Seznámení s Pythagorovou vtou (1 hodina) Opakování: zopakuj si poítání s druhými moninami ísla Motivae: Jsem leteký modelá. Práv jsem si ve své díln sestrojil model letadla a hybí mi pipevnit poslední souástka, kterou jsou kídla. Jejih rozptí je 1,5 dm. Váhám, zda-li mohu tato kídla v díln pipevnit. Váhám proto, že si nejsem jistý, jestli mi model poté projde dvemi obdélníkového tvaru s rozmry 0 dm výška a 8 dm délka. Pomoz mi tento problém vyešit. Úvod do problematiky: 1. Zopakuj si následujíí pojmy: pravoúhlý trojúhelník, odvsny a pepona pravoúhlého trojúhelníku.. Dále si do sešitu o nejjednodušeji (*) sestroj ti pravoúhlé trojúhelníky, jejihž odvsny mají rozmry: a) 3 m a 4 m; b) 6m a 8 m; ) 5 m a 1 m * - nejprve narýsuj pravý úhel a na nj posléze nanes délky obou odvsen Úkol 1: Zm si v jednotlivýh pípadeh velikosti délek pepon a dopl si následujíí tabulku Délka odvsny Délka odvsny Délka pepony 3 4 6 8 5 1 Úkol : Hledej nyní skrytou souvislost mezi rozmry stran každého z trojúhelník. Všímej si získanýh údaj z jednotlivýh ádk v tabule. 1. Pokud si na danou souvislost zatím nepišel, napovím Ti: hledej souvislost mezi obma odvsnami a peponou. Pokus se sám odpovdt na následujíí dotazy: Souvisí spolu njak délky obou odvsen a délka pepony Uprav (dopl) danou rovnii tak, aby platila rovnost mezi soutem délek odvsen a délkou pepony Vezmi si nap. první ádek tabulky: 3 + 4 = 5. Poád se Ti na danou souvislost nedaí pijít Tak poslední nápovda: zkus si každé z ísel umonit na druhou. Už no pozoruješ!!! 3 + 4 = 5 9 + 16 = 5 Ov si, zda platí výše uvedená souvislost i pro údaje v dalšíh dvou ádíh tabulky
3. Všimni si následujíí tabulky: (Odvsna) + (Odvsna) = (Pepona) 3 9 6 36 5 5 Prauj nyní nap. s prvním ádkem: 4 16 8 64 1 144 5 5 10 100 13 169 Jaký význam pisuzujeme v geometrii nap. íslm 3, 4, 5 Tato ísla pedstavují obsahy tver o stranáh 3, 4, a 5 m (nebo jinýh jdnotek). V našem pípad hovoíme o obsazíh tver sestrojenýh nad odvsnami, respektive nad peponou. Podívej se na následujíí obrázek a nakresli si jej: Námi spolen zjištnou souvislost mezi odvsnami a peponou v pravoúhlém trojúhelníku jako první slovn i poetn formuloval eký matematik Pythagoras (580 496 p.n.l.) a na jeho poest se daná souvislost nazývá Pythagorova vta. Ovšem pozor, daná souvislost byla známa již mnohem díve (nap. v Babylonii v roe 1950 p.n.l.), ale Pythagoras tuto vtu jako první formuloval a zejm i dokázal.
Pythagorova vta: (napíši Ti ob znní): Obsah tvere sestrojeného nad peponou pravoúhlého trojúhelníku se rovná soutu obsah tver sestrojenýh nad jeho odvsnami. geometriká pouka V každém pravoúhlém trojúhelníku s peponou délky a odvsnami o délkáh a, b platí: = a + b Poznámka: Struné znní Pythagorovy vty = a + b není správné (naopak je velmi špatné), protože Pythagorova vta platí pouze pro každý pravoúhlý trojúhelník, a písmena a, b, nepatí pouze vrholm pravoúhlého trojúhelníku (mžou pedstavovat napíklad oznaení pímky, polopímky, kružnie). Proto je nutné vtu zaít již zmínným Pro každý pravoúhlý a pesn íi, o písmenka a, b, pedstavují!!! Nyní se vrátíme k úvodní motivaní úloze s modelem letadla: Hledej v naší úloze pravoúhlý trojúhelník Pravoúhlý trojúhelník nám tvoí délka a výška dveí (odvsny) a úhlopíka dveí (pepona). Co nám musí platit pro rozptí kídel, heme-li, aby model úspšn prošel dvemi Druhá monina rozptí kídel musí být menší než druhá monina úhlopíky dveí. Jak spotu druhou moninu úhlopíky dveí Pomoí Pythagorovy vty Poítáme spolen: a) velikost druhé moniny úhlopíky dveí: 0 + 8 = 464 b) velikost druhé moniny rozptí kídla: 1,5 = 46,5 46,5 < 464 - náš model projde dvemi
Píklad 1: Vypoti délku pepony v pravoúhlém trojúhelníku, jsou-li délky odvsen 1 m a 5 m Nejprve Ti elou situai znázorním na obrázku, pod kterým je pak velmi podrobný a postupný výpoet. Poádn se na nj podívej. Rozumíš mu 169 13 m Délka pepony pravoúhlého trojúhelníku je 13 m. a 5 b 1 5144 169 Píklad : Rozhodni, zda je trojúhelník ABC pravoúhlý, jestliže má strany délek a = 17 m, b = 8 m, = 15 m. Nejprve Ti položím nkolik otázek. Poádn se nad nimi zamysli, pokus se na n sám odpovdt a teprve pak si svou odpov zkontroluj s mou: Co musí platit pro libovolný pravoúhlý trojúhelník Je- li daný trojúhelník pravoúhlý, musí pro nj platit Pythagorova vta Která se zadanýh stran mže být peponou pravoúhlého trojúhelníku a pro Mže to být strana a, protože má nejvtší délku a pepona je vždy nejdelší ze stran v trojúhelníku Jak bude vypadat zápis Pythagorovy vty pro náš píklad a = b + - zde se vyskytuje astá hyba (studenti automatiky píšou = a + b ) A nyní Ti již nabízím elý výpoet:
a 17 b 8 15 8964 5 89 89 - trojúheln ík je pravoúhlý Poznámka: Protože zkoumám, zda se levá strana (a ) rovná pravé stran (b + ), dávám nad znaménko = ješt otazník, který v pípad, že je rovnost správná, v posledním kroku odstraním. Píklad 3: Rozhodnte, zda obdélník s délkami stran 11 m a 7 m má úhlopíku dlouhou 13 m. Urit sám na obrázku velmi ryhle najdeš pravoúhlý trojúhelník a spoítáš velikost jeho úhlopíky: u 13 a 11 b 7 16911 49 169 170 - obdélník nemá úhlopíku s délkou 13 m Píklad 4: Délka strany tvere ve tverové síti je 1 m. Urete vzdálenosti bod A, B, C. Poté urete obvod trojúhelníku ABC (výsledky zaokrouhluj na jedno desetinné místo)
Nejprve si spolen uríme vzdálenost bod (pedpokládám, že vzdálenost bod AB uríš sám zpamti). Hledám v obrázku pravoúhlý trojúhelník, ve kterém se úseka vyskytuje. Podívej se na následujíí obrázek: Na obrázku máš ve tverové síti vyznaen pravoúhlý trojúhelník D s peponou, kde AD = 5 m; CD = 4 m. Pomoí Pythagorovy vty vypoteme velikost strany : AD 516 41 6,4m CD Podobn si vybereme trojúhelník DBC, který je rovnž pravoúhlý a spoteme z nj vzdálenost bod BC: BC BD 916 5 5m CD
Na závr spoteme obvod trojúhelníku ABC: o AB BC o 8m 6,4m 5m o 19,4m C V I E N Í 1. Které ádky splují Pythagorovu vtu (kdy se jedná o strany pravoúhlého trojúhelníku) Svou odpov vždy dolož výpotem. Délka odvsny Délka odvsny Délka pepony 9 1 15 11 5 1 8 15 17 15 1 18 0 10,5. Vypoti délku pepony v pravoúhlém trojúhelníku, jsou-li délky odvsen 8 m a 6 m. 3. Rozhodni, zda tvere s délkou strany 1 m má úhlopíku dlouhou 18 m 4. Rozhodni, zda obdélník s délkami stran 16 m a 1 m má délku úhlopíky 0 m. 5. Délka strany tvere ve tverové síti je 1 m. Urete obvod tyúhelníku ABCD. Veškeré výpoty vetn výsledku zaokrouhluj na jedno desetinné místo.
Výsledky viení: 1. Délka odvsny Délka odvsny Délka pepony Výsledek 9 1 15 ANO 11 5 1 NE 8 15 17 ANO 15 1 18 NE 0 10,5 NE. Délka pepony je 10 m 3. Nemá, ve skutenosti má úhlopíku délky 17 m 4. Ano 5. AB = 6,7 m; AD = 4,5 m; BC = 4, m; CD = 5,4 m; obvod tyúhelníku je 0,8 m