Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Transkript

1 Geometrie Mgr. Jrmil Zelená Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou

2 Výpočty v prvoúhlém trojúhelníku VY_3_INOVACE_05_3_1_M Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou

3 PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK 1

4 Pojmy oznčení:,.odvěsny přepon α, β.vnitřní úhly α + β = 90 = 90 Prvoúhlý trojúhelník je trojúhelník, jehož jeden vnitřní úhel je prvý. Zývjíí úhly musí ýt ostré, protože součet velikostí vnitřníh úhlů v kždém trojúhelníku je 180. Přeponou nzýváme strnu ležíí proti prvému úhlu, odvěsnmi pk strny ležíí proti zývjíím úhlům.

5 PYTHAGOROVA VĚTA Geometriká definie: Osh čtvere sestrojeného nd přeponou (nejdelší strnou) prvoúhlého trojúhelníku je roven součtu oshů čtverů nd jeho odvěsnmi (dvěm krtšími strnmi). Formálně Pythgorovu větu vyjdřuje rovnie,, kde oznčuje délku přepony prvoúhlého trojúhelník délky odvěsen jsou oznčeny. 3

6 4

7 Pythgorov vět umožňuje dopočítt délku třetí strny trojúhelník, jestliže jsou známé délky dvou zývjííh strn: Výpočet délky přepony : Výpočet délky odvěsny : Výpočet délky odvěsny : 5

8 Řešené příkldy: 1. Je dán prvoúhlý trojúhelník KLM se strnmi délek k = 4 m, l = 5 m, m = 3 m. Ověřte pltnost Pythgorovy věty. Řešení: Přepon je nejdelší strn, proto musí pltit: l m k. Dosdíme číselné hodnoty: Pythgorov vět pltí. 6

9 Pythgorovu větu lze použít i oráeně ke zjištění, zd je dný trojúhelník prvoúhlý. Oráená Pythgorov vět zní: Jestliže v trojúhelníku pltí, že součet oshů čtverů sestrojenýh nd krtšími strnmi je roven oshu čtvere sestrojeného nd nejdelší strnou, potom je tento trojúhelník prvoúhlý. 7

10 . Rozhodni, zd dné úsečky jsou strnmi prvoúhlého trojúhelníku: ) 4,5 m, 6 m, 7,5 m ) m 0,6 m, n 9 mm, p 0,11 dm Řešení: ) 4,5 6 0, , 5 7,5 56, 5 Pltí Pythgorov vět:, úsečky jsou strnmi prvoúhlého trojúhelníku. ) m n p Nepltí Pythgorov vět: p m + n,úsečky nejsou strnmi prvoúhlého trojúhelníku. 8

11 3. Vypočítejte délku přepony prvoúhlého trojúhelníku, jestliže délky odvěsen jsou: 6 m, 8 m Řešení: m Délk přepony je 10 m. 9

12 4. Vypočítejte délku odvěsny v prvoúhlém trojúhelníku, jestliže: Řešení: = dm, = 5, dm 5, 3,04 4,8 dm Délk odvěsny je 4,8 dm. 10

13 5. Vypočítejte délku strny čtvere, jehož úhlopříčk má délku 18 m. Řešení: u = 18 m, =? Délk strny čtvere je 1,7 m. u u u u ,7 m 11

14 6. Vypočítejte výšku rovnormenného trojúhelníku, jestliže má zákldn délku 4 m rmen mjí délku 15 m. Řešení: 1

15 AB = z = 4 m, AC = BC = r = 15 m, v =? Výšk půlí zákldnu rozdělí rovnormenný trojúhelník n dv shodné prvoúhlé trojúhelníky. V trojúhelníku ASC pltí: AS = 4 : = 1 m, AC = 15 m AC AS v v AC AS v 9 m v AC AS v v Výšk rovnormenného trojúhelníku má délku 9 m. 13

16 7. Devět metrů vysoký strom se v ouři přelomil tk, že jeho vrholek se dotýká země 3 m od pty stromu. V jké výše se zlomil? Řešení: 14

17 výšk stromu 9 m vzdálenost od pty stromu 3 m výšk zlomu.. x vzniklý trojúhelník v nákresu je prvoúhlý, proto pltí Pythgorov vět: 9 x x x x x 9 18x 7 x 4 m Strom se zlomil ve výše 4 m. 15

18 8. Žeřík dlouhý 9 m je spodním konem opřen 1,75 m od zdi. Do jké výšky doshuje n zdi horní kone žeříku? Řešení: 16

19 délk žeříku.. 9 m vzdálenost od zdi. 1,75 m výšk n zdi x x 1,75 9 x 813, 065 x 77,9375 x 8,8 m Horní kone žeříku doshuje n zdi do výšky 8,8 m. 17

20 Příkldy k provičení: 1. Vypočítejte délku úhlopříčky čtvere: ) jehož ovod je 8 m [,83 m] ) jehož osh je 5 dm [7,1 dm]. Vypočítejte délku strny čtvere, jehož úhlopříčk má délku 18 m. [1,7 m] 3. Vypočítejte výšku rovnostrnného trojúhelníku, jehož ovod je 15 m. [4,3 m] 18

21 4. Okolo odélníkového les 10 m dlouhého 50 m širokého je vozová est. O kolik metrů si zkrátí hode hůzi pěšinou po úhlopříče tohoto les? [40 m] 5. Pn Dvořák vlstní pozemek ve tvru rovnormenného trojúhelníku se strnmi 50 m, 50 m, 60 m. Pn Novák vlstní pozemek, který má tvr rovnostrnného trojúhelníku se strnmi délky 55 m. Kdo z nih má pozemek o větší rozloze? [Novák] 6. Do jké výšky shá dvojitý žeřík 6 m dlouhý, jsou-li jeho dolní kone od see vzdáleny 5 m? [5,5 m] 19

22 7. N těleso půsoí v témže odě dvě síly F 1 = 160 N F = 40 N, které svírjí úhel velikosti Určete velikost výslednie těhto sil. [164,9 N] 8. Vodorovná vzdálenost dvou míst je podle plánu 300 m, výškový rozdíl činí m. Jká je skutečná vzdálenost těhto míst? [300,7 m] 9. Kosočtvere má úhlopříčky délky u 1 = 1 m, u = 16 m. Vypočítejte délku strny kosočtvere. [10 m] 10. Rozhodněte, zd dosáhne žeřík dlouhý 3 metry n zeď vysokou,8 m, musí-li ýt kvůli stilitě jeho spodní kone 70 m od zdi? [no] 0

23 EUKLEIDOVY VĚTY 1

24 1. Euklidov vět o výše Pro výšku v v prvoúhlém trojúhelníku s prvým úhlem u vrholu C pltí?: v. Euklidov vět o odvěsně Pro odvěsny prvoúhlého trojúhelníku pltí:

25 Řešené příkldy: 1. Vypočítej zývjíí prvky,,, v,, v prvoúhlém trojúhelníku ABC 90, je-li dáno: 10, 6. 3

26 v v

27 sin 10 sin sin sin

28 . Vypočítej zývjíí prvky,,,, v prvoúhlém trojúhelníku ABC 90, je-li dáno: 3; v 5., 6

29 7 Z prvoúhlého trojúhelníku CBP spočítáme pomoí Pythgorovy věty úsek přepony. 5 3 v

30 sin sin sin 3 5 sin

31 Příkldy k provičení: 1. V prvoúhlém trojúhelníku ABC s prvým úhlem u vrholu C je velikost úseku přilehlého ke strně roven m velikost úseku přilehlého ke strně roven 6 m. Vypočtěte jeho ovod. [18,93 m]. Prvoúhlý trojúhelník má přeponu = 6 m. Jk velké úseky vytíná výšk v = 1 m n přeponě? [ = 18 m, = 8 m] 3. V prvoúhlém trojúhelníku ABC s prvým úhlem u vrholu C jsou délky odvěsen = 3,6 m, = 5, m. Vypočtěte délky úseků přepony výšku k přeponě. [ =,1 m, = 4,3 m, v = 3 m] 9

32 4. Úseky přepony v prvoúhlém trojúhelníku ABC s prvým úhlem u vrholu C mjí délky = m, = 8 m. Vypočtěte výšku trojúhelníku délky odvěsen. [v = 4 m; = 4,5 m; = 8,9 m] 5. V prvoúhlém trojúhelníku ABC s prvým úhlem u vrholu C je dán úhel 48 úsek přepony = 15 m. Vypočtěte výšku ke strně těžnii vedenou vrholem C. [v = 13,51 m; t = 13,58 m] 30

33 GONIOMETRICKÉ FUNKCE V PRAVOÚHLÉM TROJÚHELNÍKU 31

34 sin sin os os 3

35 tg tg ot g ot g 33

36 Řešené příkldy: 1. V prvoúhlém trojúhelníku ABC s odvěsnmi = 1 m = 18 m vypočtěte velikosti vnitřníh úhlů. B 1 m C 18 m A tg 1 tg

37

38 . Železniční trť má stoupání 18. Vypočítejte, pod jkým úhlem stoupá. Má-li železniční trť stoupání 18, znmená to, že stoupne o 18 metrů n vzdálenost 1000 metrů vodorovně. 18 m m 18 tg Železniční trť má stoupání 1. 36

39 3. V prvoúhlém trojúhelníku ABC s prvým úhlem u vrholu C je dáno: 56, = 34 m. Vypočítejte zývjíí strny úhly. A sin sin 34 sin 56 C B 41m 41 55,9m

40 Příkldy k provičení: 1. V jkém úhlu stoupá lnová dráh, jestliže v déle 340 m překonává výšku 170 m? 30. Tětiv MN v kružnii, příslušná ke středovému úhlu MSN = 13, má od středu S kružnie vzdálenost v = 8 mm. Vypočtěte poloměr kružnie. 0,m 3. Jk vysoký je komín elektrárny stojíí ve vodorovném terénu, jestliže jeho vrhol vidíme ze vzdálenosti 75 metrů od pty komínu pod úhlem 50,6m 34? 4. Vypočtěte velikosti úhlů v prvoúhlém trojúhelníku ABC s prvým úhlem u 53 8 ; 36 5 vrholu C, je-li dáno: = 10 m, = 7,5 m. 38

41 5. Řešte prvoúhlý trojúhelník ABC, je-li dáno: = 14,5 m, ; 1,98m; 19, 46m 6. Jký je sklon žeříku délky 6, m, který je svým horním okrjem opřen ve výše 5,1 m? Jký je výškový rozdíl míst A B n trti, která má stoupání 8 5, je-li jejih 186,6m vzdálenost 1 75 m? 8. Z pozoroví věže ve výše 115 m nd hldinou moře je změřen loď v hloukovém úhlu Jk dleko je loď od věže? 974 m 39

42 9. Silnie má stoupání 15 %. Kolik je to stupňů?