CVIČNÝ TEST 11. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

Transkript

1 CVIČNÝ TEST 11 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

2 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je k dispozici m přepravek na ovoce. Prázdná přepravka váží p kg, plná jahod váží b kg. Za 1 kg jahod se účtuje c Kč, za odvoz všech m naplněných přepravek d Kč Kolik kg jahod je v jedné přepravce? 1.2 Kolik bude třeba celkově zaplatit za odvoz všech přepravek naplněných jahodami? 2 Řešte rovnici s neznámou k N. k = 32k! VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Je dána funkce f: y = 3 log (x + b), kde x, b R; x > b Určete číslo b tak, aby graf funkce f procházel bodem [3; 2]. 3.2 V množině R řešte rovnici: log x + log x 2 + log x 3 = 3 log Dvě kolmé železniční tratě se setkávají v železniční stanici. V jednu chvíli vyjíždí z této stanice současně dva vlaky, každý po jiné trati. První vlak jede rychlostí 12 m s 1, druhý je rychlejší. Za 5 minut jízdy jsou vlaky od sebe vzdáleny již 6 km. Jakou rychlostí v m s 1 jede rychlejší z vlaků? VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány funkce f: y = 3x 1 a funkce g tak, že pro všechna x R platí: g(x) = 3 f(x + 2) + f(2) Určete funkční hodnotu funkce g v bodě x = Určete vzdálenost d průsečíků grafů funkcí f a g s přímkou y = 2. max. 3 body 2 Maturita z matematiky 01

3 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Jsou dána čísla 4 a 37. max. 5 bodů Vložte mezi tato čísla deset čísel tak, že spolu s čísly 4 a 37 tvoří aritmetickou posloupnost. Jaký je součet s všech vložených čísel? 6.2 Jaká je diference d této posloupnosti? 6.3 Zvětšíme číslo 4 o určité přirozené číslo a o tutéž hodnotu zmenšíme číslo 37. Mezi nově vzniklá čísla vložíme číslo 20 tak, že takto vzniklá trojice tvoří rostoucí geometrickou posloupnost. Jaký je její kvocient q? VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Dva kanystry jsou částečně naplněny vodou. Petr a Pavel postupně přelévají vodu z jednoho kanystru do druhého. Petr nalije z prvního do druhého kanystru právě takové množství vody, kolik v druhém kanystru již bylo. Pavel poté nalije z druhého kanystru do prvního rovněž tolik vody, kolik již v prvním kanystru je. Nakonec je v obou kanystrech 5 litrů vody. 7 Kolik litrů vody bylo původně v prvním kanystru? (Výsledek nezaokrouhlujte.) 8 Objem kolmého čtyřbokého jehlanu je 360 cm 3. Hrany podstavy a výška jehlanu jsou v poměru 5 : 4 : 2. Určete obsah S podstavy jehlanu. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Je dán kosodélník ABCD, kde platí: AB = a = 3 cm, BC = b = 2 cm a jeho obsah S = 3 3 cm 2. max. 4 body Jaká je velikost α nejmenšího vnitřního úhlu kosodélníka ABCD v míře obloukové? 9.2 Jaká je délka u kratší úhlopříčky kosodélníka ABCD? Maturita z matematiky 01 3

4 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10 Následující graf zobrazuje data vypovídající o tom, kolik vlastních zájezdů postupně nabízely vybrané cestovní kanceláře mezi lety Vývoj počtu vlastních zájezdů vybrané skupiny cestovních kanceláří mezi lety počet vlastních zájezdů CK Období CK Dolce mare CK Pohodář CK Summer Dreams CK Roubíček max. 3 body Určete, v kterém roce byl průměrný počet vlastních zájezdů, které cestovní kanceláře nabízely, nejvyšší Majitelé CK Dolce mare tvrdili, že v dalších deseti letech (rokem 2009 počínaje) bude docházet k průměrnému nárůstu počtu vlastních zájezdů o 10 % ročně. Kolik zájezdů dle této prognózy bude CK Dolce mare nabízet v roce 2018? (Výsledek zaokrouhlete na celé jednotky.) VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 11 a Je dán výraz: 2 + 8x + 16 x 2 a x ax 11 Která z možností A E určuje podmínky, za nichž má výraz smysl? A) x 4 a x 4 B) a 4 a x a + 4 C) x 4 a a x a + 4 D) x 4 a x a 4 E) a 4 a x a a a 4 2 body 4 Maturita z matematiky 01

5 2 body 12 Fotbalový trenér má k dispozici 2 brankáře, 4 obránce, 6 záložníků a 12 útočníků. Kolik různých sestav na zápas může trenér sestavit, počítá-li s modelem 1 brankář, 3 obránci, 5 záložníků a 2 útočníci? A) B) 30 C) 11 D) E) max. 4 body 13 Přímka p je dána směrovým vektorem u = (3; 2) a bodem A [4; 1], který na ní leží. Přiřaďte ke každé situaci ( ) variantu bodu B, která jí odpovídá (A F): 13.1 Bod B neleží na přímce p Pro bod B platí AB = 2u Bod B je průsečíkem přímky p a přímky q: x = Bod B je průsečíkem přímky p a souřadnicové osy y A) B [1; 3] B) B [ 11 ; 2 0] C) B [ 2; 5] D) B [10; 3] 11 E) B [ 0; 3 ] F) B [1; 0] KONEC TESTU Maturita z matematiky 03 5

6 II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je k dispozici m přepravek na ovoce. Prázdná přepravka váží p kg, plná jahod váží b kg. Za 1 kg jahod se účtuje c Kč, za odvoz všech m naplněných přepravek d Kč Kolik kg jahod je v jedné přepravce? Zapíšeme si zjednodušeně zadání úlohy: Počet přepravek m, váha prázdné přepravky p kg, váha plné přepravky b kg, počet kg jahod v jedné přepravce b p kg. Řešení: b p kg 1.2 Kolik bude třeba celkově zaplatit za odvoz všech přepravek naplněných jahodami? Cena za 1 kg jahod cena za jahody v jedné přepravce celková cena za všechny přepravky cena za odvoz přepravek celkově je třeba zaplatit za přepravky c Kč, (b p) c kg, m (b p) c Kč, d Kč, mc(b p) + d Kč. Řešení: mc(b p) + d Kč 2 Řešte rovnici s neznámou k N. k = 32k! Rovnici řešíme následovně: k = 32k! / : 32k k! = k 5! = (k 1)! 5 = k 1 k = 6 Řešení: k = 6 6 Maturita z matematiky 03

7 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Je dána funkce f: y = 3 log (x + b), kde x, b R; x > b Určete číslo b tak, aby graf funkce f procházel bodem [3; 2]. Dosadíme bod [3; 2] do předpisu funkce tak, že za x dosazujeme 3 a za y dosazujeme 2: 2 = 3 log (3 + b) / + log (3 + b) 2 log (3 + b) = b = b = 10 b = 7 Pro kontrolu provedeme zkoušku: P = 3 log (3 + 7) = 3 log 10 = 3 1 = 2 = L Řešení: b = V množině R řešte rovnici: log x + log x 2 + log x 3 = 3 log 100. Protože platí log 100 = 2 a log x n = n log x pro kladné x a přirozené n, upravíme rovnici takto: log x + 2 log x + 3 log x = 3 2 ( ) log x = 6 6 log x = 6 log x = 1 x = 10 Provedeme zkoušku: L = log 10 + log log = = 6 = 3 2 = 3 log 100 = P Řešení: x = 10 Maturita z matematiky 01 7

8 4 Dvě kolmé železniční tratě se setkávají v železniční stanici. V jednu chvíli vyjíždí z této stanice současně dva vlaky, každý po jiné trati. První vlak jede rychlostí 12 m s 1, druhý je rychlejší. Za 5 minut jízdy jsou vlaky od sebe vzdáleny již 6 km. Jakou rychlostí v m s 1 jede rychlejší z vlaků? Sestavíme si fakta, která vyplývají ze zadání, do tabulky, přičemž jednotky upravíme na sekundy a metry: rychlost v m s 1 doba jízdy v s uražená vzdálenost v m první vlak s m druhý vlak x 300 s x 300 m Z níže uvedeného obrázku vyplývá, že vzdálenost mezi vlaky za 5 minut jízdy: Protože je trojúhelník pravoúhlý, spočteme délku přepony (čili vzdálenost vlaků po 5 minutách jízdy) takto: (12 300) 2 + (x 300) 2 = (144 + x 2 ) = (144 + x 2 ) = / : x 2 = 400 x 2 = 256; x > 0 x = 16 Druhý vlak jel rychlostí 16 m s 1. Řešení: 16 m s 1 8 Maturita z matematiky 01

9 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány funkce f: y = 3x 1 a funkce g tak, že pro všechna x R platí: g(x) = 3 f(x + 2) + f(2) Určete funkční hodnotu funkce g v bodě x = 0. max. 3 body Určíme předpis funkce g. g(x) = 3 f(x + 2) + f(2) = 3 [3 (x + 2) 1] + [3 2 1] = 9(x + 2) g(x) = 9(x + 2) + 2 = 9x + 20 A nyní určíme g(0) dosazením x = 0: g(0) = = 20 Řešení: g(0) = Určete vzdálenost d průsečíků grafů funkcí f a g s přímkou y = 2. Hledáme takové x, pro které je funkční hodnota u obou funkcí rovna 2. Pro funkci f platí: 3x 1 = 2 x 1 = 1 Pro funkci g platí: 9x + 20 = 2 x 2 = 2 Nyní určíme vzdálenost bodů [ 2; 2], [1, 2]: d = (1 + 2) 2 + (2 2) 2 = 3 Průsečíky mají vzdálenost 3. Řešení: d = 3 Maturita z matematiky 01 9

10 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Jsou dána čísla 4 a 37. max. 5 bodů Vložte mezi tato čísla deset čísel tak, že spolu s čísly 4 a 37 tvoří aritmetickou posloupnost. Jaký je součet s všech vložených čísel? Protože víme, že všech dvanáct čísel tvoří aritmetickou posloupnost, je součet s vložených čísel o 41 menší než součet s 12 všech dvanácti čísel. Součet všech dvanácti čísel vypočteme podle vzorce pro součet n po sobě jdoucích členů aritmetické posloupnosti: s 12 = (4 + 37) 12 2 Nyní dosadíme do vztahu: s = s 12 (4 + 37) s = (4 + 37) 12 2 (4 + 37) = (4 + 37) 10 2 = 41 5 = 205 Součet s vložených čísel je 205. Řešení: s = Jaká je diference d této posloupnosti? Diferenci vypočteme z prvního a dvanáctého členu: a 12 = a d 37 = d 37 4 d = 11 d = 3 Řešení: d = 3 10 Maturita z matematiky 01

11 6.3 Zvětšíme číslo 4 o určité přirozené číslo a o tutéž hodnotu zmenšíme číslo 37. Mezi nově vzniklá čísla vložíme číslo 20 tak, že takto vzniklá trojice tvoří rostoucí geometrickou posloupnost. Jaký je její kvocient q? Zapíšeme vše, co nám zadání úlohy říká: 4 + x, 20 a 37 x tvoří geometrickou posloupnost, kde x N a 4 + x < 20 < 37 x, tj. 0 < x < 16. Z toho plyne, že podíl prvního a druhého členu je stejný jako podíl druhého a třetího členu (a rovná se kvocientu q) z tohoto vyjádření také vyjdeme: 20 = 37 x 4 + x 20 Rovnici upravíme a vyřešíme: (37 x)(4 + x) = x x 2 = 400 x 2 33x = 0 D = = = 12 2 x 1,2 = 33 ± 9 2 = { nebo 42 2 = 21 Kořen x 2 ale nesplňuje podmínku, kterou jsme si stanovili (aby byla posloupnost rostoucí). Jde tedy o čísla 16, 20 a 25. Pro kvocient q platí: q = 20 = Řešení: q = 5 4 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Dva kanystry jsou částečně naplněny vodou. Petr a Pavel postupně přelévají vodu z jednoho kanystru do druhého. Petr nalije z prvního do druhého kanystru právě takové množství vody, kolik v druhém kanystru již bylo. Pavel poté nalije z druhého kanystru do prvního rovněž tolik vody, kolik již v prvním kanystru je. Nakonec je v obou kanystrech 5 litrů vody. Maturita z matematiky 01 11

12 7 Kolik litrů vody bylo původně v prvním kanystru? (Výsledek nezaokrouhlujte.) Zapíšeme zadání úlohy do tabulky: fáze přelévání počet litrů vody v 1. kanystru počet litrů vody v 2. kanystru počáteční x y po 1. přelití x y 2y po 2. přelití x y + x y = 2(x y) 2y (x y) závěr 5 5 Sestavíme rovnice, které vyplývají z tabulky: 2(x y) = 5 2y (x y) = 5 2x 2y = 5 x + 3y = 5 6x 6y = 15 2x + 6y = 10 4x = 25 x = 25 ; y = x + y = = 40 = Původně bylo v prvním kanystru 6,25 l. Řešení by bylo třeba ověřit zkouškou. fáze přelévání počet litrů vody v 1. kanystru počet litrů vody v 2. kanystru počáteční Petr přelil = Pavel přelil 20 4 = = 5 Řešení: 6,25 l 12 Maturita z matematiky 01

13 8 Objem kolmého čtyřbokého jehlanu je 360 cm 3. Hrany podstavy a výška jehlanu jsou v poměru 5 : 4 : 2. Určete obsah S podstavy jehlanu. Hrany podstavy a výšku označíme za pomoci neznámé x a jejich poměru takto: 5x, 4x a 2x V = 1 3 5x 4x 2x 360 = 40 3 x 3 / 3 40 x 3 = 27 x = 3 Jehlan má tedy rozměry 15, 12 a 6 cm. Obsah podstavy vypočteme jako obsah obdélníka o stranách 15 a 12 cm S = = 90 cm 2 2 Obsah S podstavy jehlanu je 90 cm 2. Řešení: 90 cm 2 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Je dán kosodélník ABCD, kde platí: AB = a = 3 cm, BC = b = 2 cm a jeho obsah S = 3 3 cm 2. max. 4 body Jaká je velikost α nejmenšího vnitřního úhlu kosodélníka ABCD v míře obloukové? V daném kosodélníku platí, že S = ab sin α. Tento vzorec využijeme a pomocí něho určíme velikost vnitřního úhlu α. 3 3 = 3 2 sin α / : 6 3 = sin α 2 α = π 3 Řešení: α = π 3 Maturita z matematiky 01 13

14 9.2 Jaká je délka u kratší úhlopříčky kosodélníka ABCD? K výpočtu délky úhlopříčky použijeme kosinovou větu: u = a 2 + b 2 2ab cos α u = cos π 3 u = ,5 = 13 6 = 7 Délka kratší úhlopříčky u = 7 cm. Řešení: u = 7 cm VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10 Následující graf zobrazuje data vypovídající o tom, kolik vlastních zájezdů postupně nabízely vybrané cestovní kanceláře mezi lety počet vlastních zájezdů CK Vývoj počtu vlastních zájezdů vybrané skupiny cestovních kanceláří mezi lety Období CK Dolce mare CK Pohodář CK Summer Dreams CK Roubíček 14 Maturita z matematiky 01

15 max. 3 body Určete, v kterém roce byl průměrný počet vlastních zájezdů, které cestovní kanceláře nabízely, nejvyšší. Z obrázku lze hodnotu průměrně odhadnout (rok 2007) anebo postupně spočítat: rok 2005 rok 2006 rok 2007 rok = 7, = 7, = 8, = 5 4 Řešení: Majitelé CK Dolce mare tvrdili, že v dalších deseti letech (rokem 2009 počínaje) bude docházet k průměrnému nárůstu počtu vlastních zájezdů o 10 % ročně. Kolik zájezdů dle této prognózy bude CK Dolce mare nabízet v roce 2018? (Výsledek zaokrouhlete na celé jednotky.) V roce 2008 nabízela CK Dolce mare 5 vlastních zájezdů. V roce 2018 tedy bude nabízet 5 1,1 10 = 13 zájezdů. Řešení: 13 zájezdů Maturita z matematiky 01 15

16 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 11 a Je dán výraz: 2 + 8x + 16 x 2 a x ax 11 Která z možností A E určuje podmínky, za nichž má výraz smysl? A) x 4 a x 4 B) a 4 a x a + 4 C) x 4 a a x a + 4 D) x 4 a x a 4 E) a 4 a x a a a 4 2 body Jmenovatel, z něhož určíme podmínky, za kterých má výraz smysl, zjednodušíme tak, že jej rozložíme na součin postupným vytýkáním a pomocí vzorce A 2 B 2 = (A + B)(A B): a 2 + 8x + 16 x 2 a x ax = a 2 + 8x + 16 x 2 (a 4)(a + 4) x( 4 + a) = a2 + 8x + 16 x 2 (a 4)(a + 4 x) Podmínky jsou: a 4 a x a + 4. Řešení: B 2 body 12 Fotbalový trenér má k dispozici 2 brankáře, 4 obránce, 6 záložníků a 12 útočníků. Kolik různých sestav na zápas může trenér sestavit, počítá-li s modelem 1 brankář, 3 obránci, 5 záložníků a 2 útočníci? A) B) 30 C) 11 D) E) Protože ve výběrech na jednotlivé posty nezáleží na pořadí, jedná se o kombinace a počet možných sestav bude roven jejich součinu: ( 2 1 ) ( 4 3 ) ( 6 5 ) ( 12 2 ) = = možností Řešení: A 16 Maturita z matematiky 01

17 max. 4 body 13 Přímka p je dána směrovým vektorem u = (3; 2) a bodem A [4; 1], který na ní leží. Přiřaďte ke každé situaci ( ) variantu bodu B, která jí odpovídá (A F): 13.1 Bod B neleží na přímce p Pro bod B platí AB = 2u Bod B je průsečíkem přímky p a přímky q: x = Bod B je průsečíkem přímky p a souřadnicové osy y A) B [1; 3] B) B [ 11 ; 2 0] C) B [ 2; 5] D) B [10; 3] 11 E) B [ 0; 3 ] F) B [1; 0] 13.1 Sestavíme parametrické rovnice přímky p: p : { x = 4 + 3t y = 1 2t; t R A z nich eliminací parametru t obecnou rovnici 2x + 3y 11 = 0. A dosadíme postupně jednotlivé body a zjistíme, který z nich není bodem přímky p. A) y 11 = 0 y = 3 [1; 3] p B) y 11 = 0 y = 0 [ 11 2 ; 0] p C) 2 ( 2) + 3y 11 = 0 y = 5 [ 2; 5] p D) y 11 = 0 y = 3 [10; 3] p E) y 11 = 0 y = [ 0; 3 ] p F) y 11 = 0 y = 3 [1; 0] p Správnou možností je tedy možnost F. Řešení: F 13.2 Protože pro hledaný bod B platí AB = 2u, znamená to, že B = 2u + A. Dosadíme vstupní hodnoty a bod B přímo určíme: B : { x = = = 10 y = 2 ( 2) + 1 = = 3 Hledaným bodem je B = [10; 3]. Správná je tedy možnost D. Řešení: D Maturita z matematiky 03 17

18 13.3 Najdeme průsečík přímky x = 1 a přímky p p : { x = 4 + 3t y = 1 2t; t R tak, že dosadíme za proměnnou x, určíme parametr t a dosazením do druhé rovnice zjistíme hodnotu druhé souřadnice. 1 = 4 + 3t t = 1 y = 1 2( 1) = = 3 Hledaným bodem je B = [1; 3]. Správná je tedy možnost A. Řešení: A Průsečíky s osou y mají první souřadnici nulovou, přichází tak v úvahu bod [ 0; 3 ]. V řešení 13.1 jsme již ověřili, že je bodem přímky p. Správná je tedy možnost E. Řešení: E KONEC TESTU 18 Maturita z matematiky 03

19 III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1 10 jsou otevřené. 3) Úlohy jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka Úloha Správné řešení Počet bodů b p kg 1 bod 1.2 mc(b p) + d Kč 1 bod 2 k = b = 7 1 bod 3.2 x = 10 1 bod 4 16 m s g(0) = d = 3 1 bod s = d = 3 1 bod 6.3 q = ,25 l 8 90 cm α = π u = 7 cm bod zájezdů Maturita z matematiky 03 19

20 11 B 2 body 12 A 2 body F 13.2 D 13.3 A 13.4 E max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 20 Maturita z matematiky 03

21 IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1 10 jsou otevřené. Zapište výsledek. 3) Úlohy jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka Úloha Správné řešení Počet bodů bod bod bod bod bod bod bod 10.2 Maturita z matematiky 01 21

22 11 2 body 12 2 body max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 22 Maturita z matematiky 01