19. Pythagorova věta a goniometrické funkce ostrého úhlu Vypracovala: Ing. Všetulová Ludmila, prosinec 2013

Transkript

1 19. Pythagorova věta a goniometriké funke ostrého úhlu Vypraovala: Ing. Všetulová Ludmila, prosine 2013 Název školy Ohodní akademie a Střední odorné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání pro konkureneshopnost, CZ 1.5 Název šalony klíčové aktivity Číslo šalony, sady a materiálu Vzdělávaí olast dle RVP Tematiký elek dle ŠVP Předmět, oor, ročník Anotae III/2 Zvyšování kvality výuky prostřednitvím ICT VY_32_INOVACE_10_01_19 Matematika Pythagorova věta a goniometriké funke ostrého úhlu Matematika, Oráěč kovů, Strojní mehanik, Opravář zemědělskýh stojů, 1. ročník Praovní list je určen k využití Pythagorovy k výpočtům ovládání pojmů prvočíslo, složené číslo. Znát pravidla dělitelnosti, rozklad čísla na prvočísla (prvočinitele) strana 1

2 Pythagorova věta a goniometriké funke ostrého úhlu Pythagorova věta Patří k nejstarším matematikým poznatkům, má jméno po řekém matematikovi a filosofovi, který žil v 6. století př. n.l. Osah čtvere sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka se rovná součtu osahů čtverů sestrojenýh nad oěma odvěsnami Pravoúhlý trojúhelník Přepona je strana ležíí proti pravému úhlu,je nejdelší stranou, oa přilehlé úhly jsou ostré a jejih součet je 90 Odvěsny jsou ramena pravého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku. strana 2

3 Příklady: 1. Jaká je délka odvěsny pravoúhlého trojúhelníku, je-li dáno a = 168 m; =4,39 m 2. Je trojúhelník pravoúhlý je-li dáno a) a = 3 m; = 5 m; = 6 m ) a = 15 m; = 12 m; = 9 m 3. Délka strany čtvere je 2,68 dm; urči jeho úhlopříčku 4. Je dán odélník š = 7,5 m; u = 9,25 m. urči jeho ovod a osah 5. Jak vysoko dosáhne žeřík délky 8 metrů, je-li odstaven od zdi ve vzdálenosti 2,5 metrů 6. V trojúhelníku je dáno a = = 12 m; = 15 m; vypočítejte výšku v a osah trojúhelníka 7. Vypočítejte osah a ovod rovnostranného trojúhelníka je li délka strany a) 1,64 m; ) 6,4 m; ) 7,5 m 8. Čtveri o straně 8 m je opsaná a vepsaná kružnie, urči poloměry oou kružni 9. Pyramida má čtverovou základnu je vysoká 50 metrů a výška oční stěny je 80 metrů. Určete délku základny pyramidy. Jaká y yla délka základny v případě, že y yla dána délka oční hrany 80 metrů. 10. Závodník vyjel z místa A ryhlostí 20 km/h, po šesti minutáh odočil na pravoúhlé křižovate a za 12 minut dorazil do místa B stejnou ryhlostí. Určete přímou vzdálenost míst A a B. Řešení: 1. = 4,06 m; 2. a) není pravoúhlý; ) je pravoúhlý; 3. u = 3,79 dm; 4. o = 25,8m; S = 40,6 m 2 ; 5.v = 7,6 m; 6.v = 9,4m; S = 70,5 m 2 ; 7. a) o = 4,92 m; S= 1,16 m 2 ; ) o = 19,2 m; S =17,7 m 2 ; ) o = 22,5 m; S = 24,4 m 2 8. vepsaná r = 4 m; opsaná r = 5,66 m; 9.a) 124,9 m; ) 88,3 m; 10. 4,47 km strana 3

4 Goniometriké funke ostrého úhlu Goniometriké funke ostrého úhlu nám umožňují určit velikost stran a úhlů v trojúhelníku Podle věty o podonosti trojúhelníků uu platí ABC AB 1 C 1 AB 2 C 2 AB 3 C 3 Znamená to, že poměr velikostí stran je konstantní: = = = = = = = = = Se změnou velikosti úhlu se mění poměry délek stran pravoúhlého trojúhelníku. Poměry velikostí stran v pravoúhlém trojúhelníku jsou funkemi ostrého úhlu f( ) Každé velikosti úhlu přísluší určité poměry délek stran = goniometriké funke strana 4

5 Máme pravoúhlý trojúhelník: Funke sinus Funke osinus Funke tangens Funke otangens Jestliže platí = 90 = 90 ; = 90 - ; = 90 - Platí : sin = os (90 - ) = os os = sin (90 - ) = sin tg = otg (90 - ) = otg otg = tg (90 - ) = tg strana 5

6 Hodnoty goniometrikýh funkí stanovíme na kalkulače, neo vyhledáním v taulkáh Významné hodnoty goniometrikýh funkí Úlohy: 1. Označte úhly v daném pravoúhlém trojúhelníku BAC, zapište čemu je roven sin; os; tg; otg ostrýh úhlů Řešení sin = a os = a tg = otg = sin = a os = a tg = otg = 2. Doplňte hyějíí velikosti úhlů sin 50 = os 40 tg = otg sin = os28 40 strana 6

7 os 18 = sin 70 otg = tg os = sin54 25 tg = otg sin = os62 48 otg = tg Určete hodnoty funkí na kalkulače a správnost si ověřte v taulkáh: sin = 0,8418 otg 5 10 = 11,059 os = 0,0755 tg = 0,6371 os 3 10 = 0,9984 sin = 0,6648 otg = 2,960 sin = 0,7698 os 8 50 = 0,9881 tg = 3,8667 os 82 = 0,1391 otg = 4, K následujíím hodnotám funkí přiřaďte velikost úhlů a) tg = 12,251 = g) os = 0,8936 = ) sin = 0,6041 = h) otg = 0,1405 = ) otg = 6,314 = h) sin = 0,9957 = d) os = 0,0785 = i) tg = 0,3673 = e) sin = 0,854 = j) os = 0,5225 = 5. Sestrojte úhly, jestliže jestli že hodnoty goniometrikýh funkí se rovnají a) sin = d) tg = 3,732 ) os = e) sin = 0,4226 ) tg = f) os = Řešení: 4. a) ) ) 9 d) e) f) g) h)82 h) ) i)20 10 j)58 30 k) a) 37 ; ) ; ) ; d) 75 ; e) 25 ; f) Použitá literatura: CALDA, Emil: Matematika pro dvouleté a tříleté oory středníh odornýh učilišť, 1. díl, 2. upravené vydání Nakladatelství Prometheus, Praha s ; s HUDCOVÁ, Milada; KUBIČÍKOVÁ, Liuše: Sírka úloh z matematiky pro střední odorná učiliště a střední odorné školy, 1. Vydání Nakladatelství Prometheus, Praha 2001 s. 90 FUCHS, Eduard; BINTEROVÁ, Helena a kolektiv: Standardy a testové úlohy z matematiky pro střední odorná učiliště, 1. Vydání Nakladatelství Prometheus Praha 2004 s. 27 strana 7