3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ

Transkript

1 3 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Představa obsahu roviého obrazce byla pro lidi důležitá od pradávých dob ať již se jedalo o velikost a přeměu polí či apříklad rozměry základů obydlí Úlohy a výpočet obsahu základích geometrických útvarů v roviě jsou obsažey v ejstarších dochovaých písemých památkách Praktickou motivaci vziku geometrie ilustruje vyprávěí ejstaršího řeckého dějepisce Hérodota (5 stol př l) o tom, jak faraó Ramses II rozdělil půdu mezi Egypťay tak, že každý obdržel pole čtyřúhelíkového tvaru a stejého obsahu Z jeho výosu odváděl každoročě faraóovi daě Jestliže ěkomu byla část pole odplavea při ilských záplavách, bylo jeho poviostí ozámit to faraóovi, který poslal zeměměřiče, aby škodu zjistili a podle zbylé výměry i správě určili ovou daň Následující obrázek pochází z Džeserkareseebovy hrobky v západích Thébách z doby dyastie (543 9 př l) a zachycuje vyměřováí pole Je a ěm vyobraze písař opírající se o hodostářskou hůl, doprovázeý mladým učedíkem, jak dohlíží a dva asistety provádějící pomocí silého laa potřebá měřeí Obr 3 Obdélík Egyptské papyry a mezopotámské hliěé tabulky z druhé poloviy druhého tisíciletí před aším letopočtem dokládají, že obsah obdélíka byl určová obvyklým způsobem jako souči délek jeho stra (ozačovaých jako délka a šířka) Podívejme se apříklad do starého Egypta Obdélík zde byl základím tvarem pole Odvozeí vzorce pro jeho obsah mohlo vycházet z tzv pruhové míry, která byla založea a pruhu zoraé půdy o délce 00 loktů a šířce loket; obsah tohoto pruhu se ozačoval jako pozemí loket (meh) viz obrázek 3 Počet těchto vyoraých pruhů vyásobeý délkou pruhu poskytoval poměrě přesý odhad třeba pro staoveí možství zasévaého obilí

2 Obr 3 Trojúhelík Obsah trojúhelíka byl ve starém Egyptě určová jako souči poloviy základy a výšky; řečeo dešími slovy, trojúhelík se převáděl a rovoplochý obdélík: Obr 33 Trojúhelík byl většiou rovorameý; eí zcela jisté, zda údaj, který chápeme jako výšku, ebyl v egyptských textech ve skutečosti délkou jedé ze stra trojúhelíka pak by byl vzorec samozřejmě je přibližý Lichoběžík Obsah lichoběžíka se určoval rověž převedeím a rovoplochý obdélík; postup pro výpočet odpovídá dešímu vzorci, kde se ásobí aritmetický průměr základe a výška lichoběžík: Obr 34

3 Obecý čtyřúhelík Obsah obecého čtyřúhelíka Egypťaé počítali podle přibližého vzorce Obr 35 Kruh Výpočet obsahu kruhu používaý ve starém Egyptě odpovídá vzorci, který bychom v deší symbolice pro kruh o průměru d apsali takto: S d d d 64 d 9 9 Sloví popis tohoto postupu je obsaže v příkladu č 50 v Rhidově papyru, který je adepsaý Metoda výpočtu [obsahu] kruhové plochy Jaký je obsah plochy? Odečti /9 z toho, je to, zbytek je Počítej s osmkrát, vyjde 64 Toto je obsah v ploše: 64 secat-johet Srováme-li předpis odpovídající egyptskému postupu s aším vzorcem pro výpočet obsahu kruhu, dostaeme egyptskou hodotu čísla : 64 d d, tj 64 3,605 4 Jede z moha způsobů, jimiž mohli Egypťaé k tomuto výsledku dospět, lze popsat ásledujícím způsobem Daému kruhu opišme čtverec a te rozdělme a stejých čtverečků V každém rohu opsaého čtverce odeberme čtverec obsahující 3 3 čtverečky a dva sousedí čtverce obsahující čtverečky Obsah kruhu aproximujme obsahem takto vytvořeého útvaru viz ásledující obrázek 3

4 Obr 36 Celkem jsme odebrali 6 čtverečků (v každém rohu 9 4 ), obsah kruhu jsme tak odhadli čtverečky o straě, což odpovídá čtverci o straě d 6 d d d d 9 9 Popsaý způsob odpovídá hojému využíváí čtvercové sítě při projektováí egyptských staveb, soch, reliéfů, malířské výzdoby apod Ve staré Mezopotámii byl pro výpočet obsahu kruhu používá algoritmus, který lze v deší symbolice vyjádřit pomocí vzorce, kde O je obvod kruhu Teto vztah by odpovídal hodotě 3 však byl použit i odhad S O, kterou získáme sadým dosazeím: 3 r r 4 Na ěkterých tabulkách Obr 37 4

5 Eudoxova exhaustiví metoda Výrazý pokrok v oblasti určováí obsahů a objemů umožila tzv exhaustiví (vyčerpávací) metoda vypracovaá řeckým matematikem Eudoxem z Kidu (asi př l) Tato metoda byla založea a ásledujícím tvrzeí: Jsou-li dáy dvě estejé veličiy a od větší odečteme její část větší ež její polovia a od zbytku opět jeho část větší ež jeho polovia a budeme tak čiit stále, zbude ějaká veličia, jež bude meší ež libovolá kladá veličia Díky tomuto tvrzeí lze apříklad obsah roviého útvaru A získat pomocí vepisováí mohoúhelíků, jejichž obsahy jsou zámé, tvoří mootóí posloupost P, P,, P S P S P S P ( ) ( ) ( ) a platí pro ě erovosti: S( A) ( S( A) S( P )) S( A) S( A) S A S P S A S P S A S P 4 ( ) ( ), ( ) ( ),, ( ) ( ) Podle výše uvedeého tvrzeí je při dostatečě vysokém rozdíl libovolá kladá veličia (des bychom apsali takové číslo B, pro ěž je rozdíl sado dokáže, že S( A) B B S( P ) S( A) lim S( P ) S( A) S( P ) meší ež ) Eudoxos tedy hledal meší ež libovolá kladá veličia; sporem se pak Původí Eudoxovy práce se ezachovaly, jeho metoda je však podrobě rozpracováa v Eukleidových Základech apsaých o ěkolik desetiletí později Kromě dalších tvrzeí souvisejících s objemy těles, o kterých se zmííme později, Eukleides apříklad pomocí exhaustiví metody odvodil, že obsahy kruhů jsou v témže poměru jako obsahy čtverců sestrojeých ad jejich průměry Důkaz lze poěkud zjedodušeě popsat ásledujícím způsobem Do daých kruhů k, k o průměrech d, d vepišme čtverce ABCD, EFGH Obsahy těchto čtverců jsou ve stejém poměru jako druhé mociy průměrů d, d : d S( ABCD) S( EFGH ) d ' Obr 3 5

6 Již dříve Eukleides dokázal, že stejý vztah platí pro libovolou dvojici podobých mohoúhelíků vepsaých do daých kruhů k, k Protože v dalším budeme uvažovat je pravidelé mohoúhelíky, vystačíme si s jedoduchou úvahou o obsahu libovolého pravidelého -úhelíka Libovolý pravidelý -úhelík vepsaý do kruhu k o poloměru r lze rozdělit a shodých trojúhelíků s vrcholem ve středu kruhu, kde a = r si α, v = r cos α, α = 360 Obr 39 Obsah každého takového trojúhelíka je pro obsah -úhelíka proto platí: S r si cos r si S r si d si Pro libovolou dvojici -úhelíků vepsaých do kruhů k, k je tedy poměr jejich obsahů rove S S d Nyí se vraťme zpět k původímu obrázku Obsah čtverce P4 ABCD je rove jedé poloviě obsahu čtverce opsaého kruhu k, je proto větší ež polovia obsahu tohoto kruhu; ze stejého důvodu je také obsah čtverce větší ež polovia obsahu kruhu k Dále vepišme do obou kruhů pravidelé osmiúhelíky rozděleím příslušých oblouků a poloviy Obsah trojúhelíka AOB je rove poloviě obsahu obdélíka opsaého kruhové úseči AOB, je proto větší ež jeda polovia obsahu této úseče; obsah osmiúhelíka je 4 6 d' P EFGH P P EKFLGMHN AOBPCQDR tedy větší ež ¾ obsahu kruhu k Podobě obsah osmiúhelíka je větší ež ¾ obsahu kruhu k Tímto způsobem můžeme pokračovat libovolě dlouho: do kruhů můžeme vepsat pravidelé šestáctiúhelíky, dvaatřicetiúhelíky atd Pro jejich obsahy bude stále platit týž poměr:

7 SP ( ) S( P ) S( P ) S( P ) d S( P ) S( P ) S( P ) S( P ) d ' Zároveň budou tyto mohoúhelíky postupě vyčerpávat kruhy k, k Podle Eudoxovy věty platí, že zbývající části kruhů lze libovolě zmešit; sporem lze ukázat, že poměr obsahů kruhů k, k emůže být ai větší ai meší ež výše uvedeá hodota, proto d Sk ( ) S( k) d ' Des, kdy již máme k dispozici pojem limity, bychom řekli, že obsah kruhu je limitou příslušé poslouposti obsahů vepisovaých -úhelíků, a okamžitě bychom tak dostali příslušou rovost Z výsledku je patré, že obsah kruhu je přímo úměrý druhé mociě jeho poloměru, tj pro ějakou kostatu S r Podobě bylo zámo, že obvod kruhu je přímo úměrý prví mociě jeho poloměru, tj pro ějakou kostatu To, že jsou obě kostaty shodé, dokázal až Archimedes (asi 7 př l) ve svém spise Měřeí kruhu, z ěhož se zachoval zlomek obsahující tři pozoruhodé matematické věty; prví z ich udává právě vztah mezi obvodem a obsahem kruhu: O r Obsah kruhu je rove obsahu pravoúhlého trojúhelíku, jehož délky odvěse jsou rovy poloměru a obvodu kruhu V deší symbolice lze uvedeé tvrzeí vyjádřit vzorcem S O r, kde r je poloměr daého kruhu, O jeho obvod a S jeho obsah Po dosazeí dostáváme r r r, tj ; Obr 30 ve vzorci pro výpočet obsahu a obvodu kruhu proto figuruje stejá kostata, kterou jsme des zvyklí ozačovat symbolem Ozačme písmeem T obsah příslušého pravoúhlého trojúhelíka Důkaz tvrzeí, že platí rovost S T, provedl Archimedes exhaustiví metodou; základí myšleku lze astíit takto Předpokládejme, že je S T Uvažujme posloupost obsahů vepsaých -úhelíků pro tedy 4,,6, Pro dostatečě vysoké se bude obsah S lišit od S o méě ež S T, bude S S T Hodota S je však součtem obsahů trojúhelíků, jejichž výšky jsou meší S 7

8 ež r a součet délek jejich základe je meší ež O, proto musí být tedy vede ke sporu S T ; předpoklad S T Obr 3 Dále aopak předpokládejme, že je S T, a uvažujme posloupost obsahů -úhelíků pro 4,,6, Pro dostatečě vysoké se bude obsah lišit od S o méě ež T S, bude tedy T S S Hodota S S S opsaých je však součtem obsahů trojúhelíků, jejichž výšky jsou rovy r a součet délek jejich základe je meší ež O, proto musí být tedy rověž vede ke sporu Platí proto S T S T S T ; předpoklad Archimedův důkaz lze zjedodušeě prezetovat tak, že se daý kruh rozdělí a shodých výsečí, které se poskládají tak, jak ukazuje ásledující obrázek S rostoucím se bude vziklý útvar přibližovat obdélíku o straách r a O /, jehož obsah je S r O Obr 3 Podobou z dešího pohledu e zcela přesou úvahu provedl Ja Kepler (57 630) v 7 století Kruh si představil rozděle a ekoečě malé výseče, které považoval za rovorameé trojúhelíky; kružici tak rozviul do úsečky AC o délce O, kde délka úsečky X Y je rova délce úsečky XY: Obr 33

9 Tyto trojúhelíky je možé ahradit jiými se stejými základami a výškou tedy se stejým obsahem; pouze vrchol je vždy posuut do středu kružice, takže tyto trojúhelíky dohromady vyplňují pravoúhlý trojúhelík ABS odvěsami délek O a r: Obr 34 Dodejme, že Archimedes ve svém spise Měřeí kruhu rověž uvedl odhad pro poměr obvodu O a průměru d libovolého kruhu; protože des poměr začíme symbolem, můžeme teto výsledek apsat ve tvaru Vzhledem k tomu, že 7 3, O/ d a avíc se s tímto zlomkem dobře počítá, bývala a ve škole dosud bývá tato hodota používáa jako vhodá přibližá hodota čísla Výpočtem obvodů vepsaých a opsaých -úhelíků pro odvodil i přesější odhad: ,,,96 Archimedes 9