INFINITESIMÁLNÍHO POČTU

POČÁTKY INFINITESIMÁLNÍHO POČTU společný název pro diferenciální a integrální počet pracuje s nekonečně malými veličinami

OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Egypt, 2. pol. 2. tisíciletí př. Kr. Obdélník základní tvar pole co je třeba zjistit: množství zasévaného obilí rozloha kvůli dani Ramses II. (1279 1213 př. Kr.) rozdělil půdu mezi Egypťany tak, že každý obdržel pole čtyřúhelníkového tvaru a stejného obsahu. Z jeho výnosu odváděl každoročně faraónovi daně. Jestliže někomu byla část pole odplavena při nilských záplavách, bylo jeho povinností oznámit to faraónovi, který poslal zeměměřiče, aby škodu zjistili a podle zbylé výměry i správně určili novou daň. (Hérodotos, 5. stol. př. Kr.)

Pruhová míra obsah pole = počet vyoraných pruhů x délka pruhu Další míry: čtvereční královský loket secat-johet = 10 000 čtverečních královských loktů (100 vyoraných pruhů)

Trojúhelník Obsah trojúhelníka = součin poloviny základny a výšky převod na rovnoplochý obdélník

Lichoběžník Obsah trojúhelníka = součin poloviny základny a výšky převod na rovnoplochý obdélník

Obecný čtyřúhelník Přibližný vzorec: Kruh

Kruh V dnešní symbolice pro kruh o průměru d: Slovní popis ( ) ( ) 2 2 S = d 1 d = 8 d = 64 d 9 9 81 Rhindův papyrus (1560 př. Kr.), příklad č. 50: Metoda výpočtu [obsahu] kruhové plochy Jaký je obsah plochy? Odečti 1/9 z toho, je to 1, zbytek je 8. Počítej s 8 osmkrát, vyjde 64. Toto je obsah v ploše: 64 secat-johet. Srovnání s naším vzorcem: 1 2 64 2 π d = d, tj. π = 264 = 3,1605. 4 81 81 2

( ) ( ) 2 2 S = d 1 d = 8 d = 64 d 9 9 81 2 Odhad obsahu kruhu: 2 2 18 68 = 256 = 16 čtverečků o straně 1 d 18 to odpovídá čtverci o straně ( ) 16 d = 8 d = d 1 d 18 9 9 (výklad odpovídá hojnému využívání čtvercové sítě při projektování egyptských staveb, soch, reliéfů, malířské výzdoby apod.)

Eudoxova exhaustivní metoda Eudoxos z Knidu (asi 408 355 př. n. l.) výrazný pokrok v určování obsahů a objemů metoda založená na následujícím tvrzení: Jsou-li dány dvě nestejné veličiny a od větší odečteme její část větší než její polovina a od zbytku opět jeho část větší než jeho polovina a budeme tak činit stále, zbude nějaká veličina, jež bude menší než libovolná kladná veličina. Obsah rovinného útvaru A: vepisování mnohoúhelníků, jejichž obsahy jsou známé, SP ( 1) < SP ( 2) < < SP ( n ), a platí: S( A) ( S( A) S( P)) S( A) S( A) S A S P < S A S P < < S A S P < 2 2 4 2 1 ( ) ( 1), ( ) ( 2),, ( ) ( n). n Eudoxos hledal číslo B, pro něž je B S( P n ) menší než libovolná kladná S A = B. veličina; sporem se pak snadno dokáže, že ( ) Původní Eudoxovy práce se nezachovaly, jeho metoda je rozpracována v Eukleidových Základech napsaných o několik desetiletí později. (např: obsahy kruhů jsou v témže poměru jako obsahy čtverců nad jejich průměry)

Bylo známo: Obsah kruhu je přímo úměrný druhé mocnině jeho poloměru: S = π r Obvod kruhu je přímo úměrný první mocnině jeho poloměru: O = 2π 2r Proč jsou obě konstanty shodné? 1 2

Bylo známo: Obsah kruhu je přímo úměrný druhé mocnině jeho poloměru: S = π r Obvod kruhu je přímo úměrný první mocnině jeho poloměru: O = 2π 2r Proč jsou obě konstanty shodné? Archimedes (asi 287 212 př. n. l.) spis Měření kruhu zachoval se zlomek obsahující tři pozoruhodné matematické věty; první z nich udává právě vztah mezi obvodem a obsahem kruhu: Obsah kruhu je roven obsahu pravoúhlého trojúhelníku, jehož délky odvěsen jsou rovny poloměru a obvodu kruhu. 1 2

Archimedes (asi 287 212 př. n. l.) spis Měření kruhu Obsah kruhu je roven obsahu pravoúhlého trojúhelníku, jehož délky odvěsen jsou rovny poloměru a obvodu kruhu. v dnešní symbolice: S = 1 O r 2 po dosazení: π r = 2 π r r, tj. π = π 2 2 1 1 2 1 2 Důkaz tvrzení, že platí S = T, exhaustivní metodou:

Vyčerpávání kruhu pravidelnými n-úhelníky: Obsah čtverce ABCD je roven ½ obsahu velkého čtverce a tudíž větší než ½ obsahu kruhu k.

> T. Uvažujme posloupnost vepsaných n-úhelníků pro n = 4,8,16,. Pro dostatečně Předpokládejme, že je S vysoké n se bude obsah S n lišit od S o méně než S T, tj S > Sn > T. Výšky trojúhelníků tvořících mnohoúhelníky jsou ale menší než r a součet délek jejich základen je menší než O, proto musí být Sn < T... spor Předpokládejme naopak, že je S < T. Analogicky: pro dostatečně vysoké n bude T > Sn > S, zároveň však Sn > T... spor

Zjednodušeně: daný kruh se rozdělí na n shodných výsečí, které se poskládají tak, jak ukazuje následující obrázek. S rostoucím n se bude vzniklý útvar přibližovat obdélníku o stranách r a O /2, jehož obsah je S = r O 1 2

Jan Kepler (1571 1630) Kruh si představil rozdělen na nekonečně malé výseče, které považoval za rovnoramenné trojúhelníky; kružnici tak rozvinul do úsečky AC o délce O, kde délka úsečky X Y je rovna délce úsečky XY: Tyto trojúhelníky je možné nahradit jinými se stejnými základnami a výškou tedy se stejným obsahem:

Archimedes (asi 287 212 př. n. l.) spis Kvadratura paraboly Obsah úseče paraboly: P... vrchol úseče (nejvzdálenější bod od AB) S( APB) = ½ S(A ABB ) > ½ S(APB) Vlastnosti paraboly S( AP 1 B) + S( AP 2 B) = ¼ S( APB) S(APB) = S( APB) x 4/3

OBJEMY A POVRCHY TĚLES Krychle, kvádr, hranol Dochované matematické texty ze starého Egypta obsahují několik úloh na výpočet objemu čtverhranných obilnic tvaru krychle; lze předpokládat, že stejným způsobem byli egyptští počtáři schopni počítat i objem kvádru. Mezopotámské tabulky obsahují úlohy, kde se hledá objem krychle, kvádru či několika kvádrů. Postup výpočtu lze v naší symbolice napsat obvyklým způsobem: V = a 3, resp. V = abc, kde a je délka hrany krychle, resp. a, b, c jsou délky hran kvádru. Mezopotámští počtáři rovněž počítali objem hranolu jako součin obsahu základny a výšky, dále objem klínu (i nepravidelného) a různých těles s lichoběžníkovými podstavami (koryto, hráz).

Válec Objem válce byl ve starém Egyptě i Mezopotámii počítán obvyklým způsobem jako součin obsahu základny a výšky, přičemž obsah kruhové základny byl počítán tak, jak jsme viděli výše. Formulace úloh byla i zde praktická hledal se například objem obilnice či studny kruhového průřezu. Jehlan Rhindův papyrus obsahuje několik úloh, v nichž je počítán například sklon stěny pyramidy o čtvercové základně, kde je známa délka strany základny a výška, či výška pyramidy s danou čtvercovou základnou a se známým sklonem stěny.

Jehlan Moskevský papyrus obsahuje velice zajímavou úlohu na výpočet objemu pravidelné komolé pyramidy, tedy pravidelného kolmého komolého jehlanu. Slovní popis řešení této úlohy můžeme v dnešní symbolice vyjádřit vzorcem, který je zcela správný: 2 2 ( ) V = h a + ab+ b 3, kde a je délka strany dolní čtvercové základny, b je délka strany horní čtvercové základny a h je výška pyramidy.

Možný postup: ( ) 2 V b h h b h 2 2 2 = + 4 1 a b + 4 1 a b = 1 a + ab+ b 3 2 2 2 3 2. didakticky názorné, z historického hlediska problematické: nemáme žádný doklad o tom, že by Egypťané používali matematickou symboliku a prováděli algebraické úpravy (i když někteří badatelé provádění alg. úprav připouštějí)

Jiné možné odvození: Uvažujme tři takovéto komolé jehlany, první ponechejme celý a druhé dva si představme rozložené na výše uvedená tělesa. K prvnímu komolému jehlanu přidejme čtyři trojboké hranoly (na obrázku modře) odebrané od druhého jehlanu a osm jehlanů odebraných od druhého a třetího jehlanu (na obrázku červeně).

Dohromady: hranol s podstavnou hranou a a výškou h

Z druhého komolého jehlanu zbude hranol s podstavnou hranou b a výškou h, 2 který má objem bh. Třetí komolý jehlan s odebranými rohy přeskládáme tak, že vznikne kvádr s délkami stran a, b, h: 2 2 Tato tři tělesa mají dohromady objem h ( a ab b ) jehlanu je proto + +, objem jednoho komolého 2 2 ( ) V = h a + ab+ b 3

Ve výše uvedených úvahách jsme využívali poznatek, že objem jehlanu (v tomto případě pravoúhlého) je roven jedné třetině hranolu se stejnou podstavou a výškou. Je pravděpodobné, že tento poznatek staří Egypťané znali ať již na základě měření či úvah o rozřezávání hranolu. Snadno si představíme, že krychli lze rozdělit na tři shodné jehlany:

U kvádru je to o něco složitější; nelze jej rozložit na tři shodné jehlany, je však možné jej rozdělit na tři pravoúhlé jehlany, které mají stejný objem (mezi délkami stran podstavy a výškou jsou vždy všechny tři hodnoty a, b, c). Podle dochovaných pramenů byl poznatek, že objem pyramidy závisí pouze na obsahu podstavy a na výšce, zformulován až ve starém Řecku. Vzhledem k tomu, že Egypťané měli s pyramidami mnoho zkušeností, snad mohla být v jejich možnostech i představa, že množství stavebního materiálu se nezmění, budou-li se po sobě jednotlivé stupně pyramidy posouvat:

Vzhledem k tomu, že Egypťané měli s pyramidami mnoho zkušeností, snad mohla být v jejich možnostech i představa, že množství stavebního materiálu se nezmění, budou-li se po sobě jednotlivé stupně pyramidy posouvat: Důkaz vzorce pro objem jehlanu se dochoval v 12. knize Eukleidových Základů napsaných kolem roku 300 př. n. l. Pomocí exhaustivní metody Eukleides nejprve dokázal, že dva jehlany se shodnými základnami a výškami mají stejný objem; v důsledku toho pak platí obdobné tvrzení pro jehlany o shodných mnohoúhelníkových základnách a výškách.

Eukleides, Základy: Libovolný trojboký hranol lze rozdělit na tři trojboké jehlany téhož objemu ABED je rovnoběžník, trojúhelníky ABE, EDA jsou proto shodné a leží v jedné rovině; jehlany s podstavami ABE, resp. EDA a vrcholem C mají proto stejný objem. Analogicky: že stejný objem mají i jehlany s podstavami ACD, resp. FDC a vrcholem E. Původní hranol jsme tak rozdělili na tři jehlany se shodným objemem: ACDE, ABEC, FDCE. Protože libovolný hranol s mnohoúhelníkovou podstavou lze rozložit na trojboké hranoly, platí i pro libovolný jehlan s mnohoúhelníkovou podstavou, že jeho objem je roven jedné třetině hranolu se stejnou podstavou a výškou.

Kužel Důkaz tvrzení, že objem kužele je roven jedné třetině objemu válce se stejnou podstavou a výškou, dokázal rovněž Eukleides v 12. knize Základů, a to opět exhaustivní metodou. Důkaz není příliš náročný, je však poněkud pracný. Vztah pro povrch pláště kužele odvodil ve svém spise O kouli a válci Archimedes. S využitím exhaustivní metody dokázal: Povrch pláště kužele o poloměru základny r a straně s je roven obsahu kruhu o poloměru rs.

Bonaventura Cavalieri (1598 1647) Geometria indivisibilius continuorum, 1635 určoval objem tělesa na základě porovnání plošných vrstviček, tzv. indivisibilií (nedělitelné), daného tělesa s obdobnými vrstvičkami v jiném tělese známého objemu. Své výsledky shrnul ve formulaci, kterou dnes nazýváme Cavalieriho principem: Když dvě tělesa mají stejnou výšku a když řezy rovinami, které jsou rovnoběžné s jejich podstavami a mají od nich stejnou vzdálenost, jsou takové, že poměr jejich obsahů je vždy stejný, potom objemy těles mají týž poměr.

V případě kužele s poloměrem podstavy r a výškou h stačí uvažovat jehlan se stejnou výškou a se čtvercovou podstavou o straně 1: Roviny, které jsou rovnoběžné s podstavami obou těles a jsou vedeny ve stejné výšce, protínají tato tělesa v kruhu, resp. čtverci, jejichž obsahy jsou v konstantním poměru π r 2 :1. Pro objemy těles pak podle Cavalieriho principu platí: V V kde V k je objem daného kužele a podstavou, který je roven k j Vj = πr, tedy V = πr V, 1 3 2 2 k j V j je objem uvedeného jehlanu s jednotkovou = h. Objem kužele je proto roven Vk 1 2 = π r h 3.

Koule Archimedes (asi 287 212 př. n. l.), spis O kouli a válci pomocí exhaustivní metody dokázal: Povrch koule je roven čtyřnásobku obsahu kruhu o stejném poloměru. Objem koule je roven čtyřnásobku objemu kužele, jehož poloměr základny i výška jsou rovny poloměru koule. konstanta π vystupující ve vzorcích pro výpočet obvodu a obsahu kruhu, se objevuje i ve vzorcích pro výpočet objemu a povrchu koule Jiná formulace: Povrch koule je roven dvěma třetinám povrchu opsaného válce, tj. povrchu pláště opsaného válce. Objem koule je roven dvěma třetinám objemu opsaného válce.

Uvedená tvrzení jsou pro žáky dobře zapamatovatelná a mohou jim proto sloužit k vybavení vzorců pro výpočet povrchu a objemu koule. Budeme-li totiž uvažovat kouli o poloměru r a jí opsaný válec, tedy válec o poloměru r a výšce 2r, pak 2 3 2 2 objem tohoto válce je π r 2r = 2π r a povrch 2π r 2r+ 2πr = 6πr ; podle zmíněných tvrzení tedy pro objem a povrch koule platí: 4 3 2 V = πr, S = 4 πr. 3 Důsledek: Objemy kužele o poloměru základny r a výšce 2r, koule o poloměru r a válce o poloměru r a výšce 2r jsou v poměru 1 : 2 : 3.

Jan Kepler (1571 1630) Předpis pro objem koule: Kouli o poloměru r si představil rozřezanou na nekonečně mnoho jehlanů s vrcholy ve středu koule, základnou na povrchu a výškou rovnou poloměru koule. Součet objemů těchto jehlanů: V=⅓ Ar 2 kde A = 4π r je povrch koule. Objem koule je tedy V = 4 3 π r. 3