PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2

Transkript

1 SP3 Neparametrcké testy hypotéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrcké testy hypotéz čast Lbor Žák

2 SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Neparametrcké testy hypotéz - úvod Neparametrcké testy statstckých hypotéz se používaí v případech, kdy ezáme rozděleí pozorovaé áhodé velčy X, resp. áhodého vektoru, aebo pro zámé rozděleí emáme potřebá testová krtéra. Omezeím eparametrckých metod e obvykle požadavek, že pozorovaé áhodé velčy maí spotá rozděleí, avšak v ěkterých případech stačí zát pouze pořadí uspořádaých hodot daého statstckého souboru, t. hodoty odpovídaícího ordálího statstckého zaku. Slabší předpoklady o rozděleí (a rozdíl od parametrckých testů testy u chž záme rozděleí) maí za ásledek, že eparametrcké metody esou tak slé, ako ech parametrcké protěšky. Základím prcpem eparametrckých testů e ahrazeí původích pozorovaých hodot ech pořadím co do velkost a proto se také v lteratuře hovoří o pořadových testech. Př pořadových testech se místo se středí hodotou (ak e tomu u parametrckých testech) pracue s většou medáem.

3 SP Testováí hypotéz o rozděleí Lbor Žák Kolmogorov- Smrov - emprcká dstrbučí fukce X,, X Nechť e áhodý výběr. Pak emprcká dstrbučí fukce e defovaá vztahem: card{, X x} FEmp ( x) Platí: X,, X Nechť e áhodý výběr z rozděleí, která má dstrbučí fukc F(x). Parametr ϑ ahradíme eho bodovým odhadem. Pak: F ( x) F( x) skoro stě pro Ozačme: D sup F ( x) F( x), pak P lm D 0 x

4 SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Kolmogorovův- Smrovův dvouvýběrvý test Předpoklady: Nechť X, X,, fukcí F, Y, Y,, fukcí G, X m Y Hypotéza: Testueme hypotézu: H e áhodý výběr ze spotého rozděleí s dstrbučí e áhodý výběr ze spotého rozděleí s dstrbučí : F G prot alteratví: : F G Prcp: Pro áhodé výběry X, X,, X m a Y, Y,, Y vytvoříme emprcké dstrbučí fukce. card{, X x} card{, Y x} Fm ( x) G ( x) Dm, sup Fm ( x) G ( x) x m Pak hypotézu: H : F G prot alteratví: H A : F G ezamítáme, pokud D m, e meší rovo ež krtcká hodota (, m) (tabulka). H A D

5 SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Kolmogorovův- Smrovův dvouvýběrvý test

6 SP Testováí hypotéz o rozděleí Lbor Žák Kolmogorovův- Smrovův dvouvýběrvý test (, m) D Pro velké m, : m 5 D (, m) m l m

7 SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Kolmogorovův- Smrovův dvouvýběrvý test Příklad: Př prví písemce z Pravděpodobost a statstky bylo ve dvou skupách dosažeo těchto výsledků:. skupa: 0, 7, 6, 4,, 9, 6, 7,,, 4,. skupa:, 5, 8, 5, 9,, 0 Pomocí Kolmogorova- Smrova dvouvýběrvého testu zstěte a hladě výzamost 5%, že skupy maí steou úroveň vědomostí z PaS..

8 SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Korelačí aalýza Spearmeův korelačí koefcet Na základě pořadí lze odhadou závslost. Jsou l pořadí u složky X a Y podobá, e zde možá závslost mez X a Y. Měme áhodý vektor ( X, Y) T a k ěmu áhodý výběr: T (, Y ), X,( X, Y ) Nechť P, P,, e pořadí X, X,, a Q, Q,, pořadí Y, Y,, Y P X Q Pak výběrový Spearmeův korelačí koefcet se defue ako výběrový korelačí koefcet pořadí: R S R( P, Q) R( P, Q) P PQ P P Q Q Q ` R S 6 ( P Q ( ) ) T

9 SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Korelačí aalýza Spearmeův korelačí koefcet Testueme ulovou hypotézu H 0 : R S = 0 - ezávslost H 0 : R S = 0 vzhledem k alteratví hypotéze: H A : R S 0 se ezamítá, pokud r S r * S (, ); r * S (, ) kde * r S (, ) e tabelovaá hodota: r S e realzace R S Pro >30 lze hodotu ahradt: kde u * r S (, ) e kvatl ormovaého ormálího rozděleí. u

10 Lbor Žák Platí: Pokud se edá o výběr z regulárího dvorozměrého ormálího rozděleí s korelačím koefcetem ρ, Pro rostoucí dostaeme: Korelačí aalýza Spearmeův korelačí koefcet arcs ) ( 6 arcs 6 ) ( R E S S r r 6 s SP3 Neparametrcké testy hypotéz Pokud e počet steých hodot u X a Y více, používá se korgovaá statstka: kde t (s ) e počet steých hodot pro X (Y). Y X korg S T T Q P R ) ( ) ( 6, k X t t T 3 l Y s s T 3

11 SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Korelačí aalýza Spearmeův korelačí koefcet - příklad Spermeův korelačí koefcet r S : 0,8000 Krtcká hod. pro hypotézu H 0 :r S =0: 0,44 Pearsoův korelačí koefcet: 0,78457 Odhad Pearsoova korelačího koefcetu z Spearmeova: 0,83473

12 SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Spearmeův korelačí koefcet - příklad Příklad: Ve skupě studetů byly získáy formace o výšce a váze. Výška: Váha: Odhaděte korelac pomocí Spearmeův korelačího koefcetu a otestute hypotéz, že e rove 0 a hladě výzamost 5%.

13 SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Kruskal-Walls test vícevýběrový test Předpoklady: Nechť,, X,,, X fukcí, =,,k. X, F Hypotéza: Testueme hypotézu: H : F e áhodý výběr ze spotého rozděleí s dstrbučí prot alteratví: H Prcp: Náhodé výběry X,, X,,, X,, =,,k sloučíme do edoho souboru a spočteme pořadí. Nechť T součet pořadí odpovídaící -tému áhodému výběru. k. k ( ) Ozačme, pak T Kruskal-Walls test test založeý a statstce F Q ( ) F k k T 3( ) A : l, F l F

14 SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Kruskal-Walls test vícevýběrový test Hypotézu: H F F prot alteratví: H : l, F F zamítáme, : F k A l pokud Q e větší ež Kruskal-Walls kvatl. Pokud e počet shod více ak 5%, používá se korgovaá statstka: Q Qad k 3 3 ( ) ( t t ) kde t e počet shod v realzac -tého rozděleí. Pro 5 použít asymptotckou verz: pokud,, k, pak k T as. Q 3( ) ~ ( k ( ) )

15 SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Kruskal-Walls test vícevýběrový test Postup: Pomocí realzace spočítáme T a Q. pokud Q 0, ( k ), pak hypotézu H : F F ezamítáme. F k Pozámka: Kruskal-Walls test e lokálě eslěší pořadový test pro edoduché tříděí v případě, že pocházeí z rozděleí, které se lší posuutím.

16 SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Kruskal-Walls test příklad Příklad: Př prví písemce z Pravděpodobost a statstky bylo ve třech skupách dosažeo těchto výsledků:. skupa: 0, 7, 6, 4,, 9. skupa:, 5, 8, 5, 9 3. skupa: 6, 7,,, 4,, 0 Pomocí Kruskal-Walls testu zstěte a hladě výzamost 5%, že skupy maí steou úroveň vědomostí z PaS..