PRVKY BETONOVÝCH KONSTRUKCÍ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ ING. JOSEF PANÁČEK PRVKY BETONOVÝCH KONSTRUKCÍ MODUL M02 DIMENZOVÁNÍ BETONOVÝCH PRVKŮ ČÁST 1 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Prvky betonových konstrukcí Modul M02 Josef Panáček, Brno 2005-2 (66) -

Obsah OBSAH 1 Úvod...5 1.1 Cíle...5 1.2 Požadované znalosti...5 1.3 Doba potřebná ke studiu...5 1.4 Klíčová slova...5 2 Ohýbané železobetonové prvky...7 2.1 Charakteristika ohýbaných prvků...7 2.2 Chování a modelování ohýbaných prvků...8 2.3 Autotest...10 3 Prvky namáhané ohybovým momentem...11 3.1 Napjatostní stádia ohýbaného prvku...11 3.2 Předpoklady a principy výpočtu mezní únosnosti...13 3.2.1 Základní předpoklady výpočtu mezní únosnosti...13 3.2.2 Obecný postup při stanovování mezní únosnosti...14 3.2.3 Hraniční případy a jejich využití...17 3.2.4 Možnosti zjednodušení výpočtu mezní únosnosti...18 3.3 Stanovení mezní únosnosti pro vybrané typy průřezů...21 3.3.1 Obdélníkový průřez...21 3.3.1.1 Jednostranně vyztužený obdélníkový průřez...21 3.3.1.2 Oboustranně vyztužený obdélníkový průřez...24 3.3.2 Průřezy se spolupůsobící deskou...26 3.3.3 Obecnější souměrné a nesouměrné průřezy...29 3.3.3.1 Souměrné průřezy...30 3.3.3.2 Nesouměrné průřezy...30 3.3.4 Průřezy namáhané šikmým ohybem...32 3.4 Autotest...33 4 Prvky namáhané posouvající silou...35 4.1 Chování prvků namáhaných posouvající silou...35 4.1.1 Základní principy působení...35 4.1.2 Rozbor rozhodujících stádií...36 4.2 Výpočet mezní smykové únosnosti...41 4.2.1 Základní principy a předpoklady výpočtu...41 4.2.2 Prvky bez smykové výztuže...42 4.2.2.1 Způsob porušení prvků bez smykové výztuže...42 4.2.2.2 Smyková únosnost prvků bez smykové výztuže...43 4.2.3 Prvky se smykovou výztuží...44 4.2.3.1 Způsob porušení prvků se smykovou výztuží...44 4.2.3.2 Smyková únosnost prvků se smykovou výztuží...46 4.3 Návrh a posouzení prvků namáhaných na smyk...49 4.3.1 Zásady návrhu a posouzení...49 4.3.2 Rozhodující a další průřezy pro návrh a posouzení...51-3 (66) -

Prvky betonových konstrukcí Modul M02 4.3.3 Výpočet smykové únosnosti v blízkosti podpor... 55 4.4 Autotest... 56 5 Prvky namáhané kroucením... 57 5.1 Chování a porušení kroucených prvků... 57 5.2 Stanovení únosnosti kroucených prvků... 59 5.2.1 Únosnost kroucených prvků bez trhlin... 59 5.2.2 Únosnost kroucených prvků s trhlinami... 61 5.3 Autotest... 63 6 Závěr... 65 6.1 Shrnutí... 65 6.2 Studijní prameny... 65 6.2.1 Seznam použité literatury... 65 6.2.2 Seznam doplňkové studijní literatury... 66 6.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny... 66 6.3 Klíč... 66-4 (66) -

Úvod 1 Úvod 1.1 Cíle V modulu CM 2 se seznámíme se základními principy dimenzování prvků betonových konstrukcí podle mezních stavů únosnosti. Bude se jednat o první část, která zahrnuje ohýbané železobetonové prvky a zabývá se dimenzováním železobetonových prvků namáhaných ohybovým momentem, posouvající silou a kroutícím momentem. Naučíme se jednak obecné principy pro jednotlivé případy namáhání a jednak aplikace pro běžné i speciální typy průřezů a pro jednoduché typy prvků. Naznačíme si také možná řešení pro vzájemnou interakci výše uvedených statických veličin. Součástí budou i konstrukční zásady pro vyztužování těchto prvků. Pro naplnění cílů tohoto modulu bylo potřeba jej nejen napsat, ale také jej vybavit obrázky. Proto na tomto místě je potřeba poděkovat za jejich pečlivé nakreslení Ing. Patriku Panáčkovi, Ing. Karlu Tesařovi, Ing. Jiřímu Strnadovi a především Ing. Radimu Nečasovi, který se na nich podílel nejvíce včetně jejich celkové koordinace a vložení do textu. 1.2 Požadované znalosti Látka probíraná v tomto modulu předpokládá znalosti z oblasti zatížení stavebních konstrukcí, mechanicko-fyzikálních vlastností materiálů, vytváření statických modelů jednoduchých prvků a konstrukcí a základních principů navrhování podle mezních stavů získaných studiem předcházejícího modulu CM 1. Dále je potřeba znát základní způsoby výpočtu statických veličin ze stavební mechaniky pro různé typy zatížení a stanovení napjatosti prvků při různých způsobech namáhání z pružnosti a plasticity. Z technické matematiky a fyziky (zde především z mechaniky) jsou zapotřebí běžné znalosti získané již na střední škole nebo v předcházejícím studiu na fakultě stavební. 1.3 Doba potřebná ke studiu Modul zahrnuje z celé problematiky navrhování betonových prvků přibližně 30 procent, což odpovídá čtyřem týdnům z celého semestru. Doba potřebná k nastudování jednotlivých kapitol a celého textu je především závislá na obtížnosti tématu, předchozích znalostech a schopnostech studenta. Z těchto důvodů se dá pouze odhadnout a může činit 15 až 20 hodin. 1.4 Klíčová slova Prvek, deska, nosník, trám, příruba, stojina, uložení, zatížení, břemeno, účinek zatížení, řez, průřez, síla, ohybový moment, posouvající síla, kroutící moment, ohyb, smyk, kroucení, beton, výztuž, železobeton, podélná výztuž, prut s ohybem, třmínek, spona, stupeň vyztužení, podmínka rovnováhy, napětí, poměrné přetvoření, únosnost, odolnost, neutrální osa, pevnost, porušení, trhlina, - 5 (66) -

Prvky betonových konstrukcí Modul M02 ohyb, smyk, kroucení, tah, tlak, příhradovina, segment, diagonála, pás, pole, posun. Text (seznam klíčových slov oddělených čárkou). - 6 (66) -

Ohýbané železobetonové prvky 2 Ohýbané železobetonové prvky Z mezních stavů únosnosti se budeme postupně zabývat analýzou jednotlivých způsobů porušení železobetonových prvků při různých druzích namáhání. V tomto modulu to budou prvky namáhané ohybem, tzn. prvky namáhané ohybovým momentem a posouvající silou a prvky namáhané kroutícím momentem. 2.1 Charakteristika ohýbaných prvků Mezi ohýbané prvky můžeme zařadit především vodorovné nebo šikmé nosné prvky jako jsou např. desky, trámy, překlady, průvlaky a příčle. Jedná se většinou o samostatné prvky nebo části stropních nebo vyložených konstrukcí, schodišť nebo podpěrných konstrukcí apod. Ohýbané prvky jsou od zatížení většinou namáhány kombinací ohybového momentu M a posouvající síly V. F 1 2 A F F 3 f A a) zatížení nosníku, vyšetřovaný řez F 1 M A F 2 F 3 f V V A b) působící síly - moment M a posouvající síla V z F 1 2 C A V T V A F F 3 f c) vzdorující síly Obr. 2.1 Působící a vzdorující síly u ohýbaného prvku - 7 (66) -

Prvky betonových konstrukcí Modul M02 Na obr. 2.1a je vykreslen příklad prostého nosníku zatíženého soustavou břemen o velikosti F i a rovnoměrným zatížením o intenzitě f. Od tohoto zatížení vznikají v řezu A-A vnitřní síly - ohybový moment M a posouvající síla V (viz obr. 2.1b). Stejnými hodnotami ve sledovaném řezu vzdoruje nosník s tím, že vzdorující ohybový moment můžeme nahradit dvojicí sil, v tlačené oblasti C a v tažené oblasti T, působících od sebe ve vzdálenosti z (rameno vnitřních sil) viz obr. 2.1c. Pak platí M = C.z = T.z. Pokud v daném místě bude současně působit ohybový moment M a posouvající síla V, bude se jednat o tzv. prostý ohyb. Čistý ohyb může nastat pouze tehdy, pokud prvek bude celý nebo v jeho některé části namáhán pouze ohybovým momentem (V = 0). Obecně v závislosti na zatížení a na statickém schématu mohou z hlediska velikosti M a V nastat různé případy jejich kombinací. Běžně ale při navrhování ohýbaných prvků postupujeme tak, že je dimenzujeme zvlášť pro jednotlivé možné způsoby porušení a rozhodující statické veličiny. V dalším textu budeme označovat účinky vnějšího zatížení M E a V E a odolnost prvku v daném průřezu M R a V R. Kontrolní otázky Vyjmenujte jednotlivé typy ohýbaných prvků. Působící a vzdorující statické veličiny u ohýbaných prvků. Charakterizujte rozdíl mezi prostým a čistým ohybem. 2.2 Chování a modelování ohýbaných prvků Při rozboru chování železobetonového prvku se většinou vychází jednak z rozboru chování běžného prutového prvku v jednotlivých průřezech a jednak z náhrady prvku pomocí tzv. náhradní příhradové soustavy. Železobetonový prvek se přitom srovnává s homogenním prvkem, tj. prvkem, u něhož lze uplatnit základní principy pružného chování. U homogenního prvku v důsledku působení ohybového momentu a posouvající síly vznikají normálová a smyková napětí (σ x a τ) a v kombinaci hlavní napětí v tahu σ 1 a v tlaku σ 2. Možný průběh trajektorií těchto napětí na prostém nosníku je zřejmý z obr. 2.2a v levé části. U železobetonového prvku v důsledku významně menší pevnosti betonu v tahu dochází v tažené oblasti nejdříve ke vzniku ohybových a později i smykových (šikmých) trhlin obecně přibližně kolmo na směr trajektorií hlavního napětí v tahu (viz obr. 2.2a pravá část). V tlačené oblasti mohou v důsledku namáhání hlavním napětím v tlaku vzniknout mikrotrhliny. Oba případy mohou rozhodnout o únosnosti. Vzhledem k tomu, že beton má výrazně menší schopnost přenášet tahová namáhání, je nutno vkládat ohybovou a smykovou výztuž do těch míst, kde by došlo k porušení betonu z hlediska jeho nedostatečné únosnosti v tahu. Používání výztuže v tlačené oblasti u ohýbaných prvků je méně časté. Dimenzováním u železobetonových prvků tedy rozumíme takový návrh výztuže, která spolu s tlačeným betonem zajistí jeho dostatečnou únosnost v obr. 2.2b je staticky nutná výztuž vykreslena plně a konstruktivní čárkovaně. - 8 (66) -

Ohýbané železobetonové prvky a) trajektorie hlavních napetí σ 2 σ 2 σ 1 σ 1 homogenní prvek b) vyztužení, místa porušení 1b železobetonový prvek 3 2 1 1a Obr. 2.2 Napjatost, vyztužení a místa porušení ohýbaného prvku V obr. 2.2b jsou také zobrazeny možné způsoby porušení: 1 porušení ohybem (1a porušení podélné výztuže v tažené oblasti, 1b porušení betonu v tlačené oblasti drcení betonu), 2 porušení smykem za ohybu, 3 porušení v oblasti kotvení výztuže. Na základě těchto způsobů porušení lze pak prokazovat únosnost v jednotlivých rozhodujících řezech. f d α R R c2 θ c1 V c F c F t Obr. 2.3 Působení železobetonového prvku jako příhradová soustava S ohledem na charakter porušení obýbaného železobetonového prvku (tvar a směr trhlin, síly v tlačené oblasti a ve výztuži) lze jej modelovat jako násobnou staticky neurčitou příhradovou soustavu se zakřiveným tlačeným betonovým horním pásem, šikmými tlačenými betonovými diagonálami mezi jednotlivými trhlinami a soustavou tažených prutů vytvářejících tažený pás příhradové - 9 (66) -

Prvky betonových konstrukcí Modul M02 soustavy (podélná výztuž) a jednotlivými taženými svislicemi nebo šikmými diagonálami (svislé či šikmé třmínky, šikmé ohyby) viz obr. 2.3. Z tohoto obrázku je také zřejmé, že oba pásy se budou převážně podílet na přenosu ohybového momentu (vzniknou v nich síly F t a F c ) a tlačené či tažené diagonály a tažené svislice budou přenášek účinky od posouvající síly (v kapitole 4 bude odvozeno, že i posouvající síly ovlivňují síly v obou pásech). Kontrolní otázky Trajektorie hlavních napětí u prvku z homogenního materiálu a ze železobetonu. Zdůvodněte umístění výztuže do betonu. Možné způsoby porušení ohýbaného prvku. Modelování železobetonového prvku jako násobné příhradové soustavy. 2.3 Autotest viz kontrolní otázky - 10 (66) -

Prvky namáhané ohybovým momentem 3 Prvky namáhané ohybovým momentem Namáhání ohýbaných prvků ohybovým momentem patří mezi nejčastější způsoby namáhání. V této kapitole se postupně seznámíme s jejich napjatostí, s obecnými principy stanovování jejich únosnosti a s konkrétními postupy pro různé typy průřezů. 3.1 Napjatostní stádia ohýbaného prvku V místech, kde převládá namáhání ohybovým momentem, vznikají většinou normálová napětí. Jejich rozdělení po průřezu odpovídá velikosti namáhání a stupni porušení. Zkoušky železobetonových prvků prokázaly, že původně svislé průřezy zůstávají téměř rovinné (kolmé ke zdeformované střednici) až do okamžiku porušení a že se jen pootočí. Normálová napětí však nerostou úměrně, ale podle příslušných pracovních diagramů betonu a výztuže (viz modul CM1). Změny napjatosti v průřezu při postupném nárůstu intenzity zatížení lze v podstatě charakterizovat třemi stádii. Stádium I působí celý betonový průřez V tomto stádiu působí celý betonový průřez jak v tlačené tak i v tažené oblasti. Výztuž plně spolupůsobí s betonem, její poměrné přetvoření ε s je rovno poměrnému přetvoření betonu ve stejné úrovni ε cs. Mohou v podstatě nastat dvě situace. Při menších intenzitách zatížení je napětí jak v betonu tak i ve výztuži přímo úměrné poměrnému přetvoření (viz obr. 3.1a) a lze jej stanovit podle teorie pružnosti σ = E.ε. Výpočet napětí v tomto stádiu (i ve stádiu II) lze provádět na tzv. ideálním průřezu (parametry průřezu plocha, moment setrvačnosti atd. se pro výztuž uvažují α e násobně). Napětí ve výztuži je tedy α e násobně větší než napětí v přilehlém vlákně betonu, kde α e = E s /E c (poměr modulu pružnosti výztuže a betonu), nebo se dá určit z pracovního diagramu pro příslušné poměrné přetvoření ε s. Při větších intenzitách zatížení však dochází k nelineárnímu rozdělení napětí v betonu v tažené zóně a k posunu nulové osy poměrných přetvoření k tlačenému okraji. Při mezním poměrném přetvoření v krajních tažených vláknech betonu ε ctu a při napětí σ ct = f ct, kde f ct je pevnost betonu v tahu, se prvek dostane do stavu, který je označován jako mez vzniku trhlin (viz obr. 3.1b). I tento případ, v němž by se mělo přihlížet k pružně-plastickému chování taženého betonu, lze v praktických řešeních vystihnout za předpokladu pružného chování při uvážení fiktivní pevnosti betonu v tahu za ohybu γ.f ct, kde γ = 1,6- h[mm]/1000 1,0. Napětí ve výztuži se nadále určí podle zásad pružného chování. Tento stav se používá nejen u mezních stavů použitelnosti, ale i ke stanovení minimálního vyztužení průřezu, které by mělo zabezpečit, že nedojde k náhlému (křehkému) porušení po překročení této meze. Stádium II vyloučený beton v tažené oblasti bez využití plasticity betonu v tlačené oblasti - 11 (66) -

Prvky betonových konstrukcí Modul CM2 Při dalším navýšení intenzity zatížení se beton v tažené oblasti postupně začíná porušovat trhlinami. V místě každé trhliny je beton téměř vyloučen ze spolupůsobení, rozhodující část tahové síly přenáší výztuž a nulová osa poměrných přetvoření se opět mírně posouvá k tlačenému okraji (viz obr. 3.1c). Spolupůsobení betonu a tažené výztuže je zajištěno neporušeným betonem mezi trhlinami (odpovídá stádiu I). Napětí betonu v tlačené oblasti lze přibližně považovat za lineární (platí přibližně do σ c = 0,4.f c, kde f c je pevnost betonu v tlaku). Výpočet napětí lze provádět podobně jako ve stádiu I, jen průřezové charakteristiky je nutno uvažovat bez tažené oblasti betonu a napětí v taženém betonu lze považovat za fiktivní. Napětí ve výztuži lze i v tomto stavu stanovit podle zásad pružnosti. Tento stav se využívá u tzv. klasické teorie železobetonu a v teorii mezních stavů u mezního stavu použitelnosti a při výpočtech na únavu. Ι ΙΙ A s1 tlak a tah ε cu c ε c b ε c ε c f c σ c σ c σ c ε ctu γ. f ct f ct ε s < ε y ΙΙΙ ε c < ε cu σ c < f c ε cu < ε c < ε cu σ c f c σ s =. σ c s α e < fc f y ε ε c ε c c σ σ c σ c c d e f ε s > σ s = ε s = ε u σ s = f y ε s < σ s < f ε y f y ε y y Obr. 3.1 Napjatostní stádia železobetonového prvku Stádium III - vyloučený beton v tažené oblasti s využitím plasticity betonu v tlačené oblasti Při dalším navýšení intenzity zatížení napětí v tlačeném betonu již nebude lineární. Výztuž podle míry vyztužení může být v pružném nebo v plastickém stavu. K porušení průřezu dojde buď z důvodů nedostatečné únosnosti tažené výztuže nebo tlačeného betonu. U běžně vyztuženého prvku bude dosaženo poměrného přetvoření ve výztuži odpovídající mezi kluzu (ε s ε y ) dříve než v krajních tlačených vláknech betonu mezní hodnoty ε cu. Nulová osa poměrných přetvoření se opět posune směrem k tlačenému okraji. K porušení v průřezu dojde v důsledku postupného - 12 (66) -

Prvky namáhané ohybovým momentem plastického protahování výztuže dosažením mezního poměrného přetvoření ε cu v tlačeném betonu a jeho porušením (viz obr. 3.1d). Vzhledem k tomu, že prvotní příčinou porušení je plastické protažení výztuže, mluvíme o tzv. tahovém porušení. Tento způsob porušení zaručuje svými příznaky (růst šířky trhlin a zřejmá deformace prvku) varování, že prvek se dostává do mezního stavu únosnosti. V některých případech (např. při slabším vyztužení) může dojít k situaci, kdy poměrné přetvoření ve výztuži dosáhne mezní hodnoty ε u dříve než v tlačeném betonu bude dosaženo ε cu (viz obr. 3.1e). Příčinou porušení v tomto případě nebude beton, ale tažená výztuž. Zohlednění tohoto případu při praktickém dimenzování nemá téměř žádný význam, proto lze využívat pracovního digramu výztuže bez omezení velikosti poměrného přetvoření. U silně vyztuženého prvku je dosaženo mezního stlačení v krajních vláknech betonu ε cu dříve než v tažené výztuži je napětí odpovídající mezi kluzu (platí ε s <ε y ) viz obr. 3.1f. V tomto případě mluvíme o tzv. tlakovém porušení, protože prvotní příčinou mezního stavu je drcení tlačeného betonu. Vzhledem k tomu, že zde nedochází k určitému varování výraznějšími trhlinami či průhybem, je tento způsob porušení prvku z hlediska možných opatření nevýhodný. Jeho menší výhodnost je dána i nevyužitím tažené výztuže. Kontrolní otázky Charakterizujte předpoklady pro pružné chování železobetonových prvků. Charakterizujte situaci na mezi vzniku trhlin. Popište situaci při vyloučeném betonu v tažené oblasti bez využití jeho plastického chování v tlaku. Definujte a zhodnoťte mezní stav únosnosti prvku při tzv. tahovém porušení. Jaký je vliv a význam uvažování existence mezního poměrného protažení u výztuže. Definujte a zhodnoťte mezní stav únosnosti prvku při tzv. tlakovém porušení. 3.2 Předpoklady a principy výpočtu mezní únosnosti Při výpočtu mezního stavu únosnosti se obvykle vychází z napjatostního stádia III, kde místo skutečných hodnot sil, pevností a poměrných přetvoření se pracuje s hodnotami návrhovými. Jejich označení je v indexu doplněno písmenem d, např. M Ed, M Rd, f cd, ε yd atd. V dalším textu pro zjednodušení není toto označení, pokud to není nezbytně nutné, používáno. 3.2.1 Základní předpoklady výpočtu mezní únosnosti Při stanovení mezní únosnosti železobetonového průřezu při namáhání ohybovým momentem (platí i pro kombinaci s normálovou silou) se podle [3] vychází z těchto předpokladů: zachovává se rovinnost průřezu před a po přetvoření (velikost poměrného přetvoření ε je přímo úměrná vzdálenosti od nulové nebo-li neutrální osy), - 13 (66) -

Prvky betonových konstrukcí Modul CM2 spolupůsobení výztuže a betonu je zajištěno dokonalou soudržností (poměrná přetvoření výztuže ε s v tahu i tlaku a poměrná přetvoření v přilehlých vláknech betonu ε cs jsou stejná => ε s = ε cs ), beton v tažené oblasti průřezu v důsledku trhlin nepůsobí (veškerá tahová napětí přenáší výztuž), tlaková napětí betonu v tlačené oblasti průřezu se určují podle pracovních digramů pro stanovení meze únosnosti (parabolicko-rektangulárního, bilineárního) nebo lze uvažovat rovnoměrné rozdělením tohoto napětí viz dále, napětí ve výztuži se stanovují podle pracovních diagramů pro stanovení meze únosnosti (s vodorovnou nebo se stoupající plastickou větví), poměrná přetvoření jsou omezena pro tlačený beton hodnotou ε cu a pokud je to vhodné i pro výztuž hodnotou ε u => za mezní stav je považována situace, když alespoň v jednom z materiálů je dosaženo mezního poměrného přetvoření (pokud ε u není omezeno, rozhoduje vždy tlačený beton). V praktických řešeních se většinou uplatňuje pro tlačený beton rovnoměrné rozdělení napětí o hodnotě η.f c v oblasti o výšce x c = λ.x, kde η je součinitel účinné pevnosti betonu a λ součinitel účinné výšky tlačené oblasti. Podle [3] η=1,0 a λ=0,8 pro betony s charakteristickou pevností maximálně 50 MPa a η=1,0-(f ck -50)/200 a λ=0,8-(f ck -50)/400 pro betony s vyšší charakteristickou pevností; pokud se šířka tlačené oblasti zmenšuje směrem k nejvíce tlačeným vláknům, má se hodnota pevnosti η.f c snížit o 10 %. U výztuže se většinou uvažuje pracovní diagram s vodorovnou plastickou větví bez omezení poměrného přetvoření. Kontrolní otázky Vyjmenujte základní předpoklady pro stanovení mezní únosnosti. Jaké průběhy napětí se uvažují v praktických řešeních? 3.2.2 Obecný postup při stanovování mezní únosnosti Obecný postup při určování mezní únosnosti prvku namáhaného ohybem si ukážeme pro jednoose symetrický průřez různého tvaru s rovinou ohybového momentu totožnou s rovinou procházející osou symetrie viz obr. 3.2. Nechť je tento průřez vyztužen po své celé výšce n-vrstvami výztuže o ploše jednotlivých vrstev A s (i), vzdálenosti h(i) od tlačeného okraje resp. z s (i) od těžiště celého betonového průřezu C g, kde i = 1, 2, 3,.i,..n. Dále předpokládejme, že v každé i-té vrstvě výztuže bude pro každé poměrné přetvoření ε s (i) známo napětí σ s (i). Nechť je známo pro tlačenou oblast funkční vyjádření jejího tvaru v závislosti na vzdálenosti neutrální osy x od tlačeného okraje a je definován průběh napětí σ c (z) po výšce této oblasti v závislosti na ε c (z). Potom můžeme pro prvek určit dva základní vztahy pro stanovení meze porušení N R = b( z). σ c( z). dz + A s( i). σ s( i), (3.1) x i M R = b( z ). σ c( z ). z. dz + A s( i). σ s( i). z s( i) (3.2) x a tím i podmínky rovnováhy (silovou a momentovou) i - 14 (66) -

Prvky namáhané ohybovým momentem N R = N E = 0, (3.3) M R M E. (3.4) Ze silové podmínky vyplývá, že u prvku namáhaného pouze ohybem je normálová síla od zatížení nutně nulová, a že vlastní rovnováha musí být zajištěna podmínkou rovnosti všech vnitřních sil, tj. sil v tlačeném betonu a ve výztuži. Momentová podmínka rovnováhy v návaznosti na splnění silové podmínky v napsaném spolehlivostním tvaru zaručuje, že prvek má dostatečnou únosnost. Po zavedení výsledné síly v tlačeném betonu F cc, vzdálenosti z cc jejího působiště C cc od těžiště průřezu C g a sil v jednotlivých vrstvách výztuže F s (i), platí h = i F cc Fs i) M h(i) R (, (3.5) = F ) cc. zcc + Fs( i). zs( i ME. (3.6) y 2 i b (z) C g A cc x(c) A s(i) x ε cu ε c(z) ε s(i) C cc C g σ c(z) F z s(n) F cc zcc F s(i) s(i) 1 z ε c1 + σ s F s(1) σs(i) +ε s ε y ε ε u ε y s(i) f y ε u ε s f y σ Obr. 3.2 Předpoklady výpočtu mezní únosnosti Z průběhu poměrných přetvoření vyplývá, že při stanovování mezní únosnosti bude nutné uplatnit i jejich vazbu na geometrii průřezu. Proto zavádíme do řešení další tzv. geometricko-přetvárnou podmínku (všechny veličiny jsou v prosté hodnotě) ve tvaru ( i) = h( i) x εs εc. (3.7) x V této podmínce jsou obecně všechny veličiny mimo h(i) neznámé, proto pro stanovení meze únosnosti bude nutno některé z nich zvolit. - 15 (66) -

Prvky betonových konstrukcí Modul CM2 Ve vlastním výpočtu meze porušení je dobré postupovat tak, že postupně budeme volit polohu neutrální osy hodnotou x tak dlouho až bude splněna silová podmínka rovnováhy a následně prokážeme dostatečnou míru spolehlivosti z momentové podmínky rovnováhy. Současně s volbou x musíme zvolit i předpoklad o způsobu porušení. Většinou se u běžného vyztužení bude jednat o dosažení mezního stlačení v krajních tlačených vláknech betonu ε cu. Na základě zvoleného průběhu přetvoření můžeme v úrovni jednotlivých vrstev výztuže stanovit jejich poměrné přetvoření úpravou rovnice (3.7) na h( i) x ε s( i) = εcu. (3.8) x a následně pomocí pracovního digramu výztuže stanovit napětí σ s (i) viz obr. 3.2 a např. vztah (3.10) a síly F s (i) = A s (i).σ s (i). (3.9) Pro výpočet napětí ve výztuži je nutno vědět, v které jeho větvi se nacházíme hraničním případem je hodnota ε y. Pokud bude používán pracovní diagram výztuže s vodorovnou plastickou větví stačí použít vztah σ s (i) = ε s (i).e s, (3.10) s omezením σ s (i) f y. Na základě funkčního vyjádření tvaru tlačené oblasti betonu a použitého pracovního diagramu je možné stanovit výslednou sílu v tlačeném betonu F cc. Je zřejmé, že v praktických řešeních bude možné tuto sílu určit jednoduše nebo využít rozdělení tlačené oblasti na vhodné díly se stanovením dílčích sil F ci =>F cc = F ci. Po stanovení všech sil v betonu a výztuži můžeme provést ověření, zda je splněna silová podmínka (3.5). Pokud není, volí se nová poloha neutrální osy pomocí hodnoty x tak dlouho, až je silová podmínka rovnováhy splněna s vyhovující přesností. Následně je nutno stanovit polohu působiště C cc síly v tlačeném betonu, její vzdálenost (rameno) např. k těžišti celého průřezu z cc a s použitím ramen jednotlivých sil ve výztuži z s (i) určit výsledný moment na mezi únosnosti a ověřit spolehlivost podle vztahu (3.6). Opět je možné využít rozdělení tlačené oblasti a s pomocí dílčích sil F ci, jejich působišť C ci a ramen z ci získat i jejich příspěvek k velikosti M R nahrazením F cc.z cc v (3.6) (F ci.z ci ). Poznámka Součástí výpočtu by měla být i kontrola předpokládaného způsobu porušení. To bude aktuální pouze v případech, kdy omezení poměrného přetvoření ve výztuži je žádoucí a při slabším vyztužení viz kap. 3.1, stádium III. Při zjištění, že ε s (1)>ε u je nutno změnit předpoklad rozhodujícího porušení na porušení v důsledku dosažení mezního poměrného protažení v krajní vrstvě tažené výztuže => ε s (1)=ε u. S pomocí této hodnoty lze opět stanovit ostatní poměrná přetvoření (při ε c ε cu ) a výše uvedeným postupem prokázat spolehlivostní podmínku (3.6). Kontrolní otázky Charakterizujte základní podmínky rovnováhy. Charakterizujte geometricko-přetvárnou podmínku. - 16 (66) -

Prvky namáhané ohybovým momentem Popište obecný postup při stanovování mezní únosnosti. 3.2.3 Hraniční případy a jejich využití Z předcházejících kapitol je zřejmé, že při namáhaní ohýbaného železobetonového prvku mohou teoreticky vzniknout hraniční situace vyplývající především z hraničních přetvoření pro výztuž danými jejími pracovními diagramy. Bude se jednat o dosažení hodnot ε y a pokud to bude vhodné i ε u. Tyto hranice budou rozhodovat o způsobu porušení tlakové nebo tahové, který materiál o něm rozhodne a o velikosti napětí ve výztuži a tím i o možnostech zjednodušení výpočtu meze únosnosti. Je možné je vyjadřovat nejen pomocí hodnot poměrných přetvoření, ale i pomocí polohy neutrální osy od tlačeného okraje popř. i jinak. Pro vyjádření těchto hranic použijeme průřez obdélníkového tvaru vyztužený dvěma vrstvami výztuže v jeho tažené a dvěma vrstvami výztuže v jeho tlačené oblasti viz obr. 3.3. h h(1) h(u) h(d) b 4 3 2 1 lim x porušení výztuže A tahové porušení porušení ε betonu y ε u ε cu ε y B xbal,2 tlakové porušení xbal,1 Obr. 3.3 Hraniční případy průběhu poměrných přetvoření Pokud bude současně dosaženo v krajních tlačených vláknech betonu mezního stlačení ε cu a v libovolné vrstvě tažené výztuže ve vzdálenosti h(i) od tlačeného okraje (platí h(i)>x) protažení ε y, lze z geometricko-přetvárné podmínky (3.7) po zavedení ε cu a ε y vyjádřit hraniční vzdálenost neutrální osy od tlačeného okraje betonu ve tvaru x εcu = ξbal,1. h( i) =. h( ). (3.11) εcu + εy bal, 1 i Pokud bude platit, že x x bal,1, bude napětí v dané vrstvě a všech bližších k taženému okraji mít velikost odpovídající plastické větvi pracovního diagramu (při vodorovné větvi dosáhne vždy meze kluzu f y ). Pro ostatní taženou výztuž bude pro stanovení napětí určující pružná větev viz vztah (3.10). Hodnota x bal,1 stanovená pro nejbližší výztuž k neutrální ose (h(i)=h(u)) tedy zaručí, že ve veškeré tažené výztuži bude při vodorovné plastické větvi napětí σ s =f y. Při soustředěné výztuži u taženého okraje je možno již předem u běžného vyztužení předpokládat tuto podmínku za splněnou, což značně zjednoduší výpočet, protože ze silové podmínky rovnováhy (3.5) lze přímo určit sílu v tlačeném betonu. V tomto případě lze také jednoznačně rozhodnout o způsobu porušení: tahové (x x bal,1 ) nebo tlakové (x>x bal,1 ). Z obr. 3.3 je zřejmé, že konkrétní prů- - 17 (66) -

Prvky betonových konstrukcí Modul CM2 běh poměrných přetvoření odpovídající po výšce průřezu se dá získat otáčením přímky (roviny) přetvoření kolen bodu (osy) B. Podobným způsobem můžeme postupovat i pro tlačenou výztuž. Opět, ale pro h(i)<x, lze z geometricko-přetvárné podmínky (3.7) po zavedení ε cu a ε y vyjádřit hraniční polohu neutrální osy vztahem x εcu = ξbal,2. h( i) =. h( ). (3.12) εcu εy bal, 2 i Pokud bude platit, že x x bal,2, bude napětí v dané vrstvě a všech bližších k tlačenému okraji mít velikost odpovídající plastické větvi pracovního diagramu (při vodorovné větvi dosáhne vždy meze kluzu f y ). Pro ostatní tlačenou výztuž bude pro stanovení napětí určující pružná větev viz vztah (3.10). Hodnota x bal,2 stanovená pro nejbližší výztuž k neutrální ose (h(i)=h(d)) tedy zaručí, že ve veškeré tlačené výztuži bude při vodorovné plastické větvi napětí σ s =f y. U tlačené výztuže může dojít i k nevyužití výztuže nejbližší k tlačenému okraji. V tomto případě je nutno stanovit napětí pomocí vztahů (3.10) a (3.8) pro i=n: h( n) x σ s( n) = εcu. Es.. (3.13) x Méně typickým případem bude situace, kdy přetvoření tažené výztuže bude omezeno hodnotou ε u. Vzhledem k tomu, že prakticky bude rozhodovat vrstva výztuže nejbližší k taženému okraji, lze po dosazení do rovnice (3.7) získat další vymezující polohu neutrální osy ve tvaru x lim εcu = ξ lim. h(1) =. h(1). (3.14) εcu + εu Pokud bude platit, že x x lim, bude se jednat o případ tahového porušení při běžném vyztužení. V opačném případě, tj. když x<x lim, bude o porušení rozhodovat tažená výztuž (v krajních tlačených vláknech nebude dosaženo mezního stlačení ε cu ). Z obr. 3.3 je zřejmé, že tento případ získáme otáčením průběhu poměrných přetvoření kolem bodu A od výchozího stavu daného spojnicí bodů A a B. Kontrolní otázky Vyjmenujte hraniční polohy neutrální osy a charakterizujte jejich význam. Která hraniční poloha rozhoduje o tahovém či tlakovém porušení? Která hraniční poloha rozhoduje o velikosti napětí v tlačené výztuži? Která hraniční poloha může rozhodnout zda o porušení průřezu rozhodne tlačený beton nebo tažená výztuž? 3.2.4 Možnosti zjednodušení výpočtu mezní únosnosti U většiny praktických řešeních můžeme vystačit s různými předpoklady, které vyplývají z umístění výztuže. Jedná se o (viz obr. 3.4): výztuž je soustředěna v blízkosti taženého a tlačeného okraje průřezu, - 18 (66) -

Prvky namáhané ohybovým momentem případné zanedbání méně využité výztuže v blízkosti neutrální osy příliš neovlivní výsledek (je na straně bezpečné), u vícevrstvé výztuže lze případně uvažovat její soustředění do jejího těžiště, návrh výztuže většinou odpovídá tzv. běžnému vyztužení, u výztuže se uvažuje pracovní diagram s vodorovnou plastickou větví bez omezení poměrného přetvoření => σ s f y, v tažené výztuži je téměř vždy napětí rovnající se mezi kluzu => F s1 =A s1.σ s1 = A s1.f y, v tlačené výztuži (pokud je navržena) může být napětí menší než mez kluzu jeho hodnotu lze stanovit např. pomocí vztahů (3.7) a (3.10) => F s2 = A s2.σ s2, kde σ s2 f y, v tlačené oblasti betonu se uvažuje rovnoměrné rozdělení napětí o velikosti η.f c s výškou tlačeného betonu x c =λ.x viz kap. 3.2.1 => F cc = A cc.η.f c. h d 1 d d2 C g A cc A s2 A s1 x x c C s2 C cc C g C s1 zcc zs1 zs2 F s2 F cc F s1 zc zs Obr. 3.4 K předpokladům zjednodušené metody Obě základní podmínky rovnováhy lze z rovnic (3.5) a (3.6) upravit na F cc + F s2 = F s1 (3.15) M R = F cc.z cc + F s1.z s1 + F s2.z s2 = F cc.z c + F s2.z s M E. (3.16) S ohledem na skutečnost, že h(i)=d pro taženou výztuž a h(i)=d 2 pro tlačenou výztuž, je možné z geometricko-přetvárné podmínky po dosazení do vztahu (3.8) určit odpovídající poměrná přetvoření ve výztuži d x d 2 x ε s1 = εcu., ε s2 = εcu. (3.17) x x a pomocí vztahu (3.10) určit napětí ve výztuži σ s1 nebo σ s2 omezené hodnotou f y. Vztahy (3.17) lze také použít při porovnání s poměrným přetvořením ε y pro rozhodnutí o započitatelnosti příslušné výztuže a o rozhodnutí o jaké porušení se jedná. Toto lze provést i pomocí hodnoty vzdálenosti neutrální osy x od tlačeného okraje porovnáním s x bal,1 a x bal,2. Pro tyto hraniční hodnoty lze úpravou z (3.11) a (3.12) získat tyto vztahy x εcu εcu = ξbal,1. d = d, xbal, 2 = ξbal,2. d 2 =. d 2 ; (3.18) εcu + εy εcu εy bal,1. pro hodnoty ε cu = - 0,0035 a E s = 200000 MPa (pro běžné betony) je - 19 (66) -

Prvky betonových konstrukcí Modul CM2 x 700 700 = ξbal,1. d = d, xbal, 2 = ξbal,2. d 2 =. d 2. (3.19) 700 + εy 700 εy bal,1. Opět, pokud platí x x bal,1, je možné uvažovat napětí v tažené výztuži hodnotou f y - jedná se o tahové porušení. V opačném případě výztuž není využita - jedná se o tlakové porušení. U tlačené výztuže nemusí být relativně často podmínka x x bal,2 splněna. Proto je nutno stanovit napětí podle vztahu (3.13), z něhož po dosazení za h(n)=d 2 dostaneme d 2 x σ s2 = εcu. Es.. (3.20) x Neznámou polohu neutrální osy můžeme získat iteračním postupem a nebo přímo, pokud vztah (3.20) dosadíme přímo do silové podmínky rovnováhy (3.15), v němž vyjádříme plochu tlačeného betonu A cc pomocí x. Také v případě slabého vyztužení a při omezení poměrného přetvoření v tažené výztuži hodnotou ε u, lze vyjádřit hraniční případ, který rozhodne mezi porušením tažené výztuže a tlačeného betonu, ze vztahu (3.14) dosazením za h(1)=d takto x lim εcu = ξ lim. d =. d. (3.21) εcu + εu Opět bude platit, že při x x lim bude rozhodovat o porušení beton a naopak. Poznámka Hraničním případem může být také omezení výšky tlačené oblasti betonu v průřezech v místech plastických kloubů z důvodů provedení redistribuce vnějších sil v důsledku využívání plastického chování výztuže po dosažení meze kluzu. V ověření je však nutno uvažovat výšku tlačené oblasti při působení redistribuovaného momentu (označí se x u ). Podmínkou využití alespoň omezené redistribuce ohybových momentů při lineárně pružné analýze prvku je, že x u x max, kde x max je 0,45.d pro betony s pevností fck 50 MPa, resp. 0,35.d pro fck>50 MPa (při plastické analýze 0,25.d, resp. 0,15.d pro stejná vymezení pevností betonu). Podrobnosti a další podmínky pro použití redistribuce jsou uvedeny v modulu CM5. Kontrolní otázky Charakterizujte možná zjednodušení pro stanovení mezní únosnosti. Jak se projeví zjednodušující předpoklady v podmínkách rovnováhy a v geometricko-přetvárné podmínce? Jak se projeví zjednodušující předpoklady v hraničních podmínkách polohy neutrální osy? Jak lze stanovit napětí ve výztuži v tlačené oblasti? Jak se může projevit vliv redistribuce ohybových momentů na poloze neutrální osy? - 20 (66) -

Prvky namáhané ohybovým momentem 3.3 Stanovení mezní únosnosti pro vybrané typy průřezů Předpoklady a vztahy uvedené v předcházejících kapitolách lze aplikovat jednak na nejčastěji používané tvary průřezů a vyztužení a jednak i na průřezy obecné, které se v praxi tolik nevyskytují. 3.3.1 Obdélníkový průřez Obdélníkové průřezy patří mezi běžně a často se vyskytující případy. Jejich vyztužení může být obecně různé. Nejvíce jsou to průřezy s výztuží v tažené oblasti většinou soustředěné u taženého okraje v jedné, ve dvou nebo nejvíce ve třech vrstvách jednostranně vyztužený průřez. Někdy se však musí použít i výztuž v tlačené oblasti opět soustředěná u tlačeného okraje - oboustranně vyztužený průřez. V dalším textu budeme uvažovat výztuž vždy v jedné vrstvě u taženého a popř. u tlačeného okraje. V jiných případech lze výztuž soustředit u příslušného okraje do těžiště a nebo lépe postupovat obecně. 3.3.1.1 Jednostranně vyztužený obdélníkový průřez Při prokazování dostatečné únosnosti (posouzení prvku) nebo při návrhu množství výztuže popř. rozměrů průřezu budeme vycházet ze základních podmínek rovnováhy. Tyto lze z rovnic (3.15) a (3.16) po vyjmutí síly v tlačené výztuži a při z c = z upravit na F cc = F s1 (3.22) M R = F cc.z cc + F s1.z s1 = F cc.z = F s1.z M E. (3.23) Tlakovou sílu v betonu s ohledem na možný různý průběh napětí lze vyjádřit vztahem F cc = β.b.x.f c, (3.24) kde β je součinitel plnosti obrazce napětí závislý na uvažovaném průběhu napětí v tlačené oblasti - viz obr. 3.5. U rovnoměrného rozdělení napětí platí β=λ. A cc C cc x ε cu f c fc x c η. f c ac F cc h d C g zc d 1 C s1 A s1 b ε s1 F s1 Obr. 3.5 Jednostranně vyztužený obdélníkový průřez Sílu v tažené výztuži můžeme vyjádřit vztahem F s1 =A s1.σ s1, (3.25) - 21 (66) -

Prvky betonových konstrukcí Modul CM2 kde velikost σ s1 závisí na způsobu porušení při dosažení meze únosnosti. Silovou podmínku (3.22) můžeme potom pomocí (3.24) a (3.25) vyjádřit β.b.x.f c = A s1.σ s1 (3.26) a po stanovení vzdálenosti neutrální osy x od tlačeného okraje průřezu, působišť síly v tažené výztuži a v tlačeném betonu a ramene vnitřních sil z i momentovou podmínku (3.23) M R = A s1.σ s1.z = β.b.x.f c.z M E. (3.27) Při tahovém porušení (x x bal,1 ) dle předpokladů zjednodušené metody se uvažuje σ s1 = f y. Potom z (3.26) lze vyjádřit výšku tlačené oblasti (vzdálenost neutrální osy od tlačeného okraje) As1. fy x = (3.28) β. b. fc a následně rameno vnitřních sil z = d a c = d γ.x = ζ.d, (3.29) kde je d = h d 1 staticky účinná výška, a c vzdálenost působiště síly v tlačeném betonu od tlačeného okraje a kde γ=a c /x a ζ=z/d, a nakonec po dosazení do (3.23) návrhovou hodnotu momentu na mezi únosnosti včetně průkazu jeho dostatečné velikosti M R = A s1. f y.z M E nebo M R = β.b.x.f c.z M E. (3.30) Při často používaném rovnoměrném rozdělení napětí v tlačeném betonu se vztahy (3.26) se zavedením σ s1 = f y, (3.28), (3.29) a druhý vztah pro M R v (3.30) upraví na λ.b.x.η.f c =A s1.f y ; As fy x = 1. λ. b. η. f ; z=d 0,5.λ.x ; M R =λ.b.x.η.f c.z M E (3.31) c a pro betony běžných pevností (pro f ck 50 MPa) pro λ = 0,8 a η = 1 na 0,8.b.x.f c =A s1.f y ; As1. fy x = ; z=d 0,4.x ; M R =0,8.b.x.f c.z M E. (3.32) 0,8. b. fc Součástí výpočtu musí být i průkaz předpokladu napětí v tažené výztuži buď pomocí průkazu dostatečné velikosti poměrného přetvoření ε s1 ε y, kde ε s1 se určí podle vztahu (3.17) a nebo pomocí vzdálenosti neutrální osy od tlačeného okraje x x bal,1, kde x bal,1 se stanoví podle vztahu (3.18) nebo (3.19). Průkaz lze provést i pomocí poměrné hodnoty vzdálenosti neutrální osy ξ = x/d ξ bal,1 = x bal,1 /d apod. Polohu neutrální osy je nutno zprostředkovaně kontrolovat i s ohledem na dostatečnou přetvářnost (duktilitu) výztuže v místech plastických kloubů viz poznámka v kap. 3.2.4. Samozřejmostí je i ověření zda množství výztuže odpovídá požadavkům na železobeton. Poznámka Při omezení velikosti poměrného přetvoření ve výztuži hodnotou ε u by se výpočet při jejím dosažení stal složitějším nejen při použití pracovního diagramu se stoupající, ale i s vodorovnou plastickou větví. Problém by byl s průběhem napětí v tlačeném betonu, kde by se zřejmě muselo uvažovat parabolickorektangulární nebo bilineární rozdělení napětí, a tím i s určením výsledné síly - 22 (66) -

Prvky namáhané ohybovým momentem F cc a její polohy. S ohledem na malé rozdíly v hodnotách výsledného momentu na mezi únosnosti M R oproti případu neomezené hodnoty poměrného přetvoření ve výztuži není tento postup v praxi nutný. U tlakového porušení (x x bal,1 ) není v tažené výztuži dosaženo meze kluzu => σ s1 =ε s1.e s < f y. V tomto případě je možné určit polohu neutrální osy x např. iterací až do splnění silové podmínky rovnováhy (3.26) s přijatelnou přesností. Lze ji také určit s využitím geometricko-přetvárné podmínky při vyjádření ε s1 podle (3.17) a po jeho dosazení za σ s1 =ε s1.e s do silové podmínky rovnováhy (3.26). Řešením získáme pro neznámou polohu neutrální osy x kvadratickou rovnici. Její hodnota se pak dá vyjádřit ( 1+ (1 2. d / ) ) x = p. + p, (3.33) kde p = A s1.e s. ε cu / (2.β.b.f c ) resp. p = A s1.e s. ε cu / (2.λ.b.η.f c ). Při dosazení za ε cu = 0,0035, E s = 200000 MPa, λ = 0,8 a η = 1 je pak p = 350.A s1 / (0,8.b.f c ). Potom lze z (3.29) nebo (3.31) nebo (3.32) určit rameno vnitřních sil z a z (3.30) nebo (3.31) nebo (3.32) prokázat i momentovou podmínku pro M R. Poznámka Ohýbané průřezy s tlakovým porušením se nedoporučuje navrhovat, protože se mohou porušit bez předchozího varování (např. vznikem širších trhlin popř. většími průhyby). Při návrhu výztuže do obdélníkového průřezu se známými rozměry můžeme, po určení staticky účinné výšky průřezu a za předpokladu rovnoměrného napětí v tlačeném betonu a napětí v tažené výztuži rovnajícímu se mezi kluzu, určit její plochu z momentové podmínky rovnováhy. Při využití vztahů pro x, z a M R =M E z (3.32), lze určit potřebnou plochu výztuže z kvadratické rovnice ze vztahu b. d. fc 2ME As1, req =. 1 1 f. (3.34) 2 y c b. d. f Při odhadu ramene vnitřních sil z=(0,85 až 0,95).d lze potřebnou plochu výztuže určit přímo z momentové podmínky (3.30) ze vztahu ME As1, req =. (3.35) z. fy Pro návrh výztuže je možno využít i zpracované tabulky pro různé průběhy napětí v tlačeném betonu a v tažené výztuži (viz pracovní diagramy v modulu CM1). V nich se využívají nejen výše definované pomocné hodnoty ξ, ζ, β popř. γ, ale i geometrický stupeň vyztužení ρ, mechanický stupeň vyztužení ω a poměrný ohybový moment µ. Tyto lze vyjádřit z následujících vztahů 2 ρ = As 1 b. d ; ω = ρ.σs1 fc ; µ = ME ( b. d. fc). (3.36) V návrhu se nejdříve určí µ, následně pak např. pomocí ζ rameno vnitřních sil a podle (3.35) velikost potřebné plochy výztuže. V tabulkách můžeme odečíst i velikost ξ, a tím předběžně zkontrolovat výšku tlačené oblasti betonu. Podobně lze využít i hodnot ε s1 a ε cu k určení napjatosti ve výztuži a v betonu. Příklad tabulek je uveden např. v [1] nebo [2]. Tyto tabulky lze využít i při posouzení průřezu. - 23 (66) -

Prvky betonových konstrukcí Modul CM2 Poznámka Pokud nejsou známy rozměry obdélníkového průřezu, lze je určit např. pro vhodnou volbu stupně vyztužení ρ nebo poměrné hodnoty výšky tlačené oblasti betonu ξ buď z podmínek rovnováhy nebo pomocí tabulek. Kontrolní otázky Pro jednostranně vyztužený obdélníkový průřez definujte základní podmínky rovnováhy a jejich možnou úpravu. Jak se postupuje při stanovování únosnosti při tahovém porušení? V čem se liší postup při stanovování únosnosti při tlakovém porušení? Charakterizujte možné postupy při návrhu tažené výztuže. 3.3.1.2 Oboustranně vyztužený obdélníkový průřez U obdélníkových a jiných průřezů se běžně vyskytuje výztuž v tlačené oblasti. Většinou se však jedná o výztuž montážní, pomocnou či konstrukční. V některých případech je však nutné tuto výztuž navrhnout a uvážit při vlastním stanovení mezní únosnosti. Podmínkou je však její zabezpečení proti možnému vybočení dostatečným množstvím příčné výztuže (třmínků s předepsanou maximální vzdáleností mezi sebou jako u tlačených prvků). Užití tlačené výztuže (podrobněji viz [5] a [1]) zvětšuje při stejných rozměrech průřezu a při stejné velikosti plochy tažené výztuže A s1 hodnotu momentu únosnosti průřezu M R v důsledku zvětšených hodnot ramen vnitřních sil, může změnit způsob porušení z tlakového na tahové, což může vést nejen ke zvětšení únosnosti, ale i ke zvětšení přetvárnosti (duktility) před porušením, zvětšuje tuhost prvku a tím zmenšuje průhyby nosníku především v důsledku omezení vlivu dotvarování a smršťování betonu, nahrazuje konstrukční výztuž a pomáhá tím k vytvoření výztužné kostry nosníku (zvětšuje však pracnost s ohledem na větší množství výztuže a zhoršuje podmínky betonáže). Z předcházejících možností je zřejmé, že prvky s tlačenou výztuží se použijí v těch případech, pokud bude omezena výška průřezu a pokud při jednostranně vyztuženém průřezu bude vycházet, že poloha neutrální osy x x bal,1 (tlakové porušení). Při stanovování únosnosti lze podle obr. 3.6 vycházet z podmínek rovnováhy (3.15) a (3.16). Za předpokladu plného využití tažené i tlačené výztuže, tj. σ s1 = σ s2 = f y a při uvažování rovnoměrného rozdělení napětí v tlačeném betonu (F cc = λ.b.x.η.f c = 0,8.b.x.f c pro běžné betony), lze ze silové podmínky rovnováhy vyjádřit vzdálenost neutrální osy od tlačeného okraje ze vztahu x = ( As1 As2). fy ( As1 As2 λ. b. η. f c = ). f 0,8. b. fc y. (3.37) Po stanovení ramene vnitřních sil pro tlačený beton z c = d 0,5.λ.x = d 0,4.x a - 24 (66) -

Prvky namáhané ohybovým momentem h d 1 d d2 b A cc A s2 C g A s1 x ε s2 ε cu ε s1 x c f η. c ac zc zs F s2 F cc F s1 C g M E M R Obr. 3.6 Oboustranně vyztužený obdélníkový průřez pro tlačenou výztuž z s = d-d 2 i momentovou podmínku ve tvaru M R = A cc.f c.z c + A s2.f y.z s M E. (3.38) Někdy nemusí být tlačená výztuž plně využita (ε s2 <ε y ; σ s2 =ε s2.e s < f y ). Není tedy splněna podmínka plné započitatelnosti výztuže, což se dá vyjádřit i pomocí vzdálenosti neutrální osy => neplatí x x bal,2, kde x bal,2 se určí podle (3.18) resp. (3.19) nebo i pomocí porovnání vzdálenosti d 2 d 2,bal, kde d 2,bal se určí s geometricko-přetvárné podmínky: d εcu εy 700 fy bal =. x =. x = ( 1/ bal, 2). x. (3.39) εcu 700 2, ξ Napětí ve výztuži σ s2 lze potom vyjádřit např. pomocí vztahu (3.20). Neznámou polohu neutrální osy x pak získáme dosazením za σ s2 do silové podmínky rovnováhy při σ s1 =f y a při uvažování rovnoměrného rozdělení napětí v tlačeném betonu (F cc = λ.b.x.η.f c = 0,8.b.x.f c pro běžné betony). Řešením získáme z kvadratické rovnice neznámou polohu neutrální osy x ve tvaru 2 ( 1+ (1 q / p )) x = p. +, (3.40) kde p = (A s2.e s. ε cu -A s1.f y ) / (2.λ.b.η.f c ) a q = A s2.e s. ε cu.d 2 / (λ.b.η.f c ). Následně po stanovení velikosti σ s2 a ramen vnitřních sil z c a z s lze opět prokázat momentovou podmínku viz (3.38), jen místo f y se zavede σ s2 < f y. Za předpokladu, že tlačenou výztuž budeme chápat jako přídavnou výztuž, tj. zavedením F s = F s2, lze podmínky rovnováhy (3.15) a (3.16) upravit na F cc + F s = F s1 => F s0 + F s = F s1, (3.41) M R = M R0 + M R = F cc. z c + F s. z s = F s0. z c + F s. z s M E, (3.42) kde F s0 je síla ve výztuži při jednostranném vyztužení v tažené oblasti viz obr. 3.7. Tento způsob vyjádření podmínek rovnováhy lze uplatnit např. při návrhu tlačené výztuže. Můžeme totiž vycházet z jednostranně vyztuženého průřezu, který nemá dostatečnou únosnost i při výšce tlačené oblasti blížící se limitní hodnotě x bal,1, popř. limitní hodnotě s ohledem na provedenou redistribuci ohybových momentů x max. Pro tuto výšku můžeme ze silové podmínky (3.31) resp. (3.32) navrhnout potřebnou plochu tažené výztuže A s0 = λ.b.x.η.f c / f y = 0,8.b.x.f c / f y (3.43) - 25 (66) -

Prvky betonových konstrukcí Modul CM2 a po dosazení za F s0 = A s0. f y do (3.30), popř. (3.31) nebo (3.32) při z c = d- 0,5.λ.x = d 0,4.x i moment na mezi únosnosti M R0 = A s0. f y.z c = λ.b.x.η.f c.z c = 0,8.b.x.f c.z c. (3.44) A cc F cc F s A cc A s2 F s2 A s0 zc + A s A s zs = A s1 F cc zc zs F s0 F s F s1 Obr. 3.7 K návrhu tlačené výztuže Tuto únosnost M R0 můžeme zvětšit na M R podle vztahu (3.42). Potřebnou plochu přídavné tažené a tlačené výztuže získáme z tohoto vztahu při M R = M E : A s =(M E M R0 ) / (z s.f y ). (3.45) Celkovou plochu tažené výztuže potom můžeme navrhnout ve výši A s1 A s0 + A s a tlačené výztuže ve výši A s2 A s. Kontrolní otázky Definujte podmínky a význam užití tlačené výztuže u obdélníkového průřezu. Jak se projeví použití tlačené výztuže při stanovování mezní únosnosti obdélníkového průřezu? Vysvětlete možnou úpravu základních podmínek rovnováhy včetně jejího využití při návrhu tlačené výztuže. 3.3.2 Průřezy se spolupůsobící deskou V praxi se vyskytují stropní konstrukce, které jsou vytvořeny z trámů a obdobných prvků monoliticky spojených s deskou; jedná se o tzv. deskové trámy. Podle konstrukčního provedení a statického působení může tato deska být v tlačené nebo tažené oblasti prvku (u spojitého nosníku bude deska v horní poloze v poli tlačená a v blízkosti a nad podporami tažená, což odpovídá průběhu ohybových momentů). Pokud deska bude v tlačené oblasti, lze ji zahrnout v určité šířce do průřezu (bude spolupůsobit s trámem) mluvíme o tzv. T- průřezu viz obr. 3.8, třetí průřez. V opačném případě ji nelze zahrnout do průřezu řešíme jako obdélníkový průřez s tím, že do této desky je vhodné umístit část tažené výztuže. Jako nosníky se spolupůsobící deskou můžeme řešit i prvky jiných průřezů (otevřené, komůrkové nebo vylehčené), pokud jejich tlačená oblast může být ve tvaru obdélníka nebo v podstatě ve tvaru písmene T viz obr. 3.8. V těchto případech mluvíme o průřezech zobecněného tvaru T. S ohledem na to, že při stanovení únosnosti se s betonem namáhaným tahem nepočítá, může mít průřez v tažené oblasti téměř libovolný tvar. - 26 (66) -

Prvky namáhané ohybovým momentem U klasických stropních trámových stropů vyvstává otázka do jaké míry lze uvažovat spolupůsobení desky. Obecně platí, že velikost tlakového normálového napětí se s rostoucí vzdáleností od trámu zmenšuje viz obr. 3.8 a také se zakřivují trajektorie napětí a vznikají podélné smykové síly mezi deskou a trámem. Je také zřejmé, že rozdělení tlakového napětí je různé po délce nosníku, závisí na rozpětí, rozměrech a vzdálenosti trámů, výšce desky a výšce tlačené oblasti. b eff A s1 A s1 A s1 Obr. 3.8 Typy průřezů zobecněného tvaru T Při stanovování mezní únosnosti se běžně uvažuje rovnoměrné rozdělení tlakového normálového napětí v rozsahu tzv. náhradní nebo-li spolupůsobící šířky b eff. Její velikost podle [3] je uvedena v modulu CM5. Podmínkou pro využití spolupůsobení desky je také přítomnost výztuže v desce kolmo na trám pro zachycení smykového toku ve styku mezi deskou a trámem. Z hlediska velikosti mezní únosnosti jsou deskové trámy výhodnější než průřezy obdélníkové, protože tato je cca o 5 až 10 % větší v důsledku zvětšení ramene vnitřních sil (při stejné síle v tažené výztuži se sníží výška tlačeného betonu a tím se posune i působiště odpovídající síly směrem k tlačenému okraji). Při stanovování únosnosti mohou nastat dva základní případy buď je tlačená pouze deska, tj. výška tlačeného betonu x c h f, nebo tlačený beton zasahuje i do stojiny trámu, tj. platí x c > h f. O tvaru tlačené oblasti můžeme rozhodnout i pomocí ohybového momentu na mezi únosnosti M Rf, který odpovídá hraniční situaci, kdy x c = h f, tedy M Rf = b eff. h f. (d - 0,5. h f ). η. f c. (3.46) Pokud bude platit, že M E M Rf bude tlačená oblast pouze v desce. V opačném případě, tj. M E > M Rf, bude zasahovat i do stojiny trámu. První případ (x c h f ) se řeší stejným způsobem jako jednostranně vyztužený obdélníkový průřez (viz kap. 3.3.1.1), ale pro šířku b = b eff viz obr. 3.9. Druhý případ (x c > h f ; tlačená oblast má tvar písmene T), který může nastat při silnějším vyztužení taženou výztuží, můžeme řešit podle obecných zásad uvedených v kap. 3.2. Výhodné je rozdělení tlačeného betonu na dvě části první část zahrnuje desku mimo trám o šířce b eff - b w, tj. šířku obou přírub, druhá pak vlastní trám viz obr. 3.10. - 27 (66) -