2.1.15 Slovní úloh na lineární funkce Předpoklad: 2108 Pedagogická poznámka: Obsah hodin přesahuje 45 minut (pokud necháte student pracovat samostatně). Poslední příklad tak zůstává na další hodinu nebo na doma. Př. 1: Petr zálohuje internet a proto potřebuje velké množství zapisovatelných DVD disků. Může je koupit buď v obchodě ve svém městečku za 1 Kč/kus nebo může dojet do okresního města, kde stojí pouze 10 Kč/kus. Cesta do okresního města a zpět stojí 40 Kč. Sestav funkce, které udávají závislost zaplacené cen na množství koupených DVD, v případě že nakupuje doma a v případě, že nakupuje ve městě. Urči pro všechna možná množství kupovaných DVD výhodnější způsob nákupu. Počet koupených DVD Zaplacená cena Nákup doma: = 1 (za každé DVD 1 korun) Nákup ve městě: = 10 + 40 (za každé DVD 10 korun a 40 korun za cestu) Nákup doma je výhodnější, kdž zaplatí menší cenu. Kd zaplatí stejně? 1 = 10 + 40 = 40 40 = = 1, Protože DVD se kupují pouze po celých kusech platí, že pro nákup méně než 14 DVD je výhodnější nakupovat doma, pro 14 a více DVD je lepší dojet do města. Poznámka: Minimální počet disků, pro který se vplatí jet do města, můžeme určit i úvahou. Disk je ve městě o Kč levnější, ale dražší o cestovní náklad, které se rozpočítávají na počet nakoupených disků. Musíme spočítat kolik disků musíme koupit, ab na každý připadl Kč cestovních nákladů: 40 = = 1,. Tento výsledek přesně odpovídá poslední fázi výpočtu. Pedagogická poznámka: Studenti mají pro mě až překvapivé problém se sestavením rovnosti obou funkčních předpisů. Bavíme se pak o tom, že pro malé množství disků je určitě výhodnější nakupovat doma, pro obrovská množství disků pak ve městě. Hraničním počtem pak bude situace, kd nám celý nákup vjde stejně draho ve městě i doma. 1
Př. 2: V rbníce je 150000 m vod. Otevřeme-li stavidla, každou sekundu vteče 10 m vod. Urči funkci, která udává závislost množství vod v rbníce na čase od otevření stavidla, za předpokladu, že rbník má stálý přítok m /s. Za jak dlouho bude rbník vpuštěn? Množství vod Čas od otevření stavidla Za jednu sekundu, odteče 10 m, přiteče m ubude Množství vod v rbníce na začátku 150000 m Množství bod v rbníce po 1 s 150000 7 Množství bod v rbníce po 2 s 150000 2 7 Množství bod v rbníce po 5 s 150000 5 7 Množství bod v rbníce po s 150000 7 Funkce = 150000 7 Rbník bude vpuštěný až v něm bude 0 m = 0 0 = 150000 7 7 = 150000 21429 s = 5,95 hod Rbník bude zcela vpuštěný za 6 hodin. 7 m. Pedagogická poznámka: Následující příklad je důležitý. Tak tři čtvrtin studentů ho řeší špatně, přesto je dobré nechat je, ab se trochu potrápili a po vřešení příkladu nebo v jeho průběhu diskutovat chb, kterých se při svém řešení dopustili. Upozorňuju je hlavně na fakt, že si skoro nikd odvozený vztah zpětně neozkoušejí, například jestli jim neříká, že student bude mít příjm už při studiu na vsoké škole. Př. : Výše průměrné mzd silně závisí na nejvšším dosaženém vzdělání. V roce 2002 bl průměrný plat středoškoláka s maturitou 16700 Kč za měsíc, průměrný plat vsokoškoláka bl už 28500 Kč. Na druhou stranu musí vsokoškoláci strávit ve škole pět let, po které již středoškoláci chodí do práce a vdělávají. Napiš funkce, které udávají celkovou částku v tisících vdělanou průměrným středoškolákem a vsokoškolákem v závislosti na počtu let uplnulých od maturit. Po kolika letech od maturit si průměrný vsokoškolák vdělá víc než jeho spolužák, který má pouze maturitu. Částk ročních příjmů zakrouhli na tisíce. Urči rozdíl v celoživotních příjmech vsokoškoláka a středoškoláka, pokud oba odejdou do důchodu v 65 letech a maturovali v devatenácti. roční příjem středoškoláka: 12 16700 = 200400 200000 roční příjem vsokoškoláka: 12 28500 = 42000 vdělané peníze let od maturit středoškolák 1 rok od maturit 200 2 rok od maturit 200 2 = 400 2
rok od maturit 200 = 600 let od maturit 200 Funkce = 200, 0; ) vsokoškolák 1 rok od maturit 0 2 rok od maturit 0 6 let od maturit 42 1 = 42 zápis je sice správný, ale nikde se v něm nevsktuje číslice 6, která udává počet let uplnulých od maturit, tuto číslici v zápisu potřebujeme, pak ji naradíme proměnnou zapíšeme 1 = 6 5 (1 rok v práci = 6 let od maturit 5 let studia na VŠ) 42 6 5 = 42 6 let od maturit ( ) 7 let od maturit 42( 7 5) = 684 8 let od maturit 42( 8 5) = 1026 let od maturit ( ) Funkce ( ) 42 5 = 42 1710 = 42 5 = 42 1710, 5; ) Kde vdělají stejně? 200 = 42 1710 1710 = 142 = 12,04... Po 12 letech od maturit (ted po 7 letech od promoce) budou příjm vsokoškoláka téměř stejné jako příjm středoškoláka s maturitou, po 1 letech pak už budou podstatně všší. Důchod 65 let od maturit 65 19 = 46 let středoškolák: = 200 = 200 46 = 9200 vsokoškolák: = 42 1710 = 14022 rozdíl: 14022 9200 = 4822 Vsokoškolák vdělá za svůj život průměrně o 4 822 000 Kč více než středoškolák. Pedagogická poznámka: Někteří studenti argumentují tím, že jednodušší než sestavovat funkční závislosti, je příklad natvrdo spočítat. Bráním se tím, že jakmile se podaří závislosti sestavit, je výpočet čehokoliv strašně jednoduchý. Při přímém počítání začínáme vžd znova od začátku. Př. 4: Vsvětli význam čísla 1710 v roznásobeném tvaru funkce pro vsokoškoláka v předchozím příkladu. ( ) = 42 5 = 42 42 5 = 42 1710 číslo 1710 má význam částk, kterou b vsokoškolák vdělal, kdb po maturitě nastoupil do práce a bral mzdu vsokoškoláka Př. 5: Najdi na internetu na další údaje vztahující se k problematice předchozích dvou příkladů a najdi fakta, která podporují názor, že:
a) rozdíl v příjmech vsokoškoláků a středoškoláků jsou ve skutečnosti větší než jsme spočítali b) rozdíl v příjmech vsokoškoláků a středoškoláků jsou ve skutečnosti menší než jsme spočítali jen několik z mnoha argumentů: a) argument pro větší rozdíl v příjmech vsokoškoláci si vdělávají už při studiu plat rostou, roste zřejmě i minimální rozdíl v nominálních příjmech b) argument pro menší rozdíl v příjmech studium na vsoké škole přináší i náklad, které musí student hradit u vsokoškoláků jsou rozdíl v příjmech daleko větší než u středoškoláků, rozdíl mezi skutečnou mzdou většin vsokoškoláků a většin středoškoláků není tak velký podíl vsokoškoláků v české populaci se rchle zvšuje. VŠ vzdělání tak přestává být výjimečnou záležitostí a bude se snižovat jeho finanční ohodnocení Pedagogická poznámka: Vzhledem k tomu, že následující příklad nikd nestihneme a doděláváme ho v další hodině, kontrolujeme si příklad 5 také až v další hodině a studenti mají možnost se pokusit o sehnání nějakých informací. Př. 6: Petr jel na výlet na kole. V polovině výletu se mu kolo rozbilo. Domů se může vrátit třemi způsob: a) pěšk rchlostí 5 km/h b) může za hodinu provizorně opravit kolo a vrátit se pak rchlostí 10 km/h. c) může 2 a půl hodin čekat na vlak a vrátit se domů rchlostí 0 km/h. Sestav funkce, které udávají vzdálenost, kterou Petr urazil z AAmísta poruch, v závislosti na čase od poruch v hodinách. Při jaké vzdálenosti od domova se mu jednotlivé postup vplatí? čas od poruch v hodinách vzdálenost od místa poruch v km a) jde pěšk vchází ihned a každou hodinu ujde 5 km vzdálenost po jedné hodině 1 5 vzdálenost po dvou hodinách 2 5 vzdálenost po hodinách 5 funkce = 5 b) opravuje kolo hodinu opravuje a pak každou hodinu ujede 10 km vzdálenost po jedné hodině 0 2 1 10 vzdálenost po dvou hodinách ( ) vzdálenost po třech hodinách ( 1) 10 vzdálenost po hodinách ( 1) 10 funkce = 10( 1) = 10 10 Funkci je také možné sestavit tímto postupem: každou hodinu ujede 10 km 10 4
chbí mu 10 km, které b ujel v první hodině, kterou stál = 10 10 c) čeká na vlak 2 a půl hodin čeká na vlak a pak každou hodinu ujede vlakem 0 km vzdálenost po jedné hodině 0 vzdálenost po dvou hodinách 0 2,5 0 vzdálenost po třech hodinách ( ) vzdálenost po čtřech hodinách ( 4 2,5) 0 vzdálenost po hodinách ( 2,5) 0 funkce = 0( 2,5) = 0 75 Funkci je také možné sestavit tímto postupem: každou hodinu ujede 0 km 0 chbí mu 75 km, které b ujel během čekání, kdb vlak jel ihned = 0 75 Jaký postup se vplatí při různých vzdálenostech od domova? Nejvhodnější postup mu umožní dosáhnout domova za nejkratší dobu. Nakreslíme graf všech tří lineárních funkcí: 60 50 vlakem na kole 40 pěšk 0 20 10 1 2 4 5 6 Z grafu je vidět, že pro krátké vzdálenosti je nejvýhodnější jít pěšk, pro střední vzdálenosti je nevýhodnější jet na kole a největší vzdálenosti je nejrchlejší vracet se vlakem. Kolo je výhodnější než chůze, kdž funkce pro kolo má větší hodnotu než funkce pro chůzi. Kd mají funkce stejnou hodnotu? 10 10 = 5 5 = 10 = 2 Pokud b cesta trvala na kole alespoň 2 hodin (a její délka b bla alespoň 10 km) je výhodnější než chůze opravit kolo a jet na něm. Vlak je výhodnější než kolo, kdž funkce pro vlak má větší hodnotu než funkce pro kolo. Kd mají funkce stejnou hodnotu? 0 75 = 10 10 20 = 65 =,25 5
Pokud b cesta vlakem (včetně čekání) trvala alespoň,25 hodin (a její délka b bla alespoň 22,5 km) je výhodnější než opravit kolo a jet na něm počkat na vlak. Nejvýhodnější způsob doprav: 0-10 km chůze 10-22,5 km kolo s opravou 22,5 a více vlak Pedagogická poznámka: Pokud studenti řeší příklad sami, snaží se úvodnímu rozpisu uražených drah po jednotlivých hodinách vhnout a píšou předpis funkcí rovnou. Na tom b neblo nic špatného, kdb si vmšlené předpis zpětně zkontrolovali, výpočtem pro některou z hodin, což nedělají. Snažím se na tomto tpu zkoušk trvat. Odpovídá to logickému postupu (kdž mě něco napadne ozkouším si to), bohužel je to v rozporu z běžnou školskou zkušeností (vědomosti jsou zjevené všší mocí a proto se jim věří a nemusí se ověřovat). Kdb se studenti naučili během této hodin jenom provádění takových jednoduchých kontrol (jako, že se to bohužel nenaučí), bl b to obrovský úspěch. Nezbývá než se o to snažit. Př. 7: Na grafu pohbů z předchozího příkladu: a) vsvětli význam vznačených vzdálenosti b) zjisti, ve kterém okamžiku, b měl při jízdě na kole největší náskok oproti ostatním druhům pohbu c) jaký způsob návratu b měl Petr zvolit, kdb bl od domova 15 km d) jak dlouho b se jednotlivými způsob vracel domů, kdb bl v okamžiku poruch 0 km od domova 60 vlakem na kole 50 40 pěšk 0 20 10 1 2 4 5 6 a) význam vznačených vzdáleností Vodorovné vzdálenosti = časové úsek v hodinách (na vodorovnou osu nanášíme čas od poruch) Svislé vzdálenosti = vzdálenosti v km (na svislou osu nanášíme vzdálenosti v km) Modrá vzdálenost = doba, která b uplnula mezi okamžikem, kd se Petr začal vracet pěšk a okamžikem, kd b se začal vracet na provizorně opraveném kole (1 hodina) 6
Červená vzdálenost = doba, za kterou b se Petr vrátil domů, kdb jel na kole a od místa poruch b se musel vracet 20 km( hodina) Fialová vzdálenost = rozdíl v dobách návratu vlakem a pěšk, kdb Petr bdlel 25 km od místa poruch (1 hodina a 40 minut) Zelená vzdálenost = vzdálenost, kterou od místa poruch urazí Petr pěšk za 2,5 hodin (12,5 km) Žlutá vzdálenost = vzdálenost, mezi místem, na které b Petr dojel za 4 hodin na kole, a místem, na které b za 4 hodin došel pěšk (10 km). b) zjisti, ve kterém okamžiku, b měl při jízdě na kole největší náskok oproti ostatním druhům pohbu Největší náskok bude mít Petr při jízdě na kole ve chvíli, kd je přímka pro kole ve svislém směru nejvíce vzdálenost od ostatních dvou přesně ve hodině, má jízda na kole 5 km náskok před dopravou vlakem i chůzí c) jaký způsob návratu b měl Petr zvolit, kdb bl od domova 15 km hledáme, která z přímek nejdříve protne vodorovnou čáru pro 15 km nejvýhodnější je návrat na kole (2,5 hodin) návrat pěšk i vlakem vjde bude trvat stejně dlouho hodin d) jak dlouho b se jednotlivými způsob vracel domů, kdb bl v okamžiku poruch 0 km od domova hledáme, kd se jednotlivé přímk protnou s vodorovnou čáru pro 0 km vlak,5 hodin kolo 4 hodin chůze 6 hodin Shrnutí: 7