Část III. Regresí a korelačí aalýza Ig. Mchal Dorda Ph.D.
Regresí a korelačí aalýza Je zámo že apř. hmotost m homogeího tělesa je dáa jeho ojemem V. V tomto případě hovoříme o fukčí závslost tedy m = f(v). V moha případech je ale třea zkoumat závslost kdy mez sledovaým zaky (áhodým proměým) eestuje jedozačý vztah. V tomto případě hovoříme o statstcké (stochastcké) závslost. Ig. Mchal Dorda Ph.D.
Regresí a korelačí aalýza K posuzováí statstckých závslostí slouží regresí a korelačí aalýza. Úkolem regresí a korelačí aalýzy je: Staoveí závslost mez sledovaým kvattatvím zaky (leárí logartmcká epoecálí ) závslost je vyjádřea fukčím předpsem regresí aalýza. Staoveí síly závslost mez sledovaým kvattatvím zaky korelačí aalýza. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 3
Regresí a korelačí aalýza Sílu leárí závslost mez dvěma proměým můžeme kvatfkovat pomocí Pearsoova (výěrového) korelačího koefcetu: r X X X X X Pearsoův korelačí koefcet aývá hodot z tervalu ;.. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 4
Regresí a korelačí aalýza Předpokladem je že oě áhodé proměé pro které počítáme Pearsoův korelačí koefcet pocházejí z ormálího rozděleí. Pearsoův korelačí koefcet vychází ze vztahu pro výpočet jedoduchého korelačího koefcetu kde jsou číselé charakterstky áhodého vektoru (ezámé rozptyly a ezámá kovarace) ahrazey jejch odhady. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 5
Regresí a korelačí aalýza Ig. Mchal Dorda Ph.D. 6
Regresí a korelačí aalýza V případech kdy korelačí koefcet r X vypočteý z dat získaých áhodým výěrem je lízký ule má smysl se ptát zda jsou proměé X a leárě ezávslé jým slovy zda je hodota korelačího koefcetu populace X. Testujeme tedy a základě vypočteé hodoty Pearsoova korelačího koefcetu zda je jedoduchý korelačí koefcet celé populace rová ule. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 7
Regresí a korelačí aalýza Nulová hypotéza H : X (čl mez proměým X a eestuje leárí vztah). V případě alteratví hypotézy má smysl uvažovat tř varaty:. H : (ooustraá alteratva tuto možost volíme pokud je vypočteý koefcet korelace lízký ) X Ig. Mchal Dorda Ph.D. 8
Regresí a korelačí aalýza. H : X (pravostraá alteratva tuto možost má smysl volt pokud je vypočteý koefcet korelace větší ež výěrový souor tedy ukazuje a kladou leárí závslost). 3. H : X (levostraá alteratva tuto možost má smysl volt pokud je vypočteý koefcet korelace meší ež výěrový souor tedy ukazuje a záporou leárí závslost). Ig. Mchal Dorda Ph.D. 9
Regresí a korelačí aalýza Za předpokladu že áhodé proměé X a se řídí ormálím rozděleím pravděpodoost platí pro testovou statstku: T r X r X t kde je rozsah výěrového souoru. Ig. Mchal Dorda Ph.D.
Regresí a korelačí aalýza V případě výěru o velkém rozsahu ( > 3) lze příslušé Studetovo rozděleí pravděpodoost apromovat ormovaým rozděleím pravděpodoost N(). Př sestrojováí krtckého ooru a ooru přjetí je uto vzít v potaz zvoleou alteratví hypotézu. Ig. Mchal Dorda Ph.D.
Regresí a korelačí aalýza t ; t ; f(t) H : X Oor přjetí t ; t ; Krtcký oor t ; Ig. Mchal Dorda Ph.D. t
Regresí a korelačí aalýza t ; t ; f(t) H : X Oor přjetí t ; t Krtcký oor Ig. Mchal Dorda Ph.D. 3
Regresí a korelačí aalýza t ; t ; f(t) H : X Oor přjetí t t ; ; t Krtcký oor Ig. Mchal Dorda Ph.D. 4
Regresí a korelačí aalýza Výsledek testu: Leží-l vypočteá hodota testové statstky os v ooru přjetí potom ezamítáme ulovou hypotézu o leárí ezávslost proměých X a. Leží-l vypočteá hodota testové statstky os v krtckém ooru potom zamítáme ulovou hypotézu ve prospěch alteratví hypotézy. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 5
Regresí a korelačí aalýza Př.: V áhodém výěru o rozsahu 5 pozorováí yl vypočítá koefcet korelace. Na hladě výzamost 5 otestujte zda lze a základě tohoto výsledku usuzovat a leárí ezávslost mez proměým X a v celé populac. r X 3 Ig. Mchal Dorda Ph.D. 6
Regresí a korelačí aalýza Nulová hypotéza H : X (čl mez proměým X a eestuje leárí vztah). V případě alteratví hypotézy má smysl uvažovat dvě varaty:. H :. X. H : X. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 7
Regresí a korelačí aalýza Výpočet pozorovaé hodoty testové statstky: os r X r X 3 5 3 33 Příslušé kvatly Studetova rozděleí získáme z taulek: t t ; ; t t 5;5 5;5 t t 975;3 95;3 7 t 7. ; t. ; 7 Ig. Mchal Dorda Ph.D. 8
Ig. Mchal Dorda Ph.D. 9
Regresí a korelačí aalýza f(t) H : X 95 5 975 Oor přjetí t 7 33 7 Krtcký oor Ig. Mchal Dorda Ph.D.
Regresí a korelačí aalýza f(t) H : X 95 5 Oor přjetí 33 Krtcký oor 7 t Ig. Mchal Dorda Ph.D.
Regresí a korelačí aalýza V oou případech vdíme že pozorovaá hodota testového krtéra leží v ooru přjetí výsledkem tedy je kostatováí že ezamítáme ulovou hypotézu můžeme tedy předpokládat že áhodé proměé jsou leárě ezávslé. Ig. Mchal Dorda Ph.D.
Regresí a korelačí aalýza V případech kdy eí splěa ormalta oou áhodých výěrů lze místo Pearsoova korelačího koefcetu použít Spearmaův korelačí koefcet. Mějme áhodý výěr z dvourozměrého rozděleí (X ) (X ). Zaveďme yí P P jako pořadí velčy X X a R R jako pořadí velčy. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 3
Regresí a korelačí aalýza V případě že máme ěkolk stejých hodot potom jm přřadíme průměré pořadí. Je zřejmé že pokud s rostoucím X ude růst potom ude stejý vztah platt pro jejch pořadí. Pokud s klesajícím X ude klesat potom ude stejý vztah platt pro jejch pořadí. Budou-l velčy X a ezávslé potom udou hodoty jejch pořadí áhodě přeházeé. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 4
Regresí a korelačí aalýza Spearmaův korelačí koefcet r S je potom defová vztahem: r s 6 P R. Spearmaův korelačí koefcet aývá hodot z tervalu. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 5
Regresí a korelačí aalýza Př shodém pořadí aývá hodota Spearmaova korelačího koefcetu hodoty. Př opačém pořadí aývá hodoty -. V případě ezávslost oou velč X a aývá hodoty. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 6
Regresí a korelačí aalýza Pokud se v áhodém výěru vyskytuje moho shod (tj. stejě velkých pozorováí) potom se doporučuje používat korgovaý Spearmaův koefcet. Zaveďme: Velču t jako počty stejých hodot proměé X. Velču t y jako počty stejých hodot proměé. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 7
Regresí a korelačí aalýza Potom korgovaý Spearmaův koefcet defujeme vztahem: kde a. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 8 6 3 X s R P T T r korg X t t T 3 y y y t t T 3
Regresí a korelačí aalýza Vyjde-l hodota Spearmaova korelačího koefcetu lízká ule může ás zase zajímat odpověď a otázku zda je jeho hodota statstcky výzamá jým slovy zda lze velčy X a považovat za ezávslé. Dostáváme ásledující hypotézy: H velčy X a jsou ezávslé áhodé velčy. H velčy X a jsou závslé áhodé velčy. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 9
Regresí a korelačí aalýza Testovou statstkou je asolutí hodota Spearmaova korelačího koefcetu tedy: os r S Nulovou hypotézu zamítáme v tom případě pokud platí že: os kde r * s. r * s je pro 3 taelovaá hodota. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 3
Regresí a korelačí aalýza α =5 α = α =5 α = 5 9 8 399 564 6 89 943 9 388 549 7 74 893 377 534 8 643 833 368 5 9 6 783 359 58 564 745 3 35 496 53 736 4 343 485 497 73 5 336 475 3 475 673 6 39 465 4 457 646 7 33 456 5 44 63 8 37 448 6 45 6 9 3 44 7 4 58 3 35 43 Ig. Mchal Dorda Ph.D. 3
Regresí a korelačí aalýza Pro >3 se krtcká hodota * r s z staoví: kde v čtatel je příslušý kvatl ormovaého ormálího rozděleí (jeho hodotu apř. alezeme ve statstckých taulkách). r * s Ig. Mchal Dorda Ph.D. 3
Regresí a korelačí aalýza Př.: V ochodě zaývajícím se prodejem áhradích dílů do automolů ylo provedeo měřeí počtu zákazíků přcházejících do ochodu za hodu a odpovídajících trže za hodu vyjádřeých v tsících Kč. Staovte hodotu Spearmaova korelačího koefcetu a pro α=5 otestujte hypotézu zda lze počet přcházejících zákazíků za hodu a hodové tržy považovat za ezávslé velčy. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 33
Trža Regresí a korelačí aalýza Počet zákazíků - X Hodová trža - 3 6 5 3 8 3 9 34 9 36 7 39 6 4 4 45 3 8 6 4 8 6 4 5 5 3 35 4 45 5 Počet zákazíků Ig. Mchal Dorda Ph.D. 34
Regresí a korelačí aalýza Nejdříve musíme jedotlvým hodotám velč X a přřadt pořadí. Počet zákazíků - X Hodová trža - Pořadí P Pořadí R (P -R ) 3 6 5 3 5 4 3 8 4 8 6 3 9 5 95 5 34 9 6 95 5 36 7 7 7 39 6 8 6 4 4 4 9 4 5 45 3 3 49 35 Ig. Mchal Dorda Ph.D. 35
Regresí a korelačí aalýza Nyí můžeme dosadt do vztahu pro výpočet Spearmaova korelačího koefcetu: r s 6. Nyí udeme testovat hypotézu o ezávslost oou velč. 6 P 35 R Ig. Mchal Dorda Ph.D. 36
Regresí a korelačí aalýza H Počet přcházejících zákazíků za hodu a hodové tržy ochodu jsou ezávslé velčy. H Počet přcházejících zákazíků za hodu a hodové tržy ochodu jsou závslé velčy. Z taulky odečteme krtckou hodotu testu pro = (máme pozorováí) a hladu výzamost α=5) která je rova 564. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 37
Regresí a korelačí aalýza Porováím pozorovaého hodoty testové statstky (asolutí hodota Spearmaova korelačího koefcetu) s krtckou hodotou testu vdíme že ezamítáme ulovou hypotézu o ezávslost oou velč. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 38
Regresí a korelačí aalýza Leárí regrese závslost proměých je vyjádřea fukcí leárí v parametrech (resp. se dá a fukc leárí v parametrech převést vhodou trasformací) apř.. Neleárí regrese závslost proměých je vyjádřea fukcí eleárí v parametrech (a a elze a fukc leárí v parametrech převést pomocí žádé trasformace) apř.. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 39
Regresí a korelačí aalýza Jedoduchá regrese studuje závslost jedé proměé a druhé proměé. Víceásoá regrese studuje závslost jedé proměé a ěkolka proměých. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 4
Regresí a korelačí aalýza Vysvětlovaá (závsle) proměá proměá jejíž chováí se sažíme vysvětlt tedy popsat vyrovávací křvkou. Vysvětlující (ezávsle) proměá proměá jejíž chováí vysvětluje chováí závsle proměé. Tato proměá je příčou proměou v důsledku její změy se měí vysvětlovaá proměá. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 4
Regresí a korelačí aalýza Zajímá ás zda estuje ějaká závslost mez výkoem motoru automolu a jeho mamálí rychlostí. Výko motoru je v tomto případě vysvětlující proměá a mamálí rychlost je vysvětlovaá proměá. Výko motoru [kw] Mamálí rychlost [km/h] 43 6 55 6 55 75 58 65 65 8 7 75 7 85 79 7 8 87 8 9 3 9 5 4 55 3 55 3 96 44 35 36 448 3 736 47 754 34 Ig. Mchal Dorda Ph.D. 4
Regresí a korelačí aalýza Oretačě ( podle oka ) lze druh a sílu závslost mez vysvětlující a vysvětlovaou proměou posoudt a základě odového grafu [ ] korelačí pole. Dále se udeme podroě zaývat pouze jedoduchou leárí regresí vyrovávací křvka má tvar přímky. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 43
Mamálí rychlost [km/h] Regresí a korelačí aalýza 45 4 35 3 5 5 5 3 4 5 6 7 8 Výko motoru [kw] Ig. Mchal Dorda Ph.D. 44
Mamálí rychlost [km/h] Regresí a korelačí aalýza Otázkou je jak jedotlvým ody proložt vyrovávací křvku. 45 4 35 3 5 5 5 3 4 5 6 7 8 Výko motoru [kw] Ig. Mchal Dorda Ph.D. 45
Regresí a korelačí aalýza Regresí fukce skutečá regrese populace v pra ezámá proto regresí fukc pouze odhadujeme zapsujeme tedy. ˆ E E ˆ Ig. Mchal Dorda Ph.D. 46
Regresí a korelačí aalýza Rezduum (chya predkce) odchylka aměřeé hodoty od hodoty předpovídaé vyrovávací křvkou. e ˆ ˆ e ˆ Ig. Mchal Dorda Ph.D. 47
Regresí a korelačí aalýza Úkolem je ajít vyrovávací křvku takovou aychom získal co ejméě rozptýleý souor rezduí. Můžeme tedy mmalzovat: ˆ Součet rezduí. Součet asolutích odchylek rezduí. Součet druhých moc rezduí. ˆ ˆ ˆ Ig. Mchal Dorda Ph.D. 48
Regresí a korelačí aalýza K alezeí koefcetů vyrovávací přímky tedy použjeme metodu ejmeších čtverců. Pro zjedodušeí ejdříve upravme vztah pro do vhodější formy tzv. odchylková forma:. Potom můžeme psát: 49 Ig. Mchal Dorda Ph.D. ˆ * ˆ. ˆ *
Regresí a korelačí aalýza Jelkož hledáme mmum fukce s proměým položíme parcálí dervace fukce rovy ule. 5 Ig. Mchal Dorda Ph.D. * a * * * d d d d
Regresí a korelačí aalýza Vyřešme yí prví rovc. 5 Ig. Mchal Dorda Ph.D. * * * * *
Regresí a korelačí aalýza Nyí upravme druhou rovc. 5 Ig. Mchal Dorda Ph.D. * *
Regresí a korelačí aalýza Odvodl jsme tedy vztahy pro koefcety vyrovávací přímky ve tvaru:. Vyrovávací přímka je potom ve tvaru: prochází tedy vždy odem. 53 Ig. Mchal Dorda Ph.D. a ˆ ;
Regresí a korelačí aalýza - p ( - p ) ( - p ) 43 6-485 -37 9786 55 6-365 -75 85646 55 75-365 -384375 85646 58 65-335 -9865 775556 65 8-65 -9775 59396 7 75-5 -875 4756 7 85-95 -65 456 79 7-5 -985 66 8 87-5 -8375 37656 8 9-5 -9475 556 3 9-885 -67675 77886-75 -4965 57656 5 4-45 -9985 756 55 3-365 -83375 346 55 3-365 -83375 346 96 44 475 59 56 35 36 5875 485775 556 448 3 5675 86735 65956 736 47 54475 735 967556 754 34 5675 9465 3668756 p p 95 37 69485 8863375 36 6576 ˆ 6576 36 Poz. p p Ig. Mchal Dorda Ph.D. 54
Mamálí rychlost [km/h] Regresí a korelačí aalýza 5 4 y = 36 + 658 R² = 978 3 3 4 5 6 7 8 Výko motoru [kw] ˆ 6576 36 Ig. Mchal Dorda Ph.D. 55
Regresí a korelačí aalýza Pro účely ověřeí správost zvoleého regresího modelu slouží de determace. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 56 ˆ ˆ R SS SS SS ˆ ˆ ˆ
Regresí a korelačí aalýza Ozačme: Celkový součet čtverců Součet čtverců modelu Rezduálí součet čtverců. Platí: SS SS ˆ SS. R SS SS ˆ SS R ˆ ˆ Ig. Mchal Dorda Ph.D. 57
Regresí a korelačí aalýza Zaveďme SS SS ˆ SS SS. Je zřejmé že čím lepší model ude tím více se ude prví zlomek lížt k a aopak. Zaveďme de determace R Ide determace aývá hodot z tervalu Velké hodoty (cca ad 8) zameají že použtý regresí model se hodí pro pops závslost. R SS SS ˆ ˆ. ;. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 58
Regresí a korelačí aalýza Ŷ (Ŷ - p ) ( - p ) 7833 587 45769 8 73838 38689 8 73838 3769 89 6667 344569 857 4957 73889 866 37668 3769 87 3364 49769 8935 7989 88369 8966 5897 34689 8996 38 3569 9669 799 3569 9 47538 8769 8 5934 33489 6 35 3969 6 35 3969 55 49 78 3599 67739 37 6793 96689 394 778849 3359889 3959 96554 399489 84647 9836 R 98 Ig. Mchal Dorda Ph.D. 59
Regresí a korelačí aalýza Odhad regresí fukce ám umožňuje predkovat hodotu př lovolé hodotě : Je-l potom hovoříme o terpolac. ; Je-l ; potom se jedá o etrapolac. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 6
Regresí a korelačí aalýza My jsme se zatím zaýval pouze případem kdy vyrovávací křvkou yla přímka. V pra se používají jé regresí modely:. Paraolcká regrese: E. Polyomcká regrese -tého stupě: E 3. Hyperolcká regrese: E...... Ig. Mchal Dorda Ph.D. 6
Regresí a korelačí aalýza 4. Logartmcká regrese: E log. 5. Epoecálí regrese: E. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 6
Regresí a korelačí aalýza ) Uvažujme paraolckou regres vyrovávací křvka (její odhad) je tedy vyjádřea ve tvaru:. Jelkož se jedá o regresí model leárí v parametrech můžeme pro odhad koefcetů použít metodu ejmeších čtverců. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 63
Regresí a korelačí aalýza Ig. Mchal Dorda Ph.D. 64. ule : rovy dervace položíme parcálí mmum Hledáme m. Tedy d d d d d d
Regresí a korelačí aalýza Ig. Mchal Dorda Ph.D. 65. Získaou soustavu upravíme: 4 3 3
Regresí a korelačí aalýza Ig. Mchal Dorda Ph.D. 66. dostaeme : úpravam Dalším 4 3 3 Získal jsme soustavu tří rovc se třem ezámým řešeím získáme odhady koefcetů regresího modelu.
Mamálí rychlost [km/h] Regresí a korelačí aalýza 5 4 y = -4 + 643 + 36 R² = 964 3 3 4 5 6 7 8 Výko motoru [kw] Ig. Mchal Dorda Ph.D. 67
Regresí a korelačí aalýza ) Uvažujme polyomckou regres vyrovávací křvka (její odhad) je vyjádřea ve tvaru:... Jelkož se opět jedá o regresí model leárí v parametrech můžeme pro odhad koefcetů použít metodu ejmeších čtverců.. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 68
Regresí a korelačí aalýza Ig. Mchal Dorda Ph.D. 69............. ule : rovy dervace položíme parcálí mmum Hledáme m.... Tedy d d d d d d d d
Regresí a korelačí aalýza Ig. Mchal Dorda Ph.D. 7............. Po úpravách dostaeme : 4 3 3 Získal jsme soustavu (+) rovc s (+) ezámým řešeím získáme odhady koefcetů regresího modelu.
Mamálí rychlost [km/h] Regresí a korelačí aalýza 6 5 4 y = -E-3 6 + E- 5 - E-7 4 + 4E-5 3-54 + 38 + 83 R² = 99 3 3 4 5 6 7 8 Výko motoru [kw] Ig. Mchal Dorda Ph.D. 7
Regresí a korelačí aalýza 3) Uvažujme hyperolckou regres vyrovávací křvka (její odhad) je vyjádřea ve tvaru:. Jelkož se opět jedá o regresí model leárí v parametrech můžeme pro odhad koefcetů použít metodu ejmeších čtverců. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 7
Regresí a korelačí aalýza Ig. Mchal Dorda Ph.D. 73. ule : rovy dervace položíme parcálí mmum Hledáme m. Tedy d d d d
Regresí a korelačí aalýza Ig. Mchal Dorda Ph.D. 74. ) ) upravíme: Rovce
Regresí a korelačí aalýza Ig. Mchal Dorda Ph.D. 75. a z ) a z) Postupě vyjádříme:
Regresí a korelačí aalýza Ig. Mchal Dorda Ph.D. 76. dostaeme poúpravách : platt: musí Jelkož. potom: Také platí:
Regresí a korelačí aalýza 4) Uvažujme logartmckou regres vyrovávací křvka (její odhad) je vyjádřea ve tvaru: log. Jelkož se opět jedá o regresí model leárí v parametrech můžeme pro odhad koefcetů použít metodu ejmeších čtverců. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 77
Regresí a korelačí aalýza Ig. Mchal Dorda Ph.D. 78. log log log ule : rovy dervace položíme parcálí mmum Hledáme m. log Tedy d d d d
Regresí a korelačí aalýza Ig. Mchal Dorda Ph.D. 79. log log log ) log ) Úpravam dostaeme:
Regresí a korelačí aalýza Ig. Mchal Dorda Ph.D. 8 Postupě vyjádříme: log a log z). log log log a log log log z )
Regresí a korelačí aalýza Ig. Mchal Dorda Ph.D. 8. log log log log získáme : log log log log platí: Jelkož
Regresí a korelačí aalýza Ig. Mchal Dorda Ph.D. 8. log log log log log získáme : log log log log Dále platí:
Mamálí rychlost [km/h] Regresí a korelačí aalýza 5 y = 786l() - 536 R² = 956 4 3 3 4 5 6 7 8 Výko motoru [kw] Ig. Mchal Dorda Ph.D. 83
Regresí a korelačí aalýza 5) Uvažujme epoecálí regres vyrovávací křvka (její odhad) je vyjádřea ve tvaru:. Teto model eí leárí v parametrech použtí metody ejmeších čtverců je prolematcké výstupem jsou eleárí rovce. V tomto případě užjeme learzující trasformac. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 84
Regresí a korelačí aalýza Postupě upravíme: / log log log log log log. Pokud A log B log A B. log potomlze psát: Nyí jž můžeme použít metodu ejmeších čtverců ale v logartmckém tvaru: log. log log A B m Ig. Mchal Dorda Ph.D. 85
Regresí a korelačí aalýza Hledáme mmum položíme parcálí d da d db Upravíme: ) ) log log A B log A B A B log A B.. dervace rovy ule : Ig. Mchal Dorda Ph.D. 86
Regresí a korelačí aalýza Ig. Mchal Dorda Ph.D. 87. log a log z ) log a log z) A B B A A B B A Postupě vyjádříme:
Regresí a korelačí aalýza Ig. Mchal Dorda Ph.D. 88. log log log dostaeme : log log platt: musí Jelkož B B B
Regresí a korelačí aalýza Ig. Mchal Dorda Ph.D. 89. log log log tedy: log log platt : Dále musí A A A
Regresí a korelačí aalýza Jelkož jsme použl metodu ejmeších čtverců v logartmcké formě je uto přstoupt ke staoveí deu determace rověž v logartmcké formě: R SS SS ˆ log ˆ log. log log Ig. Mchal Dorda Ph.D. 9
Regresí a korelačí aalýza Ecel používá př epoecálí regres jý záps regresí fukce: e Ozačme můžeme psát: l.. e. Jelkož platí a y log y a Ig. Mchal Dorda Ph.D. 9
Mamálí rychlost [km/h] Regresí a korelačí aalýza 5 y = 783e R² = 8554 4 3 3 4 5 6 7 8 Výko motoru [kw] Ig. Mchal Dorda Ph.D. 9
Regresí a korelačí aalýza Doposud jsme se zaýval vystžeím závslost vysvětlovaé proměé a jedé vysvětlující proměé tedy jedoduchou regresí. Podívejme se yí a víceásoou regres vysvětlovaá proměá závsí a ěkolka vysvětlujících proměých.... Pro jedoduchost se zaměřme pouze a závslost a dvou vysvětlujících proměých. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 93
Regresí a korelačí aalýza Odhad regresí fukce můžeme zapsat ve tvaru: kde parametry a se azývají dílčí regresí koefcety a udávají jak se průměrě změí vysvětlovaá proměá př jedotkové změě příslušé vysvětlující proměé. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 94
Regresí a korelačí aalýza Jelkož se jedá o model leárí v parametrech lze použít metodu ejmeších čtverců tedy: Ig. Mchal Dorda Ph.D. 95. m d d d d d d
Regresí a korelačí aalýza Po úpravách získáme: Řešeím této soustavy získáme odhady regresích koefcetů. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 96.
Regresí a korelačí aalýza Pro posouzeí a srováí dvduálího vlvu jedotlvých vysvětlujících proměých a vysvětlovaou proměou zavádíme ormalzovaé regresí koefcety B-koefcety: B s B s s s kde jsou výěrové směrodaté odchylky jedotlvých proměých. s s a s Ig. Mchal Dorda Ph.D. 97
Regresí a korelačí aalýza Záme-l jedoduché korelačí koefcety můžeme psát:. B-koefcety zavádíme aychom mohl srovat tezty vlvu jedotlvých vysvětlujících proměých a vysvětlovaou proměou. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 98 r r r r B r r r r B
Regresí a korelačí aalýza Př. Uvažujme závslost mamálí rychlost osoího automolu v [km/h] a výkou motoru [kw] a točvém mometu [Nm]. Výpočtem jsme zjstl dílčí regresí koefcety: km/h 78 a kw 47 km/h Nm Zajímá ás vlv které vysvětlující proměé je větší.. Ig. Mchal Dorda Ph.D. 99
Regresí a korelačí aalýza Dílčí koefcety elze přímo srovat protože jsou v jých jedotkách. Proto je pro srováí uto provést výpočet B-koefcetů. Uvažujme že záme výěrové směrodaté odchylky jedotlvých proměých tedy: s 874 km/h s 8 kw s 699 Nm. Ig. Mchal Dorda Ph.D.
Regresí a korelačí aalýza Dosazeím a výpočtem dostaeme: B B s s 8 78 874 699 874 47 9 9. Z výsledků vdíme že vlv oou vysvětlujících proměých a mamálí rychlost je zhrua stejý. Ig. Mchal Dorda Ph.D.
Regresí a korelačí aalýza Pro staoveí síly závslostí užíváme koefcety dílčí korelace eo koefcety víceásoé korelace. Koefcety dílčí korelace vyjadřují sílu závslost mez vysvětlovaou proměou a příslušou vysvětlující proměou oproštěou od vlvu druhé vysvětlující proměé. Ig. Mchal Dorda Ph.D.
Regresí a korelačí aalýza Příslušé dílčí korelačí koefcety staovíme dle vztahů: Ig. Mchal Dorda Ph.D. 3. r r r r r r r r r r r r
Regresí a korelačí aalýza Koefcet víceásoé korelace vyjadřuje sílu závslost vysvětlovaé proměé a všech vysvětlujících proměých. Určíme ho podle vztahu: Ig. Mchal Dorda Ph.D. 4. r r r r r r r