hadice upevněná v stabiních stojanech (držácích). Déka jednoho ramene trubice by měa být cca 1,5 m, aby doba kmitu bya v přijatených hodnotách (Obr. 1). Napníme-i trubici přibižně do pooviny její výšky vodou a pomaým fouknutím docííme porušení rovnováhy v U-trubici, dojde po násedném otevření konce trubice k rozkmitání vodního soupce. ento pohyb se však v důsedku tření kapainy o stěnu trubice ryche utumí a v podstatě není možné provést dostatečně přesné měření. Proto je nutné do vody přidat trochu saponátu, abychom snížii tření kapainy o stěny trubice a docíii menšího útumu. Fyzikání rozbor kmitavého pohybu v U-trubici Snížením hadiny na jedné straně trubice dojde k jejímu stejnému zvýšení na druhé straně trubice, čímž dojde k porušení rovnováhy si (Obr. ). Výsedná sía působící na ceý objem kapainy, tj. sía způsobující kmitavý pohyb kapainy, je určena tíhovou siou kapainy v trubci mezi horní a doní hadinou. ato tíhová sía (F ) je určena rozdíem výšek hadin v obou trubicích (y), průřezem trubice, hustotou kapainy (ρ) a tíhovým zrychením (). Veikost této síy můžeme určit vztahem: F = π r y ρ Znaménko mínus vyjadřuje opačnou orientaci výchyky y a působící síy F. Po dosazení do. Newtonova zákona a někoika jednoduchých úpravách dostaneme diferenciání rovnici. řádu s konstantními koeficienty, která představuje rovnici kmitavého pohybu: 0
Obr. d y + 0 y = dt Z řešení této rovnice získáme vztah pro periodu tohoto kmitavého pohybu: = π Z výsedného vztahu vypývá, že perioda tohoto kmitavého pohybu záeží pouze na déce vodního soupce. Samozřejmě, že tento vztah patí přesně pouze pro netumené kmity. Vzhedem k maé hodnotě koeficientu útumu můžeme ae s přijatenou mírou přesnosti říci, že v tomto případě je perioda tumených a netumených kmitů stejná. Experimentání ověření Změření periody je záežitost poměrně jednoduchá, určení ampitudy výchyky je vzhedem k vysoké frekvenci kmitů třeba nacvičit a až poté provést vastní měření. Nejépe je v průběhu kmitavého pohybu označit popisovačem na jedné straně trubice všechny ampitudy a až po dokmitání kapainy změřit jejich veikost, zaznamenat je do vhodné tabuky a sestrojit raf. (Obr. 3) K ověření patnosti vztahu pro periodu je nutné určit déku vodního soupce. u určíme z objemu kapainy v trubici a z průměru trubice pomocí vztahu pro objem. Všechny naměřené hodnoty potom zpracujeme do tabuek a vyhodnotíme. Výpočet periody: V = 550 m; d = 19, 5 mm = 1,84 m = 1,9 s Naměřené hodnoty periody: 10 (s) 19,3 19,3 19,4 19, 19,4 = 1,9 s Koeficient útumu Z naměřených ampitud určíme koeficient útumu pode známého vztahu: An n An + 1 b =, pro naše měření vychází: b = 0,161 s -1 Násedně můžeme tuto hodnotu dosadit do vztahu pro tumené kmity: bt y = A e sin( ω t+ ϕ) a sestrojit raf tumených kmitů vodního soupce (Obr. 4). 1
Dáe je možné provést porovnání mezi vypočtenou periodou netumených kmitů vodního soupce a tumených kmitů, které charakterizuje vypočtený koeficient útumu. Pro výpočet periody tumených kmitů patí vztah: = π 4π b 0 Obr. 3 Obr. 4, kde 0 je perioda netumených kmitů a b koeficient útumu. Po dosazení výše uvedených (naměřených a vypočtených) hodnot se potvrdi náš původní předpokad: = 0 = 1, 9 s Kmitavý pohyb tyčky na rotujících kotoučích Daší jednoduchý a zajímavý experiment můžeme provést s rotujícími kotouči, na které poožíme tyčku. Pokud se kotouče otáčejí proti sobě vivem různých veikostí třecích si mezi jednotivými kotouči a tyčkou dojde k jejímu rozkmitání. (Obr. 5) Jak konkrétně sestavit vhodné zařízení? Pro pohon kotoučů je třeba motorek o dostatečném výkonu, který má maé otáčky. Dáe je nutné zajistit, aby se oba kotouče pohybovay stejnou rychostí a v opačném směru. oho docííme např. překřížením poháněcího umového řemínku mezi oběma kotouči nebo vytvořením ozubeného soukoí s různým počtem koeček. V našem případě jsme zvoii první variantu a jako pohon použii motorek z automobiových stěračů. Obr. 5 Fyzikání rozbor kmitavého pohybu tyčky na rotujících kotoučích Poožíme-i tyčku o déce a hmotnosti m mírně asymetricky na kotouče, působí na ni tíhová sía F, která se rozkádá do dvou normáových si v bodech dotyku s rotujícími kotoučky. Protože kotoučky rotují opačně, vznikají v bodech dotyku
Obr. 6 opačně orientované třecí síy F 1 a F. Výsedná sía, která způsobuje pohyb tyčky, je dána rozdíem těchto třecích si, tj. patí: F = F 1 - F. Je zřejmé, že tato sía má opačný směr než je výchyka y těžiště od osy symetrie (Obr. 6). Vyjdeme-i z označení na obrázku, a ze vztahu pro výpočet třecí síy dostaneme pro cekovou síu F vztah: m m m m F = y µ + y µ m µ F = y Znaménko mínus vyjadřuje opačnou orientaci výchyky y a působící síy F. Po dosazení do. Newtonova zákona a někoika jednoduchých úpravách dostaneme diferenciání rovnici. řádu s konstantními koeficienty, která představuje rovnici kmitavého pohybu: d y µ + y = 0 dt Z řešení této rovnice vypývá vztah pro periodu tohoto kmitavého pohybu: = π µ kde = déka tyčky a µ = součinite tření mezi tyčkou a kotoučem. Z výsedného vztahu vypývá, že perioda tohoto kmitavého pohybu závisí pouze na déce tyčky a koeficientu tření. Samozřejmě, že tento vztah patí pouze v případě, kdy koeficient tření µ nezávisí na rychosti pohybu kotoučů a tyčky, kdy tyčka vykonává harmonický kmitavý pohyb. Paradoxem se zdá být skutečnost, že perioda tyčky nezávisí na její hmotnosti. Můžeme zde naeznout anaoii s nezávisostí periody na hmotnosti závaží na kmitající pružině, resp. hmotnosti závaží u matematického kyvada. Experimentání ověření Vzhedem k tomu, že perioda tyčky je poměrně maá (pro déku tyče 0,3 0,9 m cca 1 sekundy) je vhodné měřit čas 10 period a potom určit jednu periodu. Výpočet periody: = 0,507 m; µ = 0,65 = 1,5 s 3
Naměřené hodnoty periody: 10 (s) 1,73 1,50 1,46 1,64 1,47 = 1,6 s Didaktický rozbor uvedených experimentů S žáky a studenty provedeme fyzikání rozbor uvažovaného jevu. V první řadě musí dojít k poznatku, že se jedná o periodický pohyb. Dáe si ujasnit, je-i tento pohyb tumený či netumený. Nejdůežitějším úkoem je zjistit, proč k tomuto kmitavému pohybu dochází (porušení rovnováhy si vychýením hadin, resp. rozdíné třecí síy na kotoučích). Dáe je vhodné diskutovat o parametrech ovivňujících veikost periody. Žáci zřejmě budou kromě déky vodního soupce také uvádět průřez trubice, případně hustotu kapainy a u rotujících kotoučů potom také hmotnost tyče, resp. počet otáček kotoučů. Na střední škoe sděíme vztah pro periodu bez odvozování a ukážeme jeho anaoii se vztahem pro periodu matematického kyvada. Z hediska experimentáních dovedností můžeme procvičit měření periody. Před vastním měřením provedeme odhad déky periody, který násedně ověříme měřením stopkami. Protože doba jedné periody je u obou pokusů poměrně maá, je vhodné změřit např. 10 period a z naměřené hodnoty určit dobu jedné periody. Aby mohi budoucí učiteé fyziky pnit své posání, musí být řádně připraveni především po fyzikáně didaktické stránce. Proto při anaýze uvedených experimentů provedeme fyzikání rozbor a na jeho zákadě sestavíme pohybovou rovnici, odvodíme vztah pro periodu kmitu a určíme koeficient útumu a daší závisosti. Získané vztahy potom ověříme experimentáně. Kromě kvaitativního a kvantitativního řešení úohy si musí adepti učiteství na této úoze také osvojit didaktické zásady provedení demonstračního experimentu, jeho vyhodnocení pomocí výpočetní techniky a zpracování protokou. yto experimenty ze pojmout jako kompexní úohu v semináři didaktiky fyziky nebo zadat jako projekt. Závěr Cíem tohoto příspěvku byo ukázat kompexní přístup k dvěma netradičním experimentům na kmitavý pohyb. Fyzikání a didaktická anaýza uvedených jevů pak ukazuje jednu z možných variant, jak se této probematiky zhostit. 4