Řešení úloh 1. kola 59. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů

Transkript

1 Řešení úo. koa 59. ročníku fyzikání oympiáy. Kategorie D Autor úoh: J. Jírů Obr. 1 1.a) Označme v veikost rychosti pavce vzheem k voě a v 0 veikost rychosti toku řeky. Pak patí Číseně vychází α = 38. b) Aam pava po obu t A = t 1 + Zbyněk pava po obu t Z = v v 0 = t 1 + v2 v 2 0 sin α = v 0 v = t 1 = t 1. = t 1 + t 1 t 1 = = 2 t t 2 1 t 1 = 2 2t 1. t 1. 2 boy Číseně vychází t A = 240 s, t Z = 120 s. 5 boů c) Pro < je rychost toku řeky menší než rychost pavce, úoha má řešení. Pro = jsou veikosti rychosti toku řeky a pavců stejné, Aam v ruhé fázi zůstává vzheem k břehu na místě a o cíe se neostane. Zbyněk musí voit úhe α = 90 a je ve stejné situaci. Pro > je rychost toku řeky větší než rychost pavců, Aam v ruhé fázi a Zbyněk jsou unášeni tokem řeky a o cíe se neostanou. 3 boy 2.a) Z kinematických rovnic v 1 = gt, h = 1 2 gt2 ostaneme vyoučením času veikost rychosti míčku bezprostřeně pře zásahem: v 1 = 2gh.

2 Zvoíme-i směr osy y svise vzhůru, má iaboka souřanici rychosti v 0y = = 170 m s 1 a míček v 1y = 2gh (pohybuje se proti směru osy y). Ze zákona zachování hybnosti pyne pro souřanice hybnosti pyne m 0 v 0 + m 1 v 1 = (m 0 + m 1 )u, m 0 v 0y + m 1 v 1y = (m 0 + m 1 )u y. Z rovnice ostaneme u y = m 0v 0y + m 1 v 1y = m 0v 0 m 1 2gh = 1,1 m s 1. m 0 + m 1 m 0 + m 1 Jeikož je souřanice rychosti kaná, pohybuje se míček v kaném směru osy y, tj. nahoru, s počáteční rychostí o veikosti u = 1,1 m s 1. 5 boů Aternativní řešení bez zaveení soustavy souřanic: Užijeme zákon zachování hybnosti: m 0 v 0 + m 1 v 1 = (m 0 + m 1 )u. Jeikož se těesa pohybují proti sobě, je veikost hybnosti pře srážkou rovna veikosti hybnosti po srážce: m 0 v 0 m 1 v 1 = (m 0 + m 1 )u. Z rovnice pyne u = m 0v 0 m 1 v 1 m0 v 0 m 1 2gh = = 1,1 m s 1. m 0 + m 1 m 0 + m 1 Směr rychosti určíme oatečně porovnáním veikostí hybnosti těes pře srážkou. Veikost hybnosti iaboky je veikost hybnosti míčku p 0 = m 0 v 0 = 0,092 kg m s 1, p 1 = m 1 2gh = 0,070 kg m s 1. Jeikož p 0 >p 1, pohybuje se míček s iabokou ve směru vzhůru rychostí o veikosti u = 1,1 m s 1. b) Rychosti míčku a iaboky bezprostřeně pře srážkou jsou vzájemně komé. Ze zákona zachování hybnosti m 0 v 0 + m 1 v 1 = (m 0 + m 1 )w, pro veikosti hybností pyne (m 0 v 0 ) 2 + (m 1 v 1 ) 2 = [(m 0 + m 1 )w] 2. Obr. 2

3 Z rovnice ostaneme (m 0 v 0 ) 2 + (m 1 v 1 ) 2 (m 0 v 0 ) 2 + 2m 2 1 w = = gh = 5,9 m s 1. m 0 + m 1 m 0 + m 1 3 boy Směr rychosti určíme např. jako ochyku α rychosti w o svisého směru: Číseně vychází α = 53. tg α = m 0v 0 m 1 v 1 = m 0v 0 m 1 2gh. 2 boy 3.a) Označíme-i S obsah voorovné stěny kažého kváru a ρ jeho hustotu, pak patí ρ = m 1 = m 2. S Sh 2 Z rovnosti ruhého a třetího čenu pyne m 2 = h 2 m 1, (1) číseně m 2 = 760 g. 2 boy b) V prvním přípaě je veikost třecí síy mezi kváry menší než veikost třecí síy mezi soustavou kvárů a poožkou: fm 1 g <f (m 1 + m 2 ) g. Do pravé strany nerovnice osaíme vztah (1) a upravíme: ( f (m 1 + m 2 ) g = f m 1 + h ) ( 2 g = f m 1 Tím ostaneme Z nerovnice pyne m 1 fm 1 g <f m 1 + h 2 g. 1 + h 2 ) g = f m 1 + h 2 g. f > f. + h 3 boy 2 V ruhém přípaě je veikost třecí síy mezi kváry naopak větší než veikost třecí síy mezi soustavou kvárů a poožkou: Stejným postupem ostaneme fm 2 g >f (m 1 + m 2 ) g. f < h 2 f. + h 2 Pro heaný součinite f smykového tření patí obě pomínky, tj. f<f < h 2 f, + h 2 + h 2 číseně 0,15 <f < 0,20. 3 boy

4 c) V neinerciání vztažné soustavě spojené s oním kvárem můžeme na horní kvár vyvoat setrvačnou síu, jejíž veikost je nejvýše rovna veikosti třecí síy, která na horní kvár působí. V tomto krajním přípaě patí pro nižší kvár nahoře, resp. m 1 a max = fm 1 g m 2 a max = fm 2 g pro vyšší kvár nahoře. V obou přípaech ostaneme stejný výseek a max = fg = 3,4 m s 2. 4.a) Hmotnost kažého řetězu je přímo úměrná jeho éce. Proto patí m 2 = 2. m 1 1 Z rovnice pyne Poobně z rovnice ostaneme m 2 = 2 1 m 1 = 1,05 kg. m 3 m 1 = boy 3 = m 3 1 = 2,60 m. m 1 2 boy b) Během zvíhání řetězu veikost síy nejprve přímo úměrně roste s hmotností visící části řetězu, a tím přímo úměrně s výškou horního konce řetězu. O okamžiku, ky se ceý řetěz ocitne na zemí, zůstává veikost síy konstantní. Po zavěšení třetího řetězu zůstává jeho část na poaze. Veikosti konečných si jsou: F 1 = m 1 g = 5,9 N, F 2 = m 2 g = 10,3 N, F 3 = h 0 m 3 g = 14,7 N. 3 3 boy c) Obsah pochy po grafem určuje vykonanou práci nutnou ke zvižení řetězu neboi potenciání [ energii řetězu vzheem] k zemi. Patí: 1 W 1 = E p1 = 2 0,8 5,9 + (2 0,8) 5,9 J = 9,4 J, [ ] 1 W 2 = E p2 = 2 1,4 10,3 + (2 1,4) 10,3 J = 13 J, W 3 = E p3 = ,7 J = 15 J. 3 boy

5 Obr. 3 ) Po uvonění řetězu bez oheu na jeho éku paá kažý čánek voným páem, během něhož čánky na sebe vzájemně nepůsobí. Veikost rychosti opau poseního čánku kažého řetězu bue stejná a získáme ji např. ze ZZME pro posení čánek. Označíme-i hmotnost čánku m 0, patí: Z rovnice pyne m 0 gh 0 = 1 2 m 0v 2. v = 2gh 0 = 6,3 m s 1. 2 boy 5.a) Veikost tahové síy automobiu je rovna veikosti výsenice síy vaivého oporu a oporové síy vzuchu, které působí proti pohybu. Pro výkon tahové síy patí Ze vztahu pyne k = P 0 v 0 F v v 2 0 = P 0 v 3 0 P 0 = ( F v + kv 2 0) v0. F v v 2 0 = 0,96 N s 2 m 2 = 0,96 kg m 1. 2 boy b) Veikost tahové síy automobiu je rovna veikosti výsenice síy vaivého oporu, oporové síy vzuchu a sožky tíhové síy ve směru nakoněné roviny, které působí proti pohybu. Výkon tahové síy v závisosti na rychosti pak je P (v) = ( F v + kv 2 + mg h s ) v.

6 Graf sestrojíme poe tabuky, která uává vypočtený výkon pro zvoené veikosti rychosti: v km h v m s 1 0 2,78 5,56 8,33 11,1 13,9 16,7 19,4 22,2 25,0 27,8 30,6 33,3 P kw 0 4,1 8,4 12,8 17,7 23,1 29,0 35,7 43,3 51,9 61,5 72,5 84,7 Grafy aších závisostí spňují rovnice ( P (v) = F v + mg h ) v, s 5 boů P (v) = mg h s v. Obě závisosti jsou přímé úměrnosti, stačí spojit přímkou počátek např. s boem určeným souřanicemi P (90km h 1 ) = 36,9 kw, P (90km h 1 ) = 29,9 kw. Obr. 4 2 boy c) Z grafu vyčteme veikost maximání rychosti v max = 104 km h 1. 1 bo 6.a) Horní kvár vysuneme vzheem ke sponímu tak, že se ještě nezvrátí. Přesah horního kváru vzheem ke sponímu je 2, čímž jeho těžiště bue na hranou sponího kváru. Poté soustavu obou kvárů vysuneme přes hranu stou tak, že se ještě nezvrátí. V této pooze je těžiště T 2 soustavy obou kvárů na hranou stou. Doní kvár přesahuje přes hranu o 4, proto cekový přesah horního kváru je 3 4.

7 Obr. 5 3 boy b) Dáme tři kváry na sebe a vysunujeme je postupně oshora poe přechozího návou. Experimentáně zjistíme, že tři kváry ke spnění úkou ještě nepostačují, ae již se čtyřmi ze požaovanou šikmou věž postavit (obr. 6). Obr. 6 3 boy c) Z úkou 1) pyne, že se první kvár posunu o 2, ruhý o 4. Po přiání třetího kváru se spojnice těžiště T 2 soustavy vou horních kvárů a těžiště třetího kváru rozěí v opačném poměru jejich hmotností, tj. v poměru 1:2. Těžiště se tak posune o třetinu z 2, tj o 6. Přiáním čtvrtého kváru se těžiště posune o čtvrtinu z 2, tj. o 8. Cekový maximání přesah pro 4 kváry má honotu = Ve skutečnosti z ůvou stabiity věže je nutné u kažého přesahu ponechat nepatrnou rezervu, přesto při praktickém proveení ze požaovaného cíe osáhnout. Obr. 7 4 boy

8 7.a) Souřanice spočteme poe vzorců x 1 = v 0 t 1 2 a 1t 2, x 2 = s 0 pro 0 s t 3 s, x 2 = s a 2(t t 0 ) 2 pro 3 s t 15 s, ke s 0 = 150 m, t 0 = 3 s, a 1 = 1,5 m s 2, a 2 = 2,6 m s 2. t s x 1 m x 2 m boy Obr. 8 2 boy b) Z grafu vyčteme t s = 7,9 s a x s = 119 m. 1 bo c) Sestrojení tečen a určení souřanic rychostí pomocí tečen: v x1 = ,3 0 m s 1 = 9,1 m s 1, v x2 = Veikosti rychostí určené z časových rovnic pohybu: ,0 4,7 m s 1 = 12,6 m s 1. v 1 = v 0 a 1 t s = 9,15 m s 1, v 2 = a 2 (t s t 0 ) = 12,7 m s 1. 3 boy V aném proveení se honoty získané konstrukcí iší o honot získaných z kinematických vzorců nejvýše o 0,8 %. 2 boy