DYNAMICKÁ ANALÝZA A OPTIMALIZACE

Závěrečná výzkumná zpráva z řešení projektu FRVŠ 2282/2003/G1 DYNAMICKÁ ANALÝZA A OPTIMALIZACE PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ Michal HAJŽMAN Miroslav BYRTUS Vladimír ZEMAN Katedra mechaniky, Univerzitní 22, 30614, Plzeň Leden 2004

OBSAH 1 Obsah 1 Úvod 2 2 Dynamická analýza ozubeného převodu 3 2.1 Matematický model ozubeného převodu.................... 4 2.2 Modální analýza linearizovaného modelu................... 7 2.3 Podmínky stálého záběru............................ 7 2.4 Aplikace..................................... 8 2.4.1 Modální analýza............................ 9 2.4.2 Extrémy deformací ozubení a oblast ztráty silového záběru..... 9 2.4.3 Numerické řešení nelineárního modelu................. 9 3 Dynamická analýza převodových ústrojí 12 3.1 Matematický model............................... 12 3.2 Modální analýza linearizovaného modelu................... 14 3.3 Podmínky stálého záběru............................ 14 3.4 Ustálená dynamická odezva převodového ústrojí............... 15 3.5 Aplikace..................................... 16 3.5.1 Modální analýza............................ 17 3.5.2 Mapa ztráty silového záběru v ozubení................ 17 3.5.3 Numerické řešení nelineárního modelu................. 17 4 Optimalizace převodových ústrojí 19 4.1 Optimalizace převodových ústrojí z hlediska potlačení ustálené odezvy.. 19 4.2 Numerické experimenty na testovací převodovce............... 22 4.3 Dílčí závěry................................... 25 Příloha - Rezonanční tabulka 28

1 ÚVOD 2 1 Úvod Tato závěrečná výzkumná zpráva shrnuje hlavní výsledky řešení rozvojového projektu Fondu rozvoje vysokých škol číslo 2282 řešeného v roce 2003 spadajícího do tematického okruhu a specifikace G1 a (Tvůrčí činnost studentů doktorských studijních programů technických oborů) s názvem Dynamická analýza a optimalizace převodových ústrojí. Na řešení se podíleli studenti doktorského studijního oboru Aplikovaná mechanika na Katedře mechaniky FAV ZČU v Plzni Ing. Michal Hajžman (řešitel) a Ing. Miroslav Byrtus (první spoluřešitel) a akademický pracovník, školitel obou doktorandů, Prof. Ing. Vladimír Zeman, DrSc. (druhý spoluřešitel). Hlavním cílem řešení projektu bylo rozšíření metody modální syntézy na rozsáhlé systémy s nelineárními vazbami, algoritmizace postupů a vyvinutí speciálních programů použitelných pro dynamickou analýzu a optimalizaci převodových ústrojí s uvažováním možné ztráty silového záběru v ozubení. Za tímto účelem byl nejprve vytvořen model páru vnitřně buzených spoluzabírajících ozubených kol, který sloužil k hlubšímu pochopení probíhajících dějů v ozubeném převodu a k vylepšení metodiky modelování nelineárního zubového záběru s možnou ztrátou kontaktu pracovních boků zubů. Byla vypracována metoda určování stálého silového záběru ozubených kol a dále byla řešena odezva nelineárního modelu páru ozubených kol metodou přímé integrace. Metodika modelování a způsob analýzy vibrací byly dále zobecněny pro rozsáhlé rotující systémy s nelinearitami ve vazbách uvažované včetně statorové části, které jsou modelovány pomocí metody modální syntézy s kondenzací. Takovými systémy jsou právě převodová ústrojí s možnou ztrátou silového záběru v ozubení uvažovaná včetně skříně. Výzkumná zpráva se dále zabývá optimalizací vybraných konstrukčních parametrů převodových ústrojí z hlediska potlačení ustálených vibrací vybuzených vnitřními zdroji buzení. Na základě popsané metodiky bylo vytvořeno vlastní programové vybavení v systému MATLAB, které umožňuje řešit úlohy týkající se modelu páru ozubených kol. Zpracováno bylo rovněž obecné programové vybavení pro modelování převodových ústrojí pomocí metody modální syntézy s kondenzací, modální analýzu převodových ústrojí, vyšetřování ustálené odezvy, určování oblastí stálého silového záběru, vyšetřování časové odezvy nelineárního modelu převodového ústrojí s možností ztráty silového záběru v ozubení a optimalizaci z hlediska potlačení ustálené odezvy. Programové vybavení je aplikováno na ozubený převod s konkrétními parametry a na jednoduchou modelovou převodovku. Výsledky vybraných analýz a výpočtů jsou vždy uvedeny na konci příslušných kapitol.

2 DYNAMICKÁ ANALÝZA OZUBENÉHO PŘEVODU 3 2 Dynamická analýza ozubeného převodu Ozubené převody jsou vedle vnějších zdrojů buzeny vnitřními zdroji generovanými v záběrech ozubených kol. Ozubená kola jsou v rychlootáčkových pohonových soustavách nejčastěji čelní se šikmými zuby a lze proto předpokládat jako dominantní zdroj buzení kinematické úchylky ozubení. Dynamické vlastnosti ozubených převodů jsou zpravidla výrazně ovlivněny výrobními úchylkami a výškovou modifikací ozubení [2]. Vyjdeme-li z předpokladu zanedbání vlivu kmitání ozubených kol na polohu záběrového bodu, můžeme kinematické úchylky ozubení při jmenovitém statickém zatížení považovat za periodické funkce času s periodou záběru. Ve výpočtovém modelu budeme kinematické úchylky simulovat vsouváním fiktivního klínu o šířce z (t) mezi ideální evolventní spoluzabírající boky zubů (obr. 1). Ve většině prací týkajících se vnitřní dynamiky ozubených převodů se předpokládá zachování kontaktu pracovních boků zubů (tzv. nepřerušený záběr typu a). Při relativně malém vnějším statickém zatížení může být kontakt přerušen a relativní pohyb boků zubů hnacího a hnaného kola na záběrové přímce zasahuje do oblasti boční vůle (záběr typu b) nebo může dojít po vymezení vůle u z i ke kontaktu nepracovních boků zubů (záběr typu c). F a z M 2 2. ω 2 + ϕ2 F c z a 2 k (t) z(t) F c z M 1 1 u z. ω + ϕ 1 1 a 1 k (t) F a z c z k (t) (e) F z u z F a z a z k (t) d z Obrázek 1: Schéma zubového záběru Hlavním cílem této kapitoly je uvést metodu pro modelování kmitání páru ozubených kol pevně nasazených na krátkých ohybově i torzně tuhých hřídelích uložených na poddajných valivých ložiskách (obr. 2). Matematický model v maticové formě respektuje prostorový pohyb obou ozubených kol, změnu tuhosti ozubení střídáním m a m + 1 párů zubů F c z

2 DYNAMICKÁ ANALÝZA OZUBENÉHO PŘEVODU 4 v záběru, gyroskopické účinky a všechny tři možné fáze kontaktu zubů. Hřídele ozubených kol jsou spojeny torzně poddajnými hřídeli s rotujícími kotouči pohonového ústrojí. Předpokládáme, že pohyb kotoučů (krajních řezů hřídelů) není ovlivněn rozkmitáním ozubeného převodu. Model umožňuje analyzovat vliv vnitřních kinematických, vnějších kinematických, parametrických a vnějších silových zdrojů buzení. Pokud kotouče, mezi něž je ozubený převod vřazen, rotují rovnoměrně, pak úhlové rychlosti ω 1 a ω 2 jsou konstantní a torzní předepnutí ozubeného převodu je definováno konstantními úhly ϕ 1 a ϕ 2. Zvláštní zřetel dále uvedené metodiky je kladen na budoucí její zobecnění na převodová ústrojí, kdy je nutné respektovat ohybovou i torzní poddajnost hřídelů, interakci hřídelů se skříní a více párů ozubených kol. 2.1 Matematický model ozubeného převodu Ozubený převod (dále systém) dekomponujeme na hřídel s hnacím ozubeným kolem (subsystém j = 1) a na hřídel s hnaným ozubeným kolem (subsystém j = 2). Vychýlení subsystémů z polohy, kdy ložiska i pracovní boky zubů jsou nedeformované a v dotyku, vyjádříme vektory zobecněných souřadnic q j = [ u j v j w j ϕ j ϑ j ψ j ] T, j = 1, 2. (2.1) Pohybové rovnice subsystémů lze za daných předpokladů zapsat v maticovém tvaru (horní znaménko platí pro j = 1 a dolní pro j = 2) M j q j (t) + (B j ± ω j G j ) q j (t) + K j q j (t) = F z δ j + f j (t), j = 1, 2, (2.2) kde M j, B j, K j jsou symetrické matice hmotnosti, tlumení a tuhosti řádu 6 a G j je antisymetrická matice gyroskopických účinků téhož řádu subsystému j rotujícího úhlovou rychlostí ω j. Vektory f j (t) vyjadřují vnější silové zatížení subsystémů. Pokud respektujeme jen torzní předepnutí ozubeného převodu, lze je vyjádřit ve tvaru f j (t) = [ 0 0 0 k j ( ϕ j ϕ j ) + b j ( ϕ j ϕ j ) 0 0 ] T, j = 1, 2. (2.3) Členy obsahující ϕ j, ϕ j lze převést na levou stranu pohybové rovnice a doplnit tak matice tlumení a tuhosti subsystémů B j, K j na B j, K j. Po této úpravě přejdou vektory f j(t) v (2.2) do tvaru f j (t) = [ 0 0 0 k j ϕ j + b j ϕ j 0 0 ] T, j = 1, 2. (2.4) Pokud úhly ϕ j jsou danými funkcemi času, systém je zvnějšku kinematicky buzen. Síla přenášená ozubením F z soustředěná do centrálního záběrového bodu je obecně nelineární funkcí deformace ozubení ve směru normály k bokům zubů d z = δ T 1 q 1(t) δ T 2 q 2(t) + z (t) (2.5) případně i rychlosti deformace ozubení d z, kde vektory δ 1 a δ 2 geometrických parametrů ozubených kol jsou dány výrazy uvedenými na str. 264 v [10]. Souřadnice těchto vektorů je však nutné psát v pořadí 1,2,6,3,5,4, které odpovídá pořadí zobecněných souřadnic v (2.1).

2 DYNAMICKÁ ANALÝZA OZUBENÉHO PŘEVODU 5 z 2 y i υ i k (ω 2 t ϕ 2) 2 β S 2 γ ω 2 t + ϕ 2 ψ i S i w i vi u i ϕ i x i S 1 k 1 z i β ω 1 t +ϕ 1 ω 1 t + ϕ 1 z 1 Obrázek 2: Elastická síla v ozubení Kinematická úchylka ozubení z (t) za daných zjednodušujících předpokladů může být aproximována Fourierovou řadou z (t) = K ( C z,k cos k ω z t + S z,k sin k ω zt ), (2.6) k=1 kde C z,k resp. S z,k jsou amplitudy k-té harmonické složky úchylky ozubení měřené na záběrové přímce v zubovém záběru z a ω z je příslušná zubová frekvence ω z = z 1 ω 1 = z 2 ω 2. Elastickou složku síly v ozubení v daném časovém okamžiku F z (e) (d z, t) můžeme přibližně popsat lineární lomenou funkcí (obr. 1), kde u z představuje boční vůli ozubení na záběrové přímce a směrnice šikmých přímek vyjadřují tuhosti ozubení kz a (t) ve fázi záběru a resp. kz(t) c ve fázi záběru c. Zanedbali jsme vliv rozkmitání ozubeného převodu na polohu záběrového bodu a závislost tuhosti ozubení na změně zatížení. Elastickou sílu v ozubení lze pak vyjádřit analyticky ve tvaru F (e) z (d z, t) = k a z (t)d z k a z (t)d zh( d z ) + k c z (t)(d z + u z )H( d z u z ), (2.7) kde H je Heavisideova funkce. Poznamenejme, že pro d z < u z (fáze záběru c) se mění struktura vektorů δ 1 a δ 2 geometrických parametrů ozubených kol ve smyslu změny znamének souřadnic 1,3,4,6 obou vektorů [10]. Celkovou sílu přenášenou ozubením, za předpokladu viskózního tlumení ozubení charakterizovaného koeficientem b z, vyjádříme ve tvaru kde jsme zavedli nelineární složku síly F z = k a z (t)d z + b z d z + f z (d z, t), (2.8) f z (d z, t) = k a z(t)d z H( d z ) + k c z(t)(d z + u z )H( d z u z ). (2.9)

2 DYNAMICKÁ ANALÝZA OZUBENÉHO PŘEVODU 6 Zaveďme dále globální vektor q(t) zobecněných souřadnic systému a globální vektor c z geometrických parametrů ozubených kol v záběru [ ] [ ] q1 (t) δ1 q(t) =, c q 2 (t) z =. (2.10) Celkovou sílu přenášenou ozubením lze pak přepsat do tvaru F z = k a z (t)[ ct z q(t) + z] + b z [ c T z q(t) + z ] + f z (d z, t). (2.11) Matematický model systému (2.2) lze zapsat jako M q(t)+(b+b z +ωg) q(t)+(k+k z (t))q(t) = [kz(t) a z (t)+b z z (t)+f z (d z, t)]c z +f E (t), (2.12) kde [ ] [ X1 0 X = pro X = M, B, K G1 0, G = 0 X 2 Jeho speciálními tvary jsou: δ 2 0 r 1 r 2 G 2 K z (t) = k a z (t)c zc T z, B z = b z c z c T z. ], f E (t) = [ f 1 (t) f 2(t) a) model lineární časově invariantní pro k z (t) k z0 a min d z > 0 (trvale ve fázi záběru t a při konstantní tuhosti ozubení), b) model lineární časově variantní (parametrický) pro min d z > 0 (trvale ve fázi záběru t a), c) model nelineární se ztrátou kontaktu zubů a překmitáváním do oblasti boční vůle pro u z < min d z < 0 (střídavě ve fázích záběru a, b), t d) model nelineární se ztrátou kontaktu zubů a vymezováním vůle pro min d z < u z t (kombinace fází záběru a, b, c). V modelu (2.12) se vyskytují zdroje buzení: a) vnější kinematické popsané vektorem f E (t), b) parametrické vyjádřené v čase periodicky proměnnou tuhostí ozubení K ( k z (t) = k z0 + k C z,k cos kω z t + kz,k S sin kω zt ) k=1 c) vnitřní kinematické úchylkou ozubení z aproximované Fourierovou řadou (2.6). Matematický model (2.12) umožňuje analyzovat vliv jednotlivých i kombinovaných zdrojů buzení na dynamické vlastnosti ozubeného převodu. Základními charakteristikami jsou časový průběh deformace ozubení d z (t), fázová trajektorie deformace ozubení, orbity středů ozubených kol v rovině yz a zejména závislost maximální deformace ozubení na zubové frekvenci ω z (obdoba amplitudové charakteristiky nelineárního modelu). ],

2 DYNAMICKÁ ANALÝZA OZUBENÉHO PŘEVODU 7 2.2 Modální analýza linearizovaného modelu Provedením modální analýzy konzervativního linearizovaného časově invariantního modelu systému M q(t) + (K + K z ) = 0, (2.13) přičemž pro matici popisující linearizovanou zubovou vazbu platí K z = k z0 c z c T z, získáme modální matici V a spektrální diagonální matici Λ, jejíž prvky jsou kvadráty vlastních frekvencí. V případě, kdy má tlumení významný vliv na chování systému, je modální analýza prováděna na nekonzervativním linearizovaném časově invariantním modelu M q(t) + (B + B z + ωg) q(t) + (K + K z )q(t) = 0, (2.14) ve stavovém prostoru. Zavedeme-li stavový vektor [ ] q(t) u(t) =, q(t) můžeme model (2.14) přepsat do stavového prostoru ve tvaru N u(t) + P u(t) = 0. (2.15) Matice N a P mají tvar [ 0 M N = M B + B z + ωg ], P = [ M 0 0 K + K z (t) ]. Na základě znalosti vlastních frekvencí, vlastních tvarů a buzení systému popsané polyharmonickou řadou, můžeme určit teoretické rezonanční stavy, kdy některá z harmonických složek buzení rezonuje s příslušnou vlastních frekvencí. 2.3 Podmínky stálého záběru Pro praxi je velmi důležité určit podmínky pro stálý záběr pracovních boků zubů (záběr typu a). Zanedbáme-li parametrický zdroj buzení a za předpokladu konstantních úhlů předepnutí ozubeného převodu ϕ 1, ϕ 2, vektor f E (t) je v čase konstantní f E (t) = f 0 = [ 0 0 0 k 1 ϕ 1 0 0 0 0 0 k 2 ϕ 2 0 0 ] T. Matematický model (2.12) přejde v režimu stálého záběru do tvaru M q(t) + (B + B z + ωg) q(t) + (K + K z )q(t) = [k z z (t) + b z z (t)]c z + f 0, (2.16) kde k z je střední tuhost ozubení. Řešení lze hledat ve tvaru součtu statické a kmitavé složky q(t) = q 0 + q dyn (t), kde vektor q 0 = (K + K z ) 1 f 0 (2.17)

2 DYNAMICKÁ ANALÝZA OZUBENÉHO PŘEVODU 8 popisuje statickou rovnovážnou polohu kinematicky ideálního systému. Z pohybové rovnice (2.16) pro kmitavou složku pohybu dostaneme M q dyn (t) + (B + B z + ωg) q dyn (t) + (K + K z )q dyn (t) = [k z z (t) + b z z (t)]c z. (2.18) Pohybovou rovnici přepíšeme zavedením vektoru komplexních výchylek q(t) a komplexních kinematických úchylek z (t) do tvaru M q(t) + (B + B z + ωg) q(t) + (K + K z ) q(t) = [k z z (t) + b z z (t)]c z, (2.19) přičemž q dyn = Re{ q(t)} a z (t) = Re{ z (t)}. Zřejmě podle (2.6) z (t) = K z,k e ikωzt, (2.20) k=1 kde z,k = C z,k i S z,k. Partikulární řešení rovnice (2.24) hledejme ve tvaru q(t) = K q z,k e ikωzt, (2.21) k=1 kde pro komplexní amplitudy výchylek platí q z,k = [ Mk 2 ω 2 z + (B + B z + ωg)ik ω z + K + K z ] 1 c z (k z + ikω z b z ) z,k. (2.22) Reálný vektor kmitavých složek výchylek je q dyn (t) = Re{ q(t)} = K (Re{ q z,k } cos kω z t Im{ q z,k } sin kω z t). (2.23) k=1 Podmínka stálého záběru v ustáleném stavu je podle (2.5) a (2.10) vyjádřena výrazem min d z(t) = min t <0,10T z> t <0,10T { ct z [q 0 + q dyn (t)] + z (t)} > 0 (2.24) z> v závislosti na otáčkách n = 30ω π hnacího hřídele. 2.4 Aplikace Metoda je testována na soustavě složené z páru ozubených kol uložených na valivých ložiskách (obrázek 2). Ozubený převod je kinematicky buzen úchylkou ozubení ve tvaru Fourierovy řady. Po vytvoření matematického a následně výpočtového modelu v programovém systému MATLAB byly získány následující výstupy.

2 DYNAMICKÁ ANALÝZA OZUBENÉHO PŘEVODU 9 2.4.1 Modální analýza Výsledky modální analýzy jsou uvedeny v tabulce 1, v níž f ν představuje ν-tou vlastní frekvenci, d z je deformace ozubení odpovídající příslušnému vlastnímu tvaru kmitu, α a β jsou reálná a imaginární část vlastního čísla nekonzervativního modelu pro koeficient proporcionálního tlumení ložisek β L = 5 10 6 a koeficient viskózního tlumení zubové vazby b z = 1.63 10 3. ν f ν [Hz] d z [m] α ν [Hz] β ν [Hz] 1 176 0 0.01 176 2 541 4.1 10 3 9 541 3 548 0 9 548 4 809 3.71 10 3 21 808 5 810 0 21 809 6 871 0.0277 25 871 7 958 0 29 958 8 1416 0.0422 63 1414 9 1446 0 66 1444 10 1550 0.0681 76 1548 11 1711 0 92 1709 12 4589 1.411 287 4580 Tab. 1: Výsledky modální analýzy konzervativního a nekonzervativního modelu pro n = 500 1/min. 2.4.2 Extrémy deformací ozubení a oblast ztráty silového záběru Pro ilustraci jsou na obr. 3 znázorněny extrémy deformací ozubení ozubeného převodu při dvou různých statických předepnutích v závislosti na otáčkách hnacího hřídele 1. Při velkém statickém předepnutí ( ϕ 1 = ϕ 2 = 0.01 rad) je oblast stálého záběru až do otáček n =. 1800 1. Při malém předepnutí ( ϕ min 1 = ϕ 2 = 0.001 rad) je stálý záběr narušen již při malých otáčkách n =. 400 1. To je zobrazeno na mapě ztráty silového záběru na min obr. 4 v rovině n, ϕ ( ϕ = ϕ 1 = ϕ 2 ), kde tmavá oblast odpovídá stálému záběru, světlá oblast kmitání se ztrátou silového záběru. 2.4.3 Numerické řešení nelineárního modelu Chování ozubeného převodu při nesplnění podmínky (2.24), kdy může docházet ke střídání typu záběru a, b, c, je nutné vyšetřovat na modelu (2.12) metodou přímé integrace při počátečních kinematických podmínkách q(0) = q 0, q(0) = 0.

2 DYNAMICKÁ ANALÝZA OZUBENÉHO PŘEVODU 10 10 x 10 6 8 6 ϕ = 0.01 rad ϕ = 0.001 rad PSfrag replacements deformace ozubení 4 2 0 2 4 6 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 otáčky 1/min Obrázek 3: Extrémy deformace zubového záběru 10 x 10 3 9 3e 06 3e 06 2e 06 1e 06 2e 06 1e 06 ϕ = ϕ1 = ϕ2 8 7 6 5 4 3 1e 06 2e 06 1e 06 2e 06 1e 06 2e 06 1e 06 2e 06 1e 06 2e 06 1e 06 1e 06 PSfrag replacements 2 1 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 otáčky 1/min Obrázek 4: Mapa ztráty silového záběru Numerickými experimenty byla prověřena odezva systému při konstantních provozních otáčkách hnacího kola n = 2000 ot/min v rozsahu předepnutí ozubeného převodu ϕ 10, 100. Vůle v ozubení byla volena u z = 40 µm na základě geometrických parametrů ozubení. Na obr. 5 jsou ve fázové rovině zobrazeny ustálené fázové trajektorie

2 DYNAMICKÁ ANALÝZA OZUBENÉHO PŘEVODU 11 0.4 0.5 rag replacements rychlost deformace ozubení 0.2 0 0.2 0.4 PSfrag replacements 0.6 6 4 2 0 2 deformace ozubení x 10 5 (a) ϕ = 0.001 rychlost deformace ozubení 0 0.5 6 4 2 0 2 deformace ozubení x 10 5 (b) ϕ = 0.004 0.6 0.15 rychlost deformace ozubení rag replacements 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 PSfrag replacements 0.8 6 4 2 0 2 deformace ozubení x 10 5 (c) ϕ = 0.0082 rychlost deformace ozubení 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 2 0 2 4 6 8 10 deformace ozubení x 10 6 (d) ϕ = 0.0083 Obrázek 5: Ustálené fázové trajektorie deformace ozubení deformace ozubení pro vybrané statické předpětí. Z grafů fázových trajektorií je patrné, že při malé změně předepnutí z hodnoty ϕ = 0.0082 rad na hodnotu ϕ = 0.0083 rad dojde ke kvalitativní změně průběhu deformace ozubení. Pro ϕ 1; 8, 2 10 3 dochází k překmitávání přes vůli a k nárazu nepracovních boků zubů (kombinace záběru typu a, b, c), kdežto pro ϕ 8, 3; 10 10 3 dochází pouze k překmitávání do vůle (kombinace záběru typu a, b). Další kvalitativní charakteristikou odezvy systému je analýza periody odezvy vůči periodě buzení, resp. vůči periodám buzení v případě víceharmonického buzení. Metodou Poincarého zobrazení [11] byly provedeny řezy v časových hladinách s krokem t = T 1, kde T 1 je perioda první harmonické složky buzení. Tyto řezy jsou na obr. 5 zobrazeny body, které navzájem splývají, což znamená, že perioda odezvy je shodná s periodou buzení. To platí i při kvalitativní změně pohybu popsané výše.

3 DYNAMICKÁ ANALÝZA PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 12 Veškeré časové průběhy byly získány Runge-Kuttovou metodu přímé integrace čtvrtého řádu implementovanou v programovém systému MATLAB 6.5. 3 Dynamická analýza převodových ústrojí V této kapitole bude předchozí metodika zobecněna pro převodová ústrojí uvažovaná včetně statorové části s možnou ztrátou silového záběru v ozubení. Matematický model bude vytvořen pomocí metody modální syntézy s kondenzací (viz například [14]), která dovoluje modelovat velmi rozsáhlé mechanické systémy dekomponovatelné na subsystémy. Jednou z výhod této metody je, že každý subsystém lze modelovat pomocí jiného programového prostředku dokonce na oddělených pracovištích. Výsledný kondenzovaný model může být poté analyzován s využitím osobního počítače se standardními parametry. 3.1 Matematický model Převodové ústrojí je dekomponováno na statorovou část a vnitřní rotující vestavbu, která se dále skládá z jednotlivých rotujících hřídelů vázaných ke skříni valivými ložiskovými vazbami a propojených mezi sebou zubovými vazbami. Celý systém je složen z N subsystémů. Uvolněné hřídele rotující úhlovými rychlostmi ω j jsou označeny jako subsystémy j = 1, 2,..., N 1 a skříň je označena jako subsystém j = N, pro nějž platí ω N = 0. Hřídele se diskretizují na konečné dvouuzlové hřídelové prvky a ozubená kola jsou reprezentována jejich hmotností a momenty setrvačnosti (viz [10]). Tvarově složitou skříň je zpravidla nutné modelovat pomocí metody konečných prvků s využitím objemových a skořepinových konečných elementů v některém komerčním MKP systému (ANSYS, MARC, COSMOS/M, SYSTUS,... ). Po diskretizaci můžeme matematický model systému dekomponovaného na N subsystémů zapsat (viz [10]) ve tvaru M j q j (t) + (B j + ω j G j ) q j (t) + K j q j (t) = f E j (t) + f C j, j = 1, 2,..., N, (3.1) kde M j, B j, G j a K j jsou čtvercové matice hmotnosti, tlumení, gyroskopických účinků a tuhosti subsystémů, které jsou stejného řádu n j jako dimenze vektoru zobecněných souřadnic subsystému q j (t). Vektor f E j (t) popisuje vnější silové či kinematické buzení. Interakci mezi subsystémy v globálním konfiguračním prostoru daným vektorem zobecněných souřadnic q(t) = [ q j (t) ] vyjadřuje globální vektor vazbových sil f C = [ ] f C j ve tvaru f C (t) = B B q(t) K B q(t) + Z c z F z (t, q, q), (3.2) kde B B a K B jsou matice tlumení a tuhosti linearizovaných valivých ložiskových vazeb (blíže viz [15]). Vektory c z jsou vektory sestavené na základě geometrických parametrů ozubených kol (viz [10]). Sílu přenášenou ozubením z lze zapsat ve tvaru z=1 F z (t, q, q) = k z (t)d z + b z d z + f z (d z, t), (3.3)

3 DYNAMICKÁ ANALÝZA PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 13 kde k z (t) je časově proměnná tuhost ozubení, b z je koeficient vizkózního tlumení ozubení. Nelineární síla f z (d z, t) vyjadřuje vliv přerušení silové záběru. Deformaci ozubení d z vyjádříme výrazem d z = c T z q(t) + z(t), (3.4) který obsahuje kinematickou úchylku ozubení z (t). Nyní zavedeme transformace q j (t) = m V j x j (t) pro j = 1, 2,..., N a m j < n j, přičemž m V j R n j,m j jsou modální submatice složené z vybraných vlastních vektorů rozpojených netlumených subsystémů. Model (3.1) lze přepsat s využitím této transformace do kondenzovaného tvaru ẍ(t) + (D + ω 0 G + V T B B V + V T B G V )ẋ(t)+(λ + V T K B V + V T K G (t)v )x(t) = = V T [f E (t) + f G (t) + Z c z f z (d z, t)]. (3.5) Model je sestaven v novém konfiguračním prostoru dimenze m = m j, m n, který je určen vektorem x(t) = [x j (t)]. Matice z=1 D = diag( m V j T B j m V j ), G = diag( ω j ω 0 m V j T G j m V j ), V = diag( m V j ) (3.6) jsou blokově diagonální a Λ = diag( m Λ j ) je diagonální matice složená ze spektrálních submatic m Λ j R m j,m j rozpojených netlumených subsystémů. Matice m V j, m Λ j splňují podmínky ortonormality m V j M j m V j = I j, m V j K j m V j = m Λ j, j = 1, 2,..., N. (3.7) Referenční úhlová rychlost ω 0 je zpravidla úhlová rychlost vstupního hřídele. Vzájemná interakce mezi hřídeli prostřednictvím zubových vazeb je vyjádřena maticemi tuhosti a tlumení zubových vazeb K G (t) = Z k z (t)c z c T z, B G = z=1 Z b z c z c T z, (3.8) z=1 vektorem vnitřního buzení v zubových vazbách f G (t) = Z [k z (t) z (t) + b z z (t)]c z (3.9) z=1 a nelineárním vektorem Z z=1 c zf z (d z, t) reprezentujícím vliv přerušení silového záběru v ozubení. Sestavený kondenzovaný model je silně nelineární a obsahuje několik zdrojů buzení. Zdroje buzení a speciální tvary matematického modelu lze shrnout analogicky jako v předchozí kapitole pro nelineární model zubového záběru.

3 DYNAMICKÁ ANALÝZA PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 14 3.2 Modální analýza linearizovaného modelu Linearizovaný časově invariantní konzervativní model, který lze použít pro modální analýzu, má tvar ẍ(t) + (Λ + V T K B V + V T K G V )x(t) = 0, (3.10) kde časově proměnné tuhosti ozubení byly v maticích tuhosti zubových vazeb nahrazeny konstantními středními tuhostmi ozubení. V případě uvažování tlumení a gyroskopických účinků je nutné linearizovaný časově invariantní nekonzervativní model ẍ(t) + (D + ω 0 G + V T B B V + V T B G V )ẋ(t) + (Λ + V T K B V + V T K G V )x(t) = 0 (3.11) přepsat do stavového prostoru dimenze 2n podobně jako v předchozí kapitole. Více o modální analýze například v [10]. 3.3 Podmínky stálého záběru V této části budeme pracovat s linearizovaným kondenzovaným modelem převodového ústrojí ẍ(t) + (D + ω 0 G + V T B B V + V T B G V )ẋ(t) + (Λ + V T K B V + V T K G V )x(t) = V T [f E + f G (t)]. (3.12) Vektor f E, který reprezentuje torzní předepnutí převodového ústrojí, je sestaven podobně jako v (2.4). Řešení této pohybové rovnice lze rozepsat na součet statické a dynamické složky x(t) = x 0 + x dyn (t). (3.13) Statické řešení je dáno vztahem x 0 = ( Λ + V T (K B + K G ) V ) 1V T f E (3.14) Dynamickou složku x dyn (t) vypočítáme jako reálnou část komplexních výchylek ve tvaru x(t) = Z K z=1 k=1 x z,k e ikωzt. (3.15) Podobně jako u páru ozubených kol po vyjádření neznámých komplexních amplitud x z,k, z partikulárního řešení kondenzovaného modelu (3.12) dostaneme x dyn (t) = Re{ x(t) } = Z K (Re{ x z,k } cos kω z t Im{ x z,k } sin kω z t). (3.16) z=1 k=1

3 DYNAMICKÁ ANALÝZA PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 15 Transformacemi q 0 = V x 0 a q dyn = V x dyn a z podmínky { min d z(t) = min t 0,T v t 0,T v c T z [ q0 + q dyn (t) ] } + z (t) > 0. (3.17) určíme oblasti stálého silové záběru v ozubení z v závislosti na provozních parametrech. Čas T v, který určuje délku ustálené dynamické odezvy systému pro nalezení extrému, je závislý na budicí frekvenci. Naší snahou je navrhnout tento časový okamžik co nejkratší, aby se minimalizoval výpočetní čas, ale současně aby odezva obsahovala všechny fáze ustáleného kmitání, které je vybuzeno polyharmonicky. Testovací výpočty ukazují, že postačující je hodnota T v = 10 T max, kde T max je perioda harmonické složky buzení s nejmenší frekvencí. 3.4 Ustálená dynamická odezva převodového ústrojí Důležitým zdrojem vnitřního buzení jsou chyby v zubovém záběru způsobené například výrobními či montážními nepřesnostmi. Vektor vnitřního buzení v Z zubových záběrech je vyjádřen ve tvaru (3.9). Pro účely odvození ustálené dynamické odezvy na toto buzení vyjdeme z linearizovaného kondenzovaného modelu (3.12) pro f E = 0 ẍ(t) + (D + ω 0 G + V T B B V + V T B G V )ẋ(t) + (Λ + V T K B V + V T K G V )x(t) = V T f G (t) (3.18) a z kinematické úchylky ve tvaru (2.20) složené z harmonických složek s frekvencí rovnou k násobku zubové frekvence ω z o komplexních amplitudách z,k. Analogicky ve tvaru (3.15) vyjádříme hledané partikulární řešení popisující ustálené vibrace. Neznámé komplexní amplitudy výchylek x z,k vypočítáme po dosazení vztahů (3.15), (2.20) a (3.9) do rovnice (3.18), viz například [10], [14]. Komplexní amplitudy zobecněných výchylek q z,k = [ q z,k i ] ustálené odezvy v původním konfiguračním prostoru dostaneme po modální transformaci q z,k = V x z,k. (3.19) Současně je vhodné zavést také horní efektivní odhad amplitudy i-té zobecněné výchylky ˆq i (n) = Z K q z,k i 2 (3.20) z=1 k=1 jako funkci referenčních otáček n. Zubová frekvence ω z je se vstupními otáčkami n spjata vztahem ω z = p z ω 0 = p z πn 30, (3.21) kde p z je převodový poměr mezi zubovou frekvencí a úhlovou frekvencí vstupního hřídele.

3 DYNAMICKÁ ANALÝZA PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 16 Deformace převodového ústrojí při ustálených vibracích je možné kvantifikovat také zavedením amplitud skalární potenciální (deformační) energie převodovky při buzení k- tou harmonickou složkou úchylky v zubovém záběru z E z,k (n) = 1 2 xh z,k ( Λ + V T (K B + K G ) V ) x z,k, (3.22) a je-li to potřeba, lze zavést rovněž deformační energii vybraného subsystému j E (j) z,k (n) = 1 2 x(j) H m z,k Λ j x (j) z,k. (3.23) Analogicky se vztahem (3.20) pro zobecněné výchylky lze vypočítat horní efektivní odhady pro deformační energie Ê(n) = Z K E z,k 2. (3.24) z=1 k=1 V [10] a [14] jsou zavedeny další veličiny vhodné k popisu ustálené odezvy převodového ústrojí, jako třeba amplitudy deformace ozubení a ložisek, síly přenášené ozubením či reakce v ložiskách. Poslední důležitou veličinou, která by měla být zavedena v tomto odstavci, jsou tzv. rezonanční otáčky n z,k,ν. Jedná se o otáčky vstupního hřídele, při nichž k-tá harmonická složka kinematické úchylky v zubovém záběru z rezonuje s ν-tou vlastní frekvencí systému. To lze zapsat vztahem Ω ν = kω z a po dosazení z (3.21) 3.5 Aplikace n z,k,ν = 30 Ω ν πk p z. (3.25) Pro testovací úlohy byla využita dvouhřídelová modelová převodovka s jedním zubovým záběrem a čtyřmi valivými ložiskovými vazbami, jejíž model byl převzat z publikace [6]. Obrázek 6: Schematické znázornění testovací převodovky.

3 DYNAMICKÁ ANALÝZA PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 17 Schematicky je testovací převodovka znázorněna na obr. 6. Subsystém skřín (j = 3) byl modelován v systému ANSYS, hřídelové subsystémy (j = 1, 2) a následně celý model převodového ústrojí byly modelovány vlastním programovým vybavením v systému MATLAB. 3.5.1 Modální analýza Byly prováděny různé modální analýzy různých modelů celého systému i subsystémů. Většina výsledků těchto analýz sloužila hlavně pro verifikaci programového vybavení a hlubší pochopení chování modelového převodového ústrojí. Tabulka obsahující vlastních frekvence f ν v Hertzích konzervativního modelu převodovky, teoretické rezonanční otáčky (3.25) a deformační energie (3.22) je uvedena v příloze. 3.5.2 Mapa ztráty silového záběru v ozubení Mapa ztráty silového záběru v ozubení modelové převodovky v závislosti na počátečním statickém torzním předpětí ϕ a otáčkách vstupního hřídele je na obrázku 7. PSfrag replacements ϕ = ϕ1 = ϕ2 0.12 0.09 0.06 0.03 7e 06 1e 05 1.3e 05 4e 06 1e 06 7e 06 1e 05 1.3e 05 4e 06 0.01 10 500 1000 1500 2000 2500 Otáčky [1/min] Obrázek 7: Mapa ztráty silového záběru pro modelovou převodovku. 1e 06 7e 06 1e 05 4e 06 7e 06 1e 06 4e 06 1e 06 1e 06 4e 06 3.5.3 Numerické řešení nelineárního modelu Na modelu (3.5) byla vyšetřena odezva systému metodou přímé numerické integrace při konstantních provozních otáčkách hnacího hřídele n = 1500 ot/min pro různé hodnoty statického předepnutí ϕ a pro zvolenou vůli v ozubení u z = 40 µm. Na obrázku 8 jsou ve fázové rovině zobrazeny ustálené fázové trajektorie deformace ozubení pro vybraná statická předepnutí. Bylo zjištěno, že v případě respektování tuhosti hřídelů, na nichž jsou ozubená kola nasazena, vymizí ostrá kvalitativní změna chování systému, která se projevila ve výsledcích získaných pro model páru ozubených kol. Časové průběhy byly získány Runge-Kuttovou metodu přímé integrace čtvrtého řádu implementovanou v programovém systému MATLAB 6.5.

3 DYNAMICKÁ ANALÝZA PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 18 Sfrag replacements rychlost deformace ozubení 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 PSfrag replacements 0.8 8 6 4 2 0 2 4 deformace ozubení [µm] (a) ϕ = 0.01 rad x 10 5 rychlost deformace ozubení 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 5 4 3 2 1 0 1 2 deformace ozubení [µm] (b) ϕ = 0.015 rad x 10 5 PSfrag replacements rychlost deformace ozubení 0.04 0.02 0 0.02 0.04 0 1 2 3 4 deformace ozubení [µm] (c) ϕ = 0.018 rad x 10 6 Obrázek 8: Ustálené fázové trajektorie deformace ozubení

4 OPTIMALIZACE PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 19 4 Optimalizace převodových ústrojí Optimalizace, při níž klademe na výsledné vlastnosti mechanického systému určité požadavky, je jedním z hlavních smyslů matematického modelování. Snažíme se najít algoritmy dovolující různými způsoby hledat modifikované parametry systému tak, aby měl systém z námi preferovaného pohledu optimální vlastnosti. Jestliže máme vytvořen postačující parametrizovaný matematický model mechanického systému a jsou provedeny potřebné analýzy, dalším logickým krokem je optimalizace. Potom je nutné zamyslet se nad různými specifickými problémy vyvstávajícími při návrhu optimalizační úlohy. Jedním z těchto problémů je volba cílové (kriteriální) funkce a na to navazující výběr optimalizační metody a parametrů výpočtu. V této kapitole jsou zavedeny různé typy cílových funkcí pro konkrétní úlohu minimalizace ustálených vibrací převodových ústrojí. Převodové ústrojí je uvážováno jako komplexní mechanický systém složený z vnitřní rotující vestavby provázané se statorovou částí (skříní) pomocí pružně-viskózních ložiskových vazeb. Výsledný kondenzovaný model dovoluje analyzovat kmitání rotorové i statorové části převodovky. Jsou zde porovnány výsledky optimalizačních úloh při použití různých typů cílových funkcí a různých optimalizačních metod. 4.1 Optimalizace převodových ústrojí z hlediska potlačení ustálené odezvy Cílem konstruktérů je navrhnout převodové ústrojí tak, aby mělo pro daný rozsah provozních otáček dobré dynamické vlastnosti. Hlavní snahou je zejména potlačit ustálené vibrace, které způsobují nadměrné chvění a s tím spojený hluk a snižující se životnost stroje. Jedná se tedy o úlohu minimalizace ustálené dynamické odezvy převodového ústrojí. Jestliže máme vytvořen postačující matematický model (3.12) a odvozenu ustálenou odezvu (3.15), dalším důležitým krokem je volba cílové funkce optimalizační úlohy. Tato volba mimo jiné závisí na použitém výpočtovém prostředí a na implementovaných metodách matematické optimalizace. Nejpřirozenější volbou je výběr cílové funkce složené přímo z amplitud ustálených zobecněných výchylek či jejich horních efektivních odhadů (3.20). Uvědomíme-li si, kolik zobecněných souřadnic mají rozsáhlé modely, a že je naším cílem postihnout větší interval otáček, je jasné, že počet výchylek, které by bylo nutné zahrnout do této kriteriální funkce, by byl příliš velký. Proto je výhodnější najít takovou veličinu, která vyjadřuje úroveň kmitání systému pro jedny referenční otáčky, a která je pokud možno skalární. Toto kritérium splňuje například deformační (potenciální) energie (3.22), jenž popisuje jednou skalární hodnotou úroveň deformací mechanického systému pro jedno konkrétní buzení a vybrané otáčky. Protože pracujeme s lineárním systémem, můžeme pro buzení různými harmonickými složkami kinematického buzení a stále stejné otáčky použít rovněž horní efektivní odhady (3.24). V následujících úvahách budeme předpokládat, že chceme minimalizovat ustálené vibrace celé převodovky. Proto budeme pracovat s deformační energií převodového ústrojí vyjádřenou vztahem (3.22) a jejími horními efektivními odhady. Jestliže by

4 OPTIMALIZACE PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 20 bylo naším cílem minimalizovat ustálené vibrace vybraného subsystému nebo skupiny subsystémů, použili bychom pouze jiné vyjádření deformační energie podle (3.23) a všechny ostatní úvahy by dále zůstaly v platnosti. Původní optimalizační (návrhové, konstrukční) parametry p s, s = 1, 2,..., S, na nichž závisí hodnota cílová funkce, převedeme na relativní optimalizační parametry vůči původním hodnotám p s0 těchto parametrů na startu p s = p s p s0, s = 1, 2,..., S, a sdružíme je do vektoru p = [ p s ]. Takto zavedené relativní parametry přinášejí celou řadu výhod, od lepší přehlednosti při vyhodnocování výsledků optimalizace, přes lepší numerický výpočet citlivostí, až po lepší numerickou stabilitu. Jestliže označíme množinu omezujících podmínek O, pomocí níž zavádíme pro návrhové parametry triviální nerovnicová omezení s dolními závorami p s d a s horními závorami p s h, můžeme obecně definovat optimalizační úlohu se zatím blíže neurčenou cílovou funkcí min p O ψ( p), O = { p s, s = 1, 2,..., S p d s p s p h s }. (4.1) Uveďme si nyní šest různých typů cílových funkcí pro úlohu minimalizace ustálených vibrací převodových ústrojí v provozním režimu (A) Skalární cílová funkce pro jedny provozní otáčky n 0 n n 0 n, n 0 + n. (4.2) ψ( p) = Ê(n 0, p). Jedná se o nejjednoduší kriteriální funkci, jejíž výpočet klade nejmenší nároky na čas. Vybrané provozní otáčky n 0 jsou zpravidla otáčky uprostřed předpokládaného úzkého provozního intervalu ( n n 0 ) u stacionárních převodových ústrojí nebo otáčky, při kterých nabývá horní efektivní odhad deformační energie maxima. Při použití této cílové funkce se snažíme minimalizovat ustálenou odezvu pouze při vybraných otáčkách a doufáme, že se sníží také odezva v okolí vybraných otáček. Někdy je tato strategie správná a v některých případech se naopak objeví nový rezonanční vrchol v sousední oblasti. (B) Skalární cílová funkce pro více provozních otáček ψ( p) = i g i Ê(n i, p). Tato cílová funkce má tvar váženého součtu horních efektivních odhadů deformačních energií převodovky pro více vybraných provozních otáček z intervalu (4.2). Váhy g i volíme podle toho, zda chceme preferovat určité otáčky či určitý podinterval z vybraných otáček. Výběr otáček n i provádíme podle vlastního uvážení opět podle toho,

4 OPTIMALIZACE PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 21 v které části provozní oblasti (4.2) chceme nejvíce minimalizovat ustálenou odezvu. Běžně se volí tyto otáčky ekvidistantně rozložené po celém intervalu s krokem δn, což lze zapsat vztahem n i = n 0 n + i δn, kde i = 0, 1,..., 2 n δn. Nevýhody i výhody výběru této kriteriální funkce jsou zřejmé. Její vícekriteriálnost a případný velký počet zahrnutých horních efektivních odhadů ztěžují optimalizační výpočet a prodlužují potřebný čas. Můžeme si být naopak jisti, že při malém kroku δn se nám ve sledovaném intervalu neobjeví vlivem změny parametrů při optimalizaci jiný rezonanční vrchol, který nebude zahrnut do procesu minimalizace. To je samozřejmě při správném navržení vybraných otáček n i velká výhoda. (C) Vektorová cílová funkce pro více provozních otáček [ ] ψ( p) = g i Ê(n i, p). Jestliže máme k dispozici prostředky pro řešení optimalizačních úloh s vektorovou cílovou funkcí, můžeme použít formulaci cílové funkce ve tvaru vektoru složeného, stejně jako v předchozím případě, z vážených hodnot horních efektivních odhadů deformačních energií pro více vybraných otáček. Pro volbu otáček platí vše, co bylo napsáno v předchozím případě (B). Výhody a nevýhody jsou téměř stejné, ale u cílové funkce (C) lze lépe kontrolovat minimalizaci energií pro jednotlivé provozní otáčky, protože jsou všechny hodnoty seřazeny do vektoru, jehož prvky se minimalizují, a nejsou sečteny pouze do jedné skalární hodnoty. (D) Skalární cílová funkce pro jedny rezonanční otáčky n z,k,ν ψ( p) = E z,k (n z,k,ν, p). Tato i následující cílové funkce už nejsou složeny z horních efektivních odhadů, ale přímo z deformačních energií (3.22). Výběr energií E z,k (n z,k,ν, p) je založen na předpokladu, že existují teoretické rezonanční otáčky n z,k,ν, viz (3.25), při nichž k-tá harmonická složka kinematické úchylky v zubovém záběru z rezonuje s ν-tou vlastní frekvencí. Před startem optimalizační úlohy je nutné vypočítat hodnoty energií E z,k (n z,k,ν, p 0 ) pro všechny n z,k,ν spadající do intervalu provozních otáček (4.2) a vybrat takové z, k a ν, pro něž nabývají deformační energie největších hodnot. Do cílové funkce (D) je poté zahrnuta pouze energie s maximální hodnotou na počátku, odpovídající největšímu rezonačnímu vrcholu. V každém výpočtu cílové funkce se nejprve musí provádět modální analýza systému a pro určené k, z a ν vypočítat otáčky n z,k,ν. Výhodou této kriteriální funkce je opět rychlost jejího výpočtu, protože se počítá pouze jedna deformační energie, ale to je naopak její slabinou, jelikož po změně parametrů se může změnit poloha rezonačního vrcholu a může začít rezonavat jiná vlastní frekvence Ω ν.

4 OPTIMALIZACE PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 22 (E) Skalární cílová funkce pro více rezonančních otáček ψ( p) = z,k,ν g z,k,ν E z,k (n z,k,ν, p). Pro zlepšení efektivnosti optimalizace v intervalu rezonančních otáček je výhodné volit cílovou funkci jako vážený součet deformačních energií pro více rezonančních otáček. Tyto otáčky lze volit například tak, že vybereme všechny n z,k,ν, které spadají do provozního intervalu. Tím nám sice vzroste výpočetní čas, ale na druhou stranu minimalizujeme energie pro všechny rezonanční stavy z provozního intervalu. (F) Vektorová cílová funkce pro více rezonančních otáček ψ( p) = [ g z,k,ν E z,k (n z,k,ν, p) ]. Stejně jako u cílových funkcí (B) a (C), lze také vážené energie u cílové funkce (E) sdružit do vektoru a sestavit tak vektorovou cílovou funkci (F). Výhody této volby oproti volbě (E) jsou analogické jako v případech (B) a (C). Všechny výše uvedené cílové funkce jsou nelineární, proto musíme mít na paměti, že je nutné použít pro výpočet metody nelineární matematické optimalizace. Námi použité metody jsou popsány v následujícím odstavci. Není také nezbytně nutné volit vazební podmínky pro parametry pouze ve tvaru triviálních omezení, ale je možné, jestliže to dovoluje optimalizační metoda, vybrat jakákoliv jiná omezení požadovaná z konstrukčního hlediska. Jednou z metod pro vylepšení optimalizačního výpočtu, která zde nebyla zmíněna, je tzv. několikaetapové řešení. Optimalizační úloha se řeší v několika krocích, přičemž na startu nového kroku se vždy znovu vyhodnotí maxima deformačních energií a formuluje se nová optimalizační funkce. Chceme-li vybrat z množiny všech návrhových parametrů jenom ty parametry, na jejichž změnu je cílová funkce nejvíce citlivá, je vhodné použít citlivostní analýzu. Analytickým metodám určení citlivosti vlastních čísel rozsáhlých rotujících systémů se věnuje publikace [12], toho lze částečně využít při výběru parametrů pro cílové funkce (D), (E) a (F). Analyticky lze rovněž odvodit vztahy pro citlivost deformační energie na změnu návrhových parametrů. Touto problematikou by se měla zabývat některá z dalších publikací. 4.2 Numerické experimenty na testovací převodovce Pro numerické testování byla využita modelová převodovka. Výsledný kondenzovaný model, který byl použit pro numerické testování, měl 220 stupňů volnosti (m 1 = 60, m 2 = 60, m 3 = 100). Kinematická úchylka v zubové záběru byla aproximována třemi harmonickými složkami o amplitudách 1,1 = 1 10 6 m, 1,2 = 1,1 2, 1,3 = 1,1 3.

4 OPTIMALIZACE PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 23 Provozní interval otáček vstupního hřídele byl zvolen v rozmezí n 2800, 3200, tedy podle (4.2) platí n 0 = 3000 ot./min a n = 200 ot./min. Pro optimalizační výpočty jsme použili Optimalizační toolbox MATLABu [8], který obsahuje velmi propracované nástroje pro nelineární optimalizaci. Úlohy se skalárními cílovými funkcemi byly řešeny pomocí procedury fmincon a úlohy s vektorovými cílovými funkcemi pomocí procedury fminimax. Obě optimalizační procedury dovolují zavedení všech typů vazbových podmínek včetně nelineárních, jsou založeny na metodách sekvenčního kvadratického programování, více viz [8], a hledají pouze lokální minima kriteriální funkce. Na počátku optimalizace lze volit konstanty řídící ukončování výpočtu a různé jiné řídící parametry. Procedura fminimax, která řeší úlohu minimaxu, dovoluje uživateli určit počet maxim z vektoru cílové funkce, jež se budou při výpočtu minimalizovat. Vstupní (index j = 1) a výstupní (j = 2) hřídel byly diskretizovány na 28 dvouuzlových hřídelových konečných prvků. Na obr. 6 jsou označeny číslem pouze uzly těchto konečných prvků a pro označení prvků platí, že e-tému konečnému prvku na prvním hřídeli přísluší uzly e a e + 1 a e-tému konečnému prvku na druhém hřídeli přísluší uzly e + 15 a e + 16. Jestliže označíme průměr e-tého konečného prvku na j-tém hřídeli jako D e (j), lze zavést návrhové parametry D I D V I tak, aby v nich byly zahrnuty požadavky na rovnost vybraných průměrů v optimalizačním procesu. V našem případě jsme zvolili D I = D (1) 1 = D (1) 2 = D (1) 13 = D (1) 14, D II = D (1) 3 =... = D (1) 6 = D (1) 9 =... = D (1) 12, D III = D (1) 7 = D (1) 8. První skupina D I zahrnuje užší krajní části hřídele, druhá skupina D II silnější střední část hřídele bez dvou prostředních prvků pod nábojem nalisovaného ozubeného kola a třetí skupina D III označuje právě zbývající dva konečné prvky pod ozubeným kolem. Analogicky jsou zavedeny tři skupiny D IV, D V a D V I u druhého hřídele. Dalšími optimalizačními parametry je tuhost ozubení k G a tuhosti ložisek k B1, k B2, k B3 a k B4. Tuhostí ložiska zde rozumíme hlavní tuhost ve směru statického zatížení. Vedlejší příčná tuhost a případná axiální tuhost jsou s hlavní tuhostí svázány přes proporcionální koeficienty. Všechny vyjmenované parametry byly zahrnuty do vektoru relativních optimalizačních parametrů p. Triviální omezení kladené na tyto parametry jsou shrnuty v tab. 2. Během optimalizace se neměnily poměrné útlumy definující materiálové tlumení jednotlivých subsystémů a rovněž stejné jako na startu zůstávaly koeficienty tlumení ozubení a ložiskových vazeb. V systému MATLAB byly implementovány všechny cílové funkce popsané v předchozím odstavci. Výsledné hodnoty optimalizačních parametrů z testovacích úloh jsou zapsány v tab. 3. V tabulce je dále uveden počet vyčíslení cílové funkce během jednotlivých výpočtů feval a výsledný čas výpočtu t v. Váhy g i a g z,k,ν byly ve všech případech rovny jedné. Tab. 2: Horní a dolní závory pro triviální omezení návrhových parametrů. D I DII DIII DIV DV DV I kg kb1 kb2 kb3 kb4 p d s 0, 9 0, 9 0, 9 0, 9 0, 9 0, 9 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5 p h s 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 2 2 2 2 2

4 OPTIMALIZACE PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 24 Tab. 3: Hodnoty vybraných návrhových parametrů, časy výpočtů a počty výčíslení cílové funkce po optimalizaci s různými cílovými funkcemi. (A) (B) (C) (D) (E) (F) D I 0,9 1,041 0,9 0,951 1 0,949 D II 0,9 0,9 0,9 0,933 0,9 0,9 D III 1,1 0,9 1,016 1,1 1,1 1,1 D IV 0,9 1,074 0,914 0,901 0,9 0,933 D V 0,9 1,1 0,954 0,904 0,91 0,993 D V I 1 1,099 1,099 0,9 0,965 0,999 k G 0,568 0,504 0,524 0,5 0,5 0,571 k B1 1,553 2 1,322 0,92 1,563 1,387 k B2 1,649 0,786 0,879 0,5 1,994 1,018 k B3 2 1,837 1,649 0,972 1,36 1,364 k B4 0,75 0,584 0,959 0,798 1,929 1,562 feval 341 578 411 167 667 309 t v [min] 3 88,3 123 6 55,8 25,5 Cílová funkce v případě (A) měla tvar horního efektivního odhadu deformační energie pro otáčky n = 3178 1/min, což jsou otáčky, při nichž nastává pro startovací parametry maximální rezonanční stav. Do cílové funkce (B) byly zahrnuty horní efektivní odhady pro otáčky z provozního intervalu převodovky s krokem δn = 10 1/min a do vektorové cílové funkce (C) s krokem δn = 5 1/min. Navíc byla v případě (C) zvolena minimalizace sta maximálních hodnot z vektoru cílové funkce. Po analýze rezonačních stavů byla do kriteriální funkce (D) vybrána energie E z,k (n z,k,ν ) pro z = 1, k = 2 a ν = 98, což na startu odpovídá otáčkám n z,k,ν = 3178 1/min. V cílových funkcích (E) a (F) byly zahrnuty energie pro všechny teoretické rezonanční otáčky n z,k,ν spadající do provozního intervalu. Těchto otáček bylo celkem 66 a v případě funkce (F) bylo minimalizováno všech 66 prvků z vektoru cílové funkce. Z tabulky je vidět, že pro každý typ cílové funkce nalezly optimalizační procedury jiné hodnoty výsledných návrhových parametrů. To je dáno samozřejmě rozdílností cílových funkcí a také tím, že procedury z Optimalizačního toolboxu hledají pouze lokální minima. Přesto lze u některých parametrů vysledovat určitý trend, například tuhost ozubení k G by měla být pro snížení ustálené odezvy celého převodového ústrojí menší. Výsledné časy výpočtů (na PC s procesorem Intel Pentium 4 1,8 GHz a pamětí 512 MB) splňují teoretická očekávání, snad jen v případě (F) bylo dosaženo ukončovací podmínky po výrazně kratším čase a méně iteracích. Pro důsledné porovnání všech cílových funkcí bylo zapotřebí vykreslit průběh amplitudových charakteristik deformační energie na širším intervalu otáček. Tři cílové funkce jsou takto porovnány v grafu na obr. 9. Z tohoto srovnání vychází nejlépe cílová funkce typu (E), naopak nejméně efektivní je optimalizace typu (D), kde se už těsně

4 OPTIMALIZACE PŘEVODOVÝCH ÚSTROJÍ 25 za provozním intervalem otáček objevuje menší rezonanční vrchol. Ze všech provedených testovacích výpočtů a srovnání lze učinit několik závěrů a doporučení. Jestliže nepožadujeme velkou efektivnost minimalizace, zajímá nás pouze úzký provozní režim otáček a požadujeme rychlý výpočet, jsou nejlepší cílové funkce (A) a (D). Chceme-li minimalizovat na širším intervalu otáček s velkou efektivností minimalizace, jsou lepší ostatní cílové funkce. Výhodnější je vždy použít spíše vektorovou cílovou funkci, jsouli k dispozici příslušné metody. Rovněž je výhodnější použít cílové funkce typu (E) a (F), v kterých jsou zahrnuty přímo rezonanční otáčky, a máme jistotu, že nám neunikne žádný rezonanční vrchol v důsledku špatně zvoleného kroku δn u cílových funkcí (B) a (C). 4.3 Dílčí závěry V přechozích odstavcích jsou popsány různé typy cílových funkcí, které jsou využitelné při minimalizaci ustálené dynamické odezvy převodových ústrojí na buzení kinematickými úchylkami v ozubení. Převodová ústrojí jsou zde uvažována včetně rotorové i statorové části. Cílové funkce jsou navrženy pomocí deformačních energií a jejich horních efektivních odhadů, ale uvedené závěry lze zobecnit také na kriteriální funkce stejných typů obsahující jiné dynamické veličiny, například amplitudy síly přenášené ozubením. Provedené numerické experimenty ukázaly, že chceme-li efektivně minimalizovat ustálenou odezvu na širším intervalu provozních otáček, je nutné použít cílovou funkci složenou z více deformačních energií při různých otáčkách. Výhodný se ukázal především přístup přes teoretické rezonanční otáčky, definované v (3.25). 7 x 10 3 PSfrag replacements Ê(n) [J] Deformační energie 6 5 4 3 2 1 Před optimalizací Po optimalizaci (C) Po optimalizaci (D) Po optimalizaci (E) 0 2500 2600 2700 2800 2900 3000 3100 3200 3300 3400 3500 Otáčky n [1/min] Obrázek 9: Srovnání výsledků minimalizace deformační energie při ustálených vibracích testovací převodovky pro různé volby cílové funkce.

LITERATURA 26 Literatura [1] Byrtus, M.: Modelling of gearboxes with time dependent meshing stiffness. In Zeszyty naukowe Katedry Mechaniki Stosowanej, zeszyt nr 21, Proceedings of the conference Applied Mechanics 2003, Jaworzynka, Poland, 2003, pp. 25-30, ISBN 83-917224-3-0. [2] Doležal Z.: Modelování dynamických jevů v záběru moderního čelního ozubení. Výzkumná zpráva VZLÚ - TURBOMOTOR s.r.o. V-018/95, Praha 1995. [3] Dresig, H.: Schwingungen mechanischer Antriebsysteme. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2001. [4] Hajžman, M.: Příspěvek k optimalizaci převodových ústrojí. In Sborník konference Výpočtová mechanika 2003, Západočeská univerzita v Plzni, Plzeň, 2003, pp. 95-104, ISBN 80-7082-999-0. [5] Hajžman, M. Zeman, V. Byrtus, M.: Forced vibrations of gearboxes with time dependent meshing stiffnesses. In PAMM Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics, vol. 3, Wiley-VCH Verlag, Weinheim, 2003, pp. 102-103, ISSN 1617-7061. [6] Kato, M. and kol.: Evaluation of sound power radiated by a gearbox. In Proccedings of the International Gearing Conference 1994, University of Newcastle upon Tyne, 1994, pp. 69 74. [7] Krämer, E.: Dynamics of Rotors and Foundations. Springer-Verlag, Berlin, 1993. [8] Optimization Toolbox User s Guide. Mathworks, Inc., electronic documentation. [9] Rivin, E.I.: Stiffness and Damping in Mechanical Design. Marcel Dekker, Inc., New York, Basel, 1999. [10] Slavík, J. Stejskal, V. Zeman, V.: Základy dynamiky strojů. Vydavatelství ČVUT, Praha, 1997. [11] Thompson J. M. T., Stewart H. B.: Nonlinear Dynamics and Chaos. John Wiley & Sons, 2002. [12] Zeman, V., Byrtus, M., Hajžman, M.: Eigenvalues sensitivity of the large rotating systems. Proceedings of the Sixth International Conference on Vibration Problems, Liberec, Czech Republic, 2003, full paper on cd-rom. [13] Zeman V., Hlaváč Z.: Dynamics of the car gearbox by the modal synthesis method. In: Proceedings of the Abstract 6 th International Conference of Gear Drives, Slovak University of Technology, Trnava 2002, str. 46 (plný text na CD-ROM). [14] Zeman, V. Hlaváč, Z.: Mathematical modelling of vibration of gear transmissions by modal synthesis method. Proceedings of the Ninth World Congress on the Theory of Machines and Mechanisms, Milano, Italy, 1995, pp.397 400.