II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal

Základy navrhování průmyslových experimentů DOE II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal!

Testování statistických hypotéz

kvalitativní odezva kvantitativní chí-kvadrát test homogenity, kontingenční tabulka ano ano normální ne spojitá ne GLIM, K-W regrese, t-test, ANOVA regrese, Wilcoxon Kruskal-Wallis Friedman

Vícefaktoriální návrhy experimentů Kontingenční tabulka odezva má kvalitativní charakter: může nabývat r hodnot jeden kvalitativní faktor: může nabývat s hodnot, u nichž nemá smysl uspořádání provádíme N > r.s pozorování a sledujeme četnosti nij výsledky zapisujeme do tabulky o s řádcích a r sloupcích Testování v kontingenční tabulce: test hypotézy o nezávislosti znaků (test homogenity) test symetrie Test nezávislosti: testová statistika = Σ(pozorované - očekávané) očekávané označme: nij absolutní četnost v řádku i a sloupci j napozorovaná v experimentu mij očekávaná četnost v řádku i a sloupci j za platnosti hypotézy m ij = R is j N, kde Ri = součet četností v řádku i Sj = součet četností ve sloupci j Omezení: očekávané četnosti musejí být větší než 5! = rx sx (n ij m ij ) i=1 j=1 m ij testová statistika má chí-kvadrát rozdělení o (r-1)x(s-1) stupňů volnosti

Vícefaktoriální návrhy experimentů Kontingenční tabulka odezva má kvalitativní charakter: může nabývat r hodnot jeden kvalitativní faktor: může nabývat s hodnot, u nichž nemá smysl uspořádání provádíme N > r.s pozorování a sledujeme četnosti nij výsledky zapisujeme do tabulky o s řádcích a r sloupcích Příklad: Ovlivňuje barva očí Rh faktor? Provedeme 400 pozorování, jejichž výsledky jsou v tabulce napravo: Za předpokladu nezávislosti by (podle marginálních součtů) mělo platit: Chceme testovat hypotézu o tom, že barva očí neovlivňuje Rh faktor: => Na hladině významnosti 5% nebyla prokázána závislost mezi barvou očí a Rh faktorem.

Vícefaktoriální návrhy experimentů Kontingenční tabulka Příklad : Ovlivňuje složení krmiva schopnost otelení krav? odezva má kvalitativní charakter: dojde k otelení (ano) nebo nedojde (ne) dva kvantitativní faktory, každý na dvou úrovních: krmení s vysokým nebo nízkým obsahem energie nebo proteinů. To vytvoří celkem 4 kombinace = 4 řádky tabulky. Celkem bylo sledováno n = 100 zvířat. kombinace ano ne vysoká energie a vysoký protein 81 19 vysoká energie a nízký protein 88 1 nízká energie a vysoký protein 75 5 nízká energie a nízký protein 43 57 Pro celou tabulku: testová statistika má df = 3.1=3 (stupně volnosti) = 58, 549, 0,01(3) = 11, 3 Sloučíme-li řádky 1 + (vysoká energie) a 3 + 4 (nízká energie), dostaneme tabulku x s df = 1 a testovou statistiku (efekt energie) en = 3, 080, 0,01(1) = 6, 63 Sloučíme-li řádky 1 + 3 (vysoký protein) a + 4 (nízký protein), dostaneme tabulku x s df = 1 a testovou statistiku (efekt proteinu) prot =7, 709, 0,01(1) = 6, 63 Odečteme-li hodnoty chí-kvadrát energie a proteinu od celkového chí-kvadrátu, dostaneme efekt interakce en.prot = 18, 760.

Vícefaktoriální návrhy experimentů Kontingenční tabulka Test symetrie: hypotéza: n ij N = n ji N testová statistika = rx i=1 ix j=1 (n ij n ji ) n ij + n ji má chí-kvadrát rozdělení o r(r-1) stupňů volnosti Příklad: Dědí syn barvu očí otce? Bylo provedeno 1000 pozorování, jejichž výsledky jsou v tabulce napravo. Barva očí je zakódována: 1=sv.modrá, =modrozelená 3=tm.šedá nebo sv.hnědá, 4=tm.hnědá Dosazením do testové statistiky dostaneme hodnotu Kritická hodnota pro 6 stupňů volnosti a pro α=5% je barva očí otce = 19, 56 6(0, 05) = 1, 59 barva očí syna 1 3 4 1 194 70 41 30 335 83 14 41 36 84 3 5 34 55 3 137 4 56 36 43 109 4 358 64 180 198 1000 => Na hladině významnosti 5% nebyla prokázána shoda barvy očí otce a syna.

Vícefaktoriální návrhy experimentů Regresní model experimentu odezva má kvantitativní charakter: může nabývat hodnot z podintervalu reálné přímky lineární model regresní závislosti: Y = b0 + b1 X1 + b X + + bk Xk + ε Máme n pozorování: Y = (Y1, Y,, Yn) vektor pozorování odezvy X = (Xij), i =1,..,n, j =0,1,..,k matice (nx(k+1)) pozorování k faktorů β = (β0, β1,,βk) vektor (k+1) neznámých parametrů ε = (ε1,, εn) vektor náhodných odchylek (náhodná složka) obecný lineární model: Y = Xβ + ε Předpoklady lineárního modelu: 1) E(ε) = 0 => střední hodnota E(εi)=0 pro všechna i = 1,, n => E(Y) = Xβ ) rozptyl Var(εi)=σ je konstantní (nezávisí na i ) = homoskedaticita 3) Cov(εiεj)=0 pro všechna i j = 1,,, n => D(ε) = σ I = D(Y) 4) Matice X je nenáhodná 5) Hodnost matice X je k+1 6) náhodné veličiny εi mají normální rozdělení Pokud je některý z těchto předpokladů porušen, jedná se o zobecněný lineární model (GLM)

Vícefaktoriální návrhy experimentů Regresní model experimentu odhad parametrů metodou nejmenších čtverců: (X X)b = X Y => b = (X X) -1 X Y Platí: E(b) = β, D(b) = σ (X X) -1 lineární model pro jeden faktor: Y = X 0 X = 0 1 0 1 Y 1 1 X 1 @... A X = @...... A = Y n 1 X n P P n P xi xi x i X 0 Y = a b P P Yi xi Y i = Y = a + bx + ε 0 1 1 @... A n Ȳ = 1 n X Yi, x = 1 n X xi b 1 = P xi Y i n xȳ P x i n x, b 0 = Ȳ b 1 x s = P P P Y i b 0 Yi b 1 xi Y i n T 1 = b q 1 X Pro test hypotézy H0: x β1 = 0 použijeme testovou statistiku i n x s, která má t-rozdělení o (n-) stupních volnosti. s 1 (x x) Pro dané x je interval spolehlivosti predikce Y: b 0 + b 1 x ± t n ( )s + P n x i n x

Vícefaktoriální návrhy experimentů Regresní model experimentu odhad parametrů metodou nejmenších čtverců: (X X)b = X Y => b = (X X) -1 X Y Platí: E(b) = β, D(b) = σ (X X) -1 lineární model pro jeden faktor: Y = a + bx + ε

Vícefaktoriální návrhy experimentů Regresní model experimentu lineární model pro dva faktory: 0 1 0 1 Y 1 1 X 1 Z 1 X 1 Z 1 Y = @... X = @............ A Y n 1 X n Z n X n Z n 0 P P P 1 P n P xi P zi P xi z i X 0 X = B xi x i xi z i x P P P P i z i @ zi xi z i z P P P i xi zi xi z i x i z i xi zi P x i zi Y = a + bx + cz + dxz + ε 0 1 a 0 A = Bb C = @ @ ca d C A X0 Y = 1... n 1 A 0 P P Yi B P xi Y i @ P zi Y i xi z i Y i 1 C A

Srovnání dvou souborů dat Dvě nezávislá měření X : X 1,X,...,X n Y : Y 1,Y,...,Y m X s N(µ X, X) Y s N(µ Y, oba parametry v obou případech známe# známe střední hodnoty a neznáme rozptyly# známe rozptyly a neznáme střední hodnoty# žádný z parametrů neznáme Odhady středních hodnot: X = 1 n Odhady rozptylů: s X = 1 n 1 nx i=1 X i X (X X), s Y = 1 n 1 Y ) Ȳ = 1 m nx i=1 Y i X (Y Ȳ )

Srovnání dvou souborů dat Dvě nezávislá měření X : X 1,X,...,X n Y : Y 1,Y,...,Y m X s N(µ X, X) Y s N(µ Y, Y ) test shody rozptylů# test shody středních hodnot při stejných rozptylech# test shody středních hodnot při nestejných rozptylech Dvě závislá měření X : X 1,X,...,X n Y : Y 1,Y,..., Y n párová pozorování párový test shody středních hodnot

Srovnání rozptylů dvou nezávislých měření Liší se statisticky významně dvě nezávislá měření z hlediska velikosti rozptylu? Lze považovat rozptyl dvou nezávislých měření za shodný při dané hladině významnosti? nulová hypotéza :# alternativní hypotéza:# H 0 : H A : X = X 6= Y Y F-test testová statistika :# hladina významnosti: F = s X s Y Fisherovo-Snedecorovo rozdělení F(n-1, m-1) H0 nezamítneme, když pro dané bude# # F / (n 1,m 1) <F <F / (n 1,m 1)

Srovnání středních hodnot dvou nezávislých souborů dat - dvouvýběrový t-test Liší se statisticky významně dvě nezávislá měření z hlediska jejich střední hodnoty? Lze považovat střední hodnoty dvou nezávislých měření za shodné při dané hladině významnosti? Lze od sebe statisticky významně odlišit dvě nezávislá měření podle jejich jejich střední hodnoty? nulová hypotéza :# H 0 : µ X = µ Y alternativní hypotéza: testová statistika :# hladina významnosti: H A : µ X 6= µ Y T = X Ȳ s X Ȳ (oboustranná)#

Srovnání středních hodnot dvou nezávislých souborů dat - dvouvýběrový t-test nulová hypotéza :# alternativní hypotéza: testová statistika :# hladina významnosti: H 0 : µ X = µ Y H A : µ X 6= µ Y T = X Ȳ s X Ȳ (oboustranná)# pokud X = Y pokud X 6= Y dvouvýběrový t-test# se stejnými rozptyly dvouvýběrový t-test # s nestejnými rozptyly

Srovnání středních hodnot dvou nezávislých souborů dat - dvouvýběrový t-test pokud X = Y = ) s X Ȳ = s X + s Ȳ = s X n + s Y m = s 1 n + 1 m = s m + n n.m dále odhadneme s ze všech naměřených hodnot: s 1 X n mx = (X i X) + (Y i Ȳ ) = n + m i=1 i=1 1 (n 1)s X +(m 1)s Y tedy: n + m s X Ȳ = n + m nm(n + m ) (n 1)s X +(m 1)s Y

Srovnání středních hodnot dvou nezávislých souborů dat - dvouvýběrový t-test pokud X = Y = Testová statistika bude mít tvar: T = X p Ȳ (n 1)s X +(m 1)s Y r nm(n + m ) n + m ta má t-rozdělení (Studentovo rozdělení) pravděpodobnosti o (n+m-) stupních volnosti. H0 nezamítneme, když pro dané bude# T t (n + m ) kde t (n + m ) je (oboustranná) -kritická hodnota t-rozdělení o (n+m-) stupních volnosti.

Srovnání středních hodnot dvou nezávislých souborů dat - dvouvýběrový t-test Y pokud X 6= : Testová statistika bude mít tvar: X T = q Ȳ 1 n s X + 1 m s Y a má rozdělení, které je směsí t-rozdělení o (n-1) a (m-1) stupních volnosti. H0 nezamítneme, když pro dané bude splněna nerovnost T At (n 1) + Bt (m 1), kde A a B jsou váhy, A+B=1. A = 1 n s X 1 n s X + 1 m s Y, B = 1 m s Y 1 n s X + 1 m s Y

Srovnání párových souborů dat - párový t-test pozorování stejné veličiny před a po nějakém zásahu# měření stejných obektů za různých podmínek# měření stejné veličiny ve dvou různých časech#... X : X 1,X,...,X n X s N(µ X, Y : Y 1,Y,..., Y n Y s N(µ Y, X) Y ) ) Z 1 = X 1 Y 1, Z = X Y,..., Z n = X n Y n, Z s N(µ X µ Y, Z) H 0 : µ X = µ Y H A : µ X 6= µ Y H 0 : µ Z =0 H A : µ Z 6=0

Srovnání párových souborů dat - párový t-test H 0 : µ Z = a H A : µ Z 6= a T = Z s Z ap n T má t-rozdělení (Studentovo rozdělení) pravděpodobnosti o (n-1) stupních volnosti. H0 nezamítneme, když pro dané bude# T t (n 1) kde t (n 1) je (oboustranná) -kritická hodnota t-rozdělení o (n-1) stupních volnosti.

Jednostranné testy dolní nebo horní jednostranná alternativa : H 0 : µ X = µ Y H A : µ X <µ Y H 0 : µ X = µ Y H A : µ X >µ Y H0 nezamítneme, když pro dané bude buď# T< t (n 1) nebo# T>t (n 1) kde t (n 1) je (jednostranná) -kritická hodnota t-rozdělení o (n-1) stupních volnosti. oboustranná -kritická hodnota je (1 /)-kvantil# t 1 / (n 1) jednostranná -kritická hodnota je (1 ) -kvantil t 1 (n 1)

Příklady: Lze považovat délky tyčí od dvou různých dodavatelů za shodné na hladině významnosti 5%? Byly měřeny odchylky délky ocelových tyčí od požadované hodnoty 4m od dvou dodavatelů. Odchylky jsou uvedeny v cm. Dodavatel X: > x [1] 0.41379418 0.510407 3.87973 7.31995568 4.53994434-1.074681 [7] 4.74575978.5501407 3.058685-1.17401554-1.4119500 4.1894690 [13] 0.65486399-0.18908709-0.73101186 1.7876451 1.6734875.78570344 [19].96834139 1.14570 1.80851440-0.80356569.573479 3.455806 [5] 1.66904559 -.117995 4.1769670.1519153 3.6707736 0.0690011 [31] 0.51371315 0.5498337 4.09554316 1.846589 4.05350899 5.10504379 [37] 4.558057 0.798635-1.00469 1.8799786 0.14051938 3.056839 [43] 4.7478001 4.54794140-6.5413331 1.9449658 1.95488616 4.7367571 [49] 4.8308378.9583070.99769818-1.07337799 0.58403864.73050678 [55] 0.80130 10.49771713.3687096 0.6068970 8.4679434 1.9763889 [61] 1.3189734 1.9330073 5.9597773 1.49746935 6.3071756 3.1558551 [67] 5.3884907 3.73441 3.4148356-0.40437473 3.1935014-4.0661001 [73] - 1.0576331-0.3974896 0.86637433.0108109-1.06445976 1.1037563 [79] 4.518359-0.7575877-0.87173075 -.1993463 7.70167909 1.48655986 [85] 4.90757730 5.5165338-0.34615559 0.01031344 4.5758354 1.17516968 [91] - 0.193558-1.784877.97655676 1.44863955 3.67881403 0.3086849 [97] -.505309 0.0548743 0.0778483-1.1975005 3.9958518 0.7904560 [103] 3.73159608 7.36490361 6.40646375-1.548149-0.65100869 4.04305846 [109].47766853-3.48957597 6.0840771 0.4056048 0.49118447-1.4877951 [115] - 1.3675030 5.16138353 1.15383008.7586404 4.70183189 -.9877355

Příklady: Lze považovat délky tyčí od dvou různých dodavatelů za shodné na hladině významnosti 5%? Byly měřeny odchylky délky ocelových tyčí od požadované hodnoty 4m od dvou dodavatelů. Odchylky jsou uvedeny v cm. Dodavatel Y: > y [1] 6.65956934.78876119 0.3339760-0.03763918 0.74993937 3.81490677 [7] 1.7048804-3.3191341-0.97370 4.01475 5.939834 3.30506070 [13] - 3.6177063 0.78809415 0.37976841 1.535730 1.7630055 1.0307864 [19] -.7409376.7705578-0.5596771-0.7995335-1.9956795 7.14183490 [5] 6.5619569 -.39785588 -.30807391-1.0088455 -.6040839 -.76088135 [31] 1.8187716 0.1466979 4.178331 -.1318430 3.69196005 -.69614367 [37] -.6801480 3.709577 1.7370947-0.7058081 0.07337669.1706330 [43].749594 5.04390706 1.319033 4.7349163-0.67638087.6444944 [49].7876961 -.10997705 4.60471-3.5066144 1.756480 -.0708305 [55] - 4.5977960-1.71953774.90307934 1.38358058 3.433903-1.68000430 [61] 7.55683608 6.3574310 -.60318964 3.4511198 0.9739033.611398 [67] 0.83831831 0.0788888.94060.6835687 0.07483911 3.3814384 [73] - 0.59180508 9.070979-1.7708114 4.77997853-0.8391867 6.6383807 [79] 1.50674691 3.5716693 5.70351834 5.80174051 3.61099316.19937 [85] - 1.4610337-0.97135778 1.54849399 4.3457358-1.6488646.449410 [91].68469434 1.64707956 5.4987517 1.01640668 4.4309977.3430799 [97] - 1.74337571 6.4345833.9413743-1.01569579

Příklady: Lze považovat délky tyčí od dvou různých dodavatelů za shodné na hladině významnosti 5%? Byly měřeny odchylky délky ocelových tyčí od požadované hodnoty 4m od dvou dodavatelů. Odchylky jsou uvedeny v cm. 1) Vizualizace dat: Box&Whiskers diagram

Příklady: Lze považovat délky tyčí od dvou různých dodavatelů za shodné na hladině významnosti 5%? Byly měřeny odchylky délky ocelových tyčí od požadované hodnoty 4m od dvou dodavatelů. Odchylky jsou uvedeny v cm. ) Srovnání rozptylů: F-test > var.test(x,y) # F test to compare two variances # data: x and y F = 0.871, num df = 119, denom df = 99, p- value = 0.4701 alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1 95 percent confidence interval: 0.5943383 1.684711 sample estimates: ratio of variances 0.8711758 => nulovou hypotézu nezamítáme, rozptyly se statisticky významně neliší

Příklady: Lze považovat délky tyčí od dvou různých dodavatelů za shodné na hladině významnosti 5%? Byly měřeny odchylky délky ocelových tyčí od požadované hodnoty 4m od dvou dodavatelů. Odchylky jsou uvedeny v cm. 3) Srovnání středních hodnot: dvouvýběrový t-test se shodnými rozptyly > t.test(x,y, var.equal=t) # Two Sample t- test # data: x and y t = 1.0375, df = 18, p- value = 0.3007 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: - 0.3598731 1.1598308 sample estimates: mean of x mean of y 1.884360 1.484381 => nulovou hypotézu nezamítáme, střední hodnoty se statisticky významně neliší

Příklady: Byla měřena rychlost reakce operátorů před a po speciálním cvičení v sekundách. Mělo cvičení statisticky významný vliv na rychlost? 1) Data: > pred_cvicenim [1] 1.666378 7.3789 15.01706 13.616913 10.97071 5.464451 [7] 9.999636 15.693764 13.771444 17.065310 6.940708 15.860749 [13] 18.019348 6.36531 0.647763 3.005369 14.619170 0.787108 [19] 14.385 9.674337 14.763170 9.613791 9.7736 9.1469 [5] 1.46960 16.0018 15.466065 13.691879 9.03113 10.55839 [31] 18.58896 14.99416 14.7569 10.57984 10.758363 8.89499 [37] 13.5099 1.994734 14.775563 9.818535 18.08089 8.438143 [43] 8.8819 11.09039 15.174881 7.704479 8.91774 10.75903 [49] 11.488700 16.57150 18.8948 13.5445 9.309845 13.71358 [55] 1.904993 8.951567 9.041688 10.305 14.13607 9.89 [61] 15.08694 14.67659 15.8709 11.38905 7.71605 14.30763 [67] 14.647653 18.705963 13.66501 8.05347 13.157791 14.336731 [73] 9.548584 1.5605 11.87645 1.41549 1.944160 17.637175 [79] 9.8543 17.877400 15.89081 9.893356 7.791175 11.901961 [85] 15.60536 13.464186 1.4519 16.09066 8.90793 16.333859 [91] 13.554146 19.586575 11.76500 9.98169 5.35750 0.168371 [97] 1.485393 14.349888 14.1989 7.31501 16.78790 10.998550 [103] 10.377856 13.531181 1.58939 11.34606 1.99800 8.498104 [109] 14.19563 15.37914 11.698431 1.99311 11.3474 1.551867 [115] 10.436798 14.43060 18.83696 14.83848 14.450987 10.87968

Příklady: Byla měřena rychlost reakce operátorů před a po speciálním cvičení v sekundách. Mělo cvičení statisticky významný vliv na rychlost? 1) Data: > po_cviceni [1] 14.889379 8.6761 9.867455 13.141168 9.491 8.490774 [7] 10.1790 10.74403 14.669450 14.43944 10.86905 13.95151 [13] 14.693401 9.44956 16.45888 16.39689 13.65474 14.704994 [19] 1.718107 10.395385 8.75676 6.96151 1.688497 10.57834 [5] 14.94064 13.76303 8.4734 15.60553 11.968936 9.89784 [31] 14.78805 14.773378 11.73336 11.719464 11.84407 1.914485 [37] 13.91805 13.7867 1.586791 9.0608 15.817188 11.197137 [43] 8.974410 10.8394 1.89400 10.483861 11.119684 9.9568 [49] 9.778551 1.06084 13.44997 15.481139 9.470557 11.14340 [55] 10.79391 9.786869 8.547580 8.188947 1.53635 10.86473 [61] 10.547040 13.774638 14.861969 11.180668 9.790466 1.469556 [67] 11.837173 13.80717 11.47610 9.850563 10.440890 11.015557 [73] 1.54767 1.041457 9.639740 11.368657 11.431948 15.449064 [79] 9.11005 15.15478 13.43380 11.807514 9.6399 1.7576 [85] 10.6853 10.84474 13.389953 10.077884 9.185360 13.697777 [91] 10.116078 13.036067 14.41094 1.175099 7.83501 16.7785 [97] 10.967441 10.89966 11.66889 9.34067 15.39018 13.33701 [103] 9.98631 14.378075 10.94935 11.44830 11.836161 13.397990 [109] 13.744963 14.083459 10.668370 9.13969 14.71661 15.173684 [115] 10.493444 14.308470 15.95041 13.748886 14.074436 1.61138

Příklady: Byla měřena rychlost reakce operátorů před a po speciálním cvičení v sekundách. Mělo cvičení statisticky významný vliv na rychlost? ) Grafické zobrazení

Příklady: Byla měřena rychlost reakce operátorů před a po speciálním cvičení v sekundách. Mělo cvičení statisticky významný vliv na rychlost? 3) Rozdíly: > rozdil = pred_cvicenim - po_cviceni > rozdil [1] -.300091-1.304883 5.154504 0.47574455 1.7159009-3.06391 [7] - 0.1765415 4.96936015-0.89800534.8136665-3.88619753 1.909796 [13] 3.3594695-3.1303070 4.187531 6.6168030 1.35369637 6.081141 [19] 1.5011877-0.7104757 6.00689379.656941 -.96117094-1.4304984 [5] 6.9589576.43709534 6.99374083-1.91337370 -.9368345 0.66110855 [31] 3.4706919 0.1903888.9993383-1.139667-1.06604474-4.0018585 [37] 0.1049440-0.7813376.1887731 0.6159708.39090099 -.75899399 [43] - 0.69159043 0.6644963.88548193 -.7793840 -.019465 0.31908043 [49] 1.71014906 4.51006508 5.4445554-1.9369131-0.160716.56985696 [55].1117009-0.83530141 0.49410786.0333578 1.60343767-1.64018405 [61] 4.66165463 0.8530053 0.45180 0.0838398 -.07441380 1.83807585 [67].8104801 4.8854631.18908100-1.85158.7169016 3.3117337 [73] -.99908758 0.48114855.367117 0.8789130 1.51115.18811115 [79] 0.74417071.751909.4587873-1.9141581-1.8411463-0.8380048 [85] 4.9768389.63971186-0.93803104 6.017476-0.774844.63608163 [91] 3.43806805 6.55050838 -.64707408 -.19340734 -.50945055 3.89054571 [97] 1.5179503 3.45698.5993961 -.055470 1.3959055 -.3515191 [103] 0.449574-0.84689404 1.3340037-0.105811 1.16185938-4.89988604 [109] 0.4509949 1.8945495 1.03006049 3.78961854-3.48414755 6.3781858 [115] - 0.0566464 0.1179055 3.5415530 1.08954167 0.37655117-1.3814560

Příklady: Byla měřena rychlost reakce operátorů před a po speciálním cvičení v sekundách. Mělo cvičení statisticky významný vliv na rychlost? 4) Párový t-test: > t.test(rozdil, mu=0) # One Sample t- test # data: rozdil t = 4.0391, df = 119, p- value = 9.54e- 05 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: 0.5089508 1.4878397 sample estimates: mean of x 0.998395 => nulovou hypotézu zamítáme, cvičení mělo vliv a rychlost reakce se statisticky # významně zvýšila