R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)



Podobné dokumenty
DRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI 1 HODINA

L I C H O B Ž N Í K (2 HODINY) ? Co to vlastn lichobžník je? Podívej se napíklad na následující obrázky:

M N O Ž I N Y B O D D A N É V L A S T N O S T I V R O V I N 3 HODINY

= = 25

O P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY

T R O J Ú H E L N Í K U. 1 hodina

2 HODINY. - jedná se o další velmi dležitou množinu bod urité vlastnosti. P: Narýsuj si kružnici k se stedem S a polomrem 6 cm.

Definice : Jsou li povrchové pímky kolmé k rovin, vzniká kolmá kruhová válcová plocha a pomocí roviny také kolmý kruhový válec.

( ) ( ) 2 2 B A B A ( ) ( ) ( ) B A B A B A

4. EZY NA KUŽELÍCH 4.1. KUŽELOVÁ PLOCHA, KUŽEL

EU PENÍZE ŠKOLÁM Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost

2 HODINY. ? Na kolik trojúhelník Ti úhlopíka rozdlí AC lichobžník ABCD? Na dva trojúhelníky ABC, ACD

TYÚHELNÍKY 1 HODINA. Lomená ára: je to skupina úseek, kde koncový bod jedné úseky je poátením bodem druhé úseky

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Základní geometrické tvary

Tematický plán uiva z matematiky pro 6. roník na školní rok

EU PENÍZE ŠKOLÁM Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Tematický plán uiva z matematiky pro 6. roník na školní rok

! " # $ % # & ' ( ) * + ), -

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

p ACD = 90, AC = 7,5 cm, CD = 12,5 cm

Seznam pomůcek na hodinu technického kreslení

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Tematický plán uiva z matematiky pro 7. roník na školní rok

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30

O B V O D A O B S A H L I C H O B Ž N Í K U 2 HODINY

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

názvy. Všechny uvedené důkazy jsou původní, často však pro svoji jednoduchost jsou jinde uvedeny ve velmi podobném znění.

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

Dlitel, násobek Znak dlitelnosti Prvoíslo, íslo složené, rozklad na prvoinitele Nejvtší spolený dlitel, nejmenší spolený násobek

64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/

2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.

PLANIMETRIE úvodní pojmy

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles

Úlohy krajského kola kategorie C

GEODETICKÉ VÝPOČTY I.

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST

Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek

Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek

2.1 Pokyny k otev eným úlohám. 2.2 Pokyny k uzav eným úlohám. Testový sešit neotvírejte, po kejte na pokyn!

9.5. Kolmost přímek a rovin

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

MATEMATIKA. Problémy a úlohy, v nichž podrobujeme geometrický objekt nějaké transformaci

Úlohy krajského kola kategorie A

Po etní geometrie. Výpo et délky p epony: c 2 = a 2 + b 2 Výpo et délky odv sny: a 2 = c 2 b 2, b 2 = c 2 a 2

Obrázek 101: Podobné útvary

5 Pappova věta a její důsledky

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

9. Planimetrie 1 bod

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku.

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

2. EZY NA JEHLANECH. Píklad 47 : Sestrojte ez pravidelného tybokého jehlanu ABCDV rovinou.

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

3.2.3 Podobnost trojúhelníků I

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, Vysoké Mýto

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006

Syntetická geometrie II

GEOMETRIE. Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

2.1 Pokyny k otev eným úlohám. 2.2 Pokyny k uzav eným úlohám. Testový sešit neotvírejte, po kejte na pokyn!

6. Úhel a jeho vlastnosti

Přípravný kurz - Matematika

M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty

L I C H O B Ž N Í K V P R A K T I C K Ý C H Ú L O H Á C H

n =5, potom hledejte obecný vztah. 4.5 Mnohoúhelníky PŘÍKLAD 4.2. Kolik úhlopříček má n úhelník? Vyřešte nejprve pro Obrázek 28: Tangram

Návody k domácí části I. kola kategorie B

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

SPECIFIKACE POŽADAVK PRO JEDNOTNOU PIJÍMACÍ ZKOUŠKU V PIJÍMACÍM ÍZENÍ NA STEDNÍ ŠKOLY V OBORECH VZDLÁNÍ S MATURITNÍ ZKOUŠKOU MATEMATIKA

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

Příprava na pololetní písemnou práci 9. ročník

2. Která z trojice úseček může a která nemůže být stranami trojúhelníku. a) b)

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

RNDr. Zdeněk Horák IX.

Pr niky ploch a t les

Digitální učební materiál

Úlohy krajského kola kategorie C

VY_32_INOVACE_04_Shodnost trojúhelníků -věta sss_02. Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace

3.2.3 Podobnost trojúhelníků I

Zlatý řez nejen v matematice

9. Kombinatorika, pravd podobnost a statistika

Píklad : Kolik procent základu : a) jsou jeho 4 5 ; b) je 0,7 celku ( základu ); c) je 1 1 4

MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí

Návody k domácí části I. kola kategorie A

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

P L A N I M E T R I E

Transkript:

R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)? Co to vlastn rovnobžník je? Na obrázku je dopravní znaka, která íká, že vzdálenost k železninímu pejezdu je 1 m (dva pruhy, jeden pruh pedstavuje vzdálenost 80 m): Pozorn si prohlédni ervené tyúhelníky uvnit dopravní znaky nebo ern oznaený železniní pejezd. Pokus se odpovdt na otázky:? Co mžeš íci o protjších stranách tyúhelníku? Jsou rovnobžné? Co mžeš íci o délkách protjších stran tyúhelníku? Jsou shodné Zapamatuj si: Rovnobžník je tyúhelník, jehož každé dv protjší strany jsou rovnobžné a shodné Úkol: Sestroj si rovnobžník dle následujícího postupu: 1. Narýsuj si libovolný trojúhelník ABD 2. Sestroj sted S strany BD 3. S( S) : A C - ve stedové soumrnosti se stedem S sestroj bod C jako obraz bodu A 4. Mením ov, zda jsi dostal rovnobžník ABCD

? Zm si úhlomrem velikosti úhl 1 ; 1. Co jsi zjistil? Oba úhly jsou shodné ( 1 = 1 )? Jakou dvojici úhl tvoí úhly 1 ; 1? Jsou to úhly stídavé? Zm si úhlomrem velikosti úhl 2 ; 2. Co jsi zjistil? Oba úhly jsou shodné ( 2 = 2 )? Jakou dvojici úhl tvoí úhly 2 ; 2? Jsou to úhly stídavé? Co platí pro velikosti vnitních úhl pi vrcholech A, C? Jsou shodné, protože 1 1; 2 2; 1 2 1 2? Ov si podobn, zda platí rovnost mezi vnitními úhly pi vrcholech B, D? Zapamatuj si: Každé dva protjší vnitní úhly rovnobžníku jsou shodné Úkol: Uri souet velikostí všech vnitních úhl rovnobžníku Nartni si libovolný rovnobžník ABCD a vyzna v nm jednu úhlopíku (nap. AC):

? Co platí pro souet velikostí vnitních úhl v trojúhelníku ACD? Je roven 180 ( 2 1 180)? Co platí pro souet velikostí vnitních úhl v trojúhelníku ABC? Je roven 180 ( 1 2 180 )? Jaký je souet vnitních úhl rovnobžníku ABCD? Je roven ( 180180 ) 1 2 1 2 Zapamatuj si: Souet velikostí všech vnitních úhl rovnobžníku je Úkol: Uri velikosti dvou sousedních vnitních úhl rovnobžníku ABCD

? Co platí pro velikosti úhl a? Jsou shodné, protože to jsou úhly souhlasné ( = )? Co platí pro velikosti úhl a? Jsou to úhly vedlejší, jejich souet je tedy 180 ( + = 180 )? Co nakonec platí pro souet velikosti dvou sousedních vnitních úhl a? Jejich souet je vždy 180, protože z pedchozích otázek plyne: 180 Zapamatuj si: Souet velikostí sousedních úhl rovnobžníku je 180 Úkol: Narýsuj si libovolný rovnobžník ABCD a vyzna v nm ob úhlopíky AC a BD (viz obr. vetn vnitních úhl) Odpovídej na otázky týkající se trojúhelník ASD a BSC::? Co platí pro délky stran AD a BD? Jsou shodné, jsou to rovnobžné strany rovnobžníku ABCD? Co platí pro velikosti vnitních úhl 2 a 2 trojúhelník ASD a BSC? Jsou shodné, protože se jedná o úhly stídavé? Co platí pro velikosti vnitních úhl 1 a 1 trojúhelník ASD a BSC? Jsou shodné, protože se jedná o úhly stídavé? Co mžeš íci o trojúhelnících ASD a BSC? Jsou shodné podle vty sus (oba se shodují v jedné stran a dvou úhlech ke stran pilehlých)? Co tedy platí pro strany AS a CS, respektive pro strany BS a DS trojúhelník ASD a BSC? Jsou shodné, platí tedy: AS SC ; BS SD

Zapamatuj si: Úhlopíky v rovnobžníku se navzájem plí (bod S je stedem obou úhlopíek) Výšky rovnobžníku Úkol: Uri vzdálenost dvou rovnobžek, na kterých leží protjší strany rovnobžníku Nejkratší vzdálenost dvou rovnobžek je kolmice vedená z jedné rovnobžky na druhou. Na obrázku jsou vyznaené tyi kolmice: v v a b v v a b výška rovnobžníku na stranu a (c) výška rovnobžníku na stranu b (d) Zapamatuj si: Výška rovnobžníku udává vzdálenost rovnobžek, na kterých leží jeho protjší strany. Existuje nekonen mnoho výšek na stranu rovnobžníku, všechny jsou navzájem rovnobžné a stejn dlouhé.

S H R N U T Í Vlastnosti rovnobžníku 1. Každé dv protjší strany rovnobžníku jsou rovnobžné AB // CD AD // BC 2. Protjší strany rovnobžníku mají stejnou délku AB CD BC AD 3. Protjší úhly rovnobžníku mají stejnou velikost 4. Souet velikostí všech vnitních úhl rovnobžníku je 5. Souet velikostí dvou sousedních vnitních úhl rovnobžníku je 180 180 6. Úhlopíky rovnobžníku se navzájem plí v bod S, který se nazývá prseík úhlopíek AS SC BS 7. Rovnobžník je stedov soumrný útvar se stedem soumrnosti S (ve stedové soumrnosti se stedem S se rovnobžník zobrazí sám na sebe) SD

Píklad 1: Na obrázku je vyznaen rovnobžník ABCD. Odpovídej ANO NE na níže položené otázky:? Strana AD je stranou rovnobžníku? Ano, stejn jako zbývající strany AB, BC a CD? Strana DB je stranou rovnobžníku? Ne, je to úhlopíka rovnobžníku? Strany AD a CD jsou sousedními stranami rovnobžníku? Ano, stejn jako strany AB a BC; BC a CD; DA a AB? Souet velikostí dvou protjších úhl je 180? Ne vždy, ale napíklad u tverce nebo obdélníku Ano. Náš obrázek však ukazuje pípad, kdy tomu tak není ( je urit menší než 180 )? Dva sousední úhly mají vždy stejnou velikost? Ne vždy, ale napíklad u tverce a obdélníku Ano. V našem obrázku tomu však není, protože nap. sousední úhly ( ostrý) a ( tupý) mají rznou velikost? Dva protjší vnitní úhly jsou v rovnobžníku shodné? Ano, je to jedna ze základních vlastností rovnobžník? Úhlopíky rovnobžníku se na vzájemn plí? Ano, je to jedna ze základních vlastností rovnobžník? Sousední strany rovnobžníku jsou rovnobžné? Ne, protjší strany rovnobžníku jsou navzájem kolmé, sousední musí být vždy rznobžné. Píklad 2: Je dán tyúhelník ABCD a bod S, který je prseíkem úhlopíek rovnobžníku. Zjistte, zda je daný tyúhelník rovnobžník, je-li dáno: a) AB 6cm; BC 4cm; CD 4cm; DA 6cm b) AB 0,05m; BC 0,5dm; CD 5cm; DA 50mm c) AB 10cm; BC 150mm; CD 0,1m ; DA 15dm d) AS 7cm; BS 5cm; CS 7cm; DS 5cm e) AS 8cm; BS 6cm; CS 9cm; DS 7cm f ) AS 7cm; AC 12cm; DS 4cm; DB 8cm

Rovnobžník je tyúhelník, jehož protjší strany (AB a CD; BC a AD) jsou rovnobžné a mají stejnou délku. Proto musí platit: AB CD ; BC AD a) AB CD ; BC AD nejedná se o rovnobžník b) AB BC CD DA jedná se o rovnobžník( tverec) c) AB CD 10cm; BC AD 15cm jedná se o rovnobžník Úhlopíky rovnobžníku se navzájem plí v bod S (prseík úhlopíek). Musí tedy platit: AS SC ; BS SD d) AS SC ; BS SD e) AS SC ; BS SD jedná se o rovnobžník nejedná se o rovnobžník f) Aby se jednalo o úhlopíku rovnobžníku, musí platit: AS SC ; AS SC AC. V našem pípad tomu však není protože pokud což se neshoduje se zadáním AS 7 cm SC, pak AS SC 14cm, AC 12cm. Nejedná se tedy o rovnobžník. Píklad 3: Vypoítejte všechny vnitní úhly rovnobžníku ABCD, je-li dáno: a) a) b) 8522 Opt uplatníme vlastnosti vnitních úhl rovnobžníku: 1. Protjší vnitní úhly ležící na úhlopíce mají stejnou velikost:

2. Souet sousedních vnitních úhl je 180. Pro velikost vnitních úhl ; tedy platí: 180 Na závr si ovíme, že jsme poítali správn: 180 120 120 120 Velikosti vnitních úhl rovnobžníku jsou 120; b) Již bez komentáe provedeme výpoty zbývajících vnitních úhl rovnobžníku: 8522 180 179 8522 9438 8522 Velikosti vnitních úhl rovnobžníku jsou 8522 ; 9438 Píklad 4: Vypoítejte velikosti vnitních úhl rovnobžníku ABCD, víte-li, že velikost jednoho vnitního úhlu je o vtší než velikost druhého vnitního úhlu. Protože v rovnobžníku jsou vnitní úhly ležící na úhlopíce shodné, je jeden ze dvou sousedních úhl o vtší.

4 120 4 240 240 4 / -120 / : 4 Vnitní úhly pi vrcholech A, C mají velikost, vnitní úhly pi vrcholech B, D mají velikost 120. Souet všech vnitních úhl je 120 120, což jer jedna z vlastností rovnobžníku. Píklad 5: Jedna strana rovnobžníku má délku 5 cm. Mohou mít úhlopíky rovnobžníku velikost 6 cm a 16 cm? Nartneme si rovnobžník ABCD a opt využijeme vlastnosti úhlopíek navzájem se plí:

? Podívej se nyní na trojúhelník BSC. Co o nm mžeš íci? Trojúhelník BSC (ale i DSA) nelze sestrojit, protože není splnna jedna z trojúhelníkových nerovností (5 + 3 není vtší než 8). Úhlopíky rovnobžníku se stranou velikosti 5 cm nemohou mít délky 16 cm a 6 cm. C V I E N Í Nejprve si zkus sám spoítat dané úkoly, poté si své výsledky, popípad ešení zkontroluj s mým, které je uvedeno za zadáním cviení. Hodn zdaru! Úloha 1: Na obrázku je vyznaen rovnobžník ABCD.

Vyhledej a uri: a) Strany sousední se stranou a b) Stranu protjší ke stran b c) Dvojice shodných vnitních úhl d) Dvojice úhl, jejichž souet je 180 e) Úhly sousedící s úhlem f) Všechny dvojice sousedních stran g) Všechny dvojice sousedních vnitních úhl h) Všechny úhlopíky rovnobžníku Úloha 2: Je dán tyúhelník ABCD a bod S, který je prseíkem úhlopíek rovnobžníku. Zjistte, zda je daný tyúhelník rovnobžník, je-li dáno: a) AB b) AS BC 10cm; CD SC ; BS SD c) AB 1,7 dm; BC 15mm; CD 17cm; DA 0,15dm d) 50; 100; 50; 100 e) 70; 110; 70; 110 f ) 120; 120; ; g) AS 7,5cm; AC 14cm; BS 5cm; BD 10cm h) CS 4,5cm; CA 9cm; DS DA 8cm SB 5cm Úloha 3: Vypoítejte všechny vnitní úhly rovnobžníku ABCD, je-li dáno: a) 65; 115 b) 72 c) 4515 d) 8244 Úloha 4: Urete velikost úhlu v rovnobžníku ABCD, je-li dáno: a) 9654 b) 11445 c) 12535, kde kde vedlejší úhel k úhlu Úloha 5: Vypotte velikosti vnitních úhl rovnobžníku ABCD, je-li dán následující obrázek:

Úloha 6: Vypotte velikosti vnitních úhl rovnobžníku ABCD, je-li dán následující obrázek: Úloha 7: Vypoítejte velikosti vnitních úhl rovnobžníku ABCD, víte-li, že velikost jednoho vnitního úhlu je o 45 menší než velikost druhého vnitního úhlu. Úloha 8: Vypoítejte velikosti vnitních úhl rovnobžníku ABCD, víte-li, že velikost jednoho vnitního úhlu je 3krát vtší než velikost druhého vnitního úhlu. Úloha 9: Jedna ze stran rovnobžníku má velikost 10 cm. Mohou mít úhlopíky tohoto rovnobžníku velikosti: a)14cm;12 cm b)7cm;13 cm Úloha 10: Vypotte velikosti vnitních úhl rovnobžníku ABCD na obrázku:

EŠENÍ ÚLOH, NÁPOVDA K ÚLOHÁM Úloha 1: Doplníme si oznaení stran rovnobžníku a zakreslíme úhlopíky s prseíkem S a) b; d b) d c) dvojice shodných úhl jsou, a, d) dvojice úhl, ;, ;, ; ; e) ; f) a, b ; b, c ; c, d ; a, d g), ;, ;, ; ; h) AC, BD

Úloha 2: a) Ne (protjší strany mají rznou velikost) b) Ne (bod S musí mít stejnou vzdálenost od vrchol B a D) c) Ano d) Ne (souet vnitních úhl není º) e) Ano f) Ne (úhly ležící naproti sob na úhlopíce nemají stejnou velikost) g) Ne ( velikost úhlopíky AC není rovna dvojnásobku délky AS) h) Ano Úloha 3: a) = = 65 ; = = 115 b) = = 72 ; = = 108 c) = = 45 15 ; = = 134 45 d) = = 82 44 ; = = 97 16 Úloha 4: a) = 96 54 b) = 65 15 c) = 125 35 (využiješ poznatku o vedlejších úhlech: + =180 ) Úloha 5: Vnitní úhel pi vrcholu B je vrcholový úhel k úhlu mající velikost 115 47 a má tedy stejnou velikost: Vnitní úhly mají velikost: 6413 ; 11547 Úloha 6: Nejprve si postupn dopoteme všechny možné úhly tak, aby se nám podailo urit aspo jeden vnitní úhel rovnobžníku:

Velikosti vnitních úhl jsou: 70 40 110; 70 Úloha 7: 4 90.../ 90 112,5 45 45 4 450.../ : 4 Vnitní úhly mají velikost: 112,5; 45 112,5 45 67, 5 Úloha 8:

3 3 8.../ : 8 : 8 45 Vnitní úhly mají velikost: 45; 3 135 Úloha 9: a) Rovnobžník lze sestrojit (podívej se na vzorový píklad 5) b) Rovnobžník nelze sestrojit Úloha 10: Všimni si nejdíve tyúhelníku AXCY na obrázku. Znáš v nm ti vnitní úhly. Užiješ-li poznatku o soutu vnitních úhl tyúhelníku, získáš velikost vnitního úhlu pi vrcholu A rovnobžníku ABCD:

125 (55 90 90) 235 Vnitní úhly mají velikost: 125; 55