Linearní teplotní gradient

Transkript

1 Poznámky k semináři z předmětu Pružnost pevnost na K68 D ČVUT v Praze (pracovní verze). Tento materiá má pouze pracovní charakter a ude v průěhu semestru postupně dopňován. utor: Jan Vyčich E mai: vycich@fd.cvut.cz Příkad revize: 6. října 0 Stanovte oecně cekovou maximání deformaci (prodoužení) na nosníku uoženém de orázku. Nosník je zatížen normáovou siou, konstantním tepotním gradientem t a ineárně rostoucím tepotním gradientem od t do t. Normáová sía Náčrtek uožení, normáového zatížení a rozděení zadaného nosníku. x N(x) Pomocí Metody řezu z vodorovné podmínky rovnováhy určíme funkci normáové síy N(x) x : N(x)+ = 0 N(x) = Průěh normáového napětí určíme ze zákadního vztahu a poměrné prodoužení z Hookova zákona. = a ε(x) = σ(x) E = E a unkci prodoužení získáme součtem všech díčích poměrných prodoužení přes ceou déku nosníku (integrá). u(x) = ε(x)dx = E a x+c Oecná funkce deformace (prodoužení). u(x) = E a x Ceková maximání deformace (prodoužení). u() = E a h Konstantní tepotní gradient Náčrtek uožení a tepotního zatížení. t ÓÒ Øº 0000 t x Nosník není namáhaný normáouvou siou. unkce normáové síy N(x) je tedy N(x) = 0 Průěh normáového napětí určíme ze zákadního vztahu. = 0 Poměrné prodoužení je tedy závisé pouze na tepotním součinitei dékové roztažnosti α a změně tepoty t ε(x) = α t = konst. unkci prodoužení získáme součtem všech díčích poměrných prodoužení přes ceou déku nosníku (integrá). u(x) = ε(x)dx = α t x+c Oecná funkce deformace (prodoužení). u(x) = α t x Ceková maximání deformace (prodoužení). u() = α t Linearní tepotní gradient t t t x Nosník není namáhaný normaouvou siou. unkce normáové síy N(x) je tedy opět N(x) = 0 Průěh normáového napětí určíme ze zákadního vztahu. = 0

2 Poměrné prodoužení je tedy zavisé pouze na tepotním součinitei dékové roztažnosti α a funkci tepotního gradientu t(x), ε(x) = α t(x) konst. Poe III. Náčrtek rozděení zadané hřídee: unkce tepotního gradientu se mění se vzdáeností od vetknutí (funkce t(x) ineárně roste od t do t ). Tuto funkci ze popsat nasedujícím vztahem t(x) = t + t t unkci prodoužení získáme součtem všech díčích poměrných prodoužení přes ceou déku nosníku (integrá). u(x) = x ε(x)dx = α t x+ α t t x +C Oecná funkce deformace (prodoužení). u(x) = α t x+ α t t Ceková maximání deformace (prodoužení). Příkad u() = α t + α t t x N (x) Pomocí Metody řezu z vodorovné podmínky rovnováhy určíme funkci normáové síy N (x) x : N (x)+ = 0 d N (x) = Průěh normáového napětí určíme ze zákadního vztahu a poměrné prodoužení z Hookova zákona σ (x) = N (x) = πd = πd ε (x) = σ (x) E = Eπd unkci prodoužení na poi III. získáme součtem všech díčích poměrných prodoužení přes ceou déku poe III u (x) = ε (x)dx = Eπd x acekovédeformace(prodoužení)napoiiiiprox [0; ] je tedy u ( ) = Eπd = u Tento postup ze opakovat pro ostatní dvě poe Stanovte oecně cekovou deformaci (prodoužení) na odstupňované hřídei uoženém de orázku. Nosník je zatížen normáovou siou a. Dáe víte, že modu pružnosti E = konst., průřez d > d a >. Pro řešení použijte Metodu řezu. Poe II. Náčrtek rozděení zadané hřídee: N (x) d d d d Průřezová pocha hřídee v poi I. a II. je a v poi III. = πd = πd Ceková deformace (prodoužení) je součet prodoužení ze všech tří poí, tedy u c = u +u +u Pro řešení zvoíme směr od voného konce. Vodorovná podmínka rovnováhy a určení funkce normáové síy N (x) x : N (x)+ = 0 N (x) = Průěh normáového napětí a poměrného prodoužení σ (x) = N (x) = πd = πd ε (x) = σ (x) E = Eπd unkce prodoužení na poi II u (x) = ε (x)dx = Eπd x a cekové deformace (prodoužení) na poi II pro x [0; ] je u ( ) = Eπd = u

3 Poe I. Náčrtek rozděení zadané hřídee ε(x) N (x) d d Vodorovná podmínka rovnováhy a určení funkce normáové síy N (x) x : N (x) + = 0 N (x) = Průěh normáového napětí a poměrného prodoužení. σ (x) = N (x) = = ( ) πd πd ε (x) = σ (x) E = ( ) Eπd unkce prodoužení na poi I u (x) = ε (x)dx = ( ) Eπd x Příkad u(x) Navrhněte a posud te čtvercovou zákadovou patku pod soupem, na který půsoí normáová (svisá) zatěžovací sía = 0,5MN, je i dovoené namáhání zeminy σ D = 0,MPa. Náčrtek situace a cekové deformace (prodoužení) na poi I pro x [0; ] je u ( ) = ( ) Eπd = u Ceková deformace (prodoužení) Jak yo zmíněno v úvodu, ceková deformace je součet prodoužení ze všech tří poí, tedy u c = u +u +u = = ( ) Eπd + Eπd + Eπd = = ( Eπ d + d + ) d Eπ d a a Pruěhy ze vykresit graficky Navrhování Stanovení nutné průřezové pochy nut d d nut σ D = , Této poše odpovídá čtverec o hraně =,5 0 6 mm =,5m a nut = nut =,58m N(x) σ(x) Zaokrouhením nahoru navrhneme tedy hranu Posuzování a nav =,6m Výpočet napětí pod navrženou čtvercovou zákadovou patkou σ = = a nav = 0,5 05 (,6 0 ) = 0,95MPa

4 Posouzení vypočteného napětí a napětí dovoeného σ? σ D 0,95MPa < 0,MPa Vyhovuje Příkad Na prutové soustavě BC uožené de orázku a sožené z dřevěné vzpěry C a oceového táha B je v odě zavěšené řemeno = 0kN. Navrhněte a posud te stranu čtvercového průřezu dřevěné vzpěry, průměr d kruhového průřezu oceového táha a vypočítejte deformaci oou částí u d a u o. Znáte: déku dřené vzpěry d = 000mm, modu pružnosti dřeva E d = 0 MPa, dovoené napětí dřeva σ d,d = MPa, déka oceového táha o = 5,7mm, modu pružnosti ocei E o =, 0 5 MPa a dovoené napětí ocei σ o,d = 0MPa. Náčrtek situace a vodorovnápodmínka rovnováhya odvozeníosovésíys x : S o cosα S d = 0 S d = = S o cosα S d = 80 = 69,8MPa U oceového táha se jedná o namáhání tahem, u dřevěné vzpěry o namáhání takem. Navrhování Stanovenínutné průřezovépochy o,nut pro oceovétáho o,nut S o = 80 0 = 80,95mm σ o,d 0 a nutné průřezové pochy d,nut pro dřevěnou vzpěru d,nut S d = 69,8 0 = 577,5mm σ d,d Průměr oceového táha dopočítáme ze vzorce pro pochu kruhu d E o, o E d, d d o 0 = πd d nut = o,nut π 80,95 = =,0mm π Stranu čtvercového průřezu dřevěné vzpěry ze vzorce pro pochu čtverce = nut = d,nut = 577,5= 75,98mm Zaokrouhením nahoru navrhneme tedy průměr oceového táha d a hranu dřené čtvercové vzpěry d = mm Osové síy = 80mm Rozkresení uzu Posuzování S o Výpočet napětí v navrhnutém oceovém táhe 0 σ o = = S o πd = 80 0 π = 9,55MPa S d Výpočet napětí v navrhnuté dřevěné vzpěře Výpočet osových si provedeme ze statického rozoru prutové konstrukce. Z podmínek rovnováhy na uzu dopočítáme oě osové síy v oceovém táhe S o a dřevěné vzpěře S d. Svisá podmínka rovnováhy a odvození osové síy S o y : S o sinα = 0 S o = sinα S o = 0 0,5 = 80MPa σ d = = S d = 69, = 0,85MPa Posouzení vypočteného napětí a napětí dovoeného pro oceové táho σ o? σ o,d 9,55MPa < 0MPa Vyhovuje Posouzení vypočteného napětí a napětí dovoeného pro dřevěnou vzpěřu σ d? σ d,d 0,85MPa < MPa Vyhovuje

5 Defomace Deformaci táha a vzpěry dopočítáme ze vztahu pro cekovou deformaci prutu Pro oceové táho pak patí u = E u o u o = S o o E o o = S o o =,059mm πd E o = ,7, 0 5 π a pro dřevěnou vzpěřu u d = S d d = S d d E d d E d = 69, u d =,08mm Oceové táho se prodouží o u o =,059mm a dřevěná vzpěra se zkrátí o u d =,08mm. 5