Lineární funkce III

Transkript

1 ..0 Lineární funkce III Předpoklad: 09 Minulá hodina Lineární funkce je každá funkce, která jde zapsat ve tvaru = a + b, kde a, b R. Grafem lineární funkce je přímka (část přímk), kterou kreslíme většinou pomocí dvou bodů. Pedagogická poznámka: Než začnou studenti kreslit graf, je dobré si popovídat o strategii na volbu bodů, které použijí na kreslení grafů. Nepřestává mě překvapovat, jak velký problém pro student kreslení následujících grafů představuje. Nezbývá než vdržet a snažit se jim radit, jak b mohli kreslení urchlit. Důležité je hlídat, ab si nepletli a, hodně chb vzniká i tím, že studenti nejdřív spočítají všechn bod u všech funkcí a pak teprve začnou kreslit. Mslím, že je třeba se snažit, ab tento postup nepoužívali. Jednak se jim může něco splést a jednak se tím ztrácí souvislost mezi spočítaným a nakresleným. Samozřejmě nikde není dáno, že b studenti měli pro nakreslení grafů používat stejné bod jako učebnice. Snažím se je dotlačit k tomu, ab předpis funkce kreslili přímo do obrázku k odpovídající čáře místo jména funkce. Pedagogická poznámka: Žáci netuší, jak mají oba příklad vjít, a pokud nekreslí do čtverečkovaného papíru, graf rozhodně nenakreslí rovnoběžně. Jednou možností je čtverečkovaný sešit (ale čtverečk jsou dost malé), druhou možností je vtisknout podklad pro graf z přiloženého souboru. Žákům zdůrazňuji, že jde o výjimku a v dalších hodinách podobné papír nedostanou. Měli b ted během své práce přemýšlet o tom, jak kreslit, ab bla menší pravděpodobnost omlu i na čistém bílém papíře. Pedagogická poznámka: U pomalejších studentů nečekáme až u prvních dvou příkladů nakreslí všechn čtři graf. Stačí, kdž udělají dva, obrázek všech grafů si mohou prohlédnout na stěně a vvozovat z něj. Jaký je význam konstant a, b? Nejdřív b. Př. : Nakresli do jednoho obrázku graf funkcí: f : =, f : = +, f : = +, f : =. Podle obrázku rozhodni, jak ovlivňují hodnot parametru b graf lineární funkce. Analogick rozhodni, jak ovlivňují graf hodnot parametru a. f : Dosazujeme = 0 0 Dosazujeme = 0;0. = = bod [ ] = = bod [ ] f : Dosazujeme = 0 0 ;. = + = + = bod [ 0; ]. = + = + = bod [ ] Dosazujeme = ;.

2 f : Dosazujeme = 0 0 0;. = + = + = bod [ ] = + = + = bod [ ] Dosazujeme = f : Dosazujeme = 0 0 ;. = = = bod [ 0; ] = = = bod [ ;0 ]. Dosazujeme = 0 =+ = = =-. Všechn graf mají stejný směr, ale jsou různě posunuté ve svislém směru. konstanta b neovlivňuje směr přímk, ale její posunutí ve svislém směru (určuje také průsečík s osou, který má souřadnice [ 0;b ]). Poznámka: Metoda, kterou jsme použili je vlastně fzikální metodou na objevování funkčních závislostí. Jednu proměnou jsme měnili a vše ostatní nechávali stejné, abchom zjistili, jak měnící se proměnná ovlivňuje výsledek. Teď a. Př. : Nakresli do jednoho obrázku graf funkcí: f : = +, f : = +, f : = 0, +, f : = +. Podle obrázku rozhodni, jak ovlivňují hodnot parametru a graf lineární funkce. f : Dosazujeme = 0 0 = + = + = bod [ 0; ]. = + = + = bod [ ] Dosazujeme = f : Dosazujeme = 0 0 ;. 0;. = + = + = bod [ ] = + = + = bod [ ] Dosazujeme = f : 0, Dosazujeme = 0 0, 0, 0 ;. = + = + = bod [ 0; ]. = + = + = bod [ ] Dosazujeme = 0, 0, f : = + ;.

3 = + = + = bod [ 0; ]. = + = + = bod [ ; ] Dosazujeme = 0 0 Dosazujeme = =+ =-+. =0, =+ - Všechn graf se s osou protínají v bodě [ 0, ], ale mají různý směr. konstanta a neovlivňuje posunutí přímk, ale její směr. f : = + velké a, strmý graf. f : 0, = + malé a, pozvolný graf. Jak popisuje číslo a sklon? Velký sklon = změní-li se o málo, pak se zvětší o hodně. Zkusíme na funkci = +. O kolik se zvětší : = = =. O kolik se zvětší : = = 7 =. =+ - - Kopec je strmý, kdž na dráze m vlezeme o m výš. Kdž vlezeme na dráze km o 0 výš, strmé to moc není. Strmost není velikost, ale poměr spočteme ho:

4 = = - to je hodnota a! ted a =. f ( ) f ( ) f ( ) Jiný zápis a = = = =. Směr udává i úhel, který přímka svírá s osou i úhel b měl jít vjádřit pomocí a. =+ - - Úhel můžeme v pravoúhlém trojúhelníku vjádřit pomocí goniometrických funkcí, nejlépe protilehlá tangens tgα = = = a a = tgα. přilehlá Pedagogická poznámka: Nechávám student, ab si sami zvolili jiná čísla a a ověřili si platnost předchozích výsledků. Stejný tp grafu už známe z fzik: rovnoměrný pohb s = vt + s0 = a + b. Význam konstant je stejný: a udává, jak rchle se mění v (rchlost) udává, jak rchle se mění dráha, b udává, průsečík s osou s 0 udává, jak vsoko na ose s začíná graf dráh. Konstanta a určuje u grafu lineární funkce směr, konstanta b posunutí ve svislém směru. Př. : Na obrázku bez popsaných os jsou načrtnut graf funkcí. a) = 0, b) = c) = + d) = e) = 0, +

5 Přiřaď každému grafu správnou funkci. f f f f f Správné přiřazení: f : = - jediná přímá úměrnost, nejstrmější ze všech funkcí, f : = - jediná konstantní funkce, protíná se s osou níže než většina ostatních funkcí, f : 0, = + - protíná se s osou výše než konstantní funkce, má menší sklon, f : = 0, - protíná se s osou v záporných číslech, jediná jde dolů, f : = + - protíná se s osou výše než konstantní funkce, má větší sklon. Př. : Na obrázku bez popsaných os jsou načrtnut graf funkcí. a) = 0, b) = + c) = d) = 0, e) = Přiřaď každému grafu správnou funkci. Upozornění: obrázek je zdeformován, sklon přímek neodpovídají sklonům přímek při normálním zobrazení. Je nutné posuzovat graf relativně vůči sobě. f f f f f Správné přiřazení: f : 0, = - přímá úměrnost, středně velká strmost, f = - přímá úměrnost, nejstrmější graf, : f : = - funkce směřuje dolů, protíná se s osou v záporném číslu, f : = + - funkce směřuje dolů, protíná se s osou v kladném číslu, f : 0, = - přímá úměrnost, nejméně strmý graf.

6 Př. : Načrtni (bez počítání a vnášení bodů) do jednoho obrázku bez popsaných os (analogick jako v předchozím příkladě) graf těchto funkcí. a) f : = b) f : = + c) f : = d) f : = + e) f : = a) f : = a = strmý graf směřující doprava nahoru, b = s osou se protíná pod počátkem. b) f : = + a = b = graf rovnoběžný s grafem z bodu a) s osou se protíná nad počátkem. c) f : = a = strmý (ale méně než v bodech a) b)) graf směřující doprava dolů, b = 0 prochází počátkem. d) f : = + a = graf směřující doprava dolů (méně strmý než v bodě c)), b = s osou se protíná nad počátkem ve stejném bodě jako graf z bodu b). e) f : = a = 0 konstantní funkce, vodorovná přímka, b = s osou se protíná pod počátkem ve stejném bodě jako graf a). f f f f f Shrnutí: Graf lineární funkcí můžeme kreslit také podle hodnot jejich parametrů - a určuje strmost, b určuje průsečík s osou. 6