12 Řešení becnéh trjúhelníku, věta sinvá a ksinvá Sinvá věta - platí v becném trjúhelníku (nemusí být pravúhlý) a : b : c sin α : sin β : sin γ Pměr délek stran je rven pměru sinů prtilehlých vnitřních úhlů. Nejpužívanější tvar: a b c sin α sin β sin γ Pužití: K výpčtu statních prvků v trjúhelníku, je-li dán: dvě strany a úhel prti větší z nich dva úhly a strana Je dán trjúhelník ABC, a 395, b 287, α 42 20. Určete c, β, γ. 2) Výpčet γ : γ 180 - α -β 3) Výpčet c : γ 108 22 a c sin α sin γ a.sin γ c sin α c 395.sin108 22 sin 42 20 1) Výpčet β : b a sin β sin α b.sin α sin β a / / sin β 287.sin42 10 395 β 29 10 1 I
c 556,7 Cvičení : 1. Je dán trjúhelník ABC : a 25,6, β 35 40, γ 67 30. Určete α, b, c. [α75 50 ;b15,8; c24,4] 2. Je dán trjúhelník ABC : a 57,6, c 48,8, α 123 20.Určete β, γ, b. [β 11 36 ;γ 45 04 ;b 13,9] 3. Je dán trjúhelník ABC :b 34,5 ; a 28,9 ; γ 38 20.Určete β ; a ; c. [β 85 10 ;a 28,9 ; b 21,5] Platí v becném trjúhelníku. Ksinvá věta a 2 b 2 + c 2-2.b.c.csα b 2 a 2 + c 2-2.a.c.csβ c 2 a 2 + b 2-2.a.b.csγ Je - li velikst úhlu γ 90, ptm platí: c 2 a 2 + b 2-2.a.b.cs90 c 2 a 2 + b 2-2.a.b.0 c 2 a 2 + b 2 Pythagrva věta je tedy zvláštním případem ksinvé věty. Pužití: k výpčtu statních prvků v trjúhelníku, je-li dán: dvě strany a úhel jimi sevřený tři strany Je dán trjúhelník ABC :a 35, b 29, γ 60.Určete c, α, β. 1) Výpčet c : c 2 a 2 + b 2-2.a.b.csγ c 32,4 2) Výpčet β: b c sin β sin γ.sin γ sin β b c β 50 49 Při výpčtech pčítáme největší úhel jak pslední!!! Je dán trjúhelník ABC :a 19,c 6, β 44 08.Určete b, α, γ. 1) Výpčet b : b 2 a 2 + c 2-2.a.c.csβ b 15,09 Při neddržení správnéh přadí by vyšl: 2) Výpčet α : b a sin β sin α 3) Výpčet α: α 180 - β - γ α 69 11 2
sin α.sin β a b α 61 15 3) Výpčet γ : γ 180 - α - β β 74 37 Tt řešení není správné, prtže je prušen pravidl, kdy prti největší straně musí ležet největší úhel. Správný je tent pstup: 2) Úhel γ : b c sin β sin γ.sin β sin γ c b γ 16 03 3) Úhel α : α 180 - β - γ α 119 49 Cvičení: 1) Je dán trjúhelník ABC :a 7 ; b 6, c 5. Určete α, γ, β. [α 78 28 ; β 57 07 ;γ 44 25 ] 2) Je dán trjúhelník ABC :a 20; b 21, c 29. Určete α, γ, β. [α 43 36 ; β 46 24 ;γ 90 ] 3) Je dán trjúhelník ABC :a 75; b 64, γ 42 30. Určete c, α, β. [α 77 30 ; β 60,c 51,9] 4) Je dán trjúhelník ABC :α 0,845 rad; β 0,682 rad,c 5,24. Určete a, b,γ. [γ 10615 rad ; a 3,95, b 3,3] 5) Je dán trjúhelník ABC :c 10,82; b 8,54 ; γ 72 10. Určete a, α, β. [α 59 10, β 48 40, a 9,76] 6) Určete bsah trjúhelníku ABC, je-li dán: a 25,10 ; α 63 ; β 38. (Pužijte vzrec S 1/2. a.b.sinγ) [213,6] 7) Určete α, β, γ, je - li a : c 3 : 5 ; γ 2 α. [α 33 33 ; β 79 21 ;γ 67 06 ] 8) Je dán trjúhelník ABC :a 16,9; b 21,8 ; c 19,4. Určete α, β, γ. [α 48, β 73 27, γ 58 33 ] 9) Je dán trjúhelník ABC :a 51,34; b 34,75 ; γ 64 30. Určete c, α, β. [α 74 44, β 40 46,c 48,03] 10) Určete velikst největšíh vnitřníh úhlu v tjúhelníku ABC, je-li a 74 ; b 53 ; c 45. [α 97 44 ] 11) V trjúhelníku ABC je dán : b 7 cm, v b 3,6 cm, α 53. Určete a, c, β, γ. [ ] 12)V trjúhelníku ABC je dán : a 4 cm, v a 2,3 cm, β 52. Určete b, c, α, γ. [ ] Praktické úlhy: Dvě síly F 1 35 N a F 2 51 N splu svírají úhel α 56. Určete velikst výslednice F a její úhly s jedntlivými slžkami. Velikst síly F určíme ksinvu větu : F 2 F 1 2 + F2 2-2.F1.F 2.cs(180 -α) F 2 35 2 + 51 2-2.35.51.cs124 F 76,3 N Úhly síly F s jedntlivými slžkami určíme sinvu větu: 3
F2 sin α 1 sin F ( 180 α ).sin( 180 α ) F2 sin α 1 F α 1 33 39 α 2 α - α 1 22 21 Cvičení: 1) Dvě síly F 1 58 N a F 2? splu svírají úhel α 59. Výslednice F 105 N. Určete F 2. [63 N] 2) Dvě síly F 1 300 N a F 2 400N splu svírají úhel α 40. Určete F., α 1, α 2. [659 N ; 23 ; 17 ] 3) Dvě síly F 1 130 N a F 2 70N splu svírají úhel α 50. Určete F. [183 N ] 4) Jaký úhel svírají síly F 1 80 N a F 2 95N, je-li jejich výslednice F 152 N? [59 39 ] 5) Jaký úhel svírají síly F 1 80 N a F 2 95N, je-li jejich výslednice F 88,5 N? [119 56 ] 6) Nsník ABC je umístěn na svislé stěně, velikst úhlů: α 72, β 35. V bdě C je zatížen břemenem tíze G 15000N. Vypčtěte velikst tahu na ramen AC a tlaku na ramen BC. 7) Dvě síly F 1 58 N a F 2? splu svírají úhel α 59. Výslednice F 105 N. Určete F 2, α 1, α 2. [ 63 N, 30 45, 28 15 ] 8) Síla F 1 210 N svírá s výslednicí sil F úhel α 1 33. Velikst síly F 350 N. Určete F 2 a α 2. [ 33 22, 208 N ] 9) Tlakvá síla F 120 N se má rzdělit na 2 slžky F 1, F 2. Tyt slžky svírají se silu F úhly α 1 30, α 2 45. Jaké jsu slžky F 1, F 2? [ 87,85 N, 62,12 N] 10) 15 m vyská budva je vzdálena 30 m d břehu řeky. Z vdrvné střechy tét budvy je vidět šířku řeky pd úhlem 15. Jak širká je řeka? [ 43,3 m ] 11) Dvě přímé důlní štly vycházející z téhž místa C svírají úhel 100. Délka štly DC je 80 m. Délka štly CE je 158 m. Jak dluhu spjvací štlu DE bude nutn prrazit? [ 189 m ] 12) Z pzrvatelen PQ vzdálených d sebe 2,8 km byl pzrván letadl L a byly změřeny veliksti úhlů LPQ 76 30 a PQL 62 10. Jak vysk byl letadl nad základnu PQ v daném kamžiku? [ 3,64 km ] 13) Máme vypčítat délku tunelu AB, jestliže byl naměřen: BC 619,8 m a AC 437,8 m, BCA 97 45 36". [ 805,7 m ] 14) Dvěma lany je ke strpu připevněn břemen tíze G 200 N. Lana jsu stejně dluhá a svírají s rvinu strpu úhel α 45. Jakými silami jsu bě lana namáhána? [ 141,4 N ] 4
15.) Na břehu řeky stjí budva, z jejichž ken ve vzdálensti 12 m je vidět bd na druhém břehu ( v rvině klmé ke směru řeky) v hlubkvých úhlech veliksti α 37 57 a β25 26. Vypčtěte šířku řeky. [ 39,43 m] 16.) Sílu veliksti F 2217,6 N je třeba rzlžit dvě slžky, které s ní svírají úhly velikkstech α 46 32 a β 54 12. Vypčítejte veliksti slžek F 1 a F 2. [ F 1 1830,6 N, F 2 1638,1N ] 17.) Síly velikstech F 1 42 N, F 2 35 N půsbí ve splečném bdě a svírají úhel veliksti 77 12. Jak veliká je výsledná síla F? [ F 62,35 N ] 18.) Sílu veliksti F 300 N rzlžte na slžky F 1 a F 2. První slžka svírá se sílu F úhel veliksti 47 14 a druhá úhel veliksti 18 53.. Určete veliksti sil F 1 a F 2. [ F 1 106,2 N, F 2 240,9 N ] 19.) Tři síly, jejichž veliksti jsu v pměru 9: 10: 17, půsbí v rvině v jednm bdě tak, že jsu v rvnváze. Určete veliksti úhlů, které svírají každé dvě síly. [ 53 08, 154 57, 151 55 ] 20.) Těles hmtnsti m 2000 kg je zavěšen dvěma lany různé délky na vdrvné traverze. Lana svírají s traverzu úhly velikstech 38 26 a 49 54. Určete namáhání lan v tahu. [ 1567,3 N ; 1288,8 N ] 21.) P rampě se sklnem 18 40 je třeba vytlačit těles tíhy 280 N. Jak velké síly je k tmu třeba a jak velká je tlakvá síla půsbící na rampu, když tření zanedbáváme? [ 89,62 N ; 265,27 N ] 22.) Knzla svařená ze dvu nsníků je upevněna na svislé zdi a nese těles tíze 1000 N. Jaké síly půsbí v jejich ramenech, jestliže jedn ramen svírá úhel veliksti 35 a druhé ramen svírá úhel veliksti 65 s rvinu zdi. [ 1812,6 N, 1147,1 N ] 5